Страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Знаю и умею записывать с помощью букв свойства арифметических действий.

1. Какое свойство арифметических действий иллюстрирует приведённое равенство? Назовите его и запишите с помощью букв:

а) $4 + 17 = 17 + 4$;

б) $(12 \cdot 8) \cdot 5 = 12 \cdot (8 \cdot 5)$;

в) $(20 + 8) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3$.

а) Равенство $4 + 17 = 17 + 4$ иллюстрирует переместительное свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В буквенном виде это свойство записывается так: $a + b = b + a$.
Ответ: переместительное свойство сложения, $a + b = b + a$.

б) Равенство $(12 \cdot 8) \cdot 5 = 12 \cdot (8 \cdot 5)$ иллюстрирует сочетательное свойство умножения. Оно гласит, что результат умножения не зависит от порядка расстановки скобок. В буквенном виде это свойство записывается так: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: сочетательное свойство умножения, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

в) Равенство $(20 + 8) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3$ иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения. Оно гласит, что чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить. В буквенном виде это свойство записывается так: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения, $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Умею группировать слагаемые в сумме и множители в произведении.

2. Вычислите:

a) $42 + 61 + 28 + 39 + 30$;

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25$.

а) $42 + 61 + 28 + 39 + 30$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся переместительным и сочетательным законами сложения. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы в сумме получались круглые числа.

Сгруппируем 42 и 28, так как $2 + 8 = 10$. Также сгруппируем 61 и 39, так как $1 + 9 = 10$.

$42 + 61 + 28 + 39 + 30 = (42 + 28) + (61 + 39) + 30$

Выполним сложение в скобках:

$42 + 28 = 70$

$61 + 39 = 100$

Теперь сложим полученные результаты:

$70 + 100 + 30 = (70 + 30) + 100 = 100 + 100 = 200$

Ответ: 200

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Сгруппируем множители так, чтобы их произведения были круглыми числами.

Сгруппируем 4 и 25, так как их произведение равно 100. Также сгруппируем 5 и 2, так как их произведение равно 10.

$4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 9$

Выполним умножение в скобках:

$4 \cdot 25 = 100$

$5 \cdot 2 = 10$

Теперь перемножим полученные результаты:

$100 \cdot 10 \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$

Ответ: 9000

Умею раскрывать скобки в произведении и выносить в сумме общий множитель за скобки.

3. Дано выражение $18 \cdot (37 + 44)$. Определите, какое из следующих выражений имеет то же значение, что и данное выражение:

$18 \cdot 37 + 44$, $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$, $37 + 18 \cdot 44$.

3.

Для решения этой задачи необходимо применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство утверждает, что для любых чисел $a, b$ и $c$ справедливо равенство:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

В данном выражении $18 \cdot (37 + 44)$ число 18 умножается на сумму чисел 37 и 44. Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить 18 на каждое слагаемое в скобках (на 37 и на 44), а затем сложить полученные произведения.

Применим правило к нашему выражению:
$18 \cdot (37 + 44) = 18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• $18 \cdot 37 + 44$ – неверно.
• $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$ – верно.
• $37 + 18 \cdot 44$ – неверно.

Таким образом, выражение, которое имеет то же значение, что и $18 \cdot (37 + 44)$, — это $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$.

Ответ: $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$

4. Найдите значение выражения:

$83 \cdot 17 + 27 \cdot 17.$

Для нахождения значения выражения $83 \cdot 17 + 27 \cdot 17$ можно применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Общий множитель в обоих слагаемых — это число 17. Вынесем его за скобки:

$83 \cdot 17 + 27 \cdot 17 = (83 + 27) \cdot 17$

Теперь выполним действия по порядку.

1. Сначала вычислим сумму в скобках:

$83 + 27 = 110$

2. Затем умножим полученный результат на 17:

$110 \cdot 17 = 1870$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1870.

Ответ: 1870

Умею применять способ решения задачи на части.

5. Для приготовления гречневой каши на 2 части гречки берут 3 части воды. Сколько граммов воды надо взять на 300 г гречневой крупы?

$\frac{\text{воды}}{\text{гречки}} = \frac{3}{2}$

Эта задача решается с помощью метода "на части" или через составление пропорции. Согласно условию, соотношение гречки и воды составляет 2 части к 3 частям.

Решение методом "на части":

1. Найдём, сколько граммов приходится на одну часть.
Известно, что 300 граммов гречки — это 2 части. Чтобы найти вес одной части, нужно общую массу гречки разделить на количество её частей:
$300 \div 2 = 150$ (г) — столько весит одна часть.

2. Найдём, сколько граммов воды потребуется.
По рецепту нужно взять 3 части воды. Так как мы знаем, что одна часть весит 150 граммов, умножим этот вес на 3:
$150 \times 3 = 450$ (г) — столько воды нужно взять.

Решение через пропорцию:

Можно составить пропорцию, где $x$ — это искомое количество воды в граммах. Отношение частей равно отношению масс:
$\frac{2}{3} = \frac{300}{x}$
Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot x = 3 \cdot 300$
$2x = 900$
$x = \frac{900}{2}$
$x = 450$

Ответ: 450 г.

6. Смешали 3 части карамели, 2 части ирисок и 5 частей шоколадных конфет. Всего получилось 1600 г смеси конфет. Сколько в смеси ирисок?

Для решения задачи необходимо сначала определить общее количество частей, из которых состоит смесь конфет. Затем, зная общую массу смеси, можно вычислить массу одной части. После этого легко найти массу ирисок, зная, сколько частей они составляют.

1. Найдем общее количество частей в смеси, сложив части всех видов конфет:
$3$ (карамель) $+ 2$ (ириски) $+ 5$ (шоколадные конфеты) $= 10$ (частей).
Таким образом, вся смесь состоит из 10 равных по массе частей.

2. Теперь найдем, сколько граммов составляет одна часть. Общая масса смеси (1600 г) делится на общее количество частей (10):
$1600 \text{ г} \div 10 \text{ частей} = 160 \text{ г/часть}$.
Значит, масса одной части равна 160 г.

3. В смеси содержится 2 части ирисок. Чтобы найти их общую массу, умножим массу одной части на количество частей ирисок:
$160 \text{ г} \times 2 = 320 \text{ г}$.

Ответ: в смеси 320 г ирисок.

Умею применять способ решения задачи на уравнивание.

7. В двух аквариумах 205 л воды. В одном из них на 35 л воды больше, чем в другом. Сколько литров воды в каждом аквариуме?

Для решения задачи воспользуемся методом уравнивания. Согласно условию, в одном аквариуме на 35 литров воды больше, чем в другом. Если мысленно убрать эту разницу, то количество воды в обоих аквариумах станет равным.

1. Узнаем, сколько всего было бы воды, если бы в обоих аквариумах было поровну (столько же, сколько в меньшем). для этого вычтем из общего объема разницу:

$205 - 35 = 170$ (л)

2. Полученное количество (170 л) — это удвоенный объем воды в меньшем аквариуме. Найдем, сколько воды в меньшем аквариуме, разделив результат на 2:

$170 \div 2 = 85$ (л)

3. Теперь мы знаем, что в меньшем аквариуме 85 литров. Чтобы найти, сколько воды в большем аквариуме, прибавим разницу обратно:

$85 + 35 = 120$ (л)

Таким образом, в одном аквариуме 85 литров воды, а в другом — 120 литров. Проверим: $85 + 120 = 205$ литров, что соответствует общему объему. Разница: $120 - 85 = 35$ литров, что также соответствует условию задачи.

Ответ: в одном аквариуме 85 литров воды, а в другом 120 литров.