Страница 87 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Даны два выражения: $17 \cdot 5 + 18 \cdot 7$ и $12 \cdot 3 + 3 \cdot 18$.

Значение какого из них можно вычислить с помощью вынесения общего множителя за скобки? Выполните вычисления.

Значение какого из них можно вычислить с помощью вынесения общего множителя за скобки?

Для того чтобы определить, в каком из выражений можно вынести общий множитель за скобки, необходимо проанализировать слагаемые в каждом из них.

В первом выражении $17 \cdot 5 + 18 \cdot 7$ слагаемые ($17 \cdot 5$ и $18 \cdot 7$) не имеют общих числовых множителей, кроме 1. Следовательно, вынести общий множитель за скобки для упрощения вычислений в этом выражении нельзя.

Во втором выражении $12 \cdot 3 + 3 \cdot 18$ оба слагаемых ($12 \cdot 3$ и $3 \cdot 18$) содержат общий множитель 3. Значит, именно для этого выражения можно применить метод вынесения общего множителя за скобки.

Выполните вычисления.

Вычислим значение второго выражения, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$12 \cdot 3 + 3 \cdot 18 = 3 \cdot (12 + 18)$

1. Сначала выполним сложение в скобках:

$12 + 18 = 30$

2. Затем умножим полученную сумму на общий множитель:

$3 \cdot 30 = 90$

Ответ: с помощью вынесения общего множителя за скобки можно вычислить значение выражения $12 \cdot 3 + 3 \cdot 18$; его значение равно 90.

Зная, что $x + y = 10$, найдите значение выражения:

a) $7 \cdot (x + y);$

б) $x \cdot 4 + y \cdot 4;$

в) $5 \cdot x + 5 \cdot y + 6.$

По условию задачи нам дано, что $x + y = 10$. Используем это значение для нахождения значений предложенных выражений.

а)

Дано выражение $7 \cdot (x + y)$. Мы знаем, что значение суммы в скобках равно 10. Подставим это значение в выражение:

$7 \cdot (x + y) = 7 \cdot 10 = 70$.

Ответ: 70

б)

Дано выражение $x \cdot 4 + y \cdot 4$. Согласно распределительному свойству умножения, мы можем вынести общий множитель 4 за скобки:

$x \cdot 4 + y \cdot 4 = 4 \cdot (x + y)$.

Теперь подставим известное значение $x + y = 10$:

$4 \cdot (10) = 40$.

Ответ: 40

в)

Дано выражение $5 \cdot x + 5 \cdot y + 6$. Сначала сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 5 за скобки:

$(5 \cdot x + 5 \cdot y) + 6 = 5 \cdot (x + y) + 6$.

Подставим значение $x + y = 10$ в полученное выражение:

$5 \cdot (10) + 6 = 50 + 6 = 56$.

Ответ: 56

4.17 Составьте два выражения для ответа на вопрос задачи:

а) Токарь за 1 ч делает 15 деталей, а его ученик – 11 деталей. Сколько деталей сделают они за 8 ч работы?

Первое выражение: $(15 + 11) \times 8$

Второе выражение: $15 \times 8 + 11 \times 8$

б) Две копировальные машины одновременно включили на 20 мин. Первая распечатывает 6 страниц в минуту, а вторая – 8 страниц. На сколько больше страниц было распечатано на второй машине?

Первое выражение: $(8 - 6) \times 20$

Второе выражение: $8 \times 20 - 6 \times 20$

а)

Для решения этой задачи можно составить два разных числовых выражения, которые приведут к одному и тому же ответу.

Способ 1. Сначала вычислим, сколько деталей сделает каждый работник за 8 часов, а затем сложим эти два значения. Токарь сделает $15 \cdot 8$ деталей, а его ученик — $11 \cdot 8$. Общее количество деталей, которое они сделают вместе, можно найти с помощью выражения:
$15 \cdot 8 + 11 \cdot 8 = 120 + 88 = 208$ (деталей).

Способ 2. Сначала найдем их общую производительность, то есть сколько деталей они делают вместе за один час ($15 + 11$). Затем умножим эту общую производительность на количество часов работы. Выражение будет таким:
$(15 + 11) \cdot 8 = 26 \cdot 8 = 208$ (деталей).

Ответ: $15 \cdot 8 + 11 \cdot 8$ и $(15 + 11) \cdot 8$.

б)

Для ответа на вопрос этой задачи также можно составить два различных выражения.

