Номер 4.13, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях. 4.1. Свойства сложения и умножения. Упражнения - номер 4.13, страница 84.

Условие.

4.13 Исследуем

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:
a) сумму первых десяти нечётных чисел;
б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Проверим представленные равенства:

• $1 + 3 = 4$, а $2^2 = 4$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 = 9$, а $3^2 = 9$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16$, а $4^2 = 16$. Равенство верно.

Эти равенства показывают закономерность: сумма первых $n$ последовательных нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Например, в первом равенстве мы складываем два ($n=2$) нечётных числа, и сумма равна $2^2$. Во втором – три ($n=3$) нечётных числа, и сумма равна $3^2$. В третьем – четыре ($n=4$) нечётных числа, и сумма равна $4^2$.

Приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел, начиная с 1, заключается в том, чтобы подсчитать количество слагаемых и возвести это количество в квадрат.

Следующее равенство в этой последовательности будет для суммы первых пяти нечётных чисел:

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$

Проверим его с помощью вычислений:

Левая часть: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.

Правая часть: $5^2 = 25$.

Равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма первых $n$ нечётных чисел равна $n^2$. Следующее равенство: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

Мы ищем сумму первых 10 нечётных чисел. Здесь количество слагаемых $n=10$.

Используя рассмотренный приём, сумма будет равна:

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

Сначала необходимо определить, сколько нечётных чисел находится в диапазоне от 1 до 99. Для этого можно использовать формулу $n$-го нечётного числа: $a_n = 2n - 1$.

Найдём, каким по счёту является число 99:

$2n - 1 = 99$

$2n = 100$

$n = 50$

Таким образом, нам нужно найти сумму первых 50 нечётных чисел.

Используя тот же приём, получаем:

$50^2 = 2500$

Ответ: 2500.