Страница 124 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

неполное частное и остаток.

При делении числа $a$ на число $b$ получилось неполное частное $c$ и остаток $d$.

Запишите равенство, связывающее числа $a, b, c$ и $d$.

По определению деления с остатком, делимое ($a$) равно произведению делителя ($b$) на неполное частное ($c$) плюс остаток ($d$).
Это соотношение можно записать в виде следующего равенства:
$a = b \cdot c + d$
При этом остаток $d$ должен быть меньше делителя $b$ и быть неотрицательным числом, то есть должно выполняться условие $0 \le d < b$.

Ответ: $a = b \cdot c + d$

6.56 Найдите число, если:

a) при делении его на 13 в частном получается 3 и в остатке 7; $N = 13 \cdot 3 + 7$

б) при делении его на 20 в частном получается 15 и в остатке 1. $N = 20 \cdot 15 + 1$

а) Для того чтобы найти неизвестное число (делимое), нужно делитель умножить на частное и к полученному произведению прибавить остаток. Это можно выразить формулой: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – частное, $r$ – остаток.

В данном случае делитель $b=13$, частное $q=3$, остаток $r=7$. Подставляем значения в формулу:

$13 \cdot 3 + 7 = 39 + 7 = 46$.

Ответ: 46

б) Воспользуемся той же формулой. По условию, делитель $b=20$, частное $q=15$, остаток $r=1$.

Подставляем значения и вычисляем:

$20 \cdot 15 + 1 = 300 + 1 = 301$.

Ответ: 301

6.57 a) Вилки раскладывают по коробкам, в одну коробку помещается дюжина вилок. Сколько полных коробок получится и сколько вилок останется, если всего имеется 250 вилок?

б) Школьная летняя практика длилась 45 дней. Сколько это полных недель и дней?

а) Сначала вспомним, что такое дюжина. Одна дюжина равна 12. Значит, в каждую коробку помещается 12 вилок. Чтобы найти количество полных коробок и оставшееся количество вилок, нужно общее число вилок (250) разделить с остатком на вместимость одной коробки (12).
$250 \div 12$
Выполним деление столбиком или подбором.
$12 \cdot 20 = 240$
$250 - 240 = 10$
Таким образом, мы можем записать:
$250 = 12 \cdot 20 + 10$
Здесь целая часть от деления (частное) — это 20, что соответствует количеству полных коробок. Остаток от деления — это 10, что соответствует количеству вилок, которые не поместились в полные коробки.
Ответ: получится 20 полных коробок и 10 вилок останется.

б) Известно, что одна полная неделя состоит из 7 дней. Чтобы определить, сколько полных недель и дней составляют 45 дней, необходимо разделить общее количество дней (45) на количество дней в одной неделе (7) с остатком.
$45 \div 7$
Из таблицы умножения мы знаем, что ближайшее к 45 число, которое делится на 7 без остатка, — это 42.
$7 \cdot 6 = 42$
$45 - 42 = 3$
Следовательно, мы можем записать:
$45 = 7 \cdot 6 + 3$
Здесь частное равно 6 — это количество полных недель. Остаток равен 3 — это количество дней сверх полных недель.
Ответ: 6 полных недель и 3 дня.

6.58 a) Моток ленты длиной 10 м надо разрезать на куски по 45 см. Сколько таких кусков получится и сколько ленты останется?

б) Стулья шириной 60 см надо установить вдоль стены, длина которой 7 м. Сколько стульев поместится? Удастся ли поставить у этой стены ещё и тумбочку длиной 50 см?

а)

Сначала необходимо перевести общую длину ленты из метров в сантиметры, чтобы все единицы измерения были одинаковыми. В одном метре 100 сантиметров, поэтому общая длина ленты составляет:
$10 \text{ м} = 10 \times 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Длина одного куска равна $45 \text{ см}$.
Чтобы найти, сколько кусков получится, нужно общую длину ленты разделить на длину одного куска. Это задача на деление с остатком.
$1000 \div 45 = 22$ (остаток 10).
Целая часть от деления (22) — это количество кусков, которые можно отрезать. Остаток от деления (10) — это длина ленты, которая останется.
Проверим:
Длина 22 кусков: $22 \times 45 \text{ см} = 990 \text{ см}$.
Остаток ленты: $1000 \text{ см} - 990 \text{ см} = 10 \text{ см}$.
Ответ: получится 22 куска и останется 10 см ленты.

б)

Сначала переведем длину стены в сантиметры.
Длина стены: $7 \text{ м} = 7 \times 100 \text{ см} = 700 \text{ см}$.
Ширина одного стула: $60 \text{ см}$.
Чтобы найти, сколько стульев поместится вдоль стены, разделим длину стены на ширину одного стула.
$700 \div 60 = 11$ (остаток 40).
Целая часть от деления (11) — это количество стульев, которые поместятся вдоль стены.
Теперь выясним, удастся ли поставить еще и тумбочку.
Найдем, сколько места займут 11 стульев:
$11 \times 60 \text{ см} = 660 \text{ см}$.
Найдем, сколько свободного места останется у стены после расстановки стульев:
$700 \text{ см} - 660 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Длина тумбочки составляет 50 см. Сравним оставшееся место с длиной тумбочки:
$40 \text{ см} < 50 \text{ см}$.
Так как оставшегося места (40 см) меньше, чем длина тумбочки (50 см), поставить тумбочку у стены не удастся.
Ответ: вдоль стены поместится 11 стульев; поставить у этой стены еще и тумбочку не удастся.