Способ 1. Найдем, сколько страниц распечатала каждая машина за 20 минут, а затем найдем разницу. Первая машина распечатала $6 \cdot 20$ страниц, а вторая — $8 \cdot 20$ страниц. Чтобы узнать, на сколько больше страниц распечатала вторая машина, составим выражение:
$8 \cdot 20 - 6 \cdot 20 = 160 - 120 = 40$ (страниц).

Способ 2. Сначала найдем разницу в производительности машин в минуту ($8 - 6$), то есть на сколько страниц в минуту вторая машина печатает больше, чем первая. Затем умножим эту разницу на общее время работы. Выражение будет выглядеть так:
$(8 - 6) \cdot 20 = 2 \cdot 20 = 40$ (страниц).

Ответ: $8 \cdot 20 - 6 \cdot 20$ и $(8 - 6) \cdot 20$.

4.18 Придумайте задачу, решить которую можно, составив любое из выражений:

a) $(4 + 6) \cdot 2$ или $4 \cdot 2 + 6 \cdot 2$;

б) $(10 - 7) \cdot 3$ или $10 \cdot 3 - 7 \cdot 3$.

а)

Задача: В двух одинаковых букетах было по 4 ромашки и 6 васильков. Сколько всего цветов было в этих двух букетах?

Данную задачу можно решить двумя способами, которые соответствуют предложенным выражениям.

1-й способ: Сначала находим общее количество цветов в одном букете, а затем умножаем на количество букетов.

1) $4 + 6 = 10$ (цветов) - в одном букете.
2) $10 \cdot 2 = 20$ (цветов) - всего в двух букетах.

Это решение соответствует выражению $(4 + 6) \cdot 2$.

2-й способ: Сначала находим общее количество ромашек и общее количество васильков в двух букетах, а затем складываем полученные результаты.

1) $4 \cdot 2 = 8$ (ромашек) - всего в двух букетах.
2) $6 \cdot 2 = 12$ (васильков) - всего в двух букетах.
3) $8 + 12 = 20$ (цветов) - всего в двух букетах.

Это решение соответствует выражению $4 \cdot 2 + 6 \cdot 2$.

Вычислим значение выражений: $(4 + 6) \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$.

Ответ: 20 цветов.

б)

Задача: В большом зале кинотеатра 10 рядов, а в малом — 7 рядов. В каждом ряду по 3 кресла. На сколько кресел в большом зале больше, чем в малом?

Данную задачу также можно решить двумя способами.

1-й способ: Сначала находим разницу в количестве рядов между залами, а затем умножаем на количество кресел в одном ряду.

1) $10 - 7 = 3$ (ряда) - разница в количестве рядов.
2) $3 \cdot 3 = 9$ (кресел) - разница в количестве кресел.

Это решение соответствует выражению $(10 - 7) \cdot 3$.

2-й способ: Сначала находим общее количество кресел в каждом зале по отдельности, а затем находим разницу между этими значениями.

1) $10 \cdot 3 = 30$ (кресел) - в большом зале.
2) $7 \cdot 3 = 21$ (кресло) - в малом зале.
3) $30 - 21 = 9$ (кресел) - разница в количестве кресел.

Это решение соответствует выражению $10 \cdot 3 - 7 \cdot 3$.

Вычислим значение выражений: $(10 - 7) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: на 9 кресел.

4.19 Вычислите произведение с помощью распределительного свойства:

а) $98 \cdot 3$;

б) $99 \cdot 5$;

в) $196 \cdot 15$.

Образец. $97 \cdot 14 = (100 - 3) \cdot 14 = 100 \cdot 14 - 3 \cdot 14 = 1400 - 42 = 1358$.

а) Для вычисления произведения $98 \cdot 3$ с помощью распределительного свойства представим число 98 в виде разности $100 - 2$.
$98 \cdot 3 = (100 - 2) \cdot 3 = 100 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 300 - 6 = 294$.
Ответ: 294

б) Для вычисления произведения $99 \cdot 5$ с помощью распределительного свойства представим число 99 в виде разности $100 - 1$.
$99 \cdot 5 = (100 - 1) \cdot 5 = 100 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 500 - 5 = 495$.
Ответ: 495

в) Для вычисления произведения $196 \cdot 15$ с помощью распределительного свойства представим число 196 в виде разности $200 - 4$.
$196 \cdot 15 = (200 - 4) \cdot 15 = 200 \cdot 15 - 4 \cdot 15 = 3000 - 60 = 2940$.
Ответ: 2940

4.20 Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) $(30 + 56) \cdot 5$ и $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$;

б) $(19 + 4) \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$;

в) $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21$ и $(18 + 17) \cdot 6$;

г) $(14 - 7) \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$;

д) $(18 - 9) \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$;

е) $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15$ и $(23 - 4) \cdot 15$.

