Номер 3.132, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.5. Задачи на движение. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.132, страница 75.

3.132 Прочитайте задачу и решите её разными способами:

а) Два велосипедиста едут по шоссе в одном направлении. Скорость первого велосипедиста $10 \, км/ч$, скорость второго – $12 \, км/ч$. Сейчас расстояние между ними $6 \, км$. Сможет ли второй велосипедист догнать первого через $3 \, ч$?

Подсказка. Можно действовать по плану задачи $3.131$ «а» и сравнить полученный результат с $3 \, ч$; другой способ – выяснить, где будут находиться на дороге велосипедисты относительно друг друга через $3 \, ч$ (используйте для наглядности рисунок).

б) Расстояние между посёлками А и В по шоссе $24 \, км$. Из посёлка А по направлению к посёлку В выехал велосипедист со скоростью $12 \, км/ч$. Одновременно с ним из посёлка В в том же направлении вышел пешеход со скоростью $4 \, км/ч$. Через какое время велосипедист сможет догнать пешехода?

а)

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Через скорость сближения

1. Сначала найдем скорость, с которой второй велосипедист догоняет первого. Это называется скоростью сближения. Так как они едут в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = 12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$

2. Теперь мы знаем, что расстояние между велосипедистами сокращается на 2 км каждый час. Чтобы узнать, за какое время второй велосипедист покроет начальное расстояние в 6 км, разделим это расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Время, которое потребуется второму велосипедисту, чтобы догнать первого, составляет ровно 3 часа. Значит, он сможет это сделать.

Способ 2: Через расчет местоположения

1. Выясним, какое расстояние проедет каждый из велосипедистов за 3 часа.

Расстояние, которое проедет первый велосипедист: $S_1 = 10 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 30 \text{ км}$

Расстояние, которое проедет второй велосипедист: $S_2 = 12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$

2. Теперь определим их конечное положение. Предположим, что второй велосипедист стартует с отметки 0 км. Тогда первый в этот момент находится на отметке 6 км.

Положение первого велосипедиста через 3 часа: $6 \text{ км} + 30 \text{ км} = 36 \text{ км}$

Положение второго велосипедиста через 3 часа: $0 \text{ км} + 36 \text{ км} = 36 \text{ км}$

Поскольку через 3 часа они окажутся в одной и той же точке (на 36-м километре), это означает, что второй велосипедист догонит первого.

Ответ: да, сможет.

б)

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое велосипедист догонит пешехода, нужно использовать понятие скорости сближения.

1. Найдем скорость сближения. Так как велосипедист и пешеход движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пеш} = 12 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Это означает, что расстояние между ними сокращается на 8 км каждый час.

2. Начальное расстояние между посёлками, а значит и между велосипедистом и пешеходом, составляет 24 км. Чтобы найти время, через которое велосипедист догонит пешехода, разделим это расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{24 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Ответ: велосипедист сможет догнать пешехода через 3 часа.