Номер 7, страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях. 4.1. Свойства сложения и умножения. Вопросы - номер 7, страница 83.

Условие.

Вычислите сумму $5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$, используя «приём Гаусса».

Решение 6.

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в попарном сложении её членов: первого с последним, второго с предпоследним и так далее. Каждая такая пара будет давать одинаковую сумму.

Рассмотрим данную сумму: $S = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$.

Всего в сумме 6 слагаемых. Мы можем сгруппировать их в пары следующим образом:

• Сложим первое и последнее числа: $5 + 15 = 20$
• Сложим второе и предпоследнее числа: $7 + 13 = 20$
• Сложим третье и четвертое числа (оставшуюся пару в середине): $9 + 11 = 20$

Мы получили 3 пары, сумма чисел в каждой из которых равна 20.

Теперь, чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:
$S = 20 \cdot 3 = 60$

Этот же принцип лежит в основе формулы суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.
В нашем случае: $a_1 = 5$, $a_n = 15$, $n = 6$.
$S = \frac{(5 + 15) \cdot 6}{2} = \frac{20 \cdot 6}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Ответ: 60