Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.1 Воспользовавшись калькой, найдите на рисунке 5.7 угол, равный углу $\angle A$.

$\angle C$, $\angle N$, $\angle B$, $\angle K$, $\angle O$, $\angle D$, $\angle F$, $\angle G$

Рис. 5.7

Для того чтобы найти угол, равный углу $\angle A$, воспользуемся методом наложения с помощью кальки, как предложено в условии задачи.

1. Приложим лист кальки к рисунку и аккуратно обведем угол $\angle A$, точно скопировав его вершину и две стороны (лучи).

2. Далее, не переворачивая кальку, будем последовательно прикладывать полученный на ней чертеж к каждому из остальных углов на рисунке (B, C, D, F, G, K, N, O). При этом мы должны совмещать вершину скопированного угла с вершиной проверяемого угла, а одну из его сторон — с одной из сторон проверяемого угла.

3. Если вторая сторона скопированного угла полностью совпадет со второй стороной проверяемого угла, то эти углы равны.

Выполнив эту процедуру, мы обнаружим следующее:

• Углы $\angle C$, $\angle D$, $\angle G$, $\angle N$ — тупые (или прямой, как $\angle N$), а угол $\angle A$ — острый, поэтому они не равны.
• Острые углы $\angle B$ и $\angle K$ при наложении не совпадут с углом $\angle A$: угол $\angle B$ заметно больше, а угол $\angle K$ — меньше.
• Угол $\angle O$ при наложении полностью совпадет с углом $\angle A$. Их вершины и стороны можно совместить идеально.

Таким образом, единственный угол на рисунке, равный углу $\angle A$, это угол $\angle O$.

Ответ: Угол O.

5.2 Начертите в тетради угол и обозначьте его $AOC$.

а) Проведите луч $OB$ так, чтобы угол $AOB$ был тупым, а угол $COB$ – острым. Сравните эти углы.

б) От руки нарисуйте угол $KDE$, равный углу $AOC$. Проверьте с помощью кальки, действительно ли эти углы равны.

а)

Сначала начертим угол $AOC$. Для наглядности и простоты решения выберем в качестве угла $AOC$ развернутый угол. Градусная мера развернутого угла составляет $180^\circ$, а его стороны, лучи $OA$ и $OC$, лежат на одной прямой.

Далее из вершины $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы он разделил угол $AOC$ на два угла: $\angle AOB$ и $\angle COB$. Согласно условию, $\angle AOB$ должен быть тупым, а $\angle COB$ — острым.

Вспомним определения:
- Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
- Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$.

Если мы проведем луч $OB$ так, чтобы $\angle AOB$ был тупым (например, пусть $\angle AOB = 125^\circ$), то для угла $\angle COB$ получим:
$\angle COB = \angle AOC - \angle AOB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
Таким образом, мы получили $\angle AOB = 125^\circ$ (тупой угол) и $\angle COB = 55^\circ$ (острый угол), что полностью соответствует условию задачи.

Теперь сравним эти углы.
Так как $\angle AOB$ является тупым, его величина больше $90^\circ$.
Так как $\angle COB$ является острым, его величина меньше $90^\circ$.
Следовательно, любой тупой угол всегда больше любого острого угла.
$\angle AOB > \angle COB$.

Ответ: Тупой угол $AOB$ всегда будет больше острого угла $COB$.

б)

Чтобы от руки нарисовать угол $KDE$, равный углу $AOC$, нужно сначала визуально оценить величину угла $AOC$, начерченного в предыдущем пункте, и попытаться воспроизвести его.

Процесс рисования:
1. Поставьте на бумаге точку $D$, которая будет вершиной нового угла.
2. Из точки $D$ проведите луч $DK$.
3. Оцените "на глаз", насколько широко расходятся лучи $OA$ и $OC$ в исходном угле, и проведите второй луч $DE$ из точки $D$ так, чтобы он образовывал с лучом $DK$ такой же "раствор". Если $\angle AOC$ был развернутым ($180^\circ$), то лучи $DK$ и $DE$ должны лежать на одной прямой.

