Номер 6.54, страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.3. Признаки делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.54, страница 122.

6.54 Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение (сделайте рисунок):

1) В любом четырёхугольнике есть прямой угол.

2) Диагонали любого четырёхугольника равны.

3) Если угол больше острого угла, то он тупой.

1)

Данное утверждение является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести пример четырёхугольника (контрпример), в котором нет ни одного прямого угла. Таким четырёхугольником является, например, ромб, который не является квадратом.

Рассмотрим ромб ABCD, в котором углы $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = \angle D = 120^\circ$. Сумма углов равна $60^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Этот четырёхугольник существует, но ни один из его углов не равен $90^\circ$ (прямому углу).

Рисунок 1: Ромб, в котором нет прямых углов

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$.

2)

Это утверждение также ложно. Контрпримером может служить любой ромб, не являющийся квадратом, или любой параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Диагонали в таких фигурах имеют разную длину.

Рассмотрим тот же ромб ABCD. Его диагонали — это отрезки AC и BD. Как видно из рисунка, их длины не равны: диагональ AC (большая диагональ) длиннее диагонали BD (меньшая диагональ).

Рисунок 2: Ромб с неравными диагоналями

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является ромб, у которого диагонали не равны.

3)

Данное утверждение является ложным. Вспомним определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Чтобы опровергнуть утверждение, нужно найти угол, который больше некоторого острого угла, но при этом не является тупым. Возьмём в качестве контрпримера прямой угол, равный $90^\circ$. Он больше любого острого угла, например, $80^\circ$ (так как $90^\circ > 80^\circ$). Однако прямой угол не является тупым, так как по определению тупой угол должен быть строго больше $90^\circ$.

Рисунок 3: Прямой угол ($90^\circ$) больше острого угла ($80^\circ$), но не является тупым

Ответ: Утверждение неверно, контрпримером является прямой угол.