Страница 120, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.347 Докажите, что число 638 является делителем числа 197 142, а число 70 632 кратно числу 218.

Число 197 142 делится на 638 без остатка. Значит, 638 - делитель числа 197 142.

Число 70 632 делится на 218 без остатка. Значит, 70 632 кратно числу 218.

Докажите, что число 638 является делителем числа 197 142

Чтобы доказать, что одно число является делителем другого, необходимо выполнить деление и убедиться, что результат является целым числом, а остаток от деления равен нулю. Проверим это для заданных чисел.

Разделим 197 142 на 638:

$197142 \div 638 = 309$

Так как в результате деления мы получили целое число 309, это доказывает, что число 638 является делителем числа 197 142.

Ответ: Утверждение доказано, так как $197142 \div 638 = 309$.

Докажите, что ... число 70 632 кратно числу 218

Чтобы доказать, что одно число кратно другому, необходимо выполнить деление первого числа на второе. Если результат является целым числом (деление происходит без остатка), то первое число кратно второму.

Разделим 70 632 на 218:

$70632 \div 218 = 324$

Так как в результате деления мы получили целое число 324, это доказывает, что число 70 632 кратно числу 218.

Ответ: Утверждение доказано, так как $70632 \div 218 = 324$.

3.348 На координатной прямой отмечены числа a и b (рис. 3.21). Отметьте на этой прямой по три числа, кратные чисел a и b.

2a, 3a, 4a - кратны числу a;
2b, 3b, 4b - кратны числу b.

Согласно определению, число x является кратным числу y, если существует такое целое число k, что выполняется равенство $x = k \cdot y$.

На координатной прямой это означает, что все числа, кратные некоторому числу (например, a), находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, равном этому числу. Чтобы найти и отметить эти числа, нужно взять за единицу измерения отрезок, соединяющий 0 и точку a, и отложить его от начала координат целое число раз. Положительные кратные (такие как $a, 2a, 3a, \dots$) будут находиться вправо от нуля, а отрицательные (такие как $-a, -2a, -3a, \dots$) — влево. Точка 0 также является кратной любому числу, так как $0 = 0 \cdot a$.

Для выполнения задания выберем по три произвольных кратных для каждого числа, например:

• Для числа a: выберем кратные $2a$, $3a$ и $-a$. Чтобы их отметить, измерим расстояние от 0 до a и отложим его:
  • дважды вправо от 0, чтобы получить точку $2a$;
  • трижды вправо от 0, чтобы получить точку $3a$;
  • один раз влево от 0, чтобы получить точку $-a$.
• Для числа b: выберем кратные $2b$, $3b$ и $-b$. Чтобы их отметить, измерим расстояние от 0 до b и отложим его:
  • дважды вправо от 0, чтобы получить точку $2b$;
  • трижды вправо от 0, чтобы получить точку $3b$;
  • один раз влево от 0, чтобы получить точку $-b$.

Наглядно это будет выглядеть следующим образом (новые отмеченные точки для a выделены красным, для b — зеленым):

3.349 Каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителей, не считая самого числа. Проверьте это утверждение. Такие числа называют совершенными. Следующее совершенное число 8128.

Делители 6: 1; 2; 3 (6 не считаем)
$6 = 1 + 2 + 3$ - верно

Делители 28: 1; 2; 4; 7; 14 (28 не считаем)
$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$ - верно

Делители 496: 1; 2; 4; 8; 16; 31; 62; 124; 248 (496 не считаем)
$$\begin{gathered} 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \\ + 31 + 62 + 124 + 248 \end{gathered}$$ - верно

В задаче требуется проверить утверждение, что числа 6, 28 и 496 являются совершенными. Совершенное число — это натуральное число, равное сумме всех его делителей, за исключением самого числа. Проведем проверку для каждого из указанных чисел.

Проверка для числа 6

Сначала найдем все делители числа 6. Это числа, на которые 6 делится без остатка: 1, 2, 3 и 6.

Согласно определению, нужно сложить все делители, не считая самого числа. Для числа 6 это: 1, 2, 3.

Вычислим их сумму: $1 + 2 + 3 = 6$.

Сумма делителей (6) равна самому числу (6). Таким образом, 6 является совершенным числом.

Ответ: Утверждение для числа 6 верно, так как сумма его делителей (кроме самого числа) $1+2+3$ равна 6.

Проверка для числа 28

Найдем все делители числа 28. Это: 1, 2, 4, 7, 14 и 28.

Делители, не считая самого числа 28, это: 1, 2, 4, 7, 14.

Вычислим их сумму: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Сумма делителей (28) равна самому числу (28). Таким образом, 28 является совершенным числом.

Ответ: Утверждение для числа 28 верно, так как сумма его делителей (кроме самого числа) $1+2+4+7+14$ равна 28.

Проверка для числа 496

Найдем все делители числа 496. Для этого удобно разложить число на простые множители: $496 = 2 \cdot 248 = 2^2 \cdot 124 = 2^3 \cdot 62 = 2^4 \cdot 31$.

Все делители числа 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496.

Делители, не считая самого числа 496, это: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Вычислим их сумму: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$.

Сумма делителей (496) равна самому числу (496). Таким образом, 496 является совершенным числом.

Ответ: Утверждение для числа 496 верно, так как сумма его делителей (кроме самого числа) $1+2+4+8+16+31+62+124+248$ равна 496.

3.350 Каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого. Проверьте это утверждение.

Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 (220 не считаем)

Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142 (284 не считаем)

$220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142$ - верно.

$$\begin{gathered} 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + \\ + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 \end{gathered}$$ - верно

Для проверки данного утверждения необходимо найти сумму всех делителей каждого из чисел (не считая самого числа) и сравнить результат с другим числом из пары.

Проверка для числа 220

Сначала найдем все делители числа 220, кроме самого числа 220. Для этого разложим 220 на простые множители:

$220 = 22 \cdot 10 = (2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$

Делителями числа 220 являются: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Теперь вычислим их сумму:

$1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$

Сумма делителей числа 220 действительно равна 284.

