Номер 4.11, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 4.11, страница 84.

4.11 При вычислении произведений помогает знание некоторых результатов. Например, $37 \cdot 3 = 111$, $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001!$ Пользуясь этими равенствами, вычислите:

a) $37 \cdot 15$;

б) $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$;

в) $26 \cdot 33 \cdot 7$;

г) $182 \cdot 66$.

а) Для вычисления $37 \cdot 15$ представим число 15 в виде произведения $3 \cdot 5$. Используя данное в условии равенство $37 \cdot 3 = 111$ и свойство ассоциативности умножения, получим:
$37 \cdot 15 = 37 \cdot (3 \cdot 5) = (37 \cdot 3) \cdot 5 = 111 \cdot 5 = 555$.
Ответ: 555.

б) Для вычисления $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ воспользуемся свойством коммутативности умножения и сгруппируем множители так, чтобы можно было применить оба данных равенства ($37 \cdot 3 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$):
$3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 111 \cdot 1001$.
Для удобства вычисления произведения $111 \cdot 1001$, представим 1001 как $1000 + 1$ и воспользуемся распределительным свойством:
$111 \cdot (1000 + 1) = 111 \cdot 1000 + 111 \cdot 1 = 111000 + 111 = 111111$.
Ответ: 111111.

в) Для вычисления $26 \cdot 33 \cdot 7$ разложим числа 26 и 33 на множители: $26 = 2 \cdot 13$ и $33 = 3 \cdot 11$. Теперь перепишем выражение:
$26 \cdot 33 \cdot 7 = (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 11) \cdot 7$.
Перегруппируем множители, чтобы использовать известное равенство $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:
$2 \cdot 3 \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 6 \cdot 1001 = 6006$.
Ответ: 6006.

г) Для вычисления $182 \cdot 66$ разложим оба числа на множители:
$182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13$.
$66 = 6 \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 11$.
Таким образом, произведение равно:
$182 \cdot 66 = (2 \cdot 7 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11)$.
Перегруппируем множители, чтобы выделить произведение $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$:
$(2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 12 \cdot 1001 = 12012$.
Ответ: 12012.