Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.41 Не выполняя действий, определите:

а) делится ли на 2 сумма $514 + 415$;

б) делится ли на 5 произведение $316 \cdot 215$;

в) делится ли на 10 разность $3840 - 290$.

а) Для того чтобы определить, делится ли сумма на 2, нужно проанализировать четность слагаемых. Число делится на 2, если оно четное (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8). Сумма четного и нечетного чисел всегда является нечетным числом.
Число 514 — четное, так как оканчивается на 4.
Число 415 — нечетное, так как оканчивается на 5.
Следовательно, их сумма $514 + 415$ будет нечетным числом, а нечетные числа не делятся на 2 без остатка.
Ответ: не делится.

б) Для того чтобы произведение делилось на 5, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей делился на 5. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Рассмотрим множители 316 и 215.
Число 316 не делится на 5, так как оканчивается на 6.
Число 215 делится на 5, так как оканчивается на 5.
Поскольку один из множителей (215) делится на 5, то и все произведение $316 \cdot 215$ будет делиться на 5.
Ответ: делится.

в) Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-либо число, то и их разность делится на это же число. Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.
Рассмотрим числа 3840 и 290.
Число 3840 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10.
Число 290 оканчивается на 0, следовательно, оно тоже делится на 10.
Так как и уменьшаемое (3840), и вычитаемое (290) делятся на 10, то их разность $3840 - 290$ также будет делиться на 10.
Ответ: делится.

6.42 а) Какие из чисел 111, 101, 1113, 2383, 834, 4008 делятся на 3? Выпишите их в порядке возрастания.

б) Какие из чисел 387, 217, 8991, 56009, 41250 делятся на 9? Выпишите их в порядке убывания.

в) Содержатся ли в пунктах «а» и «б» числа, которые делятся на 3, но не делятся на 9?

а) Чтобы определить, какие из чисел делятся на 3, воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое число из данного списка: 111, 101, 1113, 2383, 834, 4008.
- Для числа 111 сумма цифр: $1 + 1 + 1 = 3$. Так как 3 делится на 3, то и 111 делится на 3.
- Для числа 101 сумма цифр: $1 + 0 + 1 = 2$. Так как 2 не делится на 3, то и 101 не делится на 3.
- Для числа 1113 сумма цифр: $1 + 1 + 1 + 3 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 1113 делится на 3.
- Для числа 2383 сумма цифр: $2 + 3 + 8 + 3 = 16$. Так как 16 не делится на 3, то и 2383 не делится на 3.
- Для числа 834 сумма цифр: $8 + 3 + 4 = 15$. Так как 15 делится на 3, то и 834 делится на 3.
- Для числа 4008 сумма цифр: $4 + 0 + 0 + 8 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 4008 делится на 3.
Итак, на 3 делятся числа: 111, 1113, 834, 4008. Теперь выпишем их в порядке возрастания.

Ответ: 111, 834, 1113, 4008.

б) Чтобы определить, какие из чисел делятся на 9, воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Проверим каждое число из данного списка: 387, 217, 8991, 56 009, 41 250.
- Для числа 387 сумма цифр: $3 + 8 + 7 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 387 делится на 9.
- Для числа 217 сумма цифр: $2 + 1 + 7 = 10$. Так как 10 не делится на 9, то и 217 не делится на 9.
- Для числа 8991 сумма цифр: $8 + 9 + 9 + 1 = 27$. Так как 27 делится на 9, то и 8991 делится на 9.
- Для числа 56 009 сумма цифр: $5 + 6 + 0 + 0 + 9 = 20$. Так как 20 не делится на 9, то и 56 009 не делится на 9.
- Для числа 41 250 сумма цифр: $4 + 1 + 2 + 5 + 0 = 12$. Так как 12 не делится на 9, то и 41 250 не делится на 9.
Итак, на 9 делятся числа: 387, 8991. Теперь выпишем их в порядке убывания.

Ответ: 8991, 387.

в) Нам нужно найти числа из обоих списков, которые делятся на 3, но не делятся на 9. Это означает, что сумма их цифр должна делиться на 3, но не должна делиться на 9. Проверим все числа из заданий «а» и «б».
Сначала проверим числа из пункта «а», которые делятся на 3: 111, 834, 1113, 4008.
- 111: сумма цифр равна 3. 3 делится на 3, но не делится на 9. Число подходит.
- 834: сумма цифр равна 15. 15 делится на 3, но не делится на 9. Число подходит.
- 1113: сумма цифр равна 6. 6 делится на 3, но не делится на 9. Число подходит.
- 4008: сумма цифр равна 12. 12 делится на 3, но не делится на 9. Число подходит.
Теперь проверим все числа из пункта «б».
- 387: сумма цифр равна 18. 18 делится и на 3, и на 9. Число не подходит.
- 217: сумма цифр равна 10. 10 не делится на 3. Число не подходит.
- 8991: сумма цифр равна 27. 27 делится и на 3, и на 9. Число не подходит.
- 56 009: сумма цифр равна 20. 20 не делится на 3. Число не подходит.
- 41 250: сумма цифр равна 12. 12 делится на 3, но не делится на 9. Число подходит.
Следовательно, в данных списках есть числа, которые делятся на 3, но не делятся на 9.

