Страница 124, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Сформулируйте свойства делимости. Приведите примеры.

Свойства делимости — это правила, которые связывают отношение делимости с арифметическими операциями. Основные свойства:

• Рефлексивность: Любое натуральное число $a$ делится само на себя.
  Пример: Число $7$ делится на $7$.
• Транзитивность: Если число $a$ делится на число $b$, а число $b$ в свою очередь делится на число $c$, то число $a$ делится на число $c$.
  Пример: $48$ делится на $24$, а $24$ делится на $6$. Следовательно, $48$ делится на $6$.
• Свойство суммы и разности: Если каждое из двух чисел $a$ и $b$ делится на число $c$, то их сумма $a+b$ и разность $a-b$ также делятся на число $c$.
  Пример: Числа $27$ и $18$ делятся на $9$. Их сумма $27 + 18 = 45$ тоже делится на $9$. Их разность $27 - 18 = 9$ также делится на $9$.
• Свойство произведения: Если число $a$ делится на число $b$, то произведение числа $a$ на любое натуральное число $c$ также делится на $b$.
  Пример: Число $20$ делится на $5$. Если умножить $20$ на любое число, например на $3$, то результат $20 \times 3 = 60$ также будет делиться на $5$.
• Свойство делимости суммы (частный случай): Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число $c$, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число $c$.
  Пример: В сумме $25 + 7 = 32$ слагаемое $25$ делится на $5$, а $7$ не делится на $5$. Значит, и сумма $32$ не делится на $5$.

Ответ: Основные свойства делимости включают рефлексивность ($a$ делится на $a$), транзитивность (если $a$ делится на $b$ и $b$ делится на $c$, то $a$ делится на $c$), делимость суммы/разности (если $a$ и $b$ делятся на $c$, то $a \pm b$ делятся на $c$) и делимость произведения (если $a$ делится на $b$, то $a \times c$ делится на $b$).

По какой цифре числа устанавливается делимость на 10, 2 и 5?

Делимость на $10$, $2$ и $5$ устанавливается по последней цифре в записи числа.

• Число делится на $10$, если его последняя цифра — $0$. Например, $130$, $2500$.
• Число делится на $2$, если его последняя цифра — чётная ($0$, $2$, $4$, $6$ или $8$). Например, $32$, $194$, $588$.
• Число делится на $5$, если его последняя цифра — $0$ или $5$. Например, $75$, $190$, $3455$.

Ответ: Делимость на $10$, $2$ и $5$ устанавливается по последней цифре числа: на $10$ — если последняя цифра $0$; на $2$ — если последняя цифра $0, 2, 4, 6, 8$; на $5$ — если последняя цифра $0$ или $5$.

Какие числа называют чётными? нечётными?

Чётными называют натуральные числа, которые делятся на $2$ без остатка. Запись таких чисел оканчивается на одну из цифр: $0, 2, 4, 6, 8$. Например, $16$, $98$, $254$.

Нечётными называют натуральные числа, которые не делятся на $2$ без остатка (при делении на $2$ дают остаток $1$). Запись таких чисел оканчивается на одну из цифр: $1, 3, 5, 7, 9$. Например, $3$, $21$, $477$.

Ответ: Чётные числа делятся на $2$ без остатка (оканчиваются на $0, 2, 4, 6, 8$), а нечётные числа при делении на $2$ дают остаток $1$ (оканчиваются на $1, 3, 5, 7, 9$).

Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9. Приведите примеры.

Признаки делимости на $3$ и на $9$ связаны с суммой цифр числа.

• Признак делимости на 3: Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$.
  Пример 1: Число $486$. Сумма его цифр: $4 + 8 + 6 = 18$. Так как $18$ делится на $3$ ($18:3=6$), то и число $486$ делится на $3$ ($486:3=162$).
  Пример 2: Число $521$. Сумма его цифр: $5 + 2 + 1 = 8$. Так как $8$ не делится на $3$, то и число $521$ не делится на $3$.
• Признак делимости на 9: Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.
  Пример 1: Число $648$. Сумма его цифр: $6 + 4 + 8 = 18$. Так как $18$ делится на $9$ ($18:9=2$), то и число $648$ делится на $9$ ($648:9=72$).
  Пример 2: Число $913$. Сумма его цифр: $9 + 1 + 3 = 13$. Так как $13$ не делится на $9$, то и число $913$ не делится на $9$.