Проверка для числа 284

Теперь найдем все делители числа 284, кроме самого числа 284. Разложим 284 на простые множители:

$284 = 4 \cdot 71 = 2^2 \cdot 71$

Делителями числа 284 являются: 1, 2, 4, 71, 142.

Вычислим их сумму:

$1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$

Сумма делителей числа 284 действительно равна 220.

Таким образом, обе части утверждения верны. Числа 220 и 284 являются парой "дружественных чисел".

Ответ: Утверждение верно. Сумма делителей числа 220, не считая его самого, равна $1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284$. Сумма делителей числа 284, не считая его самого, равна $1+2+4+71+142=220$.

3.351 Петя задумал число, меньшее 50. Какое число задумал Петя, если это число называют и при счёте четвёрками, и при счёте семёрками?

Счёт четвёрками: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48.

Счёт семёрками: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49.

Это число - наименьшее общее кратное чисел 4 и 7, 28.

Ответ: 28.

По условию задачи, Петя задумал число, которое меньше 50. Обозначим это число как $x$. Таким образом, $x < 50$.

Нам известно, что это число называют при счёте «четвёрками». Это означает, что искомое число должно делиться на 4 без остатка, то есть быть кратным 4. Давайте выпишем все числа, кратные 4, которые меньше 50:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48.

Также нам известно, что это число называют при счёте «семёрками». Это означает, что искомое число должно делиться на 7 без остатка, то есть быть кратным 7. Выпишем все числа, кратные 7, которые меньше 50:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49.

Теперь нам нужно найти число, которое есть в обоих списках, так как оно должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Сравнивая два ряда чисел, мы видим, что единственное общее число — это 28.

Другой способ решения — найти общее кратное чисел 4 и 7. Для этого нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 4 и 7 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению:
$НОК(4, 7) = 4 \times 7 = 28$.

Это наименьшее число, которое делится и на 4, и на 7. Следующее общее кратное будет $28 \times 2 = 56$, но это число уже больше 50, что противоречит условию задачи. Следовательно, единственное подходящее число — это 28.

Ответ: 28.

3.352 Кадр старой фотоплёнки изображён на рисунке 3.22 в натуральную величину. Определите размер фотографии при увеличении в пять раз; в десять раз. При каком увеличении получится самая большая фотография на листе бумаги, размер которого 210×296мм?

Размеры кадра фотоплёнки: $18\times 24 \mathrm{мм}.$

1)
$$\begin{gathered} 18·5 = (10 + 8)·5 = \\ = 10·5 + 8·5 = \\ = 50 + 40 = 90 \left(\mathrm{мм}\right) \end{gathered}$$

$90\times 120\text{ мм}$ – размеры фотографии, увеличенные в 5 раз.

2)
$18·10 = 180\text{ (мм)}$
$24·10 = 240\text{ (мм)}$
$180\times 240\text{ мм}$ – размеры фотографии, увеличенные в 10 раз.

3)
$18·11 = 198\text{ (мм)}$
$24·11 = 264\text{ (мм)}$
$198\times 264\text{ мм}$ – размеры фотографии, увеличенные в 11 раз.

4)
$$\begin{gathered} 18·12 = 18·(10 + 2) = \\ = 18·10 + 18·2 = \\ = 180 + 36 = 216 \left(\mathrm{мм}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 24·12 = 24·(10 + 2) = \\ = 24·10 + 24·2 = \\ = 240 + 48 = 288 \left(\mathrm{мм}\right) \end{gathered}$$

$216\times 288\text{ мм}$ – размеры фотографии, увеличенные в 12 раз.

Так как размер бумаги $210\times 296\text{ мм}$, то самая большая фотография, которая поместится на этом листе бумаги $198\times 264\text{ мм}$, то есть увеличенная в 11 раз.

Ответ: увеличенная в 11 раз.

Для решения задачи необходимо знать исходный размер кадра фотоплёнки. Поскольку он не указан в условии, будем использовать стандартный размер кадра 35-мм плёнки, который составляет 24 ? 36 мм.

...при увеличении в пять раз

Чтобы найти размер фотографии при увеличении в 5 раз, нужно каждую сторону исходного кадра умножить на 5.

Ширина новой фотографии: $w_1 = 24 \text{ мм} \times 5 = 120 \text{ мм}$.
Высота новой фотографии: $h_1 = 36 \text{ мм} \times 5 = 180 \text{ мм}$.

Ответ: 120 ? 180 мм.

...в десять раз

Аналогично, при увеличении в 10 раз, умножаем каждую сторону на 10.

Ширина новой фотографии: $w_2 = 24 \text{ мм} \times 10 = 240 \text{ мм}$.
Высота новой фотографии: $h_2 = 36 \text{ мм} \times 10 = 360 \text{ мм}$.

Ответ: 240 ? 360 мм.

При каком увеличении получится самая большая фотография на листе бумаги, размер которого 210 ? 296 мм?

Чтобы найти максимальное увеличение, нужно вписать увеличенный кадр в лист бумаги. Пусть $k$ — коэффициент увеличения. Размеры увеличенной фотографии будут $24k \times 36k$ мм. Рассмотрим два варианта расположения фотографии на листе.

Вариант 1: Портретная ориентация. Меньшая сторона кадра (24 мм) располагается вдоль меньшей стороны листа (210 мм), а большая сторона кадра (36 мм) — вдоль большей стороны листа (296 мм).

Для того чтобы фотография поместилась на листе, должны выполняться условия:
$24k \le 210 \implies k \le \frac{210}{24} = 8,75$
$36k \le 296 \implies k \le \frac{296}{36} = \frac{74}{9} \approx 8,22$

Чтобы фотография поместилась целиком, коэффициент увеличения не должен превышать наименьшее из этих двух значений, то есть $k \le \frac{74}{9}$.

Вариант 2: Альбомная ориентация. Фотография поворачивается на 90 градусов. Большая сторона кадра (36 мм) располагается вдоль меньшей стороны листа (210 мм).