Проверка с помощью кальки:
Чтобы проверить, действительно ли углы $AOC$ и $KDE$ равны, нужно выполнить следующие действия:
1. Наложите лист кальки (или другой тонкой полупрозрачной бумаги) на чертеж с углом $AOC$.
2. Аккуратно обведите на кальке вершину $O$ и лучи $OA$ и $OC$.
3. Перенесите кальку на чертеж с углом $KDE$.
4. Совместите вершину $O$ с кальки с вершиной $D$ на чертеже.
5. Поворачивая кальку, совместите один из лучей на кальке (например, $OA$) с лучом на чертеже ($DK$).
6. Посмотрите, совпал ли второй луч на кальке ($OC$) со вторым лучом на чертеже ($DE$). Если лучи полностью совпали, значит, углы равны. Если есть расхождение, то угол, нарисованный от руки, не равен исходному.

Ответ: Чтобы нарисовать равный угол от руки, его копируют "на глаз". Проверка равенства углов осуществляется методом наложения с помощью кальки: если при совмещении вершин и одной из сторон углов вторые стороны также совпадут, то углы равны.

5.3 Какие из углов, изображённых на рисунке 5.7, являются острыми, а какие – тупыми? Есть ли здесь прямой угол?

Для ответа на данный вопрос необходимо иметь изображение рисунка 5.7, которое отсутствует. Однако, можно дать развернутое объяснение на основе определений типов углов.

Углы классифицируются по их градусной мере:

• Острый угол: угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Чтобы решить задачу, нужно визуально или с помощью инструментов (например, угольника) оценить каждый угол на рисунке 5.7 и отнести его к одной из категорий.

Какие из углов, изображённых на рисунке 5.7, являются острыми

Острые углы — это те, которые "уже" или "острее" прямого угла. Чтобы их найти, нужно было бы выявить на рисунке все углы, величина которых составляет от $0^\circ$ до $90^\circ$ (не включая $90^\circ$).

Ответ: Так как рисунок 5.7 не предоставлен, невозможно указать, какие именно углы являются острыми.

...а какие — тупыми?

Тупые углы — это те, которые "шире" или "более раскрыты", чем прямой угол, но не образуют прямую линию. Их градусная мера находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$ (не включая $90^\circ$ и $180^\circ$).

Ответ: Так как рисунок 5.7 не предоставлен, невозможно указать, какие именно углы являются тупыми.

Есть ли здесь прямой угол?

Прямой угол имеет величину ровно $90^\circ$. На чертежах его часто обозначают маленьким квадратом в вершине угла. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно было бы найти на рисунке угол, стороны которого перпендикулярны друг другу.

Ответ: Так как рисунок 5.7 не предоставлен, невозможно определить, есть ли на нем прямой угол.

5.4 Скопируйте в тетрадь углы, изображённые на рисунке 5.8. Какой из этих углов острый, какой — тупой, а какой — прямой?

Рис. 5.8

Для того чтобы определить, какой из углов является острым, тупым или прямым, необходимо сравнить их величину с прямым углом, который равен $90^\circ$.

• Острый угол — это угол, который меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, который равен $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Рассмотрим каждый угол, изображенный на клетчатой бумаге.

Угол ABC

Угол с вершиной в точке B. Сторона BC этого угла лежит на горизонтальной линии сетки. Сторона BA проходит через узлы сетки таким образом, что на каждые 2 клетки по горизонтали она поднимается на 2 клетки по вертикали. Это означает, что луч BA является диагональю квадратов сетки и образует с горизонтальным лучом BC угол в $45^\circ$. Поскольку $45^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.

Ответ: угол ABC — острый.

Угол KED

Угол с вершиной в точке E. Если мысленно приложить к вершине E угольник (который представляет собой прямой угол), то можно увидеть, что стороны EK и ED расходятся шире, чем стороны прямого угла. Таким образом, величина угла KED больше, чем $90^\circ$. Следовательно, этот угол является тупым.

Ответ: угол KED — тупой.

Угол MON

Угол с вершиной в точке O. Стороны OM и ON симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через точку O. Каждая из сторон (OM и ON) является диагональю квадратов сетки. Луч ON образует с вертикальной осью угол $45^\circ$, и луч OM также образует с вертикальной осью угол $45^\circ$. Величина всего угла MON равна сумме этих двух углов: $\angle MON = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Угол, равный $90^\circ$, является прямым.

