Страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.48 Укажите число, кратное 9, ближайшее к данному числу:

а) 546;

б) 732;

в) 2468;

г) 9806.

Для того чтобы найти число, кратное 9, ближайшее к данному, нужно найти остаток от деления данного числа на 9. Если остаток меньше 5, то ближайшее кратное число — это данное число минус остаток. Если остаток больше или равен 5, то ближайшее кратное — это данное число плюс (9 минус остаток).

Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

а) 546

1. Найдем сумму цифр числа 546: $5 + 4 + 6 = 15$.

2. Найдем остаток от деления этой суммы на 9: $15 \div 9 = 1$ (остаток 6). Значит, остаток от деления 546 на 9 тоже равен 6.

3. Так как остаток 6 больше 4 ($6 > 4$), то искомое число больше данного. Чтобы его найти, нужно к 546 прибавить разность $9 - 6 = 3$.

$546 + 3 = 549$.

Проверим расстояние до другого кратного числа: $546 - 6 = 540$. Расстояние до 540 равно 6, а до 549 равно 3. Ближайшее число — 549.

Ответ: 549.

б) 732

1. Найдем сумму цифр числа 732: $7 + 3 + 2 = 12$.

2. Найдем остаток от деления этой суммы на 9: $12 \div 9 = 1$ (остаток 3). Значит, остаток от деления 732 на 9 тоже равен 3.

3. Так как остаток 3 меньше 5 ($3 < 5$), то искомое число меньше данного. Чтобы его найти, нужно из 732 вычесть остаток 3.

$732 - 3 = 729$.

Проверим расстояние до другого кратного числа: $732 + (9-3) = 738$. Расстояние до 729 равно 3, а до 738 равно 6. Ближайшее число — 729.

Ответ: 729.

в) 2468

1. Найдем сумму цифр числа 2468: $2 + 4 + 6 + 8 = 20$.

2. Найдем остаток от деления этой суммы на 9: $20 \div 9 = 2$ (остаток 2). Значит, остаток от деления 2468 на 9 тоже равен 2.

3. Так как остаток 2 меньше 5 ($2 < 5$), то искомое число меньше данного. Чтобы его найти, нужно из 2468 вычесть остаток 2.

$2468 - 2 = 2466$.

Проверим расстояние до другого кратного числа: $2468 + (9-2) = 2475$. Расстояние до 2466 равно 2, а до 2475 равно 7. Ближайшее число — 2466.

Ответ: 2466.

г) 9806

1. Найдем сумму цифр числа 9806: $9 + 8 + 0 + 6 = 23$.

2. Найдем остаток от деления этой суммы на 9: $23 \div 9 = 2$ (остаток 5). Значит, остаток от деления 9806 на 9 тоже равен 5.

3. Так как остаток 5 не меньше 5 ($5 \ge 5$), то искомое число больше данного. Чтобы его найти, нужно к 9806 прибавить разность $9 - 5 = 4$.

$9806 + 4 = 9810$.

Проверим расстояние до другого кратного числа: $9806 - 5 = 9801$. Расстояние до 9810 равно 4, а до 9801 равно 5. Ближайшее число — 9810.

Ответ: 9810.

6.49 Запишите какие-нибудь два числа, которые:

а) делятся на 2 и на 9;

б) делятся на 3 и на 4;

в) делятся на 2 и на 3, но не делятся на 9;

г) делятся на 5 и на 9, но не делятся на 2.

а) делятся на 2 и на 9;

Чтобы число делилось одновременно и на 2, и на 9, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Так как числа 2 и 9 взаимно простые, их НОК равно их произведению.
$НОК(2, 9) = 2 \cdot 9 = 18$.
Следовательно, нам нужно найти два любых числа, которые кратны 18.
Первое число: $18 \cdot 1 = 18$.
Проверка: 18 делится на 2 (так как оно четное) и 18 делится на 9 ($18:9=2$).
Второе число: $18 \cdot 2 = 36$.
Проверка: 36 делится на 2 (так как оно четное) и сумма его цифр $3 + 6 = 9$ делится на 9, значит и само число 36 делится на 9.
Ответ: 18 и 36.

б) делятся на 3 и на 4;

Чтобы число делилось одновременно на 3 и на 4, оно должно делиться на их НОК. Так как числа 3 и 4 взаимно простые, их НОК равно их произведению.
$НОК(3, 4) = 3 \cdot 4 = 12$.
Следовательно, нам нужно найти два любых числа, которые кратны 12.
Первое число: $12 \cdot 1 = 12$.
Проверка: 12 делится на 3 ($12:3=4$) и 12 делится на 4 ($12:4=3$).
Второе число: $12 \cdot 2 = 24$.
Проверка: 24 делится на 3 ($24:3=8$) и 24 делится на 4 ($24:4=6$).
Ответ: 12 и 24.

