Страница 82 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сформулируйте словами и запишите с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Проверьте себя по учебному пособию.

Переместительное свойство сложения

Словесная формулировка: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Буквенная запись: для любых чисел a и b верно равенство $a + b = b + a$.

Ответ: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, что записывается формулой $a + b = b + a$.

Сочетательное свойство сложения

Словесная формулировка: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Буквенная запись: для любых чисел a, b и c верно равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел, что записывается формулой $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Переместительное свойство умножения

Словесная формулировка: от перемены мест множителей произведение не меняется.

Буквенная запись: для любых чисел a и b верно равенство $a \cdot b = b \cdot a$.

Ответ: от перемены мест множителей произведение не меняется, что записывается формулой $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное свойство умножения

Словесная формулировка: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Буквенная запись: для любых чисел a, b и c верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел, что записывается формулой $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Объясните, как выполнено преобразование выражения:

а) $12 + (18 + 9) = (12 + 18) + 9;$

б) $16 + (57 + 4) = 16 + (4 + 57) = (16 + 4) + 57;$

в) $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7;$

г) $(25 \cdot 9) \cdot 4 = (9 \cdot 25) \cdot 4 = 9 \cdot (25 \cdot 4).$

а) В выражении $12 + (18 + 9) = (12 + 18) + 9$ применено сочетательное свойство сложения. Оно гласит, что для сложения трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Формула свойства: $a + (b + c) = (a + b) + c$. В данном примере скобки перенесли, чтобы сгруппировать числа $12$ и $18$.

Ответ: использовано сочетательное свойство сложения.

б) Преобразование $16 + (57 + 4) = 16 + (4 + 57) = (16 + 4) + 57$ выполнено в два шага:

1. Сначала в скобках поменяли местами слагаемые $57$ и $4$, получив $16 + (4 + 57)$. Это сделано на основе переместительного свойства сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$).

2. Затем изменили группировку слагаемых: $16 + (4 + 57)$ стало $(16 + 4) + 57$. Это применение сочетательного свойства сложения ($a + (b + c) = (a + b) + c$).

Эти преобразования выполнены для удобства вычислений, так как $16 + 4 = 20$.

Ответ: использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.

в) Преобразование $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7$ выполнено с использованием свойств умножения:

1. Сначала поменяли местами множители в скобках ($7 \cdot 2$ на $2 \cdot 7$) на основе переместительного свойства умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).

2. Затем применили сочетательное свойство умножения ($a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$), чтобы сгруппировать $15$ и $2$.

Цель преобразования — упростить вычисления, получив $15 \cdot 2 = 30$.

Ответ: использованы переместительное и сочетательное свойства умножения.

г) В выражении $(25 \cdot 9) \cdot 4 = (9 \cdot 25) \cdot 4 = 9 \cdot (25 \cdot 4)$ также последовательно применены два свойства умножения:

1. Внутри скобок множители $25$ и $9$ поменяли местами, используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).

2. Затем изменили группировку множителей с помощью сочетательного свойства умножения ($a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$), чтобы объединить $25$ и $4$.

Это сделано для упрощения расчета, так как $25 \cdot 4 = 100$.

Ответ: использованы переместительное и сочетательное свойства умножения.

Вычислите сумму $(3 + 49) + (17 + 11)$, сгруппировав слагаемые иначе.

Для вычисления суммы $(3 + 49) + (17 + 11)$ необходимо сгруппировать слагаемые иначе. Это можно сделать, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.

Переместительное свойство сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Сочетательное свойство гласит, что результат сложения нескольких чисел не зависит от порядка, в котором они складываются ($(a + b) + c = a + (b + c)$).

Сначала раскроем скобки в исходном выражении:
$(3 + 49) + (17 + 11) = 3 + 49 + 17 + 11$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы вычисления были проще. Удобнее всего сгруппировать числа, которые в сумме дают круглое число (заканчивающееся на 0). Сгруппируем 3 с 17 и 49 с 11:
$(3 + 17) + (49 + 11)$

Выполним сложение в каждой паре скобок:
1) $3 + 17 = 20$
2) $49 + 11 = 60$

Теперь сложим полученные результаты:
$20 + 60 = 80$

Ответ: 80

Измените группировку множителей в произведении $2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3$ и вычислите результат.

Исходное произведение: $2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3$.

Согласно сочетательному (ассоциативному) и переместительному (коммутативному) свойствам умножения, мы можем изменять порядок и группировку множителей, при этом результат произведения не изменится. Это позволяет нам выбрать наиболее удобный порядок вычислений.

Сгруппируем множители так, чтобы вычисления были проще. Например, удобно умножить 2 на 5, так как в результате получится круглое число 10.

Изменим группировку следующим образом:

$2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3 = (2 \cdot 5) \cdot (9 \cdot 3)$

Теперь вычислим результат по шагам:

1. Вычислим произведение в первой скобке: $2 \cdot 5 = 10$.

2. Вычислим произведение во второй скобке: $9 \cdot 3 = 27$.

3. Перемножим полученные результаты: $10 \cdot 27 = 270$.

Таким образом, изменив группировку множителей, мы упростили вычисление и получили результат.

Ответ: 270.