Номер 6.9, страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 6. Делимость чисел. 6.1. Делители и кратные. Упражнения - номер 6.9, страница 113.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (6.9–6.11)

6.9 a) Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего. Когда он стёр решение, на доске осталось число 70. Восстановите Колино решение.

б) Серёжа записал ряд последовательных кратных некоторого числа, начиная с наименьшего, и на двенадцатом месте у него оказалось число 60. Найдите первое, шестое и двадцатое число в этом ряду.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

По условию, Коля записал десять последовательных чисел, кратных 14. Это арифметическая прогрессия, разность которой равна 14. Одно из чисел в этой последовательности — 70.

Будем исходить из предположения, что Коля записал последовательность первых десяти натуральных чисел, кратных 14. Такая последовательность начинается с наименьшего положительного кратного, то есть с числа 14.

Первый член последовательности: $a_1 = 14 \times 1 = 14$.
Второй член: $a_2 = 14 \times 2 = 28$.
И так далее, до десятого члена: $a_{10} = 14 \times 10 = 140$.

Проверим, содержится ли в этой последовательности число 70. Да, содержится: $70 = 14 \times 5$, значит, это пятый член последовательности.

Таким образом, восстановленное решение Коли — это ряд чисел:

14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

Этот ряд удовлетворяет всем условиям задачи: это десять последовательных чисел, кратных 14, они записаны в порядке возрастания (начиная с наименьшего), и число 70 присутствует в ряду.

Ответ: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

б)

Пусть $d$ — это число, последовательные кратные которого записывал Серёжа. Ряд последовательных натуральных кратных числа $d$ можно представить в виде арифметической прогрессии $d, 2d, 3d, \dots$.

Общая формула для $n$-го члена этой последовательности: $a_n = n \times d$.

Из условия известно, что двенадцатый член последовательности равен 60:

$a_{12} = 60$

Подставим $n=12$ в общую формулу и составим уравнение:

$12 \times d = 60$

Решив уравнение, найдем $d$:

$d = \frac{60}{12} = 5$

Значит, Серёжа записывал последовательные числа, кратные 5.

Теперь мы можем найти требуемые члены последовательности:

• Первое число: $a_1 = 1 \times d = 1 \times 5 = 5$.
• Шестое число: $a_6 = 6 \times d = 6 \times 5 = 30$.
• Двадцатое число: $a_{20} = 20 \times d = 20 \times 5 = 100$.

Ответ: первое число – 5, шестое число – 30, двадцатое число – 100.