Страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Назовите (см. рис. 5.24) все стороны и все углы шестиугольника ABCDEF; назовите все его диагонали, выходящие из вершины А.

Рис. 5.24

Назовите все стороны и все углы шестиугольника ABCDEF
Шестиугольник ABCDEF — это многоугольник с шестью вершинами: A, B, C, D, E, F.
Стороны многоугольника — это отрезки, соединяющие его соседние вершины. У данного шестиугольника шесть сторон:
AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Углы многоугольника — это углы, образованные его сторонами в вершинах. У данного шестиугольника шесть углов:
$\angle A$ (также можно обозначить как $\angle FAB$),
$\angle B$ (также можно обозначить как $\angle ABC$),
$\angle C$ (также можно обозначить как $\angle BCD$),
$\angle D$ (также можно обозначить как $\angle CDE$),
$\angle E$ (также можно обозначить как $\angle DEF$),
$\angle F$ (также можно обозначить как $\angle EFA$).
Ответ: Стороны: AB, BC, CD, DE, EF, FA. Углы: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D, \angle E, \angle F$.

назовите все его диагонали, выходящие из вершины А
Диагональ многоугольника — это отрезок, который соединяет две его несоседние вершины. Для вершины A соседними вершинами являются B и F. Все остальные вершины — C, D и E — являются несоседними для вершины A.
Следовательно, диагонали, выходящие из вершины A, — это отрезки, соединяющие вершину A с вершинами C, D и E.
Ответ: AC, AD, AE.

Диагональ $BE$ разбила шестиугольник $ABCDEF$ на два четырёхугольника. Назовите их. Назовите какую-нибудь диагональ, которая разобьёт данный шестиугольник на треугольник и пятиугольник.

Диагональ BE разбила шестиугольник ABCDEF на два четырёхугольника. Назовите их.
Шестиугольник ABCDEF имеет вершины, расположенные в последовательном порядке: A, B, C, D, E, F. Диагональ BE соединяет две несмежные вершины. Эта диагональ и стороны шестиугольника образуют два новых многоугольника.
Первый многоугольник включает вершины A, B, E, F. Так как у него четыре вершины, это четырёхугольник ABEF.
Второй многоугольник включает вершины B, C, D, E. У него также четыре вершины, следовательно, это четырёхугольник BCDE.
Ответ: ABEF и BCDE.

Назовите какую-нибудь диагональ, которая разобьёт данный шестиугольник на треугольник и пятиугольник.
Чтобы разбить шестиугольник на треугольник и пятиугольник, необходимо провести диагональ, соединяющую две вершины, между которыми по контуру многоугольника находится ровно одна другая вершина. Такая диагональ "отсечёт" от шестиугольника треугольник.
Например, проведём диагональ AC. Она соединяет вершины A и C, отсекая вершину B.
В результате шестиугольник ABCDEF разделяется на две фигуры:
1. Треугольник с вершинами A, B, C — треугольник ABC.
2. Пятиугольник с вершинами A, C, D, E, F — пятиугольник ACDEF.
Любая из следующих диагоналей также подойдёт: BD, CE, DF, EA, FB.
Ответ: AC.

5.32 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Измерьте величины углов треугольника $ABC$ (рис. 5.25). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер.

2) Измерьте длины сторон треугольника $ABC$. Назовите стороны в порядке убывания их длин.

3) Назовите угол треугольника, который лежит против стороны $AB$; стороны $BC$; стороны $AC$. Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?

Рис. 5.25

1) Измерьте величины углов треугольника ABC (рис. 5.25). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер.

Для решения этой задачи воспользуемся транспортиром для измерения углов треугольника, изображенного на рисунке. Если измерить углы, получатся следующие приблизительные значения:

• Угол при вершине A, $∠A$, является прямым. Его градусная мера равна $90^\circ$.
• Угол при вершине C, $∠C$, является острым. Его градусная мера примерно составляет $35^\circ$.
• Угол при вершине B, $∠B$, также является острым. Его градусная мера примерно составляет $55^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $90^\circ + 35^\circ + 55^\circ = 180^\circ$, что подтверждает корректность измерений.

Теперь расположим углы в порядке возрастания их градусных мер: $35^\circ < 55^\circ < 90^\circ$.
Этому порядку соответствуют углы: $∠C, ∠B, ∠A$.

Ответ: $∠C, ∠B, ∠A$.

2) Измерьте длины сторон треугольника ABC. Назовите стороны в порядке убывания их длин.

Для измерения длин сторон треугольника воспользуемся линейкой. Так как масштаб изображения неизвестен, мы получим относительные длины сторон. Измерения показывают:

• Длина стороны AB (катет) — наименьшая.
• Длина стороны AC (катет) — больше стороны AB.
• Длина стороны BC (гипотенуза) — наибольшая, так как она лежит против прямого угла.

