Номер 3, страница 86 - гдз по математике 5 класс рабочая тетрадь Ткачева

51. Измерение углов. Транспортир. Параграф 7. Инструменты для вычислений и измерений - номер 3, страница 86.

Условие 2024.

3. Измерьте и запишите величины углов, изображённых на рисунке (с. 87):

$\angle CAD = $

$\angle OPK = $

$\angle MLK = $

$\angle CEF = $

$\angle DEF = $

$\angle BAO = $

$\angle BPM = $

Решение 2024.

Решение 2 2024.

Для точного определения величин углов воспользуемся координатным методом. Введем систему координат, в которой начало (0,0) находится в левом нижнем углу сетки на рисунке. Шаг сетки примем за 1 единицу. Тогда координаты вершин будут следующими:

A(6, 10), B(1, 6), C(0, 4), D(4, 3), E(8, 0), F(16, 2), K(13, 8), L(9, 10), M(10, 7), O(7, 5), P(9, 4).

∠CAD

Вершина угла — точка A. Координаты точек: A(6, 10), C(0, 4), D(4, 3).

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$, исходящие из вершины угла:

$\vec{AC} = \{0-6; 4-10\} = \{-6; -6\}$

$\vec{AD} = \{4-6; 3-10\} = \{-2; -7\}$

Для нахождения косинуса угла между векторами используем формулу скалярного произведения: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (-6) \cdot (-2) + (-6) \cdot (-7) = 12 + 42 = 54$.

Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$, $|\vec{AD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4+49} = \sqrt{53}$.

$\cos(\angle CAD) = \frac{54}{\sqrt{72} \cdot \sqrt{53}} = \frac{54}{\sqrt{3816}} \approx 0.874$.

$\angle CAD = \arccos\left(\frac{54}{\sqrt{3816}}\right) \approx 29.05^\circ$.

Округляя до целого, получаем $29^\circ$.

Ответ: $29^\circ$

∠OPK

Вершина угла — точка P. Координаты точек: O(7, 5), P(9, 4), K(13, 8).

Векторы: $\vec{PO} = \{7-9; 5-4\} = \{-2; 1\}$ и $\vec{PK} = \{13-9; 8-4\} = \{4; 4\}$.

Скалярное произведение: $\vec{PO} \cdot \vec{PK} = (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 4 = -8 + 4 = -4$.

Длины векторов: $|\vec{PO}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$, $|\vec{PK}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32}$.

$\cos(\angle OPK) = \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{32}} = \frac{-4}{\sqrt{160}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \approx -0.316$.

$\angle OPK = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right) \approx 108.43^\circ$.

Округляя до целого, получаем $108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$

∠MLK

Вершина угла — точка L. Координаты точек: M(10, 7), L(9, 10), K(13, 8).

Векторы: $\vec{LM} = \{10-9; 7-10\} = \{1; -3\}$ и $\vec{LK} = \{13-9; 8-10\} = \{4; -2\}$.

Скалярное произведение: $\vec{LM} \cdot \vec{LK} = 1 \cdot 4 + (-3) \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$.

Длины векторов: $|\vec{LM}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$, $|\vec{LK}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$.

$\cos(\angle MLK) = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}} = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\angle MLK = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

∠CEF

Вершина угла — точка E. Координаты точек: C(0, 4), E(8, 0), F(16, 2).

Векторы: $\vec{EC} = \{0-8; 4-0\} = \{-8; 4\}$ и $\vec{EF} = \{16-8; 2-0\} = \{8; 2\}$.

Скалярное произведение: $\vec{EC} \cdot \vec{EF} = (-8) \cdot 8 + 4 \cdot 2 = -64 + 8 = -56$.

Длины векторов: $|\vec{EC}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2} = \sqrt{80}$, $|\vec{EF}| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}$.

$\cos(\angle CEF) = \frac{-56}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{68}} = \frac{-56}{\sqrt{5440}} = \frac{-7}{\sqrt{85}} \approx -0.759$.

$\angle CEF = \arccos\left(\frac{-7}{\sqrt{85}}\right) \approx 139.40^\circ$.

Округляя до целого, получаем $139^\circ$.

Ответ: $139^\circ$

∠DEF

Вершина угла — точка E. Координаты точек: D(4, 3), E(8, 0), F(16, 2).

Векторы: $\vec{ED} = \{4-8; 3-0\} = \{-4; 3\}$ и $\vec{EF} = \{16-8; 2-0\} = \{8; 2\}$.

Скалярное произведение: $\vec{ED} \cdot \vec{EF} = (-4) \cdot 8 + 3 \cdot 2 = -32 + 6 = -26$.

Длины векторов: $|\vec{ED}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$, $|\vec{EF}| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}$.

$\cos(\angle DEF) = \frac{-26}{5 \cdot \sqrt{68}} = \frac{-26}{5 \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{-13}{5\sqrt{17}} \approx -0.631$.

$\angle DEF = \arccos\left(\frac{-13}{5\sqrt{17}}\right) \approx 129.09^\circ$.

Округляя до целого, получаем $129^\circ$.

Ответ: $129^\circ$

∠BAO

Вершина угла — точка A. Координаты точек: B(1, 6), A(6, 10), O(7, 5).

Векторы: $\vec{AB} = \{1-6; 6-10\} = \{-5; -4\}$ и $\vec{AO} = \{7-6; 5-10\} = \{1; -5\}$.

Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AO} = (-5) \cdot 1 + (-4) \cdot (-5) = -5 + 20 = 15$.

Длины векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$, $|\vec{AO}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$.

$\cos(\angle BAO) = \frac{15}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{26}} = \frac{15}{\sqrt{1066}} \approx 0.459$.

$\angle BAO = \arccos\left(\frac{15}{\sqrt{1066}}\right) \approx 62.65^\circ$.

Округляя до целого, получаем $63^\circ$.

Ответ: $63^\circ$

∠BPM

Вершина угла — точка P. Координаты точек: B(1, 6), P(9, 4), M(10, 7).

Векторы: $\vec{PB} = \{1-9; 6-4\} = \{-8; 2\}$ и $\vec{PM} = \{10-9; 7-4\} = \{1; 3\}$.

Скалярное произведение: $\vec{PB} \cdot \vec{PM} = (-8) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -8 + 6 = -2$.

Длины векторов: $|\vec{PB}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{68}$, $|\vec{PM}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.

$\cos(\angle BPM) = \frac{-2}{\sqrt{68} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-2}{\sqrt{680}} = \frac{-1}{\sqrt{170}} \approx -0.0767$.

$\angle BPM = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{170}}\right) \approx 94.40^\circ$.

Округляя до целого, получаем $94^\circ$.

Ответ: $94^\circ$