Номер 3.82, страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.3. Порядок действий в вычислениях. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.82, страница 64.

3.82 Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см? 5 кусков длиной 15 см? Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

Решите задачу (3.83-3.85).

Пусть $x$ — количество кусков проволоки длиной 15 см, а $y$ — количество кусков длиной 10 см. Так как общая длина проволоки составляет 110 см и ее нужно разрезать без остатка, мы можем составить уравнение: $15x + 10y = 110$ где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$). Для удобства разделим обе части уравнения на 5: $3x + 2y = 22$

Можно ли выполнить задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см?

Если $x = 6$, подставим это значение в уравнение: $3 \cdot 6 + 2y = 22$ $18 + 2y = 22$ $2y = 22 - 18$ $2y = 4$ $y = 2$
Мы получили целое неотрицательное число для $y$. Это означает, что можно отрезать 6 кусков по 15 см и 2 куска по 10 см.
Ответ: Да, можно.

Можно ли выполнить задачу, если будет отрезано 5 кусков длиной 15 см?

Если $x = 5$, подставим это значение в уравнение: $3 \cdot 5 + 2y = 22$ $15 + 2y = 22$ $2y = 22 - 15$ $2y = 7$ $y = 3.5$
Количество кусков не может быть дробным числом, поэтому такое разрезание невозможно.
Ответ: Нет, нельзя.

Каким может быть число 15-сантиметровых кусков?

Нам нужно найти все возможные целые неотрицательные значения $x$, для которых $y$ также будет целым и неотрицательным. Из уравнения $3x + 2y = 22$ выразим $y$: $y = \frac{22 - 3x}{2}$
Чтобы $y$ было целым числом, выражение $(22 - 3x)$ должно быть чётным. Так как 22 — чётное, то и $3x$ должно быть чётным. Это возможно, только если $x$ — чётное число.
Кроме того, должно выполняться условие $y \ge 0$, откуда $22 - 3x \ge 0$, то есть $3x \le 22$ или $x \le 7\frac{1}{3}$.
Таким образом, $x$ должен быть чётным неотрицательным целым числом, не превосходящим $7\frac{1}{3}$.
Ответ: Число 15-сантиметровых кусков может быть 0, 2, 4 или 6.

Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

Для каждого возможного значения $x$ (0, 2, 4, 6) находим соответствующее значение $y$ и составляем числовое выражение.

• Если $x=0$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 0}{2} = 11$. Выражение: $0 \cdot 15 + 11 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=2$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Выражение: $2 \cdot 15 + 8 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=4$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Выражение: $4 \cdot 15 + 5 \cdot 10 = 110$.
• Если $x=6$: $y = \frac{22 - 3 \cdot 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Выражение: $6 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 110$.

Ответ:
$0 \cdot 15 + 11 \cdot 10 = 110$
$2 \cdot 15 + 8 \cdot 10 = 110$
$4 \cdot 15 + 5 \cdot 10 = 110$
$6 \cdot 15 + 2 \cdot 10 = 110$