в) делятся на 2 и на 3, но не делятся на 9;

Если число делится на 2 и на 3, оно должно делиться на их НОК, которое равно $2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, мы ищем числа, кратные 6.
Дополнительное условие: число не должно делиться на 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр числа не должна делиться на 9.
Рассмотрим числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Первое число: 6. Оно делится на 2 и на 3. Сумма цифр равна 6, что не делится на 9. Число подходит.
Второе число: 12. Оно делится на 2 и на 3. Сумма цифр $1 + 2 = 3$, что не делится на 9. Число подходит.
(Число 18, например, не подошло бы, так как оно делится на 9).
Ответ: 6 и 12.

г) делятся на 5 и на 9, но не делятся на 2.

Если число делится на 5 и на 9, оно должно делиться на их НОК, которое равно $5 \cdot 9 = 45$. Таким образом, мы ищем числа, кратные 45.
Дополнительное условие: число не должно делиться на 2. Это означает, что число должно быть нечетным.
Рассмотрим числа, кратные 45: 45, 90, 135, 180, ...
Первое число: 45. Делится на 5 (оканчивается на 5) и на 9 (сумма цифр $4+5=9$ делится на 9). Число 45 нечетное, значит не делится на 2. Число подходит.
(Число 90 не подходит, так как оно четное, то есть делится на 2).
Второе число: 135. Делится на 5 (оканчивается на 5) и на 9 (сумма цифр $1+3+5=9$ делится на 9). Число 135 нечетное, значит не делится на 2. Число подходит.
Ответ: 45 и 135.

6.50 Используя все цифры от 0 до 9, причём каждую только один раз, запишите:

а) наименьшее десятизначное число, делящееся на 5;

б) наибольшее десятизначное число, делящееся на 2.

а) Чтобы найти наименьшее десятизначное число, составленное из всех цифр от 0 до 9 по одному разу, необходимо расставить цифры в порядке возрастания слева направо. Так как число является десятизначным, его первая цифра не может быть нулём. Поэтому на первое место ставится наименьшая из возможных ненулевых цифр — 1, а на второе — наименьшая из оставшихся — 0.

По условию, число должно делиться на 5. Согласно признаку делимости на 5, последняя цифра числа должна быть либо 0, либо 5. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: последняя цифра — 0.
Если последняя цифра 0, то для составления первых девяти разрядов числа используются оставшиеся цифры: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Чтобы число было наименьшим, их нужно расположить в порядке возрастания. Таким образом, получаем число 1 234 567 890.

Случай 2: последняя цифра — 5.
Если последняя цифра 5, то для составления первых девяти разрядов числа используются оставшиеся цифры: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Чтобы число было наименьшим, на первое место ставим наименьшую ненулевую цифру (1), на второе — наименьшую из оставшихся (0), а остальные цифры {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} располагаем в порядке возрастания. Таким образом, получаем число 1 023 467 895.

Сравнивая числа, полученные в обоих случаях (1 234 567 890 и 1 023 467 895), видим, что второе число меньше, так как его цифра в разряде сотен миллионов (0) меньше, чем у первого числа (2). Следовательно, наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям — это 1 023 467 895.

Ответ: 1 023 467 895.

б) Чтобы найти наибольшее десятизначное число, составленное из всех цифр от 0 до 9 по одному разу, необходимо расставить эти цифры в порядке убывания слева направо.

Расположим цифры {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} в порядке убывания и получим число 9 876 543 210. Это самое большое число, которое можно составить из данных цифр.

По условию, число должно делиться на 2. Согласно признаку делимости на 2, число должно быть чётным, то есть его последняя цифра должна быть одной из следующих: {0, 2, 4, 6, 8}.

Проверим полученное нами число 9 876 543 210. Его последняя цифра — 0. Так как 0 — это чётная цифра, число 9 876 543 210 делится на 2.

Поскольку самое большое из возможных чисел, которое можно составить из данных цифр, уже удовлетворяет условию делимости на 2, оно и является искомым ответом.

Ответ: 9 876 543 210.

6.51 Исследуем

1) Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число?

2) Для каждой цифры, на которую может оканчиваться многозначное простое число, приведите три-четыре примера.

1) Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число?

Простое число — это натуральное число больше $1$, которое делится без остатка только на $1$ и на само себя. Многозначное число — это число, которое больше $9$.

Последняя цифра числа определяет некоторые его делители. Проанализируем все возможные варианты последней цифры:

— Если многозначное число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), оно делится на $2$. Единственное простое число, которое делится на $2$, — это само число $2$. Но $2$ не является многозначным. Любое многозначное число, оканчивающееся на четную цифру, будет составным (поскольку оно больше $2$ и делится на $2$).

— Если многозначное число оканчивается на $5$, оно делится на $5$. Единственное простое число, которое делится на $5$, — это само число $5$. Но $5$ не является многозначным. Любое многозначное число, оканчивающееся на $5$, будет составным (поскольку оно больше $5$ и делится на $5$).

Следовательно, многозначные простые числа могут оканчиваться только на цифры 1, 3, 7, 9.

Ответ: 0, 2, 4, 5, 6, 8.

2) Для каждой цифры, на которую может оканчиваться многозначное простое число, приведите три-четыре примера.

Многозначное простое число может оканчиваться на 1, 3, 7 или 9. Приведем примеры для каждой из этих цифр.

Оканчиваются на 1: 11, 31, 41, 61, 71.