6.59 В вагоне поезда 36 мест, по 4 места в каждом купе.

1) Сколько купе в этом вагоне?

2) Определите номер купе, в котором находится место 20; место 25; место 18; место 33.

3) Укажите номера остальных мест в купе, в котором находится место 26.

1) Для того чтобы найти количество купе в вагоне, необходимо общее количество мест разделить на количество мест в одном купе.

$36 \div 4 = 9$

Ответ: в вагоне 9 купе.

2) Чтобы определить номер купе, в котором находится место, нужно номер этого места разделить на 4 (количество мест в купе). Если номер делится на 4 без остатка, то частное и будет номером купе. Если при делении получается остаток, то номер купе равен частному, увеличенному на 1.

• Для места 20:

  $20 \div 4 = 5$. Деление без остатка, значит, место 20 находится в 5-м купе.

• Для места 25:

  $25 \div 4 = 6$ (остаток 1). Так как есть остаток, номер купе будет $6 + 1 = 7$. Место 25 находится в 7-м купе.

• Для места 18:

  $18 \div 4 = 4$ (остаток 2). Так как есть остаток, номер купе будет $4 + 1 = 5$. Место 18 находится в 5-м купе.

• Для места 33:

  $33 \div 4 = 8$ (остаток 1). Так как есть остаток, номер купе будет $8 + 1 = 9$. Место 33 находится в 9-м купе.

Ответ: место 20 находится в купе 5; место 25 – в купе 7; место 18 – в купе 5; место 33 – в купе 9.

3) Сначала определим номер купе, в котором находится место 26, используя тот же метод, что и в пункте 2.

$26 \div 4 = 6$ (остаток 2). Номер купе равен $6 + 1 = 7$.

Теперь найдем все номера мест в 7-м купе. Места в 6-м купе заканчиваются номером $6 \times 4 = 24$. Значит, 7-е купе включает следующие 4 места: 25, 26, 27, 28.

Исключая место 26, получаем остальные места в этом купе.

Ответ: 25, 27, 28.

6.60 Учительница подготовила для контрольной работы 42 карточки пяти цветов: белого, жёлтого, зелёного, красного, синего. Сложив все карточки в этой последовательности (б, ж, з, к, с, б, ж, ...), она пронумеровала их все подряд, начиная с номера 1.

1) Какие номера имеют карточки белого цвета; жёлтого цвета?

2) Какого цвета карточка с номером 10? с номером 24; с номером 38; последняя карточка?

Совет. Если задача кажется трудной, перечертите в тетрадь приведённую ниже таблицу и заполните её. Вы сможете увидеть закономерность, по которой выстраиваются номера.

В этой задаче карточки пяти цветов — белый (Б), жёлтый (Ж), зелёный (З), красный (К), синий (С) — разложены в повторяющейся последовательности. Это означает, что у нас есть цикл из 5 цветов. Чтобы определить цвет карточки по её номеру, мы можем найти остаток от деления этого номера на 5.

Соответствие остатка и цвета будет таким:

• Остаток 1 — белый цвет.
• Остаток 2 — жёлтый цвет.
• Остаток 3 — зелёный цвет.
• Остаток 4 — красный цвет.
• Остаток 0 (если число делится на 5 без остатка) — синий цвет (последний в цикле).

1) Какие номера имеют карточки белого цвета; жёлтого цвета?

Чтобы найти номера карточек белого цвета, мы ищем все числа от 1 до 42, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Это числа вида $5 \cdot k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Это будут номера: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41.

Чтобы найти номера карточек жёлтого цвета, мы ищем все числа от 1 до 42, которые при делении на 5 дают в остатке 2. Это числа вида $5 \cdot k + 2$. Это будут номера: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42.

Ответ: номера карточек белого цвета: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41; номера карточек жёлтого цвета: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42.

2) Какого цвета карточка с номером 10? с номером 24? с номером 38; последняя карточка?

Для определения цвета каждой карточки разделим её номер на 5 и посмотрим на остаток.

Для карточки с номером 10: $10 \div 5 = 2$ (остаток 0). Остаток 0 соответствует синему цвету.

Для карточки с номером 24: $24 \div 5 = 4$ (остаток 4). Остаток 4 соответствует красному цвету.

Для карточки с номером 38: $38 \div 5 = 7$ (остаток 3). Остаток 3 соответствует зелёному цвету.

Последняя карточка имеет номер 42, так как всего 42 карточки. Для номера 42: $42 \div 5 = 8$ (остаток 2). Остаток 2 соответствует жёлтому цвету.

Ответ: карточка с номером 10 — синяя; с номером 24 — красная; с номером 38 — зелёная; последняя (42-я) — жёлтая.