Ответ: Да, содержатся. Это числа: 111, 834, 1113, 4008, 41 250.

6.43 Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580? Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580?

Чтобы найти числа, которые делятся на 3, в заданном диапазоне, мы будем использовать признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Нам нужно найти такие числа в интервале от 561 до 579.
Найдем первое такое число, начиная с 561:
Проверим число 561: сумма его цифр равна $5 + 6 + 1 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 561 делится на 3. Это первое искомое число.
Чтобы найти остальные числа, будем прибавлять к найденному числу 3, пока не выйдем за пределы диапазона:
$561 + 3 = 564$
$564 + 3 = 567$
$567 + 3 = 570$
$570 + 3 = 573$
$573 + 3 = 576$
$576 + 3 = 579$
Следующее число будет $579 + 3 = 582$, что уже больше 580.
Таким образом, все числа, делящиеся на 3 и заключенные между 560 и 580, это: 561, 564, 567, 570, 573, 576, 579.
Ответ: 561, 564, 567, 570, 573, 576, 579.

Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Теперь проверим найденные числа на делимость на 9. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Проверим каждое число из списка:
561: сумма цифр $5 + 6 + 1 = 12$. 12 не делится на 9.
564: сумма цифр $5 + 6 + 4 = 15$. 15 не делится на 9.
567: сумма цифр $5 + 6 + 7 = 18$. 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$). Значит, 567 делится на 9.
570: сумма цифр $5 + 7 + 0 = 12$. 12 не делится на 9.
573: сумма цифр $5 + 7 + 3 = 15$. 15 не делится на 9.
576: сумма цифр $5 + 7 + 6 = 18$. 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$). Значит, 576 делится на 9.
579: сумма цифр $5 + 7 + 9 = 21$. 21 не делится на 9.
Среди найденных чисел есть два, которые делятся на 9.
Ответ: да, есть. Это числа 567 и 576.

РАССУЖДАЕМ (6.44–6.45)

6.44 а) Даша покупала три одинаковых блокнота. Когда продавец сказала, что за них нужно заплатить 158 р., Даша удивилась и попросила продавца сосчитать ещё раз. Кто прав: Даша или продавец?

б) Три друга решили купить вместе футбольный мяч и разделить его стоимость между собой поровну. Получится ли у них это, если мяч стоит 170 р.?

207 р.?

а)

Для того чтобы определить, кто прав, нужно проверить, может ли стоимость трех одинаковых блокнотов составлять 158 рублей. Поскольку блокноты одинаковые, их общая стоимость должна делиться на 3 нацело.
Для проверки используем признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Найдем сумму цифр числа 158:
$1 + 5 + 8 = 14$
Число 14 не делится на 3 без остатка ($14 : 3 = 4$ (ост. 2)). Следовательно, и число 158 не делится на 3. Это означает, что продавец допустил ошибку в расчетах, и Даша была права, усомнившись в названной сумме.
Ответ: Права Даша.

б)

Чтобы три друга могли разделить стоимость мяча поровну, его цена должна делиться на 3 без остатка. Проверим оба варианта стоимости, используя тот же признак делимости на 3.
1. Если мяч стоит 170 р.
Найдем сумму цифр числа 170:
$1 + 7 + 0 = 8$
Число 8 не делится на 3 без остатка. Значит, 170 рублей нельзя разделить поровну на троих.
2. Если мяч стоит 207 р.
Найдем сумму цифр числа 207:
$2 + 0 + 7 = 9$
Число 9 делится на 3 без остатка ($9 : 3 = 3$). Значит, и 207 рублей можно разделить поровну на троих.
$207 : 3 = 69$ р. — столько должен будет заплатить каждый друг.
Ответ: У них получится разделить стоимость, если мяч стоит 207 р., и не получится, если он стоит 170 р.

6.45 Каждое из чисел 37 940, 1275, 1551, 207 207 является составным числом. Объясните, почему это утверждение верно.

Утверждение верно, потому что для каждого из этих чисел можно найти делитель, отличный от 1 и самого числа. Натуральное число, имеющее такой делитель, называется составным. Проверим каждое число, используя признаки делимости.

37 940

Число 37 940 оканчивается на цифру 0. Согласно признаку делимости, любое число, оканчивающееся на 0, делится без остатка на 10 (а также на 2 и 5). Например, $37940 : 10 = 3794$. Так как число 37 940 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.

Ответ: число 37 940 является составным, так как оно делится на 10.

