Номер 2.221, страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

11. Уравнение. § 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 2.221, страница 74.

2.221 Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

Согласно истории, школьный учитель математики предложил ученикам сложить все числа от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных концов одинаковы:

1 + 100 = 101;
2 + 99 = 101; ...

Так как чисел 100, то таких сумм (пар) будет в 2 раза меньше, то есть 100 : 2 = 500

1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) = 101 · 20 = 5050

Согласно известной математической легенде, Карл Фридрих Гаусс, будучи еще школьником, мгновенно решил задачу по сложению всех целых чисел от 1 до 100. Учитель дал это задание всему классу, чтобы занять их на долгое время, но Гаусс нашел ответ за считанные минуты, используя следующий элегантный метод.

Шаг 1: Понимание закономерности

Гаусс заметил, что если складывать числа с противоположных концов последовательности, то их сумма всегда будет одинаковой. Он записал ряд чисел $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$.

Он начал формировать пары:
• первое и последнее число: $1 + 100 = 101$
• второе и предпоследнее число: $2 + 99 = 101$
• третье и третье с конца число: $3 + 98 = 101$

Эта закономерность сохраняется для всех пар чисел.

Шаг 2: Подсчет количества пар

В последовательности от 1 до 100 всего 100 чисел. Так как для создания одной пары мы используем два числа, общее количество таких пар будет равно половине от общего количества чисел:

Количество пар = $100 / 2 = 50$

Последней такой парой будут числа в середине ряда: $50 + 51 = 101$.

Шаг 3: Вычисление общей суммы

Раз у нас есть 50 пар, и сумма каждой из них равна 101, то для нахождения общей суммы всех чисел от 1 до 100 нужно просто умножить количество пар на сумму одной пары:

Общая сумма = $50 \times 101 = 5050$