Ответ: Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$. Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$.

Почему число 2454 делится на 3 и не делится на 9?

Чтобы проверить делимость числа $2454$ на $3$ и на $9$, нужно найти сумму его цифр.

Сумма цифр числа $2454$ равна: $2 + 4 + 5 + 4 = 15$.

Далее применяем признаки делимости:

• Проверяем делимость на $3$: Сумма цифр ($15$) делится на $3$, так как $15 : 3 = 5$. Следовательно, и само число $2454$ делится на $3$ ($2454 : 3 = 818$).
• Проверяем делимость на $9$: Сумма цифр ($15$) не делится на $9$, так как $15 : 9 = 1$ (остаток $6$). Следовательно, и само число $2454$ не делится на $9$.

Таким образом, число $2454$ делится на $3$, но не делится на $9$, потому что сумма его цифр ($15$) является кратной трём, но не является кратной девяти.

Ответ: Число $2454$ делится на $3$ и не делится на $9$, потому что сумма его цифр, равная $15$, делится на $3$, но не делится на $9$.

?

Как найти частное от деления десятичной дроби на натуральное число?

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно выполнить деление "уголком" (или "столбиком"), практически так же, как и при делении натуральных чисел. Основное правило — вовремя поставить запятую в частном.

• Сначала делим целую часть десятичной дроби на натуральное число.
• Как только деление целой части заканчивается, в частном ставим запятую.
• Продолжаем деление, спуская по одной цифре из дробной части делимого.
• Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном сразу ставим 0, затем запятую, и продолжаем деление.

Рассмотрим на примере: $12,45 : 5$.

1. Делим целую часть, $12$, на $5$. Получаем $2$ и остаток $2$. Записываем $2$ в частное.
2. Деление целой части закончилось, поэтому ставим в частном запятую. Теперь частное выглядит как `2,`.
3. К остатку $2$ сносим следующую цифру из дробной части — $4$. Получаем число $24$.
4. Делим $24$ на $5$. Получаем $4$ и остаток $4$. Записываем $4$ в частное после запятой. Теперь частное — `2,4`.
5. К остатку $4$ сносим следующую цифру — $5$. Получаем число $45$.
6. Делим $45$ на $5$. Получаем $9$ и остаток $0$. Записываем $9$ в частное. Теперь частное — `2,49`.

Таким образом, $12,45 : 5 = 2,49$.

Ответ: Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натуральных чисел "уголком", но запятую в частном ставят сразу после того, как закончено деление целой части.

Чему равна целая часть частного, если делимое меньше делителя?

Если делимое (число, которое делят) меньше делителя (число, на которое делят), то результат деления (частное) всегда будет меньше единицы. Это означает, что у такого числа нет целой части, или, что то же самое, его целая часть равна нулю.

Например, при делении $3,6$ на $9$, мы видим, что $3,6 < 9$. Начнем деление: целая часть делимого, $3$, меньше делителя $9$. Поэтому в целой части частного мы пишем $0$, ставим запятую и продолжаем деление: $36$ делим на $9$, получаем $4$.
$3,6 : 9 = 0,4$. Целая часть частного равна $0$.

Ответ: Целая часть частного равна 0.

Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000?

Чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу ($10$, $100$, $1000$ и т.д.), не нужно выполнять деление столбиком. Достаточно переместить запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.

• При делении на 10 (один ноль) запятая переносится влево на 1 знак.
  Пример: $56,7 : 10 = 5,67$.
• При делении на 100 (два ноля) запятая переносится влево на 2 знака.
  Пример: $184,3 : 100 = 1,843$.
• При делении на 1000 (три ноля) запятая переносится влево на 3 знака.
  Пример: $3456,2 : 1000 = 3,4562$.

Если цифр слева от запятой не хватает для переноса, то перед числом дописывают необходимое количество нулей.
Пример: $2,5 : 100 = 0,025$. (Для переноса запятой на 2 знака влево не хватило одной цифры, поэтому мы добавили один ноль перед двойкой).

