Номер 3, страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 6. Делимость чисел. Чему вы научились - номер 3, страница 127.

Условие.

Умею находить делители данного числа.

3. Сколько делителей имеет число 40?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы определить, сколько делителей имеет число 40, можно найти их все и посчитать. Делитель — это число, на которое 40 делится без остатка. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Прямой перебор

Будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить пары делителей:

• $40 \div 1 = 40$. Значит, 1 и 40 являются делителями.
• $40 \div 2 = 20$. Значит, 2 и 20 являются делителями.
• $40 \div 3$ даёт остаток, поэтому 3 не является делителем.
• $40 \div 4 = 10$. Значит, 4 и 10 являются делителями.
• $40 \div 5 = 8$. Значит, 5 и 8 являются делителями.

Дальнейшая проверка не требуется, так как следующий возможный делитель (6) больше квадратного корня из 40 ($\sqrt{40} \approx 6.32$), и мы уже нашли все пары.

Выпишем все делители числа 40 в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Посчитав их, мы видим, что у числа 40 ровно 8 делителей.

Способ 2: Разложение на простые множители

Этот способ основан на основной теореме арифметики. Сначала разложим число 40 на простые множители:

$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5$

Запишем разложение в виде степеней простых чисел:

$40 = 2^3 \cdot 5^1$

Чтобы найти общее количество делителей, нужно к каждому показателю степени в разложении прибавить 1 и затем перемножить полученные результаты. Для числа $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots$, количество делителей $\tau(n)$ равно $(k_1+1)(k_2+1)\dots$.

В нашем случае показатели степеней — это 3 и 1. Применяем формулу:

Количество делителей = $(3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8