Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.6 Слесарь обработал 6 деталей.

Первую деталь он обрабатывал 23 мин, а каждую следующую — на 2 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

Для решения этой задачи можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии. Время, которое слесарь тратит на обработку каждой детали, образует последовательность чисел, где каждое следующее число на 2 меньше предыдущего.

Основные параметры задачи:
$a_1$ — время обработки первой детали, равно 23 минутам.
$d$ — разность арифметической прогрессии. Так как время каждый раз уменьшается на 2 минуты, $d = -2$.
$n$ — количество деталей, равно 6.

Нам нужно найти сумму первых $n$ членов этой прогрессии ($S_n$), что будет соответствовать общему времени обработки всех деталей.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:
$S_6 = \frac{2 \cdot 23 + (-2)(6-1)}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{46 - 2 \cdot 5}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{46 - 10}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{36}{2} \cdot 6$
$S_6 = 18 \cdot 6$
$S_6 = 108$

Также можно найти ответ, вычислив время для каждой детали и сложив их:
1-я деталь: 23 мин
2-я деталь: $23 - 2 = 21$ мин
3-я деталь: $21 - 2 = 19$ мин
4-я деталь: $19 - 2 = 17$ мин
5-я деталь: $17 - 2 = 15$ мин
6-я деталь: $15 - 2 = 13$ мин
Общее время: $23 + 21 + 19 + 17 + 15 + 13 = 108$ минут.

Ответ: 108 минут.

4.7 Известно, что $b + c = 21$. Чему равно значение каждого выражения:

а) $c + (b + 3)$, $c + (b + 6)$, $c + (b + 9)$;

б) $(c + 5) + b$, $(c + 10) + b$, $(c + 15) + b$?

По условию задачи известно, что $b + c = 21$. Для нахождения значений выражений мы будем использовать переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые $b$ и $c$.

а)

Найдем значение выражения $c + (b + 3)$.
$c + (b + 3) = (c + b) + 3$
Так как $b + c = 21$, то и $c + b = 21$.
$21 + 3 = 24$.

Найдем значение выражения $c + (b + 6)$.
$c + (b + 6) = (c + b) + 6 = 21 + 6 = 27$.

Найдем значение выражения $c + (b + 9)$.
$c + (b + 9) = (c + b) + 9 = 21 + 9 = 30$.

Ответ: 24, 27, 30.

б)

Найдем значение выражения $(c + 5) + b$.
$(c + 5) + b = (c + b) + 5$
Подставим известное значение $c + b = 21$:
$21 + 5 = 26$.

Найдем значение выражения $(c + 10) + b$.
$(c + 10) + b = (c + b) + 10 = 21 + 10 = 31$.

Найдем значение выражения $(c + 15) + b$.
$(c + 15) + b = (c + b) + 15 = 21 + 15 = 36$.

Ответ: 26, 31, 36.

4.8 Известно, что $x \cdot y = 12$. Чему равно значение выражения:

а) $x \cdot (y \cdot 5);$

б) $(x \cdot 2) \cdot y;$

в) $y \cdot (x \cdot 10);$

г) $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)?$

Для решения этой задачи мы воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, а также исходным условием $x \cdot y = 12$.

а) $x \cdot (y \cdot 5)$

Согласно сочетательному свойству умножения, мы можем изменить порядок действий: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$.

$x \cdot (y \cdot 5) = (x \cdot y) \cdot 5$

Подставим известное значение $x \cdot y = 12$:

$12 \cdot 5 = 60$

Ответ: 60

б) $(x \cdot 2) \cdot y$

Используя сочетательное и переместительное свойства, сгруппируем $x$ и $y$:

$(x \cdot 2) \cdot y = (x \cdot y) \cdot 2$

Подставим известное значение $x \cdot y = 12$:

$12 \cdot 2 = 24$

Ответ: 24

в) $y \cdot (x \cdot 10)$

Сначала применим сочетательное свойство, а затем переместительное ($y \cdot x = x \cdot y$):

$y \cdot (x \cdot 10) = (y \cdot x) \cdot 10 = (x \cdot y) \cdot 10$

Подставим известное значение $x \cdot y = 12$:

$12 \cdot 10 = 120$

Ответ: 120

г) $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)$

Раскроем скобки и перегруппируем множители, используя оба свойства умножения:

$(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3) = y \cdot 2 \cdot x \cdot 3 = (y \cdot x) \cdot (2 \cdot 3)$

Мы знаем, что $y \cdot x = x \cdot y = 12$ и $2 \cdot 3 = 6$. Подставим эти значения в выражение:

$12 \cdot 6 = 72$

Ответ: 72

4.9 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ

1) Возведём в квадрат число, оканчивающееся одним нулём, например число 120:

$120^2 = (12 \cdot 10)^2 = (12 \cdot 10) \cdot (12 \cdot 10) = (12 \cdot 12) \cdot (10 \cdot 10) = 12^2 \cdot 100 = 14400.$

Вы видите, что результат можно получить так: возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля. $120^2 = 12^2 \cdot 100 = 14400.$

Пользуясь таким приёмом, вычислите:

а) $80^2$; б) $110^2$; в) $170^2$; г) $250^2$.

