Страница 90 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Прочитайте и решите по предложенному плану задачу:

«Братья Костя и Саша собирают марки. Всего в их коллекции 90 марок, причём у Саши марок в 5 раз больше, чем у Кости. Сколько марок у Саши?»

Решение.

1) Примем число марок в коллекции Кости за 1 часть. Сколько частей составляют марки Саши?

Костя

Саша

90 марок

2) Сколько всего частей составляют 90 марок (рис. 4.6)?

Рис. 4.6

3) Сколько марок приходится на 1 часть?

4) Сколько марок у Саши?

1) Примем число марок в коллекции Кости за 1 часть. Сколько частей составляют марки Саши?

Согласно условию задачи, у Саши в 5 раз больше марок, чем у Кости. Если количество марок Кости составляет 1 часть, то количество марок Саши будет в 5 раз больше, то есть 5 частей.

$1 \times 5 = 5$ (частей) – составляют марки Саши.

Ответ: 5 частей.

2) Сколько всего частей составляют 90 марок (рис. 4.6)?

Чтобы найти общее количество частей, нужно сложить части, которые приходятся на марки Кости и марки Саши.

$1 + 5 = 6$ (частей) – составляют все марки в коллекции.

Ответ: 6 частей.

3) Сколько марок приходится на 1 часть?

Всего в коллекции 90 марок, которые соответствуют 6 равным частям. Чтобы узнать, сколько марок в одной части, нужно общее количество марок разделить на общее число частей.

$90 / 6 = 15$ (марок) – приходится на 1 часть (это количество марок у Кости).

Ответ: 15 марок.

4) Сколько марок у Саши?

У Саши 5 частей, и мы выяснили, что в каждой части по 15 марок. Чтобы найти общее количество марок у Саши, нужно умножить количество марок в одной части на количество его частей.

$15 \times 5 = 75$ (марок) – у Саши.

Ответ: 75 марок.

на 1 часть?

Придумайте по рисунку 4.7 задачу на части и решите её.

Расскажите план решения этой задачи.

Всего 60

Рис. 4.7

Условие задачи

У двух коллекционеров, Саши и Маши, вместе 60 марок. Количество марок у Саши составляет 2 части, а у Маши — 3 такие же части. Сколько марок у каждого коллекционера?

План решения задачи

1. Найти, сколько всего равных частей составляют все марки. Для этого нужно сложить части Саши и Маши.
2. Определить, сколько марок приходится на одну часть. Для этого общее количество марок нужно разделить на общее количество частей.
3. Найти, сколько марок у Саши, умножив количество марок в одной части на количество его частей.
4. Найти, сколько марок у Маши, умножив количество марок в одной части на количество её частей.
5. Сделать проверку: сложить полученное количество марок Саши и Маши. Сумма должна равняться 60.

Решение

1) Сначала найдем общее количество равных частей:
$2 + 3 = 5$ (частей) — составляют все марки.

2) Теперь определим, сколько марок содержится в одной части:
$60 / 5 = 12$ (марок) — в одной части.

3) Рассчитаем количество марок у Саши:
$12 * 2 = 24$ (марки) — у Саши.

4) Рассчитаем количество марок у Маши:
$12 * 3 = 36$ (марок) — у Маши.

Проверка: $24 + 36 = 60$. Решение верное.

Ответ: у Саши 24 марки, у Маши 36 марок.

4.32 Для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахару.

а) Сколько сахару следует взять для 1 кг ягод?

б) Сколько килограммов вишни было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахару?

По условию задачи, для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Это означает, что отношение массы ягод к массе сахара является постоянной величиной и равно $2:3$.

а) Сколько сахару следует взять для 1 кг ягод?

Пусть $x$ — это искомая масса сахара в килограммах. Составим пропорцию на основе заданного соотношения:

$ \frac{масса \space ягод}{масса \space сахара} = \frac{2}{3} $

Подставим известные значения:

$ \frac{1 \space кг}{x \space кг} = \frac{2}{3} $

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 2 \cdot x = 1 \cdot 3 $

$ 2x = 3 $

$ x = \frac{3}{2} $

$ x = 1.5 $

Таким образом, для 1 кг ягод нужно взять 1,5 кг сахара.

