Страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею выяснять, является ли одно число делителем другого или кратным другому.

1. Какое из чисел, 16 или 18, является делителем числа 90?

1. Чтобы определить, какое из чисел, 16 или 18, является делителем числа 90, необходимо проверить, делится ли число 90 на каждое из этих чисел нацело, то есть без остатка.

Выполним проверку для каждого числа:

1) Проверим число 16. Разделим 90 на 16:
$90 \div 16 = 5$ (остаток 10).
Так как в результате деления получается остаток, число 16 не является делителем числа 90.

2) Проверим число 18. Разделим 90 на 18:
$90 \div 18 = 5$.
Так как деление выполняется без остатка, число 18 является делителем числа 90.

Ответ: 18.

2. Какое из чисел, 135 или 155, кратно числу 15?

Чтобы определить, какое из чисел, 135 или 155, кратно числу 15, нужно проверить, делится ли каждое из этих чисел на 15 нацело (без остатка).

Проверка числа 135

Выполним деление числа 135 на 15:

$135 \div 15 = 9$

Поскольку в результате деления получается целое число 9 без остатка, число 135 кратно 15.

Проверка числа 155

Выполним деление числа 155 на 15:

$155 \div 15 = 10$ (остаток $5$)

Это можно проверить умножением: $10 \times 15 = 150$. Тогда $155 - 150 = 5$. Так как при делении образуется остаток, число 155 не кратно 15.

Также можно применить признак делимости на 15. Число кратно 15, если оно одновременно кратно 3 и 5.

• Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5. Оба числа, 135 и 155, оканчиваются на 5, значит, оба делятся на 5.
• Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
  • Для числа 135: сумма цифр равна $1 + 3 + 5 = 9$. Число 9 делится на 3, значит, 135 делится на 3.
  • Для числа 155: сумма цифр равна $1 + 5 + 5 = 11$. Число 11 не делится на 3, значит, 155 не делится на 3.

Поскольку только число 135 делится и на 3, и на 5, только оно кратно 15.

Ответ: 135

Умею находить делители данного числа.

3. Сколько делителей имеет число 40?

Чтобы определить, сколько делителей имеет число 40, можно найти их все и посчитать. Делитель — это число, на которое 40 делится без остатка. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Прямой перебор

Будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить пары делителей:

• $40 \div 1 = 40$. Значит, 1 и 40 являются делителями.
• $40 \div 2 = 20$. Значит, 2 и 20 являются делителями.
• $40 \div 3$ даёт остаток, поэтому 3 не является делителем.
• $40 \div 4 = 10$. Значит, 4 и 10 являются делителями.
• $40 \div 5 = 8$. Значит, 5 и 8 являются делителями.

Дальнейшая проверка не требуется, так как следующий возможный делитель (6) больше квадратного корня из 40 ($\sqrt{40} \approx 6.32$), и мы уже нашли все пары.

Выпишем все делители числа 40 в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Посчитав их, мы видим, что у числа 40 ровно 8 делителей.

Способ 2: Разложение на простые множители

Этот способ основан на основной теореме арифметики. Сначала разложим число 40 на простые множители:

$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5$

Запишем разложение в виде степеней простых чисел:

$40 = 2^3 \cdot 5^1$

Чтобы найти общее количество делителей, нужно к каждому показателю степени в разложении прибавить 1 и затем перемножить полученные результаты. Для числа $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots$, количество делителей $\tau(n)$ равно $(k_1+1)(k_2+1)\dots$.

В нашем случае показатели степеней — это 3 и 1. Применяем формулу:

Количество делителей = $(3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8

Умею находить кратные данного числа.

4. Запишите все двузначные числа, кратные 12.

Кратными числа 12 называются числа, которые делятся на 12 без остатка. Нам нужно найти все такие числа, которые являются двузначными, то есть находятся в промежутке от 10 до 99.

Для этого будем последовательно умножать число 12 на натуральные числа ($1, 2, 3, \ldots$), пока результат не перестанет быть двузначным.

$12 \cdot 1 = 12$

$12 \cdot 2 = 24$

$12 \cdot 3 = 36$

$12 \cdot 4 = 48$

$12 \cdot 5 = 60$

$12 \cdot 6 = 72$

$12 \cdot 7 = 84$

$12 \cdot 8 = 96$

Следующее кратное число, $12 \cdot 9 = 108$, является уже трехзначным, поэтому оно не подходит.