Оканчиваются на 3: 13, 23, 43, 53, 73.

Оканчиваются на 7: 17, 37, 47, 67, 97.

Оканчиваются на 9: 19, 29, 59, 79, 89.

Ответ: На 1: 11, 31, 41, 61. На 3: 13, 23, 43, 53. На 7: 17, 37, 47, 67. На 9: 19, 29, 59, 79.

6.52 Найдите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 153.

Подсказка. Воспользуйтесь приёмом решения задач на уравнивание.

Для решения этой задачи обозначим меньшее из двух последовательных натуральных чисел через $x$. Поскольку числа являются последовательными, следующее (большее) число будет равно $x + 1$.

По условию задачи, сумма этих двух чисел равна 153. Составим уравнение на основе этого условия:

$x + (x + 1) = 153$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$2x + 1 = 153$

Далее, чтобы найти удвоенное меньшее число (что соответствует приёму «на уравнивание»), вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2x = 153 - 1$

$2x = 152$

Найдём значение $x$, разделив 152 на 2:

$x = \frac{152}{2}$

$x = 76$

Таким образом, меньшее из двух чисел равно 76. Чтобы найти второе (большее) число, прибавим к нему 1:

$76 + 1 = 77$

Проверим, верны ли найденные числа. Числа 76 и 77 являются последовательными натуральными числами. Их сумма: $76 + 77 = 153$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 76 и 77.

6.53 Найдите:

а) число, кратное 70, заключённое в промежутке от 500 до 600;

б) первое число, кратное 80, которое больше 1000.

а)

Чтобы найти число, кратное 70, которое находится в промежутке от 500 до 600, нужно найти такое целое число $k$, что $500 < 70 \cdot k < 600$.

Для этого разделим все части неравенства на 70:

$500 / 70 < k < 600 / 70$

$50 / 7 < k < 60 / 7$

$7.14... < k < 8.57...$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = 8$.

Теперь найдем искомое число, умножив 70 на $k$:

$70 \cdot 8 = 560$

Число 560 находится в промежутке от 500 до 600.

Ответ: 560

б)

Чтобы найти первое число, кратное 80, которое больше 1000, нужно найти наименьшее целое число $m$, для которого выполняется неравенство $80 \cdot m > 1000$.

Разделим обе части неравенства на 80:

$m > 1000 / 80$

$m > 12.5$

Наименьшее целое число $m$, которое больше 12.5, — это $m = 13$.

Теперь найдем искомое число, умножив 80 на $m$:

$80 \cdot 13 = 1040$

Это первое число, кратное 80, которое больше 1000, так как предыдущее кратное ($80 \cdot 12 = 960$) меньше 1000.

Ответ: 1040

6.54 Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение (сделайте рисунок):

1) В любом четырёхугольнике есть прямой угол.

2) Диагонали любого четырёхугольника равны.

3) Если угол больше острого угла, то он тупой.

1)

Данное утверждение является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести пример четырёхугольника (контрпример), в котором нет ни одного прямого угла. Таким четырёхугольником является, например, ромб, который не является квадратом.

Рассмотрим ромб ABCD, в котором углы $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = \angle D = 120^\circ$. Сумма углов равна $60^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Этот четырёхугольник существует, но ни один из его углов не равен $90^\circ$ (прямому углу).

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$.

2)

Это утверждение также ложно. Контрпримером может служить любой ромб, не являющийся квадратом, или любой параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Диагонали в таких фигурах имеют разную длину.

Рассмотрим тот же ромб ABCD. Его диагонали — это отрезки AC и BD. Как видно из рисунка, их длины не равны: диагональ AC (большая диагональ) длиннее диагонали BD (меньшая диагональ).

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является ромб, у которого диагонали не равны.

3)

Данное утверждение является ложным. Вспомним определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Чтобы опровергнуть утверждение, нужно найти угол, который больше некоторого острого угла, но при этом не является тупым. Возьмём в качестве контрпримера прямой угол, равный $90^\circ$. Он больше любого острого угла, например, $80^\circ$ (так как $90^\circ > 80^\circ$). Однако прямой угол не является тупым, так как по определению тупой угол должен быть строго больше $90^\circ$.

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является прямой угол.

6.55 Скопируйте четырехугольник, изображённый на рисунке 6.3, в тетрадь. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

Рис. 6.3

Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = PK + KN + NT + TP$.
Четырехугольник PKNT изображен на клетчатой бумаге, поэтому для нахождения длин сторон можно использовать теорему Пифагора. Примем длину стороны одной клетки за 1 единицу.

Из рисунка видно, что диагонали KN и PT четырехугольника взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Длина каждой полудиагонали равна 2 клеткам. Четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом. У ромба все стороны равны: $PK = KN = NT = TP$.

Следовательно, для нахождения периметра достаточно найти длину одной стороны и умножить ее на 4. Найдем длину стороны PK. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого — это полудиагонали длиной 2 единицы каждая.

Согласно теореме Пифагора:
$PK^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
$PK = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ единиц.

Теперь вычислим периметр ромба:
$P = 4 \cdot PK = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ единиц.

Ответ: $8\sqrt{2}$