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на $10$, $100$, $1000$, нужно перенести запятую в этой дроби влево на столько позиций, сколько нулей в делителе.

Когда обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби?

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби только в одном случае: если знаменатель этой дроби после ее сокращения не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Чтобы это проверить, нужно:

1. Максимально сократить обыкновенную дробь (если она сократима).
2. Разложить знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители.
3. Посмотреть на эти множители. Если в разложении присутствуют только числа 2 и 5 (в любых степенях), то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если же в разложении встречается хотя бы один другой простой множитель (например, 3, 7, 11, 13 и т.д.), то дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример 1: Дробь $\frac{9}{12}$.
1. Сокращаем: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
2. Знаменатель равен $4$. Разложим его на простые множители: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.
3. В разложении только множитель $2$. Значит, дробь можно представить в виде конечной десятичной: $\frac{3}{4} = 0,75$.

Пример 2: Дробь $\frac{4}{30}$.
1. Сокращаем: $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
2. Знаменатель равен $15$. Разложим его на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.
3. В разложении есть множитель $3$. Значит, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной: $\frac{2}{15} = 0,1333...$

Ответ: Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда, когда знаменатель ее несократимой формы в своем разложении на простые множители содержит только множители 2 и 5.

6.209 Найдите частное:

а) Чтобы найти частное от деления $9,6$ на $6$, выполним деление столбиком или по частям.
1. Сначала делим целую часть делимого $9$ на $6$. Получаем $1$ и остаток $3$. Записываем $1$ в целую часть частного.
2. Так как мы закончили делить целую часть, ставим в частном запятую.
3. К остатку $3$ сносим следующую цифру $6$. Получаем число $36$.
4. Делим $36$ на $6$, получаем $6$. Записываем $6$ после запятой в частном.
Таким образом, $9,6 : 6 = 1,6$.
Ответ: $1,6$

б) Чтобы найти частное от деления $0,63$ на $7$:
1. Целая часть делимого равна $0$, поэтому целая часть частного также будет $0$. Ставим $0$ и запятую.
2. Следующая цифра после запятой – $6$. Так как $6$ меньше $7$, в частном после запятой пишем $0$.
3. Берем следующие две цифры после запятой, образуя число $63$. Делим $63$ на $7$, получаем $9$.
4. Записываем $9$ в частное.
Таким образом, $0,63 : 7 = 0,09$.
Ответ: $0,09$

в) Чтобы найти частное от деления $19,2$ на $8$:
1. Делим целую часть $19$ на $8$. Получаем $2$ и остаток $3$. Записываем $2$ в целую часть частного.
2. Ставим в частном запятую.
3. К остатку $3$ сносим цифру $2$. Получаем число $32$.
4. Делим $32$ на $8$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное после запятой.
Таким образом, $19,2 : 8 = 2,4$.
Ответ: $2,4$

г) Чтобы найти частное от деления $273,6$ на $9$:
1. Делим $27$ на $9$, получаем $3$. Записываем $3$ в частное.
2. Сносим следующую цифру $3$. Так как $3$ меньше $9$, записываем в частное $0$.
3. Мы дошли до запятой в делимом, поэтому ставим запятую в частном.
4. К $3$ сносим следующую цифру $6$. Получаем число $36$.
5. Делим $36$ на $9$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное.
Таким образом, $273,6 : 9 = 30,4$.
Ответ: $30,4$

д) Чтобы найти частное от деления $12,4$ на $8$:
1. Делим целую часть $12$ на $8$. Получаем $1$ и остаток $4$. Записываем $1$ в частное и ставим запятую.
2. К остатку $4$ сносим цифру $4$. Получаем число $44$.
3. Делим $44$ на $8$. Получаем $5$ и остаток $4$. Записываем $5$ в частное.
4. К остатку $4$ дописываем $0$. Получаем $40$.
5. Делим $40$ на $8$, получаем $5$. Записываем $5$ в частное.
Таким образом, $12,4 : 8 = 1,55$.
Ответ: $1,55$