В этом случае условия будут следующими:
$36k \le 210 \implies k \le \frac{210}{36} = \frac{35}{6} \approx 5,83$
$24k \le 296 \implies k \le \frac{296}{24} = \frac{37}{3} \approx 12,33$

Здесь коэффициент увеличения не должен превышать $k \le \frac{35}{6}$.

Чтобы получить самую большую фотографию, нужно выбрать тот вариант ориентации, который позволяет использовать больший коэффициент увеличения. Сравниваем максимальные коэффициенты для двух вариантов: $k_1 = \frac{74}{9} \approx 8,22$ и $k_2 = \frac{35}{6} \approx 5,83$.

Так как $\frac{74}{9} > \frac{35}{6}$, наибольший возможный коэффициент увеличения равен $\frac{74}{9}$.

Ответ: Максимальное увеличение составляет $\frac{74}{9}$ раза (или приблизительно 8,22 раза).

3.353 Вычислите.

a)
$5 + 18 = 23$
$123 + 7 = 130$
$78 + 97 = 175$

б)
$276 - 13 = 263$

$$\begin{gathered} 80 - 25 = 80 - (20 + 5) = \\ = (80 - 20) - 5 = 60 - 5 = 55 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 630 - 60 = 630 - (30 + 30) = \\ = (630 - 30) - 30 = \\ = 600 - 30 = 570 \end{gathered}$$

$123 - 34 = 89$

в)
$12 · 4 = 48$

$70 · 10 = 700$

$25 · 4 = 100$

$$\begin{gathered} 14 · 3 = (10 + 4) · 3 = \\ = 10 · 3 + 4 · 3 = \\ = 30 + 12 = 42 \end{gathered}$$

г)
$60 : 10 = 6$
$210 : 7 = 30$
$204 : 2 = 102$
$150 : 25 = 6$

а)

Для вычисления суммы $5 + 18$ складываем единицы: $5 + 8 = 13$. Записываем 3 в разряд единиц и запоминаем 1 десяток. К 1 десятку из числа 18 прибавляем запомненный 1 десяток: $1 + 1 = 2$. Получаем 2 десятка и 3 единицы, то есть 23.
Ответ: 23

Для вычисления суммы $123 + 7$ складываем единицы: $3 + 7 = 10$. Записываем 0 в разряд единиц и запоминаем 1 десяток. Прибавляем этот десяток к 2 десяткам из числа 123: $2 + 1 = 3$. Количество сотен не меняется. Получаем 1 сотню, 3 десятка и 0 единиц, то есть 130.
Ответ: 130

Для вычисления суммы $66 + 34$ складываем единицы: $6 + 4 = 10$. Записываем 0, 1 десяток запоминаем. Складываем десятки: $6 + 3 = 9$, и прибавляем запомненный 1 десяток: $9 + 1 = 10$. Получаем 10 десятков, что равно 100.
Ответ: 100

Для вычисления суммы $78 + 97$ складываем единицы: $8 + 7 = 15$. Записываем 5, 1 десяток запоминаем. Складываем десятки: $7 + 9 = 16$, и прибавляем запомненный 1 десяток: $16 + 1 = 17$. Получаем 17 десятков и 5 единиц, то есть 175.
Ответ: 175

б)

Для вычисления разности $276 - 13$ вычитаем единицы: $6 - 3 = 3$. Затем вычитаем десятки: $7 - 1 = 6$. Сотни остаются без изменений. Получаем 2 сотни, 6 десятков и 3 единицы, то есть 263.
Ответ: 263

Для вычисления разности $80 - 25$ из 0 единиц вычесть 5 нельзя, поэтому занимаем 1 десяток у 8 десятков. Получаем 10 единиц. $10 - 5 = 5$. В разряде десятков осталось $8 - 1 = 7$. Вычитаем десятки: $7 - 2 = 5$. Получаем 5 десятков и 5 единиц, то есть 55.
Ответ: 55

Для вычисления разности $630 - 60$ из 3 десятков вычесть 6 нельзя, поэтому занимаем 1 сотню (10 десятков) у 6 сотен. Получаем $10 + 3 = 13$ десятков. $13 - 6 = 7$. В разряде сотен осталось $6 - 1 = 5$. Получаем 5 сотен и 7 десятков, то есть 570.
Ответ: 570

Для вычисления разности $123 - 34$ из 3 единиц вычесть 4 нельзя, занимаем 1 десяток. $13 - 4 = 9$. В разряде десятков остался $2 - 1 = 1$ десяток. Из 1 десятка вычесть 3 нельзя, занимаем 1 сотню (10 десятков). $10 + 1 = 11$ десятков. $11 - 3 = 8$. Получаем 8 десятков и 9 единиц, то есть 89.
Ответ: 89

в)

Для вычисления произведения $12 \cdot 4$ можно умножить 10 на 4 и 2 на 4, а затем сложить результаты: $10 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 40 + 8 = 48$.
Ответ: 48

Чтобы умножить число на 10, достаточно приписать к этому числу справа один ноль. $70 \cdot 10 = 700$.
Ответ: 700

Произведение $25 \cdot 4$ можно вычислить, зная, что четыре раза по 25 всегда дает 100. Это полезно запомнить. $25 + 25 + 25 + 25 = 100$.
Ответ: 100

Для вычисления произведения $14 \cdot 3$ умножаем $4$ на $3$, получаем $12$. Записываем 2, запоминаем 1 десяток. Умножаем $1$ на $3$, получаем $3$, и прибавляем запомненный 1: $3 + 1 = 4$. Получаем 4 десятка и 2 единицы, то есть 42.
Ответ: 42

г)

Чтобы разделить число, оканчивающееся на ноль, на 10, достаточно убрать у него крайний правый ноль. $60 : 10 = 6$.
Ответ: 6

Для вычисления частного $210 : 7$ можно временно отбросить ноль, разделить $21$ на $7$, что равно $3$, а затем приписать ноль к результату. Получаем 30.
Ответ: 30

Для вычисления частного $204 : 2$ можно разделить по разрядам. Делим сотни: $200 : 2 = 100$. Делим единицы: $4 : 2 = 2$. Складываем результаты: $100 + 2 = 102$.
Ответ: 102

Чтобы разделить $150$ на $25$, нужно найти, сколько раз число 25 содержится в 150. Можно выполнить подбор: $25 \cdot 2 = 50$, $25 \cdot 4 = 100$, $25 \cdot 6 = 150$. Следовательно, $150 : 25 = 6$.
Ответ: 6

3.354 На координатной прямой отмечены числа 1 и b (рис. 3.23). С помощью циркуля отметьте на луче числа: b + 2; 3b; 2b + 3.

