Номер 4.12, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 4.12, страница 84.

4.12 Вычислите сумму, используя «приём Гаусса»:

а) $21 + 22 + 23 + \dots + 30;$

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100;$

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3.$

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в следующем: сумма пар членов, равноотстоящих от концов последовательности, одинакова. Общая сумма находится умножением этой парной суммы на количество пар. Формула суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ является обобщением этого приёма, где $(a_1 + a_n)$ — это сумма первой пары, а $n/2$ — количество пар.

а) $21 + 22 + 23 + \dots + 30$

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 21$, последний член $a_n = 30$ и разность $d = 1$.

1. Сначала найдем количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$30 = 21 + (n-1) \cdot 1$
$30 - 21 = n - 1$
$9 = n - 1$
$n = 10$.

2. Теперь применим «приём Гаусса». Сложим первый и последний члены: $21 + 30 = 51$. Сложим второй и предпоследний члены: $22 + 29 = 51$. Сумма каждой такой пары будет равна 51.

3. Так как у нас всего 10 членов, мы можем составить $10 / 2 = 5$ пар. Чтобы найти общую сумму, умножим сумму одной пары на количество пар:
Сумма $= 51 \cdot 5 = 255$.

Ответ: 255.

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$, последним членом $a_n = 100$ и разностью $d = 5$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$100 = 5 + (n-1) \cdot 5$
$95 = (n-1) \cdot 5$
$19 = n - 1$
$n = 20$.

2. Применим «приём Гаусса». Сумма первого и последнего членов: $5 + 100 = 105$. Сумма второго и предпоследнего членов: $10 + 95 = 105$. Сумма каждой пары равна 105.

3. Всего 20 членов, что составляет $20 / 2 = 10$ пар. Вычислим общую сумму:
Сумма $= 105 \cdot 10 = 1050$.

Ответ: 1050.

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3$

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 93$, последний член $a_n = 3$ и разность $d = 83 - 93 = -10$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$3 = 93 + (n-1) \cdot (-10)$
$3 - 93 = (n-1) \cdot (-10)$
$-90 = (n-1) \cdot (-10)$
$9 = n - 1$
$n = 10$.

2. Применим «приём Гаусса». Сумма первого и последнего членов: $93 + 3 = 96$. Сумма второго и предпоследнего членов ($83$ и $13$): $83 + 13 = 96$. Сумма каждой пары равна 96.

3. Всего 10 членов, что составляет $10 / 2 = 5$ пар. Вычислим общую сумму:
Сумма $= 96 \cdot 5 = 480$.

Ответ: 480.