Номер 1165, страница 236, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1165 Начерти на плоскости произвольный четырёхугольник и соедини последовательно середины его сторон. Измерь углы и стороны образовавшегося четырёхугольника. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённого исследования утверждать, что выявленное свойство выполняется для любого четырёхугольника?

Для решения этой задачи выполним последовательно все указанные действия.

1. Начертим произвольный четырёхугольник и соединим середины его сторон.

Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD. Отметим на его сторонах середины: K — середина AB, L — середина BC, M — середина CD и N — середина DA. Соединим эти точки последовательно, получив четырёхугольник KLMN.

2. Измерим углы и стороны образовавшегося четырёхугольника. Что ты замечаешь?

Проведя измерения с помощью линейки и транспортира, мы заметим следующие закономерности:

• Противоположные стороны получившегося четырёхугольника KLMN попарно равны: $KL = MN$ и $LM = NK$.
• Противоположные углы также попарно равны: $\angle NKL = \angle LMN$ и $\angle KLM = \angle MNK$.

Повторив этот эксперимент ещё 2 раза с другими четырёхугольниками (например, с невыпуклым или с трапецией), мы обнаружим то же самое свойство.

Наблюдение заключается в том, что фигура, образованная серединами сторон произвольного четырёхугольника, всегда оказывается параллелограммом.

Ответ: Образовавшийся четырёхугольник является параллелограммом, так как его противолежащие стороны и углы попарно равны.

3. Сформулируй гипотезу.

На основе проведённых экспериментов можно выдвинуть следующую гипотезу.

Ответ: Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.

4. Можно ли на основании проведённого исследования утверждать, что выявленное свойство выполняется для любого четырёхугольника?

Нет, на основании только нескольких экспериментов нельзя делать окончательный вывод для всех без исключения случаев. Эксперимент, даже многократно повторённый, даёт лишь правдоподобную гипотезу, но не является строгим математическим доказательством. Всегда может существовать нерассмотренный случай (контрпример), который опровергнет гипотезу. Для того чтобы утверждать, что свойство выполняется для любого четырёхугольника, необходимо его доказать теоретически.

Доказательство гипотезы (Теорема Вариньона):

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD и построенный на серединах его сторон четырёхугольник KLMN. Проведём диагональ AC.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. По свойству средней линии треугольника, отрезок KL параллелен стороне AC и равен её половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.
2. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. По тому же свойству средней линии, отрезок MN параллелен стороне AC и равен её половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $KL \parallel MN$ (так как они оба параллельны AC) и $KL = MN$ (так как они оба равны $\frac{1}{2} AC$).
4. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, KLMN — параллелограмм.

Доказательство завершено. Гипотеза верна для любого четырёхугольника (включая невыпуклые и самопересекающиеся).

Ответ: Нет, на основании исследования утверждать этого нельзя, так как эксперимент не является доказательством. Однако это свойство действительно выполняется для любого четырёхугольника, что доказывается с помощью теоремы о средней линии треугольника (это утверждение известно как теорема Вариньона).