1) Чтобы отметить число b + 2, нужно циркулем измерить расстояние от 0 до 1, а затем поставив ножку циркуля в точку $b$ дважды отложить это расстояние вправо последовательно.

2) Чтобы отметить число 3b, нужно циркулем измерить расстояние от 0 до b, а затем, поставив ножку циркуля в точку 0 дважды последовательно отложить это расстояние вправо.

3) Чтобы отметить число 2b + 3, нужно:

а) циркулем измерить расстояние от 0 до b, а затем, поставив ножку циркуля в точку b отложить это расстояние вправо. Получим точку 2b;

б) циркулем измерить расстояние от 0 до 1, а затем, поставив ножку циркуля в точку 2b трижды последовательно отложить это расстояние вправо.

Для решения данной задачи мы будем использовать циркуль, чтобы измерять и откладывать отрезки на координатном луче. Нам даны два основных отрезка: единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) и отрезок длиной $b$ (расстояние от 0 до $b$).

b + 2
Чтобы отметить на луче число $b + 2$, нам нужно к точке $b$ прибавить отрезок длиной 2. Длина 2 — это два единичных отрезка.
1. С помощью циркуля измеряем расстояние между точками 0 и 1. Это наш единичный отрезок.
2. Устанавливаем иголку циркуля в точку, соответствующую числу $b$, и откладываем вправо (в сторону увеличения) измеренный единичный отрезок, делая засечку на луче. Эта засечка соответствует числу $b + 1$.
3. Не меняя раствора циркуля, переносим иголку в полученную точку $b + 1$ и снова откладываем вправо единичный отрезок. Новая засечка будет соответствовать искомому числу $b + 2$.
Ответ: Точка $b + 2$ находится на координатном луче путем последовательного откладывания от точки $b$ двух отрезков, равных по длине расстоянию от 0 до 1.

3b
Чтобы отметить на луче число $3b$, нужно отложить отрезок длиной $b$ три раза подряд, начиная от точки 0. Число $3b$ можно представить как сумму $b + b + b$.
1. С помощью циркуля измеряем расстояние от точки 0 до точки $b$.
2. Устанавливаем иголку циркуля в точку $b$ и откладываем вправо измеренный отрезок длиной $b$. Получаем точку, соответствующую числу $b + b = 2b$.
3. Не меняя раствора циркуля, устанавливаем иголку в полученную точку $2b$ и снова откладываем вправо отрезок длиной $b$. Получаем искомую точку $2b + b = 3b$.
Ответ: Точка $3b$ находится на координатном луче путем последовательного откладывания от точки $b$ еще двух отрезков, равных по длине расстоянию от 0 до $b$.

2b + 3
Чтобы отметить на луче число $2b + 3$, необходимо сначала найти точку $2b$, а затем от нее отложить отрезок длиной 3 (три единичных отрезка).
1. Нахождение точки $2b$: С помощью циркуля измеряем расстояние от 0 до $b$. Затем устанавливаем иголку циркуля в точку $b$ и откладываем это расстояние вправо. Получаем точку $b + b = 2b$.
2. Прибавление 3: С помощью циркуля измеряем единичный отрезок (расстояние от 0 до 1).
3. Устанавливаем иголку циркуля в точку $2b$ и последовательно откладываем вправо три единичных отрезка. Первая засечка будет в точке $2b + 1$, вторая — в точке $2b + 2$, и третья — в искомой точке $2b + 3$.
Ответ: Точка $2b + 3$ находится путем нахождения сначала точки $2b$ (отложив от точки $b$ отрезок длиной $b$), а затем от точки $2b$ последовательно откладываются три отрезка, равных по длине расстоянию от 0 до 1.

3.355 Назовите числа в пустых ячейках, чтобы вычисления были верными.

а)
$256 : 2 = 128$

$256 : 4 = 64$

$256 : 8 = 32$

$256 : 16 = 16$

$256 : 64 = 4$

$256 : 128 = 2$

б)

$8 + 8 = 16$

$16 + 8 = 24$

$24 + 8 = 32$

$32 + 8 = 40$

$8 · 5 = 40$

$8 · 3 = 24$

а)

В этой задаче необходимо найти числа для пустых ячеек, выполнив действия, указанные на стрелках. Центральное число — 256. Каждая стрелка указывает на операцию деления этого числа.

Выполним вычисления для каждой ячейки:

Для верхней левой ячейки (операция :2):
$256 \div 2 = 128$

Для верхней правой ячейки (операция :128):
$256 \div 128 = 2$

Для средней правой ячейки (операция :64):
$256 \div 64 = 4$

Для нижней правой ячейки (операция :16):
$256 \div 16 = 16$

Для нижней левой ячейки (операция :8):
$256 \div 8 = 32$

Для средней левой ячейки (операция :4):
$256 \div 4 = 64$

Ответ: Пустые ячейки, начиная с верхней левой и двигаясь по часовой стрелке, следует заполнить числами: 128, 2, 4, 16, 32, 64.

б)

В этой задаче нужно заполнить пустые ячейки в цепочке вычислений, а затем определить недостающие операции на дугообразных стрелках.

1. Заполним пустые ячейки в основной цепочке, последовательно прибавляя 8:

Первая пустая ячейка (круг): $8 + 8 = 16$
Вторая пустая ячейка (круг): $16 + 8 = 24$
Третья пустая ячейка (круг): $24 + 8 = 32$
Конечная ячейка (квадрат): $32 + 8 = 40$

2. Теперь определим операции для дугообразных стрелок.

