Страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Умею записывать математические выражения.

6. Запишите выражение и найдите его значение:

а) произведение суммы чисел 12 и 18 на число 25;

Выражение: $(12 + 18) \times 25$

Значение: $(12 + 18) \times 25 = 30 \times 25 = 750$

б) сумма числа 120 и частного чисел 60 и 4.

Выражение: $120 + 60 \div 4$

Значение: $120 + 60 \div 4 = 120 + 15 = 135$

а) произведение суммы чисел 12 и 18 на число 25;

Сначала запишем данное условие в виде математического выражения. "Сумма чисел 12 и 18" записывается как $(12 + 18)$. "Произведение" этой суммы на число 25 означает, что результат сложения нужно умножить на 25. Скобки в данном случае необходимы, чтобы показать, что операция сложения выполняется первой.

Выражение: $(12 + 18) \cdot 25$.

Теперь найдем значение этого выражения, следуя порядку выполнения математических операций. Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.

1. Вычислим сумму в скобках: $12 + 18 = 30$.

2. Умножим полученный результат на 25: $30 \cdot 25 = 750$.

Таким образом, полное вычисление выглядит так: $(12 + 18) \cdot 25 = 30 \cdot 25 = 750$.

Ответ: 750.

б) сумма числа 120 и частного чисел 60 и 4.

Запишем условие в виде математического выражения. "Частное чисел 60 и 4" записывается как $60 : 4$. "Сумма" числа 120 и этого частного означает, что к 120 нужно прибавить результат деления.

Выражение: $120 + 60 : 4$.

Теперь найдем значение этого выражения. Согласно правилам порядка выполнения действий, сначала выполняется деление, а затем сложение. Поэтому скобки в этом выражении не требуются.

1. Вычислим частное (выполним деление): $60 : 4 = 15$.

2. Прибавим полученный результат к 120 (выполним сложение): $120 + 15 = 135$.

Таким образом, полное вычисление выглядит так: $120 + 60 : 4 = 120 + 15 = 135$.

Ответ: 135.

Знаю, что означают такие записи, как $5^3$, умею находить квадраты и кубы чисел.

7. Как называют выражение $5^4$ и что оно означает? Запишите в виде степени:

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Как называют выражение $5^4$ и что оно означает?

Выражение вида $5^4$ называют степенью. В этой записи число 5 — это основание степени, а число 4 — показатель степени.
Основание степени — это число, которое умножается само на себя.
Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя.
Таким образом, выражение $5^4$ означает, что число 5 нужно умножить само на себя 4 раза. Это произведение четырех множителей, каждый из которых равен 5.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Ответ: Выражение $5^4$ называют степенью, где 5 — основание, а 4 — показатель. Оно означает произведение четырех множителей, каждый из которых равен 5.

Запишите в виде степени: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

Чтобы представить произведение одинаковых множителей в виде степени, нужно определить основание и показатель.
Основанием степени является повторяющийся множитель. В данном случае это число 3.
Показателем степени является количество этих множителей. В произведении $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ число 3 встречается 7 раз.
Следовательно, данное произведение можно записать в виде степени как $3^7$.

Ответ: $3^7$.

8. Вычислите: $12^2$; $30^3$.

$12^2$

Возведение в квадрат (во вторую степень) означает умножение числа само на себя.

$12^2 = 12 \cdot 12$

Выполним умножение столбиком или в уме:

$12 \cdot 12 = 144$

Ответ: 144

$30^3$

Возведение в куб (в третью степень) означает, что число нужно умножить само на себя три раза.

$30^3 = 30 \cdot 30 \cdot 30$

Выполним вычисление пошагово:

1. Сначала умножим первые два множителя:

$30 \cdot 30 = 900$

2. Затем результат умножим на третий множитель:

$900 \cdot 30 = 27000$

Таким образом, $30^3 = 27000$.

Ответ: 27000

Умею определять порядок действий и находить значения выражений, содержащих несколько разных действий.

9. Найти значение выражения:

а) $39 \cdot (641 - 5720 : 13)$;

б) $5 \cdot 10^3$;

в) $(15 + 9)^2$.

а) $39 \cdot (641 - 5720 : 13)$

Согласно порядку выполнения действий, в первую очередь выполняются действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняется деление, а затем вычитание. Последним действием будет умножение.