е) Чтобы найти частное от деления $86,198$ на $7$:
1. Делим целую часть $86$ на $7$. Ближайшее произведение $7 \times 12 = 84$. Получаем $12$ и остаток $2$. Записываем $12$ в частное и ставим запятую.
2. К остатку $2$ сносим цифру $1$. Получаем $21$. Делим $21$ на $7$, получаем $3$. Записываем $3$ в частное.
3. Сносим $9$. Делим $9$ на $7$, получаем $1$ и остаток $2$. Записываем $1$ в частное.
4. К остатку $2$ сносим $8$. Получаем $28$. Делим $28$ на $7$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное.
Таким образом, $86,198 : 7 = 12,314$.
Ответ: $12,314$

ж) Чтобы найти частное от деления $901,6$ на $14$:
1. Делим $90$ на $14$. Ближайшее произведение $14 \times 6 = 84$. Получаем $6$ и остаток $6$. Записываем $6$ в частное.
2. К остатку $6$ сносим $1$. Получаем $61$. Делим $61$ на $14$. Ближайшее произведение $14 \times 4 = 56$. Получаем $4$ и остаток $5$. Записываем $4$ в частное.
3. Ставим в частном запятую.
4. К остатку $5$ сносим $6$. Получаем $56$. Делим $56$ на $14$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное.
Таким образом, $901,6 : 14 = 64,4$.
Ответ: $64,4$

з) Чтобы найти частное от деления $109,35$ на $27$:
1. Делим целую часть $109$ на $27$. $27 \times 4 = 108$. Получаем $4$ и остаток $1$. Записываем $4$ в частное и ставим запятую.
2. К остатку $1$ сносим $3$. Получаем $13$. Так как $13$ меньше $27$, записываем в частное $0$.
3. Сносим следующую цифру $5$. Получаем $135$.
4. Делим $135$ на $27$. Пробуем умножить $27$ на $5$: $27 \times 5 = 135$. Получаем $5$. Записываем $5$ в частное.
Таким образом, $109,35 : 27 = 4,05$.
Ответ: $4,05$

и) Чтобы найти частное от деления $0,623$ на $89$:
1. Целая часть делимого равна $0$, поэтому целая часть частного также будет $0$. Ставим $0$ и запятую.
2. Следующая цифра $6$. Так как $6 < 89$, в частном после запятой пишем $0$.
3. Берем следующие две цифры $62$. Так как $62 < 89$, в частном пишем еще один $0$.
4. Берем три цифры $623$. Делим $623$ на $89$. Для подбора частного можно округлить $89$ до $90$ и $623$ до $630$. $630:90 = 7$. Проверяем: $89 \times 7 = 623$.
5. Записываем $7$ в частное.
Таким образом, $0,623 : 89 = 0,007$.
Ответ: $0,007$

6.210 Выполните деление:

а) Чтобы разделить десятичную дробь $1,038$ на натуральное число $6$, выполним деление, не обращая внимания на запятую, а в частном поставим запятую, когда закончится деление целой части.

Целая часть делимого ($1$) меньше делителя ($6$), поэтому целая часть частного равна $0$. Ставим в частном $0$ и запятую. Далее продолжаем деление:

$10 \div 6 = 1$ (остаток $4$)

$43 \div 6 = 7$ (остаток $1$)

$18 \div 6 = 3$ (остаток $0$)

Таким образом, $1,038 : 6 = 0,173$.

Ответ: $0,173$

б) Выполним деление $0,976$ на $4$. Целая часть делимого равна $0$, поэтому в частном ставим $0$ и запятую. Далее делим $976$ на $4$:

$9 \div 4 = 2$ (остаток $1$)

$17 \div 4 = 4$ (остаток $1$)

$16 \div 4 = 4$ (остаток $0$)

Таким образом, $0,976 : 4 = 0,244$.

Ответ: $0,244$

в) Выполним деление $7,982$ на $26$. Целая часть ($7$) меньше делителя ($26$), поэтому целая часть частного равна $0$. Ставим $0$ и запятую. Далее делим, как натуральные числа:

$79 \div 26 = 3$ (остаток $1$, так как $26 \times 3 = 78$)

Сносим следующую цифру $8$, получаем $18$. $18$ меньше $26$, поэтому в частном пишем $0$.

Сносим следующую цифру $2$, получаем $182$.

