Номер 4.58, страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 4.4. Задачи на уравнивание. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 4.58, страница 95.

4.58 Семья состоит из четырёх человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов 103 года?

Подсказка. Примите возраст матери за 20 частей.

Для решения задачи воспользуемся подсказкой и примем возраст матери за 20 частей. Такой выбор удобен, так как возраст матери должен делиться и на 4 (поскольку она в 4 раза старше сына), и на 5 (поскольку она в 5 раз старше дочери). Наименьшее общее кратное для 4 и 5 — это 20.

Пусть одна часть равна $x$ лет. Тогда возрасты членов семьи можно выразить следующим образом:

• Возраст матери: $20x$ лет.
• Возраст сына: мать в 4 раза старше, следовательно, возраст сына составляет $20x / 4 = 5x$ лет.
• Возраст дочери: мать в 5 раз старше, следовательно, возраст дочери составляет $20x / 5 = 4x$ лет.
• Возраст отца: отец на 5 лет старше матери, следовательно, его возраст составляет $20x + 5$ лет.

По условию, сумма всех возрастов составляет 103 года. Составим и решим уравнение, сложив возрасты всех членов семьи:

$(\text{возраст матери}) + (\text{возраст отца}) + (\text{возраст сына}) + (\text{возраст дочери}) = 103$

$(20x) + (20x + 5) + (5x) + (4x) = 103$

Приведем подобные слагаемые (части с $x$):

$49x + 5 = 103$

Теперь найдем $x$. Сначала перенесем 5 в правую часть уравнения:

$49x = 103 - 5$

$49x = 98$

Разделим обе части на 49, чтобы найти значение одной части:

$x = \frac{98}{49} = 2$

Итак, одна часть составляет 2 года. Теперь мы можем найти точный возраст каждого члена семьи, подставив значение $x=2$ в ранее полученные выражения:

• Мать: $20x = 20 \cdot 2 = 40$ лет.
• Отец: $20x + 5 = 20 \cdot 2 + 5 = 40 + 5 = 45$ лет.
• Сын: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ лет.
• Дочь: $4x = 4 \cdot 2 = 8$ лет.

Для проверки сложим полученные возрасты: $40 + 45 + 10 + 8 = 103$. Сумма сходится с условием задачи.

Ответ: возраст матери — 40 лет, возраст отца — 45 лет, возраст сына — 10 лет, возраст дочери — 8 лет.