Номер 3.12, страница 52 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.1. Сложение и вычитание. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.12, страница 52.

3.12 Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 3.1). Сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С? Найдите самый короткий маршрут.

Рис. 3.1

Сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С?

Чтобы определить общее количество маршрутов из пункта А в пункт С, проанализируем схему дорог. Любой путь из А в С должен пройти через промежуточный пункт P.
Сначала посчитаем количество способов добраться из пункта А в пункт P. Есть два варианта:
1. Через пункт B: маршрут А → B → P.
2. Через пункт D: маршрут А → D → P.
Итого, из А в P ведут 2 различных пути.

Далее посчитаем количество способов добраться из пункта P в пункт C. Также есть два варианта:
1. Через пункт M: маршрут P → M → C.
2. Через пункт N: маршрут P → N → C.
Итого, из P в C ведут 2 различных пути.

Общее количество маршрутов из А в С находится по правилу умножения в комбинаторике: нужно перемножить количество вариантов на каждом независимом участке пути.
$N = (\text{число путей из А в P}) \times (\text{число путей из P в C}) = 2 \times 2 = 4$.
Таким образом, существует 4 различных маршрута из А в С.

Ответ: из пункта А в пункт С можно проехать 4 маршрутами.

Найдите самый короткий маршрут.

Чтобы найти самый короткий маршрут, рассчитаем длину каждого из четырех возможных маршрутов путем сложения длин его участков.

1. Маршрут А → B → P → M → C:
Длина = $37 \text{ км} + 22 \text{ км} + 26 \text{ км} + 17 \text{ км} = 102 \text{ км}$.

2. Маршрут А → B → P → N → C:
Длина = $37 \text{ км} + 22 \text{ км} + 25 \text{ км} + 21 \text{ км} = 105 \text{ км}$.

3. Маршрут А → D → P → M → C:
Длина = $42 \text{ км} + 19 \text{ км} + 26 \text{ км} + 17 \text{ км} = 104 \text{ км}$.

4. Маршрут А → D → P → N → C:
Длина = $42 \text{ км} + 19 \text{ км} + 25 \text{ км} + 21 \text{ км} = 107 \text{ км}$.

Сравнив длины всех маршрутов ($102 \text{ км}$, $105 \text{ км}$, $104 \text{ км}$, $107 \text{ км}$), мы видим, что наименьшая длина составляет 102 км.

Ответ: самый короткий маршрут А → B → P → M → C, его длина составляет 102 км.