Номер 1161, страница 236, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1161 Мотоциклист проезжает путь от деревни до станции за 0,3 ч. Он выехал из деревни, когда велосипедист, следующий по тому же маршруту со скоростью 15 км/ч, уже отъехал на расстояние 9 км. На станцию велосипедист и мотоциклист прибыли одновременно.

1) С какой скоростью ехал мотоциклист?

2) Чему равно расстояние от деревни до станции?

3) За сколько времени проехал расстояние от деревни до станции велосипедист?

4) На каком расстоянии от велосипедиста был мотоциклист через 10 мин после своего выезда?

1) С какой скоростью ехал мотоциклист?

Для нахождения скорости мотоциклиста ($v_{мото}$) необходимо знать расстояние ($S$) и время ($t_{мото}$). Время нам дано: $t_{мото} = 0,3$ ч. Расстояние $S$ нужно вычислить.

Сначала найдем время, которое велосипедист был в пути до выезда мотоциклиста. Он проехал 9 км со скоростью $v_{вело} = 15$ км/ч.
Время этого начального этапа: $t_{форы} = \frac{9 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 0,6$ ч.

Поскольку оба прибыли на станцию одновременно, то оставшуюся часть пути велосипедист ехал столько же, сколько мотоциклист весь свой путь, то есть 0,3 ч.

Общее время движения велосипедиста от деревни до станции:
$t_{вело} = t_{форы} + t_{мото} = 0,6 \text{ ч} + 0,3 \text{ ч} = 0,9$ ч.

Теперь найдем общее расстояние $S$ от деревни до станции, используя данные велосипедиста:
$S = v_{вело} \times t_{вело} = 15 \text{ км/ч} \times 0,9 \text{ ч} = 13,5$ км.

Зная расстояние ($S=13,5$ км) и время ($t_{мото}=0,3$ ч), находим скорость мотоциклиста:
$v_{мото} = \frac{S}{t_{мото}} = \frac{13,5 \text{ км}}{0,3 \text{ ч}} = 45$ км/ч.

Ответ: 45 км/ч.

2) Чему равно расстояние от деревни до станции?

Как было вычислено в предыдущем пункте, расстояние от деревни до станции составляет 13,5 км.
Приведем также альтернативный способ расчета. В момент старта мотоциклиста велосипедист находился на расстоянии 9 км от деревни. Мотоциклист и велосипедист ехали до станции 0,3 часа, так как они прибыли одновременно. За это время велосипедист проехал:
$S_{остаток} = v_{вело} \times t_{мото} = 15 \text{ км/ч} \times 0,3 \text{ ч} = 4,5$ км.

Общее расстояние равно сумме начального отрезка и оставшегося:
$S = 9 \text{ км} + S_{остаток} = 9 \text{ км} + 4,5 \text{ км} = 13,5$ км.

Ответ: 13,5 км.

3) За сколько времени проехал расстояние от деревни до станции велосипедист?

Полное время движения велосипедиста ($t_{вело}$) можно найти, разделив общее расстояние ($S = 13,5$ км) на его скорость ($v_{вело} = 15$ км/ч).
$t_{вело} = \frac{S}{v_{вело}} = \frac{13,5 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 0,9$ ч.

Как мы уже выяснили в пункте 1, это время также можно найти, сложив время его "форы" (0,6 ч) и время совместного движения (0,3 ч).
$0,9$ часа = $0,9 \times 60 = 54$ минуты.

Ответ: 0,9 ч.

4) На каком расстоянии от велосипедиста был мотоциклист через 10 мин после своего выезда?

Сначала переведем 10 минут в часы:
$t = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ ч.

Определим положение каждого участника движения относительно деревни через это время. Отсчет времени ($t=0$) начинается с момента выезда мотоциклиста.
Положение мотоциклиста:
$S_{мото} = v_{мото} \times t = 45 \text{ км/ч} \times \frac{1}{6} \text{ ч} = 7,5$ км.

Положение велосипедиста, который в момент $t=0$ уже находился на отметке 9 км:
$S_{вело} = 9 \text{ км} + v_{вело} \times t = 9 \text{ км} + 15 \text{ км/ч} \times \frac{1}{6} \text{ ч} = 9 \text{ км} + 2,5 \text{ км} = 11,5$ км.

Расстояние между ними равно разности их положений:
$\Delta S = S_{вело} - S_{мото} = 11,5 \text{ км} - 7,5 \text{ км} = 4$ км.

Альтернативное решение через скорость сближения. Мотоциклист догоняет велосипедиста со скоростью:
$v_{сближения} = v_{мото} - v_{вело} = 45 \text{ км/ч} - 15 \text{ км/ч} = 30$ км/ч.
Изначальное расстояние между ними было 9 км. За 10 мин ($\frac{1}{6}$ ч) это расстояние сократилось на:
$d_{сокращ.} = v_{сближения} \times t = 30 \text{ км/ч} \times \frac{1}{6} \text{ ч} = 5$ км.
Новое расстояние между ними:
$\Delta S = 9 \text{ км} - 5 \text{ км} = 4$ км.

Ответ: 4 км.