Ответ: для 1 кг ягод следует взять 1,5 кг сахара.

б) Сколько килограммов вишни было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахару?

Сначала переведем массу сахара в килограммы для удобства расчетов: 4 кг 500 г = 4,5 кг.

Пусть $y$ — это масса вишни, которая была у мамы. Составим аналогичную пропорцию:

$ \frac{масса \space ягод}{масса \space сахара} = \frac{2}{3} $

Подставим известные значения:

$ \frac{y \space кг}{4.5 \space кг} = \frac{2}{3} $

Решим уравнение относительно $y$:

$ 3 \cdot y = 4.5 \cdot 2 $

$ 3y = 9 $

$ y = \frac{9}{3} $

$ y = 3 $

Следовательно, у мамы было 3 кг вишни.

Ответ: у мамы было 3 кг вишни.

4.33 а) Для компота купили 1 кг 800 г смеси сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части и сливы – 2 части от общей массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности?

б) Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг смеси?

в) Ежемесячно для закупки хозяйственных и канцелярских товаров фирма выделяет некоторую сумму денег. На приобретение хозяйственных товаров тратится 1 часть этой суммы, канцелярских – 3 части. Найдите распределение денег в сентябре, когда фирма выделила 36 тыс. р.

а)

1. Сначала переведем общую массу смеси сухофруктов в граммы, так как вопрос требует ответа в граммах:
1 кг 800 г = $1 \times 1000$ г + 800 г = 1800 г.

2. Найдем общее количество частей в смеси. Смесь состоит из яблок (4 части), груш (3 части) и слив (2 части):
$4 + 3 + 2 = 9$ (частей)

3. Теперь определим, сколько граммов приходится на одну часть. Для этого разделим общую массу на общее количество частей:
$1800 \text{ г} \div 9 = 200$ (г) — масса одной части.

4. Рассчитаем массу каждого вида сухофруктов, умножив количество их частей на массу одной части:
Масса яблок: $4 \times 200 = 800$ г.
Масса груш: $3 \times 200 = 600$ г.
Масса слив: $2 \times 200 = 400$ г.

Проверка: $800 + 600 + 400 = 1800$ г, что соответствует общей массе смеси.

Ответ: было 800 г яблок, 600 г груш и 400 г слив.

б)

1. Найдем общее количество частей в смеси песка (3 части) и цемента (2 части):
$3 + 2 = 5$ (частей)

2. Определим, какая масса приходится на одну часть. Общая масса смеси — 30 кг:
$30 \text{ кг} \div 5 = 6$ (кг) — масса одной части.

3. Рассчитаем массу песка и цемента в отдельности:
Масса песка: $3 \times 6 = 18$ кг.
Масса цемента: $2 \times 6 = 12$ кг.

Проверка: $18 + 12 = 30$ кг, что соответствует требуемой массе смеси.

Ответ: надо взять 18 кг песка и 12 кг цемента.

в)

1. Определим общее количество частей, на которые распределяется сумма. На хозяйственные товары приходится 1 часть, на канцелярские — 3 части:
$1 + 3 = 4$ (части)

2. Найдем, какая сумма денег приходится на одну часть. Общая сумма — 36 тыс. р.:
$36 \text{ тыс. р.} \div 4 = 9$ тыс. р. — составляет одна часть.

3. Рассчитаем сумму, выделенную на каждую категорию товаров:
На хозяйственные товары: $1 \times 9 = 9$ тыс. р.
На канцелярские товары: $3 \times 9 = 27$ тыс. р.

Проверка: $9 + 27 = 36$ тыс. р., что соответствует общей выделенной сумме.

Ответ: на хозяйственные товары было потрачено 9 тыс. р., на канцелярские — 27 тыс. р.