Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Известны разложения на простые множители двух чисел a и b:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 19$ и $b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7.$

Сколько простых множителей содержится в каждом из разложений?

Чтобы определить, сколько простых множителей содержится в каждом разложении, необходимо посчитать общее количество множителей в произведении, учитывая их степени. Другими словами, нужно сложить показатели степеней всех простых множителей в разложении.

Для числа a

Разложение числа $a$ на простые множители имеет вид: $a = 2 \cdot 3 \cdot 19$.

В этом разложении каждый простой множитель (2, 3 и 19) находится в первой степени, что можно записать как $a = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 19^1$.

Общее количество простых множителей равно сумме показателей степеней:

$1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: в разложении числа $a$ содержится 3 простых множителя.

Для числа b

Разложение числа $b$ на простые множители имеет вид: $b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

В этом разложении простой множитель 3 находится во второй степени, а множители 5 и 7 — в первой. Это можно записать как $b = 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$. Развернутая запись этого разложения: $b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Общее количество простых множителей равно сумме показателей степеней:

$2 + 1 + 1 = 4$

Ответ: в разложении числа $b$ содержится 4 простых множителя.

Почему в разложении числа на простые множители не пишут 1?

Число 1 не включают в разложение на простые множители по нескольким ключевым причинам, которые лежат в основе современной теории чисел.

Разложение числа, как следует из названия, происходит на простые множители. Согласно общепринятому определению, простое число — это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Число 1 этому определению не соответствует, так как у него всего один натуральный делитель — это само число 1. Поэтому 1 не является простым числом (оно также не является и составным) и, следовательно, не может быть частью разложения на простые множители.

Это самая важная причина. Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел, и такое представление является единственным (с точностью до порядка сомножителей). Эта теорема — фундамент для многих разделов математики.

Давайте посмотрим на пример. Разложение числа 12 на простые множители единственно:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Если бы мы допустили, что 1 является простым множителем, то уникальность разложения была бы нарушена. Число 12 можно было бы записать бесконечным количеством способов:

• $12 = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
• $12 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
• $12 = 1^k \cdot 2^2 \cdot 3$ для любого натурального $k$

Чтобы сохранить фундаментальный принцип единственности разложения, математики договорились не считать 1 простым числом.

С практической точки зрения, добавление единицы в качестве множителя не несет никакой информации, так как умножение на 1 не меняет значение числа ($x \cdot 1 = x$). Цель разложения на простые множители — это найти уникальный набор "строительных блоков" (простых чисел), из которых состоит исходное число. Единица таким "блоком" не является, поэтому ее включение в разложение избыточно и бессмысленно.

Ответ:
Число 1 не пишут в разложении на простые множители, во-первых, потому что оно не является простым числом по определению (у него только один делитель, а не два). Во-вторых, и это главное, его включение нарушило бы основную теорему арифметики о единственности разложения любого числа на простые множители, так как единицу можно было бы дописывать в произведение бесконечное число раз.