Верхняя стрелка соединяет начальное число 8 и конечное число 40. Чтобы найти операцию, можно сложить все промежуточные шаги: $8+8+8+8 = 4 \times 8 = 32$. Таким образом, чтобы перейти от 8 к 40, нужно прибавить 32. Операция на верхней дуге: `+32`.

Нижняя стрелка ведет от конечного числа 40 обратно к начальному 8. Это обратная операция. Чтобы из 40 получить 8, нужно вычесть 32: $40 - 32 = 8$. Операция на нижней дуге: `-32`.

Ответ: В пустые круги слева направо нужно вписать числа 16, 24, 32. В конечный квадрат — число 40. В пустой кружок на верхней дуге нужно вписать операцию `+32`, а на нижней дуге — `-32`.

3.356 Найдите значение выражения:

a)
$34 + 25 = 59$

$172 + 28 = 300$

$$\begin{gathered} 59 + 37 = 59 + (30 + 7) = \\ = (59 + 30) + 7 = \\ = 89 + 7 = 96 \end{gathered}$$

$4587 + 764 = 5351$

б)
$57 - 13 = 44$

$$\begin{gathered} 80 - 34 = 80 - (30 + 4) = \\ = (80 - 30) - 4 = \\ = 50 - 4 = 46 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 123 - 18 = 123 - (10 + 8) = \\ = (123 - 10) - 8 = \\ = 113 - 8 = 105 \end{gathered}$$

$10273 - 549 = 9724$

в)
$$\begin{gathered} 302·7 = (300 + 2)·7 = \\ = 300·7 + 2·7 = \\ = 2100 + 14 = 2114 \end{gathered}$$

$26·37 = 962$

$45·206 = 9270$

г)
$35 : 7 = 5$

$84 : 4 = 21$

$608 : 19 = 32$

$2052 : 38 = 54$

а)
$34 + 25$. Складываем десятки с десятками ($30+20=50$), затем единицы с единицами ($4+5=9$). Суммируем полученные результаты: $50+9=59$.
$172 + 28$. Складываем единицы: $2+8=10$ (0 пишем, 1 переносим в разряд десятков). Складываем десятки: $7+2+1=10$ (0 пишем, 1 переносим в разряд сотен). Складываем сотни: $1+1=2$. Результат: $200$.
$59 + 37$. Складываем единицы: $9+7=16$ (6 пишем, 1 переносим в разряд десятков). Складываем десятки: $5+3+1=9$. Результат: $96$.
$4587 + 764$. Выполним сложение в столбик. Единицы: $7+4=11$ (1 пишем, 1 в уме). Десятки: $8+6+1=15$ (5 пишем, 1 в уме). Сотни: $5+7+1=13$ (3 пишем, 1 в уме). Тысячи: $4+1=5$. Результат: $5351$.
Ответ: 59; 200; 96; 5351.

б)
$57 - 13$. Вычитаем десятки из десятков ($50-10=40$), затем единицы из единиц ($7-3=4$). Складываем результаты: $40+4=44$.
$80 - 34$. Можно представить вычитаемое как $30+4$. $80-30=50$, затем $50-4=46$. Результат: $46$.
$123 - 18$. Можно представить вычитаемое как $10+8$. $123-10=113$, затем $113-8=105$. Результат: $105$.
$10273 - 549$. Выполним вычитание в столбик. Единицы: из 3 вычесть 9 нельзя, занимаем 1 десяток, $13-9=4$. Десятки: было 7, стало 6, $6-4=2$. Сотни: из 2 вычесть 5 нельзя, занимаем 1 тысячу, $12-5=7$. Тысячи: было 10, стало 9, $9-0=9$. Результат: $9724$.
Ответ: 44; 46; 105; 9724.

в)
$24 \cdot 3$. Раскладываем 24 на $20+4$. Умножаем по частям: $20 \cdot 3 = 60$, $4 \cdot 3 = 12$. Складываем результаты: $60+12=72$.
$302 \cdot 7$. Раскладываем 302 на $300+2$. Умножаем по частям: $300 \cdot 7 = 2100$, $2 \cdot 7 = 14$. Складываем результаты: $2100+14=2114$.
$26 \cdot 37$. Умножаем в столбик: сначала $26 \cdot 7 = 182$. Затем $26 \cdot 30 = 780$. Складываем полученные произведения: $182+780=962$.
$45 \cdot 206$. Умножаем в столбик (удобнее $206 \cdot 45$): сначала $206 \cdot 5 = 1030$. Затем $206 \cdot 40 = 8240$. Складываем полученные произведения: $1030+8240=9270$.
Ответ: 72; 2114; 962; 9270.

г)
$35 : 7$. Это табличный случай деления. $35 \div 7 = 5$, так как $5 \cdot 7 = 35$.
$84 : 4$. Раскладываем 84 на $80+4$. Делим по частям: $80 \div 4 = 20$, $4 \div 4 = 1$. Складываем результаты: $20+1=21$.
$608 : 19$. Делим в столбик. Сначала делим $60$ на $19$, получаем $3$ (остаток $60 - 3 \cdot 19 = 3$). Сносим $8$, получаем $38$. Делим $38$ на $19$, получаем $2$. Результат: $32$.
$2052 : 38$. Делим в столбик. Сначала делим $205$ на $38$, получаем $5$ (остаток $205 - 5 \cdot 38 = 15$). Сносим $2$, получаем $152$. Делим $152$ на $38$, получаем $4$. Результат: $54$.
Ответ: 5; 21; 32; 54.