Для сравнения значений выражений, не выполняя полных вычислений, будем использовать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Распределительное свойство умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

а) Сравним выражения $(30 + 56) \cdot 5$ и $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения, выражение $(30 + 56) \cdot 5$ можно раскрыть как $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Таким образом, мы видим, что левое и правое выражения являются двумя разными записями одного и того же числа.

Ответ: $(30 + 56) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

б) Сравним выражения $(19 + 4) \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Раскроем скобки в первом выражении: $(19 + 4) \cdot 7 = 19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$.

Теперь сравним полученное выражение $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$ со вторым выражением $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Оба выражения имеют общее слагаемое $19 \cdot 7$. Значит, результат сравнения зависит от вторых слагаемых: $4 \cdot 7$ и $10 \cdot 7$.

Поскольку $4 < 10$, то и произведение $4 \cdot 7$ будет меньше произведения $10 \cdot 7$.

Следовательно, $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7 < 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Ответ: $(19 + 4) \cdot 7 < 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

в) Сравним выражения $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21$ и $(18 + 17) \cdot 6$.

В первом выражении вынесем общий множитель 6 за скобки: $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 = 6 \cdot (18 + 21)$.

Теперь сравним выражения $6 \cdot (18 + 21)$ и $(18 + 17) \cdot 6$.

Оба выражения представляют собой произведение числа 6 на сумму. Сравним суммы в скобках: $(18 + 21)$ и $(18 + 17)$.

Так как $21 > 17$, то $18 + 21 > 18 + 17$.

Значит, и произведение на положительное число 6 будет больше: $6 \cdot (18 + 21) > 6 \cdot (18 + 17)$.

Ответ: $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 > (18 + 17) \cdot 6$.

г) Сравним выражения $(14 - 7) \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Раскроем скобки в первом выражении: $(14 - 7) \cdot 6 = 14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Теперь сравним $14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

В обоих выражениях вычитаемое одинаково ($7 \cdot 6$). Значит, сравнение зависит от уменьшаемого. Сравним $14 \cdot 6$ и $16 \cdot 6$.

Так как $14 < 16$, то $14 \cdot 6 < 16 \cdot 6$.

Следовательно, и разность в первом случае будет меньше.

Ответ: $(14 - 7) \cdot 6 < 16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

д) Сравним выражения $(18 - 9) \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Раскроем скобки в первом выражении: $(18 - 9) \cdot 7 = 18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$.

Теперь сравним $18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Уменьшаемое в обоих выражениях одинаково ($18 \cdot 7$). Сравним вычитаемые: $9 \cdot 7$ и $11 \cdot 7$.

Так как $9 < 11$, то $9 \cdot 7 < 11 \cdot 7$.

При вычитании меньшего числа из одного и того же числа получается большая разность.

Следовательно, $18 \cdot 7 - 9 \cdot 7 > 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Ответ: $(18 - 9) \cdot 7 > 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

е) Сравним выражения $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15$ и $(23 - 4) \cdot 15$.

В первом выражении вынесем общий множитель 15 за скобки: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 = (23 - 5) \cdot 15$.

Теперь сравним $(23 - 5) \cdot 15$ и $(23 - 4) \cdot 15$.

Оба выражения являются произведением разности на число 15. Сравним разности в скобках: $23 - 5$ и $23 - 4$.

Так как $5 > 4$, то при вычитании большего числа получится меньший результат. Значит, $23 - 5 < 23 - 4$.

Следовательно, и произведение на 15 будет меньше: $(23 - 5) \cdot 15 < (23 - 4) \cdot 15$.

Ответ: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 < (23 - 4) \cdot 15$.

4.21 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Правильно ли выполнены преобразования?

Если нет, то объясните, в чём ошибка, и дайте верный ответ:

1) $38 \cdot 5 = (30 + 8) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 8;$

2) $(27 - 14) \cdot 9 = 27 \cdot 9 - 14 \cdot 9;$

3) $6 \cdot (a - b) = 6 \cdot a - 6 \cdot b;$

4) $(2 + a) \cdot 6 = 2 \cdot 6 + a \cdot 6 = 12 + 6 \cdot a;$

5) $(b + 4) \cdot 3 = b \cdot 3 + 4;$

6) $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 \cdot (4 + 7);$

7) $3 \cdot 23 - 17 \cdot 3 = 3 \cdot (23 - 17);$

8) $5 + 5 \cdot a = 5 \cdot (1 + a);$

9) $b \cdot 7 + b \cdot 9 = b \cdot (7 + 9);$

10) $4 \cdot a + 12 = 4 \cdot a + 4 \cdot 3 = 4 \cdot (a + 3).$

1) Неверно.