Таким образом, мы нашли все двузначные числа, кратные 12.

Ответ: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

Знаю, какое число называют простым числом, составным числом; знаю простые числа в пределах сотни.

5. С помощью таблицы простых чисел определите, простым или составным является число:

а) $197$;

б) $389$;

в) $637$;

г) $853$.

а) 197
Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие его квадратный корень.
Вычислим квадратный корень из 197: $ \sqrt{197} \approx 14,03 $.
Простые числа, на которые нужно проверить делимость: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
- 197 не делится на 2, так как это нечетное число.
- Сумма цифр числа 197 ($1+9+7=17$) не делится на 3, значит и 197 не делится на 3.
- 197 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
- $197 : 7 = 28$ (остаток 1).
- $197 : 11 = 17$ (остаток 10).
- $197 : 13 = 15$ (остаток 2).
Поскольку 197 не делится ни на одно из простых чисел до 13, оно является простым числом.
Ответ: простое число.

б) 389
Проверим число 389. Квадратный корень из 389: $ \sqrt{389} \approx 19,72 $.
Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- 389 не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр ($3+8+9=20$) не делится на 3.
- 389 не делится на 5.
- $389 : 7 = 55$ (остаток 4).
- $389 : 11 = 35$ (остаток 4).
- $389 : 13 = 29$ (остаток 12).
- $389 : 17 = 22$ (остаток 15).
- $389 : 19 = 20$ (остаток 9).
Число 389 не имеет простых делителей до 19, следовательно, оно является простым.
Ответ: простое число.

в) 637
Проверим число 637. Квадратный корень из 637: $ \sqrt{637} \approx 25,23 $.
Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- 637 не делится на 2.
- Сумма цифр ($6+3+7=16$) не делится на 3.
- 637 не делится на 5.
- $637 : 7 = 91$.
Так как 637 делится на 7, оно имеет делитель, отличный от 1 и самого себя. Следовательно, это составное число.
Ответ: составное число.

г) 853
Проверим число 853. Квадратный корень из 853: $ \sqrt{853} \approx 29,2 $.
Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- 853 не делится на 2.
- Сумма цифр ($8+5+3=16$) не делится на 3.
- 853 не делится на 5.
- $853 : 7 = 121$ (остаток 6).
- $853 : 11 = 77$ (остаток 6).
- $853 : 13 = 65$ (остаток 8).
- $853 : 17 = 50$ (остаток 3).
- $853 : 19 = 44$ (остаток 17).
- $853 : 23 = 37$ (остаток 2).
- $853 : 29 = 29$ (остаток 12).
Число 853 не имеет простых делителей до 29, следовательно, оно является простым.
Ответ: простое число.

Знаю и умею применять признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.

6. Какие из чисел 115, 120, 142, 170, 186:

а) делятся на 2 и не делятся на 10;

б) делятся на 2 и на 5?

Для решения этой задачи необходимо применить признаки делимости чисел на 2, 5 и 10. Рассмотрим каждый пункт отдельно, проанализировав ряд чисел: 115, 120, 142, 170, 186.

а) делятся на 2 и не делятся на 10;

Вспомним признаки делимости:
1. Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
2. Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0.
Согласно условию, нам нужно найти числа, которые оканчиваются на чётную цифру, но эта цифра не должна быть нулём. Таким образом, мы ищем числа, оканчивающиеся на 2, 4, 6 или 8.

Проверим каждое число из списка:

• 115 — оканчивается на 5, не делится на 2. Не подходит.
• 120 — оканчивается на 0, делится на 10. Не подходит.
• 142 — оканчивается на 2. Это чётная цифра, отличная от нуля. Подходит. ($142 \div 2 = 71$; $142$ не делится на $10$).
• 170 — оканчивается на 0, делится на 10. Не подходит.
• 186 — оканчивается на 6. Это чётная цифра, отличная от нуля. Подходит. ($186 \div 2 = 93$; $186$ не делится на $10$).

Следовательно, этому условию удовлетворяют два числа.

Ответ: 142, 186.

б) делятся на 2 и на 5?

Вспомним признаки делимости:
1. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
2. Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Чтобы число делилось одновременно и на 2, и на 5, его последняя цифра должна удовлетворять обоим условиям. Единственная цифра, которая является и чётной, и входит в набор {0, 5}, — это 0. Значит, мы ищем числа, которые оканчиваются на 0. (Такие числа также делятся на 10, так как $2 \times 5 = 10$).

