Номер 3, страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились. Глава 6. Делимость чисел - номер 3, страница 127.

Умею находить делители данного числа.

3. Сколько делителей имеет число 40?

Чтобы определить, сколько делителей имеет число 40, можно найти их все и посчитать. Делитель — это число, на которое 40 делится без остатка. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Прямой перебор

Будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить пары делителей:

• $40 \div 1 = 40$. Значит, 1 и 40 являются делителями.
• $40 \div 2 = 20$. Значит, 2 и 20 являются делителями.
• $40 \div 3$ даёт остаток, поэтому 3 не является делителем.
• $40 \div 4 = 10$. Значит, 4 и 10 являются делителями.
• $40 \div 5 = 8$. Значит, 5 и 8 являются делителями.

Дальнейшая проверка не требуется, так как следующий возможный делитель (6) больше квадратного корня из 40 ($\sqrt{40} \approx 6.32$), и мы уже нашли все пары.

Выпишем все делители числа 40 в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Посчитав их, мы видим, что у числа 40 ровно 8 делителей.

Способ 2: Разложение на простые множители

Этот способ основан на основной теореме арифметики. Сначала разложим число 40 на простые множители:

$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5$

Запишем разложение в виде степеней простых чисел:

$40 = 2^3 \cdot 5^1$

Чтобы найти общее количество делителей, нужно к каждому показателю степени в разложении прибавить 1 и затем перемножить полученные результаты. Для числа $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots$, количество делителей $\tau(n)$ равно $(k_1+1)(k_2+1)\dots$.

В нашем случае показатели степеней — это 3 и 1. Применяем формулу:

Количество делителей = $(3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8