Номер 6.9, страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.9, страница 113.

РАССУЖДАЕМ (6.9–6.11)

6.9 a) Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего. Когда он стёр решение, на доске осталось число 70. Восстановите Колино решение.

б) Серёжа записал ряд последовательных кратных некоторого числа, начиная с наименьшего, и на двенадцатом месте у него оказалось число 60. Найдите первое, шестое и двадцатое число в этом ряду.

а)

По условию, Коля записал десять последовательных чисел, кратных 14. Это арифметическая прогрессия, разность которой равна 14. Одно из чисел в этой последовательности — 70.

Будем исходить из предположения, что Коля записал последовательность первых десяти натуральных чисел, кратных 14. Такая последовательность начинается с наименьшего положительного кратного, то есть с числа 14.

Первый член последовательности: $a_1 = 14 \times 1 = 14$.
Второй член: $a_2 = 14 \times 2 = 28$.
И так далее, до десятого члена: $a_{10} = 14 \times 10 = 140$.

Проверим, содержится ли в этой последовательности число 70. Да, содержится: $70 = 14 \times 5$, значит, это пятый член последовательности.

Таким образом, восстановленное решение Коли — это ряд чисел:

14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

Этот ряд удовлетворяет всем условиям задачи: это десять последовательных чисел, кратных 14, они записаны в порядке возрастания (начиная с наименьшего), и число 70 присутствует в ряду.

Ответ: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

б)

Пусть $d$ — это число, последовательные кратные которого записывал Серёжа. Ряд последовательных натуральных кратных числа $d$ можно представить в виде арифметической прогрессии $d, 2d, 3d, \dots$.

Общая формула для $n$-го члена этой последовательности: $a_n = n \times d$.

Из условия известно, что двенадцатый член последовательности равен 60:

$a_{12} = 60$

Подставим $n=12$ в общую формулу и составим уравнение:

$12 \times d = 60$

Решив уравнение, найдем $d$:

$d = \frac{60}{12} = 5$

Значит, Серёжа записывал последовательные числа, кратные 5.

Теперь мы можем найти требуемые члены последовательности:

• Первое число: $a_1 = 1 \times d = 1 \times 5 = 5$.
• Шестое число: $a_6 = 6 \times d = 6 \times 5 = 30$.
• Двадцатое число: $a_{20} = 20 \times d = 20 \times 5 = 100$.

Ответ: первое число – 5, шестое число – 30, двадцатое число – 100.