3.357 Чему равны неполное частное q и остаток r при делении:

а) 258 на 15;

б) 4238 на 14;

в) 1073 на 39;

г) 1952 на 61?

a)
$258 : 15 = 17 (\mathrm{ост}. 3)$

$q = 17$ – не полное частное
$r = 3$ – остаток

б)
$4238 : 14 = 302 (\mathrm{ост}. 10)$

$q = 302$ – не полное частное
$r = 10$ – остаток

в)
$1073 : 39 = 27 (\mathrm{ост}. 20)$

$q = 27$ – не полное частное
$r = 20$ – остаток

г)
$1952 : 61 = 32 (\mathrm{ост}. 0)$

$q = 32$ – не полное частное
$r = 0$ – остаток

а) Чтобы найти неполное частное $q$ и остаток $r$ при делении 258 на 15, выполним деление с остатком. Общая формула деления с остатком: $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, причем $0 \le r < |b|$. В нашем случае $a=258$ и $b=15$.
Выполним деление 258 на 15. Сначала разделим 25 на 15, получим 1 в частном и 10 в остатке ($25 = 15 \cdot 1 + 10$). Сносим следующую цифру делимого, 8, и получаем число 108. Теперь делим 108 на 15. $15 \cdot 7 = 105$. Вычитаем: $108 - 105 = 3$. Это остаток, так как $3 < 15$.Таким образом, неполное частное $q = 17$, а остаток $r = 3$.
Проверка: $15 \cdot 17 + 3 = 255 + 3 = 258$.
Ответ: $q=17, r=3$.

б) Найдем неполное частное $q$ и остаток $r$ при делении 4238 на 14. Здесь $a=4238$, $b=14$.
Выполним деление. Разделим 42 на 14, получим 3 ($14 \cdot 3 = 42$). Остаток 0. Сносим следующую цифру, 3. Так как 3 меньше 14, в частное записываем 0. Сносим следующую цифру, 8, получаем 38. Делим 38 на 14. $14 \cdot 2 = 28$. Находим остаток: $38 - 28 = 10$. Остаток 10 меньше делителя 14.
Таким образом, неполное частное $q = 302$, а остаток $r = 10$.
Проверка: $14 \cdot 302 + 10 = 4228 + 10 = 4238$.
Ответ: $q=302, r=10$.

в) Найдем неполное частное $q$ и остаток $r$ при делении 1073 на 39. Здесь $a=1073$, $b=39$.
Выполним деление. Разделим 107 на 39. $39 \cdot 2 = 78$. Остаток: $107 - 78 = 29$. Сносим следующую цифру, 3, получаем 293. Делим 293 на 39. $39 \cdot 7 = 273$. Находим остаток: $293 - 273 = 20$. Остаток 20 меньше делителя 39.
Таким образом, неполное частное $q = 27$, а остаток $r = 20$.
Проверка: $39 \cdot 27 + 20 = 1053 + 20 = 1073$.
Ответ: $q=27, r=20$.

г) Найдем неполное частное $q$ и остаток $r$ при делении 1952 на 61. Здесь $a=1952$, $b=61$.
Выполним деление. Разделим 195 на 61. $61 \cdot 3 = 183$. Остаток: $195 - 183 = 12$. Сносим следующую цифру, 2, получаем 122. Делим 122 на 61. $61 \cdot 2 = 122$. Находим остаток: $122 - 122 = 0$.
Таким образом, неполное частное $q = 32$, а остаток $r = 0$. В этом случае говорят, что число 1952 делится на 61 нацело.
Проверка: $61 \cdot 32 + 0 = 1952$.
Ответ: $q=32, r=0$.

6.182 На ярмарке мёда 1 кг липового мёда стоил 570 р., а 1 кг гречишного — 470 р. Сколько надо заплатить за 1,2 кг липового мёда и 0,8 кг гречишного вместе?

1) $570\text{·}\mathrm{1,2} = 684$ (р.) - стоимость липового мёда

2) $470\text{·}\mathrm{0,8} = 376$ (р.) - стоимость гречишного мёда

3) $684 + 376 = 1060$ (р.) - общая стоимость

Ответ: 1060р.

Для того чтобы найти общую стоимость покупки, необходимо рассчитать стоимость каждого вида мёда по отдельности и затем сложить полученные значения.

1. Вычислим стоимость 1,2 кг липового мёда.
Цена 1 кг липового мёда составляет 570 рублей. Чтобы найти стоимость 1,2 кг, умножим массу на цену:
$1,2 \times 570 = 684$ рубля.

2. Вычислим стоимость 0,8 кг гречишного мёда.
Цена 1 кг гречишного мёда составляет 470 рублей. Чтобы найти стоимость 0,8 кг, умножим массу на цену:
$0,8 \times 470 = 376$ рублей.

3. Найдем общую стоимость покупки.
Сложим стоимость липового и гречишного мёда:
$684 + 376 = 1060$ рублей.

Ответ: за 1,2 кг липового мёда и 0,8 кг гречишного мёда вместе надо заплатить 1060 рублей.

6.183 Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $42,7a$, нужно подставить вместо переменной $a$ её числовые значения.

При $a = 6$:

$42,7 \cdot 6 = 256,2$

При $a = 38$:

$42,7 \cdot 38 = 1622,6$

При $a = 100$:

$42,7 \cdot 100 = 4270$

Ответ: 256,2; 1622,6; 4270.

б) Подставим значения $m = 4,5127$ и $n = 8,2$ в выражение $1000m + n$:

$1000 \cdot 4,5127 + 8,2 = 4512,7 + 8,2 = 4520,9$

Ответ: 4520,9.

в) Подставим значения $y = 1,7$ и $z = 4,3$ в выражение $16y + 8z$:

$16y + 8z = 16 \cdot 1,7 + 8 \cdot 4,3 = 27,2 + 34,4 = 61,6$

Ответ: 61,6.

г) Сначала упростим выражение $6,3c + 2,5c - 5,4c$, вынеся общий множитель $c$ за скобки:

$6,3c + 2,5c - 5,4c = (6,3 + 2,5 - 5,4)c = (8,8 - 5,4)c = 3,4c$

Теперь подставим значения $c$ в полученное выражение $3,4c$:

При $c = 5$: $3,4 \cdot 5 = 17$

При $c = 15$: $3,4 \cdot 15 = 51$

При $c = 30$: $3,4 \cdot 30 = 102$

При $c = 150$: $3,4 \cdot 150 = 510$

Ответ: 17; 51; 102; 510.