Например, измерения могут дать такие результаты: $AB \approx 2.8$ см, $AC \approx 4.0$ см, $BC \approx 4.9$ см.

Требуется назвать стороны в порядке убывания их длин. Сравнивая полученные значения, получаем следующий порядок: $BC > AC > AB$.

Ответ: BC, AC, AB.

3) Назовите угол треугольника, который лежит против стороны AB; стороны BC; стороны AC. Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?

Угол, лежащий против стороны, — это угол, вершина которого не является концом данного отрезка (стороны).

• Против стороны AB лежит угол при вершине C, то есть $∠C$.
• Против стороны BC лежит угол при вершине A, то есть $∠A$.
• Против стороны AC лежит угол при вершине B, то есть $∠B$.

Теперь сопоставим результаты, полученные в предыдущих пунктах, чтобы ответить на второй вопрос.

Порядок сторон в порядке убывания длин: BC, AC, AB.
Порядок противолежащих им углов: $∠A, ∠B, ∠C$.

Величины этих углов в том же порядке убывания: $90^\circ > 55^\circ > 35^\circ$.

Мы видим, что большей стороне BC соответствует больший угол $∠A$, средней стороне AC соответствует средний по величине угол $∠B$, и меньшей стороне AB соответствует меньший угол $∠C$.
Следовательно, утверждение "против большей стороны в треугольнике лежит больший угол" является верным. Это одна из основных теорем геометрии о соотношении сторон и углов в треугольнике.

Ответ: Против стороны AB лежит угол C, против стороны BC лежит угол A, против стороны AC лежит угол B. Да, верно, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

5.33 Назовите четырёхугольник (рис. 5.26), его равные стороны и равные углы. Скопируйте четырёхугольник в тетрадь. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

Рис. 5.26

Назовите четырёхугольник

Данный четырёхугольник EFHD является квадратом. Это можно определить по нескольким признакам, исходя из его расположения на клетчатой бумаге:

• Все его стороны равны. Каждая сторона является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами, равными 2 клеткам.
• Его диагонали EH и FD равны (длина каждой 4 клетки) и взаимно перпендикулярны (одна горизонтальна, другая вертикальна), что является свойством квадрата.
• Все его углы прямые (90°).

Ответ: Четырёхугольник EFHD — квадрат.

Равные стороны

Чтобы найти длину стороны, воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть сторона одной клетки равна 1 условной единице. Рассмотрим сторону EF. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Длина стороны EF будет:

$EF = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$

Поскольку фигура является квадратом (или ромбом, что также видно из симметрии), все её стороны равны.

Ответ: $EF = FH = HD = DE = \sqrt{8}$.

Равные углы

Так как четырёхугольник EFHD является квадратом, все его внутренние углы равны и составляют 90°.

Ответ: $\angle E = \angle F = \angle H = \angle D = 90°$.

Найдите его периметр

Периметр (P) — это сумма длин всех сторон фигуры. Для квадрата периметр вычисляется по формуле $P = 4 \times a$, где $a$ — длина стороны. Мы уже определили, что длина стороны $a = \sqrt{8}$.

$P = 4 \times \sqrt{8}$
Можно упростить выражение: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
Тогда периметр равен:
$P = 4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Ответ: Периметр четырёхугольника равен $8\sqrt{2}$.

5.34 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Скопируйте пятиугольник (рис. 5.27) в тетрадь. Проведите все диагонали пятиугольника и запишите их. Измерьте все углы с вершинами в вершинах пятиугольника.

Для выполнения этой практической работы необходимо начертить в тетради произвольный выпуклый пятиугольник, так как рисунок 5.27 не предоставлен. Обозначим его вершины последовательно буквами А, Б, В, Г, Д.

Проведите все диагонали пятиугольника и запишите их.

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его вершины, не являющиеся соседними. В пятиугольнике АБВГД из каждой вершины можно провести две диагонали.

• Из вершины А: к вершинам В и Г (отрезки АВ и АГ).
• Из вершины Б: к вершинам Г и Д (отрезки БГ и БД).
• Из вершины В: к вершинам Д и А (отрезок ВД и ВА, который уже назван как АВ).
• Из вершины Г: к вершинам А и Б (отрезки ГА и ГБ, уже названы).
• Из вершины Д: к вершинам Б и В (отрезки ДБ и ДВ, уже названы).

Таким образом, у пятиугольника всего 5 диагоналей.

Проверить это можно по формуле для количества диагоналей $N$ в n-угольнике: $N = \frac{n(n-3)}{2}$.

Для пятиугольника ($n=5$): $N = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: Диагонали пятиугольника АБВГД: АВ, АГ, БГ, БД, ВД.

Измерьте все углы с вершинами в вершинах пятиугольника.

Это практическое задание, и точные значения углов будут зависеть от того, какой именно пятиугольник вы начертили. Вам необходимо использовать транспортир для измерения всех углов, образованных сторонами и диагоналями в каждой из пяти вершин.