1. Выполним деление в скобках:

$5720 : 13 = 440$

2. Выполним вычитание в скобках:

$641 - 440 = 201$

3. Выполним умножение:

$39 \cdot 201 = 7839$

Ответ: 7839

б) $5 \cdot 10^3$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возведем 10 в третью степень:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

2. Выполним умножение:

$5 \cdot 1000 = 5000$

Ответ: 5000

в) $(15 + 9)^2$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Найдем сумму в скобках:

$15 + 9 = 24$

2. Возведем полученный результат в квадрат:

$24^2 = 24 \cdot 24 = 576$

Ответ: 576

Умею решать задачи на движение.

Решите задачу (10–11):

10. Два автомобиля едут навстречу друг другу. Скорость одного из них 70 км/ч, другого – 80 км/ч. Сейчас между ними 450 км.

a) Через сколько часов они встретятся?

б) Если после встречи каждый продолжит движение в том же направлении, то через сколько часов после встречи расстояние между ними станет равным 300 км?

а)

Чтобы найти время, через которое автомобили встретятся, необходимо вычислить их скорость сближения. Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения автомобилей, сложив их скорости:

$v_{сбл} = 70 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$

2. Зная, что начальное расстояние между ними составляет 450 км, найдем время до встречи. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{450 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

Ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

б)

После встречи автомобили продолжат движение в своих первоначальных направлениях, но теперь они будут удаляться друг от друга. Скорость, с которой они удаляются, равна сумме их скоростей (так же, как и скорость сближения).

1. Скорость удаления автомобилей равна:

$v_{уд} = 70 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 150 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем время, через которое расстояние между ними станет равным 300 км. Для этого разделим это расстояние на скорость удаления:

$t' = \frac{S'}{v_{уд}} = \frac{300 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$

Ответ: через 2 часа после встречи расстояние между ними станет равным 300 км.

11. Собственная скорость лодки $8 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. Какое расстояние проплывёт лодка за $2 \text{ ч}$ против течения реки; за $4 \text{ ч}$ по течению реки?

Для решения этой задачи необходимо вычислить скорость лодки по течению и против течения, а затем найти расстояние для каждого случая, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, а $t$ - время.

Исходные данные:

Собственная скорость лодки ($v_{соб}$) = 8 км/ч.

Скорость течения реки ($v_{теч}$) = 2 км/ч.

Расстояние за 2 ч против течения реки

1. Сначала найдем скорость лодки против течения. Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения.

Формула скорости против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$.

Подставляем значения: $v_{против} = 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$.

2. Теперь рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 2 часа с этой скоростью.

$S_{против} = v_{против} \cdot t = 6 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 12 \text{ км}$.

Ответ: 12 км.

Расстояние за 4 ч по течению реки

1. Теперь найдем скорость лодки по течению. Когда лодка плывет по течению, ее скорость увеличивается на скорость течения.

Формула скорости по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$.

Подставляем значения: $v_{по} = 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 4 часа с этой скоростью.

$S_{по} = v_{по} \cdot t = 10 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.

Ответ: 40 км.

Умею решать задачи в несколько действий.

12. Токарь и ученик изготовили 222 детали. Токарь работал 12 ч и изготавливал 15 деталей в час. Сколько деталей в час изготавливал ученик, если он работал 6 ч?

Для того чтобы найти, сколько деталей в час изготавливал ученик, необходимо выполнить несколько действий.

1. Найдем, сколько всего деталей изготовил токарь за свое рабочее время.

Известно, что токарь работал 12 часов и его производительность составляла 15 деталей в час. Чтобы найти общее количество изготовленных им деталей, умножим время работы на производительность:

$12 \text{ ч} \times 15 \text{ деталей/ч} = 180 \text{ деталей}$

Таким образом, токарь изготовил 180 деталей.

2. Найдем, сколько деталей изготовил ученик.

Общее количество деталей, изготовленных токарем и учеником, равно 222. Мы уже знаем, что токарь изготовил 180 деталей. Чтобы найти количество деталей, изготовленных учеником, вычтем из общего количества детали токаря:

$222 \text{ детали} - 180 \text{ деталей} = 42 \text{ детали}$

Следовательно, ученик изготовил 42 детали.

3. Найдем производительность ученика (сколько деталей в час он изготавливал).

Ученик изготовил 42 детали за 6 часов. Чтобы найти его производительность, разделим количество изготовленных им деталей на время, которое он работал:

$42 \text{ детали} \div 6 \text{ ч} = 7 \text{ деталей/ч}$

Ответ: ученик изготавливал 7 деталей в час.