2) Найдите сами короткий способ возведения в квадрат числа, оканчивающегося двумя нулями, например числа 600.

Вычислите: а) $1200^2$; б) $1500^2$.

1) Пользуясь предложенным приёмом (возвести в квадрат число без нуля и приписать к результату два нуля), вычислим:

а) Для числа $80$ возводим в квадрат $8$ и приписываем два нуля.
$80^2 = (8 \cdot 10)^2 = 8^2 \cdot 10^2 = 64 \cdot 100 = 6400$.
Ответ: 6400.

б) Для числа $110$ возводим в квадрат $11$ и приписываем два нуля.
$110^2 = (11 \cdot 10)^2 = 11^2 \cdot 10^2 = 121 \cdot 100 = 12100$.
Ответ: 12100.

в) Для числа $170$ возводим в квадрат $17$ и приписываем два нуля.
$170^2 = (17 \cdot 10)^2 = 17^2 \cdot 10^2 = 289 \cdot 100 = 28900$.
Ответ: 28900.

г) Для числа $250$ возводим в квадрат $25$ и приписываем два нуля.
$250^2 = (25 \cdot 10)^2 = 25^2 \cdot 10^2 = 625 \cdot 100 = 62500$.
Ответ: 62500.

2) Самый короткий способ возведения в квадрат числа, оканчивающегося двумя нулями, основан на свойстве степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Число, оканчивающееся двумя нулями, можно представить как произведение некоторого числа на 100. Например, $600 = 6 \cdot 100$. Тогда его квадрат будет равен:
$600^2 = (6 \cdot 100)^2 = 6^2 \cdot 100^2 = 36 \cdot 10000 = 360000$.
Таким образом, алгоритм следующий: нужно возвести в квадрат число без последних двух нулей и к результату приписать четыре нуля.

Вычислим, используя этот способ:

а) $1200^2 = (12 \cdot 100)^2 = 12^2 \cdot 100^2 = 144 \cdot 10000 = 1440000$.
Ответ: 1440000.

б) $1500^2 = (15 \cdot 100)^2 = 15^2 \cdot 100^2 = 225 \cdot 10000 = 2250000$.
Ответ: 2250000.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (4.10–4.11)

4.10 Преобразуйте произведение и вычислите его значение:

а) $75 \cdot 14 \cdot 18$;

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35$.

Для упрощения вычислений преобразуем произведение, сгруппировав множители удобным образом. Разложим числа на множители, чтобы найти комбинации, дающие «круглые» числа (например, 100).

$75 \cdot 14 \cdot 18 = (3 \cdot 25) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9)$

Теперь перегруппируем множители так, чтобы получить произведение $25 \cdot 4$:

$(25 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 9) = (25 \cdot 4) \cdot (21 \cdot 9)$

Выполним вычисления в каждой из групп:

$25 \cdot 4 = 100$

$21 \cdot 9 = 189$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$100 \cdot 189 = 18900$

Ответ: 18900

Для упрощения вычислений сгруппируем множители так, чтобы облегчить умножение. Заметим, что некоторые пары чисел в произведении дают «круглые» числа.

$16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35$

Сгруппируем множители следующим образом: $(16 \cdot 125)$ и $(4 \cdot 35)$.

$(16 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 35)$

Вычислим значение в каждой скобке. Для вычисления первого произведения удобно представить 16 как $2 \cdot 8$, так как $8 \cdot 125 = 1000$:

$16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$

Теперь вычислим второе произведение:

$4 \cdot 35 = 140$

Осталось перемножить полученные результаты:

$2000 \cdot 140 = 280000$

Ответ: 280000

4.11 При вычислении произведений помогает знание некоторых результатов. Например, $37 \cdot 3 = 111$, $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001!$ Пользуясь этими равенствами, вычислите:

a) $37 \cdot 15$;

б) $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$;

в) $26 \cdot 33 \cdot 7$;

г) $182 \cdot 66$.

а) Для вычисления $37 \cdot 15$ представим число 15 в виде произведения $3 \cdot 5$. Используя данное в условии равенство $37 \cdot 3 = 111$ и свойство ассоциативности умножения, получим:
$37 \cdot 15 = 37 \cdot (3 \cdot 5) = (37 \cdot 3) \cdot 5 = 111 \cdot 5 = 555$.
Ответ: 555.

б) Для вычисления $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ воспользуемся свойством коммутативности умножения и сгруппируем множители так, чтобы можно было применить оба данных равенства ($37 \cdot 3 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$):
$3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 111 \cdot 1001$.
Для удобства вычисления произведения $111 \cdot 1001$, представим 1001 как $1000 + 1$ и воспользуемся распределительным свойством:
$111 \cdot (1000 + 1) = 111 \cdot 1000 + 111 \cdot 1 = 111000 + 111 = 111111$.
Ответ: 111111.