Проверим каждое число из списка:

• 115 — оканчивается на 5. Делится на 5, но не делится на 2. Не подходит.
• 120 — оканчивается на 0. Делится и на 2, и на 5. Подходит. ($120 \div 2 = 60$; $120 \div 5 = 24$).
• 142 — оканчивается на 2. Делится на 2, но не делится на 5. Не подходит.
• 170 — оканчивается на 0. Делится и на 2, и на 5. Подходит. ($170 \div 2 = 85$; $170 \div 5 = 34$).
• 186 — оканчивается на 6. Делится на 2, но не делится на 5. Не подходит.

Следовательно, этому условию удовлетворяют два числа.

Ответ: 120, 170.

7. Какие из чисел 138, 143, 261, 375, 801 делятся:

а) на 3;

б) на 9?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9.

Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

а) Проверим, какие из чисел делятся на 3.

Для каждого числа из списка (138, 143, 261, 375, 801) найдем сумму его цифр и проверим ее делимость на 3:

Для числа 138: сумма цифр $1 + 3 + 8 = 12$. Число 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), следовательно, 138 делится на 3.

Для числа 143: сумма цифр $1 + 4 + 3 = 8$. Число 8 не делится на 3, следовательно, 143 не делится на 3.

Для числа 261: сумма цифр $2 + 6 + 1 = 9$. Число 9 делится на 3 ($9 : 3 = 3$), следовательно, 261 делится на 3.

Для числа 375: сумма цифр $3 + 7 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), следовательно, 375 делится на 3.

Для числа 801: сумма цифр $8 + 0 + 1 = 9$. Число 9 делится на 3 ($9 : 3 = 3$), следовательно, 801 делится на 3.

Ответ: на 3 делятся числа 138, 261, 375, 801.

б) Проверим, какие из чисел делятся на 9.

Используем те же суммы цифр, что и в предыдущем пункте, и проверим их делимость на 9:

Для числа 138: сумма цифр равна 12. Число 12 не делится на 9, следовательно, 138 не делится на 9.

Для числа 143: сумма цифр равна 8. Число 8 не делится на 9, следовательно, 143 не делится на 9.

Для числа 261: сумма цифр равна 9. Число 9 делится на 9 ($9 : 9 = 1$), следовательно, 261 делится на 9.

Для числа 375: сумма цифр равна 15. Число 15 не делится на 9, следовательно, 375 не делится на 9.

Для числа 801: сумма цифр равна 9. Число 9 делится на 9 ($9 : 9 = 1$), следовательно, 801 делится на 9.

Ответ: на 9 делятся числа 261, 801.

Умею раскладывать число на простые множители.

8. Разложите на простые множители число:

а) 300;

б) 414.

а) Чтобы разложить число 300 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7, ...), начиная с наименьшего, до тех пор, пока в частном не получится 1.

1. 300 — четное число, поэтому оно делится на 2:
$300 : 2 = 150$

2. 150 — также четное число, снова делим на 2:
$150 : 2 = 75$

3. 75 — нечетное число. Проверяем делимость на следующее простое число, 3. Сумма цифр числа 75 ($7+5=12$) делится на 3, значит, и само число делится на 3:
$75 : 3 = 25$

4. 25 не делится на 3. Проверяем делимость на следующее простое число, 5. Так как 25 оканчивается на 5, оно делится на 5:
$25 : 5 = 5$

5. 5 — простое число, оно делится само на себя:
$5 : 5 = 1$

Процесс разложения завершен. Теперь запишем все простые делители, которые мы использовали, в виде произведения:
$300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Это же разложение можно записать более коротко, используя степени: $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Ответ: $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.

б) Аналогичным образом разложим на простые множители число 414.

1. 414 — четное число, делим его на 2:
$414 : 2 = 207$

2. 207 — нечетное число. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр ($2+0+7=9$) делится на 3, значит, и 207 делится на 3:
$207 : 3 = 69$

3. 69 также делится на 3, так как сумма его цифр ($6+9=15$) делится на 3:
$69 : 3 = 23$

4. 23 — это простое число, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Делим 23 на 23:
$23 : 23 = 1$

Процесс разложения завершен. Запишем все простые делители в виде произведения:
$414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23$.
Используя степени, запись будет выглядеть так: $414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$.

