Номер 1164, страница 236, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1164 Реши задачу методом перебора.

Цифры двузначного числа поменяли местами. В результате получилось число, которое в 4,5 раза больше данного. Какое это число?

Пусть искомое двузначное число $N$ состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда его можно записать как $N = 10a + b$. При этом $a$ — это цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9.

Новое число $N'$, полученное после перестановки цифр, равно $N' = 10b + a$.

По условию задачи, новое число в 4,5 раза больше исходного: $N' = 4.5 \cdot N$. Решим задачу методом перебора, предварительно сузив область поиска с помощью анализа этого равенства.

1. Так как новое число $N'$ больше исходного $N$, это означает, что $b > a$.

2. Запишем равенство в виде $10b + a = 4.5 \cdot (10a + b)$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 2: $2(10b + a) = 9(10a + b)$. Из этого равенства видно, что левая часть $2(10b + a)$ делится на 9. Поскольку числа 2 и 9 взаимно простые, то само число $(10b + a)$, то есть $N'$, должно быть кратно 9.

3. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Цифры числа $N'$ – это $b$ и $a$. Следовательно, их сумма $a + b$ должна быть кратна 9.

4. Учитывая, что $a$ и $b$ – это цифры, причем $a \ge 1$ и $b > a$, найдем возможные значения суммы $a+b$. Максимально возможная сумма для двух разных цифр – это $8+9=17$. Единственное число, кратное 9, которое можно получить, складывая две разные цифры (где первая не ноль), это 9. Значит, $a+b=9$.

Теперь выполним перебор (проверку) всех пар цифр $(a, b)$, для которых выполняются условия $a+b=9$ и $b>a$:

• Если $a=1$, то $b=8$. Исходное число $N=18$. Новое число $N'=81$. Проверяем условие: $18 \cdot 4.5 = 81$. Равенство $81 = 81$ верно. Это искомое число.
• Если $a=2$, то $b=7$. Исходное число $N=27$. Новое число $N'=72$. Проверяем условие: $27 \cdot 4.5 = 121.5$. Равенство $72 = 121.5$ неверно.
• Если $a=3$, то $b=6$. Исходное число $N=36$. Новое число $N'=63$. Проверяем условие: $36 \cdot 4.5 = 162$. Равенство $63 = 162$ неверно.
• Если $a=4$, то $b=5$. Исходное число $N=45$. Новое число $N'=54$. Проверяем условие: $45 \cdot 4.5 = 202.5$. Равенство $54 = 202.5$ неверно.

При $a \ge 5$ условие $b>a$ при сумме $a+b=9$ уже не будет выполняться.

Таким образом, перебор показал, что единственное число, удовлетворяющее условию задачи, — это 18.

Ответ: 18.