в) Для вычисления $26 \cdot 33 \cdot 7$ разложим числа 26 и 33 на множители: $26 = 2 \cdot 13$ и $33 = 3 \cdot 11$. Теперь перепишем выражение:
$26 \cdot 33 \cdot 7 = (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 11) \cdot 7$.
Перегруппируем множители, чтобы использовать известное равенство $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:
$2 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 6 \cdot 1001 = 6006$.
Ответ: 6006.

г) Для вычисления $182 \cdot 66$ разложим оба числа на множители:
$182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13$.
$66 = 6 \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 11$.
Таким образом, произведение равно:
$182 \cdot 66 = (2 \cdot 7 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11)$.
Перегруппируем множители, чтобы выделить произведение $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:
$(2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 12 \cdot 1001 = 12012$.
Ответ: 12012.

4.12 Вычислите сумму, используя «приём Гаусса»:

а) $21 + 22 + 23 + \dots + 30;$

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100;$

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3.$

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в следующем: сумма пар членов, равноотстоящих от концов последовательности, одинакова. Общая сумма находится умножением этой парной суммы на количество пар. Формула суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ является обобщением этого приёма, где $(a_1 + a_n)$ — это сумма первой пары, а $n/2$ — количество пар.

а) $21 + 22 + 23 + \dots + 30$

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 21$, последний член $a_n = 30$ и разность $d = 1$.

1. Сначала найдем количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$30 = 21 + (n-1) \cdot 1$
$30 - 21 = n - 1$
$9 = n - 1$
$n = 10$.

2. Теперь применим «приём Гаусса». Сложим первый и последний члены: $21 + 30 = 51$. Сложим второй и предпоследний члены: $22 + 29 = 51$. Сумма каждой такой пары будет равна 51.

3. Так как у нас всего 10 членов, мы можем составить $10 / 2 = 5$ пар. Чтобы найти общую сумму, умножим сумму одной пары на количество пар:
Сумма $= 51 \cdot 5 = 255$.

Ответ: 255.

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$, последним членом $a_n = 100$ и разностью $d = 5$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$100 = 5 + (n-1) \cdot 5$
$95 = (n-1) \cdot 5$
$19 = n - 1$
$n = 20$.

2. Применим «приём Гаусса». Сумма первого и последнего членов: $5 + 100 = 105$. Сумма второго и предпоследнего членов: $10 + 95 = 105$. Сумма каждой пары равна 105.

3. Всего 20 членов, что составляет $20 / 2 = 10$ пар. Вычислим общую сумму:
Сумма $= 105 \cdot 10 = 1050$.

Ответ: 1050.

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3$

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 93$, последний член $a_n = 3$ и разность $d = 83 - 93 = -10$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$3 = 93 + (n-1) \cdot (-10)$
$3 - 93 = (n-1) \cdot (-10)$
$-90 = (n-1) \cdot (-10)$
$9 = n - 1$
$n = 10$.

2. Применим «приём Гаусса». Сумма первого и последнего членов: $93 + 3 = 96$. Сумма второго и предпоследнего членов ($83$ и $13$): $83 + 13 = 96$. Сумма каждой пары равна 96.

3. Всего 10 членов, что составляет $10 / 2 = 5$ пар. Вычислим общую сумму:
Сумма $= 96 \cdot 5 = 480$.

Ответ: 480.

4.13 Исследуем

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:
a) сумму первых десяти нечётных чисел;
б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

1)

Проверим представленные равенства:

• $1 + 3 = 4$, а $2^2 = 4$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 = 9$, а $3^2 = 9$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16$, а $4^2 = 16$. Равенство верно.

Эти равенства показывают закономерность: сумма первых $n$ последовательных нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Например, в первом равенстве мы складываем два ($n=2$) нечётных числа, и сумма равна $2^2$. Во втором – три ($n=3$) нечётных числа, и сумма равна $3^2$. В третьем – четыре ($n=4$) нечётных числа, и сумма равна $4^2$.

Приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел, начиная с 1, заключается в том, чтобы подсчитать количество слагаемых и возвести это количество в квадрат.

Следующее равенство в этой последовательности будет для суммы первых пяти нечётных чисел:

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$

Проверим его с помощью вычислений:

Левая часть: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.

Правая часть: $5^2 = 25$.

Равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма первых $n$ нечётных чисел равна $n^2$. Следующее равенство: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

Мы ищем сумму первых 10 нечётных чисел. Здесь количество слагаемых $n=10$.

Используя рассмотренный приём, сумма будет равна:

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

Сначала необходимо определить, сколько нечётных чисел находится в диапазоне от 1 до 99. Для этого можно использовать формулу $n$-го нечётного числа: $a_n = 2n - 1$.

Найдём, каким по счёту является число 99:

$2n - 1 = 99$

$2n = 100$

$n = 50$

Таким образом, нам нужно найти сумму первых 50 нечётных чисел.

Используя тот же приём, получаем:

$50^2 = 2500$

Ответ: 2500.