Ответ: $414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23$.

Умею при делении одного натурального числа на другое находить неполное частное и остаток от деления.

9. Найдите неполное частное и остаток от деления 80 на 7; запишите равенство, связывающее делимое, делитель, неполное частное и остаток.

Найдите неполное частное и остаток от деления 80 на 7

Чтобы выполнить деление числа 80 на 7 с остатком, сначала найдем наибольшее число, которое меньше или равно 80 и делится на 7 без остатка. Это число 77.

Теперь разделим 77 на 7, чтобы найти неполное частное:

$77 / 7 = 11$

Таким образом, неполное частное равно 11.

Далее найдем остаток от деления. Для этого из делимого (80) вычтем произведение делителя (7) и неполного частного (11):

$80 - (7 * 11) = 80 - 77 = 3$

Остаток равен 3. Важно проверить, что остаток меньше делителя: $3 < 7$. Условие выполняется.

Ответ: неполное частное 11, остаток 3.

Запишите равенство, связывающее делимое, делитель, неполное частное и остаток

Общая формула для проверки деления с остатком выглядит следующим образом: делимое = (делитель × неполное частное) + остаток. В виде математической формулы это записывается как $a = b * q + r$.

Подставим в эту формулу наши значения:

делимое ($a$) = 80

делитель ($b$) = 7

неполное частное ($q$) = 11

остаток ($r$) = 3

В результате получаем искомое равенство:

$80 = 7 * 11 + 3$

Ответ: $80 = 7 * 11 + 3$.

10. Найдите число, если известно, что при делении его на 8 в частном получается 12 и в остатке 6.

Чтобы найти искомое число (делимое), нужно умножить делитель на частное и к полученному произведению прибавить остаток. Общая формула выглядит так:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

В данной задаче нам известны следующие значения:

• Делитель = 8
• Частное = 12
• Остаток = 6

Пусть искомое число — это $x$. Подставим известные значения в формулу:

$x = (8 \cdot 12) + 6$

Сначала выполним действие в скобках (умножение):

$8 \cdot 12 = 96$

Теперь к результату прибавим остаток:

$96 + 6 = 102$

Таким образом, искомое число равно 102.

Ответ: 102

11. Сколько остатков и какие могут получаться при делении некоторого числа на 5?

Согласно правилу деления с остатком, любое целое число $a$ (делимое) можно представить в виде $a = b \cdot q + r$, где $b$ — это делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток.

Ключевым свойством этого деления является то, что остаток $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя $b$. Это условие записывается в виде двойного неравенства: $0 \le r < b$.

В данной задаче деление производится на число 5, следовательно, наш делитель $b = 5$. Подставим это значение в неравенство для остатка: $0 \le r < 5$.

Этому неравенству удовлетворяют только целые числа от 0 до 4 включительно.

Сколько остатков: Перечислив все возможные целые значения для $r$ (0, 1, 2, 3, 4), мы видим, что всего может быть 5 различных остатков.

Какие: Возможными остатками при делении на 5 являются числа 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: при делении на 5 может получиться 5 остатков: 0, 1, 2, 3, 4.

12. Сто яиц для транспортировки нужно уложить в коробки. В наличии имеются коробки для 6 яиц. Сколько таких коробок потребуется?

Для того чтобы рассчитать необходимое количество коробок, нужно общее количество яиц разделить на количество яиц, которое вмещается в одну коробку.

Дано:

• Общее количество яиц: 100
• Вместимость одной коробки: 6 яиц

Выполним деление общего количества яиц на вместимость одной коробки:

$100 \div 6 = 16$ с остатком $4$.

Это означает, что 16 коробок будут полностью заполнены яйцами. В них разместится $16 \times 6 = 96$ яиц.

После этого останется еще $100 - 96 = 4$ яйца. Для этих оставшихся 4 яиц потребуется еще одна коробка, которая будет заполнена не полностью.

Следовательно, общее число необходимых коробок:

$16$ (полных коробок) $+ 1$ (коробка для остатка) $= 17$ коробок.

Так как нам нужно упаковать все яйца, мы должны округлить результат деления $100 \div 6 \approx 16.67$ в большую сторону до ближайшего целого числа, что равно 17.

Ответ: 17