$182 \div 26 = 7$ (остаток $0$, так как $26 \times 7 = 182$)

Таким образом, $7,982 : 26 = 0,307$.

Ответ: $0,307$

г) Выполним деление $3,24$ на $18$. Целая часть ($3$) меньше делителя ($18$), значит в частном целая часть равна $0$. Ставим $0$ и запятую. Далее делим $324$ на $18$:

$32 \div 18 = 1$ (остаток $14$, так как $32 - 18 = 14$)

Сносим $4$, получаем $144$.

$144 \div 18 = 8$ (остаток $0$, так как $18 \times 8 = 144$)

Таким образом, $3,24 : 18 = 0,18$.

Ответ: $0,18$

д) Чтобы разделить десятичную дробь на $10$, нужно перенести запятую в этой дроби влево на один знак.

В числе $43,4$ переносим запятую на один знак влево, получаем $4,34$.

$43,4 : 10 = 4,34$.

Ответ: $4,34$

е) Чтобы разделить число на $100$, нужно перенести запятую в этом числе влево на два знака. Целое число $7$ можно представить как $7,0$.

Переносим запятую в $7,0$ на два знака влево. Для этого слева от цифры $7$ нужно дописать один ноль.

$7 : 100 = 0,07$.

Ответ: $0,07$

6.211 Найдите частное:

а) $1 : 750 = \frac{1}{750} = 0,00133...$

$1,000000 = 1$

$\begin{array}{rr}-1,000000& |750\\ \phantom{-}0& \overline{0,00133...}\\ \overline{\phantom{-}10}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{\phantom{-}100}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-1000}& \\ \phantom{-}750& \\ \overline{-2500}& \\ \phantom{-}2250& \\ \overline{-2500}& \end{array}$

б) $0,707 : 35 = 0,0202$

$\begin{array}{rr}-0,7070& |35\\ \phantom{-}0\overline{0,0202}\\ \overline{\phantom{-}7}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-70}& \\ \phantom{-}70& \\ \overline{\phantom{-}7}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{\phantom{-}0}& \end{array}$

в) $16 : 5 = 3,2$

$\begin{array}{rr}-16,0& |5\\ \phantom{-}15& \overline{3,2}\\ \overline{-10}& \\ \phantom{-}10& \\ \overline{\phantom{-}0}& \end{array}$

г) $6 : 64 = 0,09375$

$\begin{array}{rr}-6,00000& |64\\ \phantom{-}0& \overline{0,09375}\\ \overline{-60}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-600}& \\ \phantom{-}576& \\ \overline{-240}& \\ \phantom{-}192& \\ \overline{-480}& \\ \phantom{-}448& \\ \overline{-320}& \\ \phantom{-}320& \\ \overline{\phantom{-}0}& \end{array}$

д) $0,01278 : 71 = 0,00018$

$\begin{array}{rr}-0,01278& |71\\ \phantom{-}0& \overline{0,00018}\\ \overline{\phantom{-}0}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{\phantom{-}1}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-12}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-127}& \\ \phantom{-}71& \\ \overline{-568}& \\ \phantom{-}568& \\ \overline{\phantom{-}0}& \end{array}$

е) $0,1242 : 69 = 0,0018$

$\begin{array}{rr}-0,1242& |69\\ \phantom{-}0& \overline{0,0018}\\ \overline{\phantom{-}1}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-12}& \\ \phantom{-}0& \\ \overline{-124}& \\ \phantom{-}69& \\ \overline{-552}& \\ \phantom{-}552& \\ \overline{\phantom{-}0}& \end{array}$

а) Чтобы найти частное от деления 1 на 750, можно представить это как обыкновенную дробь $\frac{1}{750}$ или выполнить деление в столбик для получения десятичной дроби.

Выполним деление в столбик. Так как делимое (1) меньше делителя (750), целая часть частного будет равна 0.
1. Делим 1 на 750. Получаем 0 и остаток 1. В частном пишем «0,».
2. К остатку приписываем 0, получаем 10. Делим 10 на 750. Получаем 0 и остаток 10. В частном пишем «0».
3. К остатку приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 750. Получаем 0 и остаток 100. В частном пишем «0».
4. К остатку приписываем 0, получаем 1000. Делим 1000 на 750. Получаем 1 и остаток $1000 - 750 \cdot 1 = 250$. В частном пишем «1».
5. К остатку приписываем 0, получаем 2500. Делим 2500 на 750. Получаем 3 и остаток $2500 - 750 \cdot 3 = 2500 - 2250 = 250$. В частном пишем «3».
Мы видим, что остаток 250 начал повторяться, следовательно, в частном цифра 3 будет бесконечно повторяться. В результате получаем периодическую десятичную дробь.