Ответ: угол MON — прямой.

5.5 Начертите на отдельном листе бумаги в клетку прямой угол. С помощью перегибания найдите его биссектрису и начертите её карандашом.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно совершить следующие действия:

1. Построение прямого угла.

   На листе бумаги в клетку выберите точку на пересечении линий сетки. Эта точка будет вершиной угла, обозначим её буквой О. Из точки О проведите один луч вдоль горизонтальной линии клеток, а второй луч — вдоль вертикальной линии. Поскольку линии сетки на тетрадном листе перпендикулярны, построенный угол будет прямым, и его градусная мера составит $90^\circ$.

2. Нахождение биссектрисы с помощью перегибания.

   Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Чтобы найти биссектрису прямого угла методом перегибания, необходимо аккуратно согнуть лист бумаги так, чтобы один луч (одна сторона угла) полностью совпал с другим лучом (другой стороной угла). При этом вершина О должна оставаться точкой, из которой начинается сгиб. Тщательно прогладьте бумагу по линии сгиба.

3. Начертание биссектрисы.

   Разверните лист бумаги. Вы увидите четкую линию сгиба, которая начинается в вершине О и делит угол пополам. Эта линия является биссектрисой. Возьмите карандаш и линейку и проведите по линии сгиба луч, исходящий из вершины О.

В результате этих действий будет построен луч, который делит прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла. Величина каждого из этих новых углов будет равна $90^\circ / 2 = 45^\circ$. На бумаге в клетку правильно построенная биссектриса будет проходить точно по диагоналям клеток.

Ответ: Задача на построение выполнена. С помощью перегибания листа бумаги найдена и начерчена карандашом биссектриса прямого угла. Эта биссектриса делит исходный прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла по $45^\circ$.

Представьте, что вам необходимо проверить, является ли угол прямым, а у вас нет под рукой угольника. На рисунке 5.9 показано, как с помощью перегибания листа бумаги можно получить прямой угол. Возьмите лист бумаги и выполните изображённые действия.

Рис. 5.9

В задании предлагается продемонстрировать и объяснить метод получения прямого угла путем сгибания листа бумаги. Этот метод основан на базовых геометрических принципах.

Описание действий

Чтобы получить прямой угол, необходимо выполнить следующие шаги, показанные на рисунке:

1. Возьмите лист бумаги произвольной формы.
2. Согните лист бумаги один раз в любом месте. Линия сгиба будет представлять собой прямую линию.
3. Не разворачивая лист, сделайте второй сгиб так, чтобы любая часть первой линии сгиба совместилась сама с собой. Тщательно прогладьте новую линию сгиба.
4. Теперь полностью разверните лист. Вы увидите две пересекающиеся линии сгиба. Все четыре угла, образовавшиеся в точке их пересечения, являются прямыми.

Геометрическое обоснование

Этот метод работает благодаря свойству развернутого угла. Давайте разберемся, почему полученный угол равен именно $90^\circ$.

Первый сгиб создает на листе бумаги прямую линию. Любая прямая линия образует развернутый угол, градусная мера которого составляет $180^\circ$.

Второй сгиб, при котором мы совмещаем первую линию сгиба саму с собой, делит этот развернутый угол на два смежных угла. Поскольку при сгибании одна часть развернутого угла полностью накладывается на другую, эти два смежных угла оказываются равными.

Обозначим величину каждого из этих равных углов через $\alpha$. Так как они вместе составляют развернутый угол, их сумма равна $180^\circ$. Мы можем записать это в виде уравнения:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

Решая уравнение, находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Таким образом, угол между двумя линиями сгиба является прямым. Соответственно, остальные три угла в точке пересечения также будут прямыми (как вертикальные и смежные с ним).

Ответ: При выполнении указанных действий получается прямой угол, так как второй сгиб делит развернутый угол ($180^\circ$), образованный первой линией сгиба, на два равных смежных угла. Величина каждого из этих углов равна половине развернутого угла, то есть $180^\circ / 2 = 90^\circ$.