д) Сначала упростим выражение $9,5x + 4,8x + 5,7x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$9,5x + 4,8x + 5,7x = (9,5 + 4,8 + 5,7)x = (14,3 + 5,7)x = 20x$

Теперь подставим значения $x$ в полученное выражение $20x$:

При $x = 1,0023$: $20 \cdot 1,0023 = 20,046$

При $x = 6,2345$: $20 \cdot 6,2345 = 124,69$

Ответ: 20,046; 124,69.

е) Сначала упростим выражение $11,6z + 12,9z - 4,5z$, вынеся общий множитель $z$ за скобки:

$11,6z + 12,9z - 4,5z = (11,6 + 12,9 - 4,5)z = (24,5 - 4,5)z = 20z$

Теперь подставим значения $z$ в полученное выражение $20z$:

При $z = 2,0207$: $20 \cdot 2,0207 = 40,414$

При $z = 5,3467$: $20 \cdot 5,3467 = 106,934$

Ответ: 40,414; 106,934.

6.184 Вычислите.

а)

Чтобы найти конечный результат, выполним все действия по порядку, начиная с выражения в первой строке:
1. Вычисляем сумму квадратов: $6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$.
2. К полученному результату прибавляем 50: $40 + 50 = 90$.
3. Делим результат на 15: $90 : 15 = 6$.
4. Умножаем полученное число на 20: $6 \cdot 20 = 120$.
5. Из результата вычитаем 25: $120 - 25 = 95$.

Ответ: 95

б)

Выполним последовательно все арифметические операции для данного примера:
1. Вычисляем значение начального выражения: $3^3 + 5^2 = 27 + 25 = 52$.
2. Делим результат на 13: $52 : 13 = 4$.
3. Умножаем полученное число на 25: $4 \cdot 25 = 100$.
4. К результату прибавляем 150: $100 + 150 = 250$.
5. Делим полученное число на 125: $250 : 125 = 2$.

Ответ: 2

в)

Решим данный пример по действиям, двигаясь сверху вниз:
1. Находим значение выражения в первой строке: $4^3 - 3^2 = 64 - 9 = 55$.
2. Делим полученный результат на 11: $55 : 11 = 5$.
3. Умножаем результат на 40: $5 \cdot 40 = 200$.
4. Из полученного числа вычитаем 75: $200 - 75 = 125$.
5. Делим результат на 25: $125 : 25 = 5$.

Ответ: 5

г)

Проведем вычисления по порядку для последней цепочки действий:
1. Сначала вычислим сумму степеней: $2^3 + 9^2 = 8 + 81 = 89$.
2. К полученному результату прибавляем 21: $89 + 21 = 110$.
3. Делим результат на 11: $110 : 11 = 10$.
4. Умножаем полученное число на 18: $10 \cdot 18 = 180$.
5. Делим результат на 45: $180 : 45 = 4$.

Ответ: 4

6.185 Найдите сумму или разность:

а) Чтобы найти разность десятичных дробей, вычитаем отдельно целые и дробные части. Вычитаем десятые: $9 - 8 = 1$. Вычитаем целые: $3 - 0 = 3$. Получаем $3,9 - 0,8 = 3,1$.

Ответ: 3,1

б) Чтобы найти сумму десятичных дробей, складываем отдельно целые и дробные части. Складываем десятые: $2 + 3 = 5$. Складываем целые: $4 + 3 = 7$. Получаем $4,2 + 3,3 = 7,5$.

Ответ: 7,5

в) При вычитании $1,8$ из $4,7$ действуем поразрядно. В разряде десятых из 7 вычесть 8 нельзя, поэтому занимаем 1 из целой части. Получаем $17 - 8 = 9$ в разряде десятых. В целой части осталось $3$, вычитаем $1$: $3 - 1 = 2$. Итого: $4,7 - 1,8 = 2,9$.

Ответ: 2,9

г) Сложение любого числа с нулём даёт в результате само это число. Таким образом, $0,21 + 0 = 0,21$.

Ответ: 0,21

д) Складываем десятые доли: $9 + 9 = 18$. Записываем 8 в разряд десятых, а 1 (единицу) переносим в разряд целых. Складываем целые части с учётом переноса: $5 + 0 + 1 = 6$. Итого: $5,9 + 0,9 = 6,8$.

Ответ: 6,8

е) Вычитание нуля из любого числа не изменяет это число. Таким образом, $9,3 - 0 = 9,3$.

Ответ: 9,3

ж) Складываем десятые доли: $7 + 8 = 15$. Записываем 5 в разряд десятых, а 1 (единицу) переносим в разряд целых. Складываем целые части с учётом переноса: $8 + 5 + 1 = 14$. Итого: $8,7 + 5,8 = 14,5$.

Ответ: 14,5

з) Вычитаем поразрядно. Сотые: $4 - 3 = 1$. Десятые: $6 - 3 = 3$. Целые: $0 - 0 = 0$. Получаем $0,64 - 0,33 = 0,31$.

Ответ: 0,31

6.186 Вычислите значение выражения:

а) Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой, а затем выполнить сложение поразрядно, начиная с самой правой цифры. В полученной сумме нужно поставить запятую под запятой в исходных дробях.

Выполним сложение в столбик:

0,48
+
0,42
------
0,90

Складываем сотые доли: $8 + 2 = 10$. Пишем $0$ в разряд сотых и $1$ запоминаем (переносим в разряд десятых).
Складываем десятые доли, учитывая перенос: $4 + 4 + 1 = 9$. Пишем $9$ в разряд десятых.
Складываем целые части: $0 + 0 = 0$.
Таким образом, $0,48 + 0,42 = 0,90$, что равно $0,9$.

Ответ: $0,9$.

б) Чтобы вычесть десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Если количество знаков после запятой разное, его нужно уравнять, дописав нули. Затем выполнить вычитание поразрядно. В полученной разности поставить запятую под запятой.