$1 : 750 = 0,001333... = 0,001(3)$.

Ответ: $0,001(3)$.

б) Для деления десятичной дроби 0,707 на целое число 35 выполним деление в столбик.

1. Целая часть делимого (0) меньше делителя (35), поэтому в частном ставим 0 и запятую.
2. Берем первую цифру после запятой – 7. Так как 7 меньше 35, в частном после запятой ставим 0.
3. Берем следующие две цифры – 70. Делим 70 на 35: $70 : 35 = 2$. Записываем 2 в частное. Остаток 0.
4. Сносим следующую цифру – 7. Так как 7 меньше 35, записываем в частное 0.
5. К остатку 7 дописываем 0, получаем 70. Делим 70 на 35: $70 : 35 = 2$. Записываем 2 в частное. Остаток 0. Деление окончено.

Таким образом, $0,707 : 35 = 0,0202$.

Проверка: $0,0202 \times 35 = 0,707$.

Ответ: $0,0202$.

в) Чтобы разделить 16 на 5, можно выполнить деление в столбик или представить частное в виде десятичной дроби.

1. Делим 16 на 5. Ближайшее к 16 число, которое делится на 5 без остатка, это 15. $15 : 5 = 3$. Записываем 3 в целую часть частного.
2. Находим остаток: $16 - 15 = 1$.
3. Ставим в частном запятую. К остатку 1 дописываем 0, получаем 10.
4. Делим 10 на 5: $10 : 5 = 2$. Записываем 2 после запятой в частном. Остаток 0. Деление окончено.

$16 : 5 = 3,2$.

Ответ: $3,2$.

г) Чтобы найти частное от деления 6 на 64, представим деление в виде дроби и сократим ее:

$\frac{6}{64} = \frac{6 \div 2}{64 \div 2} = \frac{3}{32}$.

Теперь разделим 3 на 32 в столбик, чтобы получить десятичную дробь.

1. $3 < 32$, поэтому целая часть равна 0. В частном пишем «0,».
2. $30 < 32$, в частном после запятой пишем 0.
3. $300 : 32 = 9$. Остаток $300 - 32 \times 9 = 300 - 288 = 12$.
4. $120 : 32 = 3$. Остаток $120 - 32 \times 3 = 120 - 96 = 24$.
5. $240 : 32 = 7$. Остаток $240 - 32 \times 7 = 240 - 224 = 16$.
6. $160 : 32 = 5$. Остаток 0. Деление окончено.

$6 : 64 = 0,09375$.

Ответ: $0,09375$.

д) Выполним деление десятичной дроби 0,01278 на целое число 71 в столбик.

1. Целая часть равна 0, пишем в частном «0,».
2. Цифры 0, 1, 12 меньше 71, поэтому в частном после запятой последовательно пишем три нуля: «0,000».
3. Берем 127. Делим 127 на 71: $127 : 71 = 1$. Остаток $127 - 71 = 56$. В частное пишем 1.
4. Сносим 8, получаем 568. Делим 568 на 71. Подбором находим, что $71 \times 8 = 568$. Записываем 8 в частное. Остаток 0.

$0,01278 : 71 = 0,00018$.

Проверка: $0,00018 \times 71 = 0,01278$.

Ответ: $0,00018$.

е) Выполним деление десятичной дроби 0,1242 на целое число 69 в столбик.

1. Целая часть равна 0, пишем в частном «0,».
2. Цифры 1, 12 меньше 69, поэтому в частном после запятой пишем два нуля: «0,00».
3. Берем 124. Делим 124 на 69: $124 : 69 = 1$. Остаток $124 - 69 = 55$. В частное пишем 1.
4. Сносим 2, получаем 552. Делим 552 на 69. Пробуем умножить 69 на 8: $69 \times 8 = (70-1) \times 8 = 560 - 8 = 552$. Получаем 8. Записываем 8 в частное. Остаток 0.