В качестве примера, рассмотрим углы для правильного пятиугольника (у которого все стороны и углы равны). В вашем произвольном пятиугольнике значения будут другими.

1. Сумма внутренних углов пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

2. В правильном пятиугольнике каждый внутренний угол равен $540^\circ / 5 = 108^\circ$. Например, $\angle АБВ = 108^\circ$.

3. Диагонали делят внутренние углы. В правильном пятиугольнике каждая диагональ отсекает от вершины равнобедренный треугольник (например, $\triangle АБВ$ равнобедренный, т.к. сторона АБ = БВ). Углы при основании этого треугольника равны: $\angle БАВ = \angle БВА = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$.

4. Каждая из двух диагоналей, выходящих из одной вершины, делит внутренний угол ($108^\circ$) на три равных угла по $36^\circ$.

Рассмотрим все углы при вершине А (для других вершин значения будут аналогичными из-за симметрии):

• $\angle ДАГ = 36^\circ$
• $\angle ГАВ = 36^\circ$
• $\angle ВАБ = 36^\circ$

Также можно измерить составные углы:

• $\angle ДАВ = \angle ДАГ + \angle ГАВ = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$
• $\angle ГАБ = \angle ГАВ + \angle ВАБ = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$
• $\angle ДАБ = \angle ДАГ + \angle ГАВ + \angle ВАБ = 36^\circ + 36^\circ + 36^\circ = 108^\circ$ (полный внутренний угол).

Ответ: Для получения ответа для вашего начерченного пятиугольника необходимо с помощью транспортира измерить все углы, образованные сторонами и диагоналями в каждой вершине (А, Б, В, Г, Д), и записать их значения. В случае правильного пятиугольника, внутренний угол $108^\circ$ делится диагоналями на три угла по $36^\circ$.

5.35 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.27 и скажите, верно ли утверждение:

1) В пятиугольнике $\text{ABCDE}$ $\angle A$ прямой.

2) Стороны $\text{DE}$ и $\text{DC}$ равны.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона $\text{BC}$.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

5) Длина диагонали $\text{BE}$ больше длины стороны $\text{AE}$.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное. Попросите одноклассников ответить, верны ли ваши утверждения.

Рис. 5.27

Для решения задачи примем сторону одной клетки на рисунке за 1 условную единицу длины (ед.). Для нахождения длин сторон, которые не идут вдоль линий сетки, будем использовать теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - длина стороны (гипотенуза), а $a$ и $b$ - проекции этой стороны на горизонтальную и вертикальную оси (катеты).

1) В пятиугольнике ABCDE угол A прямой.
Сторона AE является вертикальным отрезком, а сторона AB — горизонтальным. Угол между вертикальным и горизонтальным отрезками всегда составляет 90°, то есть является прямым. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2) Стороны DE и DC равны.
Найдем длину стороны DE. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 ед. и 1 ед. Длина DE равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед.
Найдем длину стороны DC. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 ед. и 3 ед. Длина DC равна $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.
Так как $\sqrt{5} \neq \sqrt{10}$, стороны не равны. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона BC.
Найдем длины всех сторон:
- Длина AE (вертикальный отрезок) = 4 ед.
- Длина AB (горизонтальный отрезок) = 2 ед.
- Длина BC = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ ед. $(\approx 2.24$ ед.)
- Длина CD = $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед. $(\approx 3.16$ ед.)
- Длина DE = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед. $(\approx 2.24$ ед.)
Сравнивая длины сторон (4, 2, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$), видим, что наибольшую длину имеет сторона AE (4 ед.). Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.
Предположим, что 1 ед. = 1 см. Периметр P равен сумме длин всех сторон:
$P = AE + AB + BC + CD + DE = 4 + 2 + \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$ см.
Поскольку $2\sqrt{5} > 2\sqrt{4} = 4$ и $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $P > 6 + 4 + 3 = 13$ см.
$13$ см > $5$ см. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) Длина диагонали BE больше длины стороны AE.
Длина стороны AE равна 4 ед.
Найдем длину диагонали BE. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 ед. (разница по горизонтали между B и E) и 4 ед. (разница по вертикали).
Длина BE = $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ ед.
Сравним длину BE и AE: $\sqrt{20}$ и 4. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{20} > \sqrt{16}$, то длина диагонали BE больше длины стороны AE. Утверждение верно.
Ответ: верно.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное.

Верное утверждение: Стороны BC и DE равны между собой.
Проверка: Длина BC = $\sqrt{5}$ ед. и длина DE = $\sqrt{5}$ ед. Утверждение истинно.

Неверное утверждение: Пятиугольник ABCDE является выпуклым.
Проверка: Угол при вершине C является внутренним углом, который больше 180°. Фигура с таким углом является невыпуклой (вогнутой). Утверждение ложно.