1275

Число 1275 оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости, любое число, оканчивающееся на 5, делится без остатка на 5. Например, $1275 : 5 = 255$. Так как число 1275 имеет делитель 5, отличный от 1 и самого себя, оно является составным.

Ответ: число 1275 является составным, так как оно делится на 5.

1551

Для числа 1551 применим признак делимости на 3. Сумма его цифр равна $1 + 5 + 5 + 1 = 12$. Поскольку 12 делится на 3, то и само число 1551 делится на 3. Например, $1551 : 3 = 517$. Так как число 1551 имеет делитель 3, отличный от 1 и самого себя, оно является составным.

Ответ: число 1551 является составным, так как сумма его цифр делится на 3, следовательно, и само число делится на 3.

207 207

Для числа 207 207 применим признак делимости на 3. Сумма его цифр равна $2 + 0 + 7 + 2 + 0 + 7 = 18$. Поскольку 18 делится на 3 (а также на 9), то и само число 207 207 делится на 3 (и на 9). Например, $207207 : 3 = 69069$. Также можно заметить, что $207207 = 207 \times 1001$. Так как число 207 207 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.

Ответ: число 207 207 является составным, так как сумма его цифр делится на 3 и 9, следовательно, и само число делится на 3 и 9.

6.46 Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители. При этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты. Рассмотрим, как выполнено разложение на простые множители числа 504.

Примените данный приём для числа:

а) 396;

б) 264;

в) 940;

г) 1452;

д) 420;

е) 3510.

$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

а) Выполним разложение числа 396 на простые множители:

Простые множители числа 396: 2, 2, 3, 3, 11. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$.

б) Выполним разложение числа 264 на простые множители:

Простые множители числа 264: 2, 2, 2, 3, 11. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $264 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$.

в) Выполним разложение числа 940 на простые множители:

Простые множители числа 940: 2, 2, 5, 47. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $940 = 2^2 \cdot 5 \cdot 47$.

г) Выполним разложение числа 1452 на простые множители:

Простые множители числа 1452: 2, 2, 3, 11, 11. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $1452 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2$.

д) Выполним разложение числа 420 на простые множители:

Простые множители числа 420: 2, 2, 3, 5, 7. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

е) Выполним разложение числа 3510 на простые множители:

Простые множители числа 3510: 2, 3, 3, 3, 5, 13. Представим разложение в виде произведения степеней.
Ответ: $3510 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 13$.

6.47 Поставьте вместо звездочки такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 9:

а) $318*$;

б) $*56$;

в) $48*25$;

г) $8*1$.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9: число делится без остатка на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

а) 318*

Пусть неизвестная цифра — $x$. Сумма известных цифр числа равна $3 + 1 + 8 = 12$.

Таким образом, сумма всех цифр числа равна $12 + x$. Эта сумма должна делиться на 9.

Так как $x$ — это цифра, то $0 \le x \le 9$. Значит, сумма цифр находится в диапазоне от $12+0=12$ до $12+9=21$.

Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18.

Следовательно, $12 + x = 18$.

Отсюда находим $x = 18 - 12 = 6$. Искомое число — 3186.

Ответ: 6.

б) *56

Пусть неизвестная цифра — $x$. Сумма известных цифр числа равна $5 + 6 = 11$.

Сумма всех цифр равна $x + 11$. Эта сумма должна делиться на 9.

Поскольку $x$ — первая цифра числа, она не может быть нулем, то есть $1 \le x \le 9$.

Тогда сумма цифр находится в диапазоне от $1+11=12$ до $9+11=20$.

Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18.

Следовательно, $x + 11 = 18$.

Отсюда находим $x = 18 - 11 = 7$. Искомое число — 756.

Ответ: 7.

в) 48*25

Пусть неизвестная цифра — $x$. Сумма известных цифр числа равна $4 + 8 + 2 + 5 = 19$.

Сумма всех цифр равна $19 + x$. Эта сумма должна делиться на 9.

Так как $x$ — это цифра, то $0 \le x \le 9$. Значит, сумма цифр находится в диапазоне от $19+0=19$ до $19+9=28$.

Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 27.

Следовательно, $19 + x = 27$.

Отсюда находим $x = 27 - 19 = 8$. Искомое число — 48825.

Ответ: 8.

г) 8*1

Пусть неизвестная цифра — $x$. Сумма известных цифр числа равна $8 + 1 = 9$.

Сумма всех цифр равна $9 + x$. Эта сумма должна делиться на 9.

Так как $x$ — это цифра, то $0 \le x \le 9$. Значит, сумма цифр находится в диапазоне от $9+0=9$ до $9+9=18$.

В этом диапазоне есть два числа, которые делятся на 9: это 9 и 18.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $9 + x = 9$, то $x = 0$. Получаем число 801.

2. Если $9 + x = 18$, то $x = 9$. Получаем число 891.

Таким образом, подходят две цифры.

Ответ: 0 или 9.