$0,1242 : 69 = 0,0018$.

Проверка: $0,0018 \times 69 = 0,1242$.

Ответ: $0,0018$.

6.212 На Международную космическую станцию (МКС) отправили 4 контейнера с оборудованием и 8 контейнеров с продуктами. Масса контейнеров с продуктами на 2 ц меньше массы контейнеров с оборудованием.

а) Найдите массу одного контейнера с продуктами, если масса контейнера с оборудованием 1,4 ц.

б) Найдите стоимость доставки этого груза, если на доставку 1 кг тратится 2,16 млн р.

а)/ 1) $\mathrm{1,4}·4 = \mathrm{5,6}\left(\text{ч}\right)$ - масса контейнеров с оборудованием

2) $\mathrm{5,6} - 2 = \mathrm{3,6}\left(\text{ч}\right)$ - масса контейнеров с продуктами

3) $\mathrm{3,6} : 8 = \mathrm{0,45}\left(\text{ч}\right)$ - масса контейнера с продуктами

б)/ 1) $\mathrm{5,6} + \mathrm{3,6} = \mathrm{9,2}\left(\text{ч}\right)$ - масса груза

2) $920·\mathrm{2,16} = \mathrm{1987,2}$ (млн. р.)

Ответ: a) $\mathrm{0,45}\text{ч}$; б) $\mathrm{1987,2}$ млн. р.

а)

Для начала найдем общую массу всех контейнеров с оборудованием. Известно, что было отправлено 4 таких контейнера, и масса каждого из них составляет 1,4 центнера (ц).

1) $4 \times 1,4 = 5,6$ (ц) – общая масса контейнеров с оборудованием.

Далее, из условия задачи мы знаем, что общая масса контейнеров с продуктами на 2 центнера меньше общей массы контейнеров с оборудованием.

2) $5,6 - 2 = 3,6$ (ц) – общая масса контейнеров с продуктами.

Всего было отправлено 8 контейнеров с продуктами. Чтобы найти массу одного такого контейнера, нужно их общую массу разделить на их количество.

3) $3,6 \div 8 = 0,45$ (ц) – масса одного контейнера с продуктами.

Ответ: 0,45 ц.

б)

Для нахождения общей стоимости доставки нам необходимо сначала определить общую массу всего груза. Общая масса груза складывается из общей массы контейнеров с оборудованием и общей массы контейнеров с продуктами. Эти значения мы уже нашли в пункте а).

1) $5,6 + 3,6 = 9,2$ (ц) – общая масса всего груза.

Стоимость доставки указана за 1 килограмм, поэтому переведем общую массу из центнеров в килограммы. В одном центнере 100 килограммов.

2) $9,2 \text{ ц} = 9,2 \times 100 = 920$ (кг) – общая масса груза в килограммах.

Теперь, зная общую массу груза в килограммах и стоимость доставки 1 кг, мы можем рассчитать общую стоимость доставки.

3) $920 \times 2,16 = 1987,2$ (млн р.) – общая стоимость доставки груза.

Ответ: 1987,2 млн р.

6.213 Стороны первого прямоугольника равны 11 см и 7,2 см, и его площадь в 6 раз меньше площади второго прямоугольника. Чему равна длина второго прямоугольника, если его ширина 12 см?

1) $11·\mathrm{7,2} = \mathrm{79,2}\text{(}{\text{см}}^2\text{)}–\text{S первого прямоугольника}$

2) $\mathrm{79,2}·6 = \mathrm{475,2}\text{(}{\text{см}}^2\text{)}–\text{S второго прямоугольника}$

3) $\mathrm{475,2} : 12 = \mathrm{39,6}\text{(см)}$

Ответ: 39,6 см

Для решения задачи выполним последовательно три шага.

1. Вычислим площадь первого прямоугольника.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$. Стороны первого прямоугольника равны 11 см и 7,2 см. Найдем его площадь ($S_1$):
$S_1 = 11 \text{ см} \cdot 7,2 \text{ см} = 79,2 \text{ см}^2$.