Ошибка заключается в неправильном применении распределительного свойства умножения относительно сложения. Согласно этому свойству, $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В данном примере множитель 5 был умножен только на первое слагаемое (30), но не на второе (8).

Верное преобразование: $38 \cdot 5 = (30 + 8) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 150 + 40 = 190$.

Ответ: Неверно.

2) Верно.

Преобразование выполнено правильно с использованием распределительного свойства умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Ответ: Верно.

3) Верно.

Преобразование выполнено правильно с использованием распределительного свойства умножения относительно вычитания: $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$.

Ответ: Верно.

4) Верно.

Преобразование выполнено правильно с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Ответ: Верно.

5) Неверно.

Ошибка аналогична ошибке в первом пункте. При применении распределительного свойства множитель 3 не был умножен на второе слагаемое (4).

Верное преобразование: $(b + 4) \cdot 3 = b \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 3b + 12$.

Ответ: Неверно.

6) Неверно.

Ошибка заключается в том, что при вынесении общего множителя 5 за скобки не было учтено первое слагаемое 5. Правая часть равенства $5 \cdot (4 + 7)$ соответствует выражению $5 \cdot 4 + 5 \cdot 7$, что не равно левой части.

Верное преобразование: $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 5 \cdot (1 + 4 + 7) = 5 \cdot 12$.

Ответ: Неверно.

7) Верно.

Преобразование выполнено правильно. Общий множитель 3 вынесен за скобки в соответствии с распределительным свойством: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

Ответ: Верно.

8) Верно.

Преобразование выполнено правильно. Первое слагаемое 5 представлено как $5 \cdot 1$, после чего общий множитель 5 вынесен за скобки: $5 \cdot 1 + 5 \cdot a = 5 \cdot (1 + a)$.

Ответ: Верно.

9) Верно.

Преобразование выполнено правильно. Общий множитель $b$ вынесен за скобки в соответствии с распределительным свойством.

Ответ: Верно.

10) Верно.

Преобразование выполнено правильно. Сначала слагаемое 12 было представлено в виде произведения $4 \cdot 3$, а затем общий множитель 4 был вынесен за скобки.

Ответ: Верно.

4.22 Найдите значения выражений, применив вынесение общего множителя за скобки:

а) $14 \cdot 4 + 16 \cdot 4$, $18 \cdot 3 + 18 \cdot 7$, $33 \cdot 7 + 7 \cdot 17$;

б) $68 \cdot 8 - 28 \cdot 8$, $74 \cdot 16 - 74 \cdot 15$, $33 \cdot 52 - 31 \cdot 52$.

а)

Для выражения $14 \cdot 4 + 16 \cdot 4$ общим множителем является 4. Вынесем его за скобки:
$14 \cdot 4 + 16 \cdot 4 = 4 \cdot (14 + 16) = 4 \cdot 30 = 120$.
Ответ: 120.

Для выражения $18 \cdot 3 + 18 \cdot 7$ общим множителем является 18. Вынесем его за скобки:
$18 \cdot 3 + 18 \cdot 7 = 18 \cdot (3 + 7) = 18 \cdot 10 = 180$.
Ответ: 180.

Для выражения $33 \cdot 7 + 7 \cdot 17$ общим множителем является 7. Вынесем его за скобки:
$33 \cdot 7 + 7 \cdot 17 = 7 \cdot (33 + 17) = 7 \cdot 50 = 350$.
Ответ: 350.

б)

Для выражения $68 \cdot 8 - 28 \cdot 8$ общим множителем является 8. Вынесем его за скобки:
$68 \cdot 8 - 28 \cdot 8 = 8 \cdot (68 - 28) = 8 \cdot 40 = 320$.
Ответ: 320.

Для выражения $74 \cdot 16 - 74 \cdot 15$ общим множителем является 74. Вынесем его за скобки:
$74 \cdot 16 - 74 \cdot 15 = 74 \cdot (16 - 15) = 74 \cdot 1 = 74$.
Ответ: 74.

Для выражения $33 \cdot 52 - 31 \cdot 52$ общим множителем является 52. Вынесем его за скобки:
$33 \cdot 52 - 31 \cdot 52 = 52 \cdot (33 - 31) = 52 \cdot 2 = 104$.
Ответ: 104.