2. Вычислим площадь второго прямоугольника.
Согласно условию, площадь первого прямоугольника в 6 раз меньше площади второго. Это значит, что площадь второго прямоугольника ($S_2$) в 6 раз больше площади первого.
$S_2 = S_1 \cdot 6 = 79,2 \text{ см}^2 \cdot 6 = 475,2 \text{ см}^2$.

3. Найдем длину второго прямоугольника.
Площадь второго прямоугольника ($S_2$) равна произведению его длины ($a_2$) и ширины ($b_2$). Нам известна его площадь $S_2 = 475,2 \text{ см}^2$ и его ширина $b_2 = 12 \text{ см}$. Чтобы найти длину, необходимо площадь разделить на известную сторону (ширину):
$a_2 = \frac{S_2}{b_2} = \frac{475,2 \text{ см}^2}{12 \text{ см}} = 39,6 \text{ см}$.

Ответ: длина второго прямоугольника равна 39,6 см.

6.214 Купили дыню массой 9,1 кг. Катя съела 213 дыни. Сколько килограммов дыни осталось?

Чтобы найти, сколько килограммов дыни осталось, нужно сначала определить, какая часть (доля) от всей дыни осталась, а затем вычислить массу этой части.

1. Вся дыня принимается за единицу ($1$). По условию, Катя съела $\frac{2}{13}$ дыни. Найдем, какая часть дыни осталась, вычтя съеденную часть из целого:

$1 - \frac{2}{13} = \frac{13}{13} - \frac{2}{13} = \frac{11}{13}$

Таким образом, осталась $\frac{11}{13}$ от всей дыни.

2. Теперь вычислим массу оставшейся части. Общая масса дыни составляет $9,1$ кг. Чтобы найти массу $\frac{11}{13}$ от этого числа, нужно умножить общую массу на эту дробь:

$9,1 \cdot \frac{11}{13}$

Для удобства вычислений представим десятичное число $9,1$ в виде обыкновенной дроби: $9,1 = \frac{91}{10}$.

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{91}{10} \cdot \frac{11}{13} = \frac{91 \cdot 11}{10 \cdot 13}$

Сократим дробь. Заметим, что $91$ делится на $13$ ($91 = 7 \cdot 13$).

$\frac{7 \cdot 13 \cdot 11}{10 \cdot 13} = \frac{7 \cdot 11}{10} = \frac{77}{10} = 7,7$

Следовательно, масса оставшейся дыни составляет $7,7$ кг.

Ответ: 7,7 кг.

6.215 Для приготовления сока на консервный завод отправили 67 собранного винограда, а остальной виноград отправили в магазин. Найдите, сколько тонн винограда было отправлено в магазин, если всего собрали 21,7 т винограда.

Для того чтобы найти, сколько тонн винограда было отправлено в магазин, необходимо выполнить несколько шагов. Есть два основных способа решения этой задачи.

Способ 1: Вычисление через долю

1. Сначала определим, какая доля от всего собранного винограда была отправлена в магазин. Весь урожай принимаем за целое, то есть за $1$. На консервный завод отправили $\frac{6}{7}$ всего винограда. Значит, в магазин отправили оставшуюся часть:

$1 - \frac{6}{7} = \frac{7}{7} - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

Таким образом, в магазин отправили $\frac{1}{7}$ часть всего урожая.

2. Теперь вычислим, сколько это составляет в тоннах. Общий вес собранного винограда — 21,7 тонны. Найдём $\frac{1}{7}$ от этого числа:

$21,7 \cdot \frac{1}{7} = \frac{21,7}{7} = 3,1$ (т)

Способ 2: Вычисление через массу

1. Сначала найдем, сколько тонн винограда отправили на консервный завод. Для этого умножим общую массу винограда на долю, отправленную на завод:

$21,7 \cdot \frac{6}{7} = \frac{21,7 \cdot 6}{7} = (21,7 : 7) \cdot 6 = 3,1 \cdot 6 = 18,6$ (т)

Итак, на завод отправили 18,6 тонн винограда.

2. Чтобы найти, сколько винограда отправили в магазин, вычтем из общей массы винограда ту часть, что ушла на завод:

$21,7 - 18,6 = 3,1$ (т)

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3,1 т.