Выполним вычитание в столбик:

0,76
-
0,57
------
0,19

Вычитаем сотые доли: из $6$ вычесть $7$ нельзя, поэтому занимаем $1$ из разряда десятых ($1$ десятая = $10$ сотых). Получаем $16 - 7 = 9$. Пишем $9$ в разряд сотых.
Вычитаем десятые доли: в уменьшаемом было $7$ десятых, но мы заняли $1$, осталось $6$. $6 - 5 = 1$. Пишем $1$ в разряд десятых.
Вычитаем целые части: $0 - 0 = 0$.
Таким образом, $0,76 - 0,57 = 0,19$.

Ответ: $0,19$.

в) Уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль: $0,4 = 0,40$.

$0,85 - 0,40$

0,85
-
0,40
------
0,45

Вычитаем сотые доли: $5 - 0 = 5$.
Вычитаем десятые доли: $8 - 4 = 4$.
Вычитаем целые части: $0 - 0 = 0$.
Получаем: $0,85 - 0,4 = 0,45$.

Ответ: $0,45$.

г) Уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль: $0,4 = 0,40$.

$0,64 + 0,40$

0,64
+
0,40
------
1,04

Складываем сотые доли: $4 + 0 = 4$.
Складываем десятые доли: $6 + 4 = 10$. Пишем $0$ в разряд десятых и $1$ запоминаем (переносим в целую часть).
Складываем целые части, учитывая перенос: $0 + 0 + 1 = 1$.
Получаем: $0,64 + 0,4 = 1,04$.

Ответ: $1,04$.

д) Представим $3,0$ как $3,00$ для удобства вычислений в столбик.

$2,54 + 3,00$

2,54
+
3,00
------
5,54

Складываем сотые доли: $4 + 0 = 4$.
Складываем десятые доли: $5 + 0 = 5$.
Складываем целые части: $2 + 3 = 5$.
Получаем: $2,54 + 3,0 = 5,54$.

Ответ: $5,54$.

е) Уравняем количество знаков после запятой: $2,4 = 2,40$.

$3,56 - 2,40$

3,56
-
2,40
------
1,16

Вычитаем сотые доли: $6 - 0 = 6$.
Вычитаем десятые доли: $5 - 4 = 1$.
Вычитаем целые части: $3 - 2 = 1$.
Получаем: $3,56 - 2,4 = 1,16$.

Ответ: $1,16$.

ж) Чтобы сложить целое число и десятичную дробь, нужно представить целое число в виде десятичной дроби, дописав после него запятую и нули.

$6 + 0,45 = 6,00 + 0,45$

6,00
+
0,45
------
6,45

Складываем поразрядно: $6,00 + 0,45 = 6,45$.

Ответ: $6,45$.

з) Чтобы вычесть из целого числа десятичную дробь, нужно представить целое число в виде десятичной дроби, а затем выполнить вычитание.

$4 - 0,7 = 4,0 - 0,7$

4,0
-
0,7
------
3,3

Вычитаем десятые доли: из $0$ вычесть $7$ нельзя, занимаем $1$ из целой части ($1$ целая = $10$ десятых). $10 - 7 = 3$.
Вычитаем целые части: в уменьшаемом было $4$, но мы заняли $1$, осталось $3$. $3 - 0 = 3$.
Получаем: $4 - 0,7 = 3,3$.

Ответ: $3,3$.

6.187 Найдите число по схеме алгоритма при а, равном:

а) 0,9; б) 1,5; в) 1,9; г) 2,2.

Чтобы найти число по схеме алгоритма, необходимо последовательно выполнить все указанные действия для каждого значения а.

а) Для начального значения $a = 0,9$ проследим выполнение алгоритма по шагам:

1. Вычитаем 0,5: $0,9 - 0,5 = 0,4$.

2. Прибавляем 0,9: $0,4 + 0,9 = 1,3$.

3. Вычитаем 1,2: $1,3 - 1,2 = 0,1$.

4. Проверяем условие. Промежуточный результат $0,1$ сравниваем с 1. Так как $0,1 \le 1$, условие в ромбе ($>1$) ложно, поэтому переходим по ветке "нет".

5. Прибавляем 1,1: $0,1 + 1,1 = 1,2$.

6. Вычитаем 0,4: $1,2 - 0,4 = 0,8$.

Ответ: 0,8

б) Для начального значения $a = 1,5$ проследим выполнение алгоритма по шагам:

1. Вычитаем 0,5: $1,5 - 0,5 = 1,0$.

2. Прибавляем 0,9: $1,0 + 0,9 = 1,9$.

3. Вычитаем 1,2: $1,9 - 1,2 = 0,7$.

4. Проверяем условие. Промежуточный результат $0,7$ сравниваем с 1. Так как $0,7 \le 1$, условие в ромбе ($>1$) ложно, поэтому переходим по ветке "нет".

5. Прибавляем 1,1: $0,7 + 1,1 = 1,8$.

6. Вычитаем 0,4: $1,8 - 0,4 = 1,4$.

Ответ: 1,4

в) Для начального значения $a = 1,9$ проследим выполнение алгоритма по шагам:

1. Вычитаем 0,5: $1,9 - 0,5 = 1,4$.

2. Прибавляем 0,9: $1,4 + 0,9 = 2,3$.

3. Вычитаем 1,2: $2,3 - 1,2 = 1,1$.

4. Проверяем условие. Промежуточный результат $1,1$ сравниваем с 1. Так как $1,1 > 1$, условие в ромбе ($>1$) истинно, поэтому переходим по ветке "да".

5. Вычитаем 0,7: $1,1 - 0,7 = 0,4$.

6. Прибавляем 2,2: $0,4 + 2,2 = 2,6$.

Ответ: 2,6

г) Для начального значения $a = 2,2$ проследим выполнение алгоритма по шагам:

1. Вычитаем 0,5: $2,2 - 0,5 = 1,7$.

2. Прибавляем 0,9: $1,7 + 0,9 = 2,6$.

3. Вычитаем 1,2: $2,6 - 1,2 = 1,4$.

4. Проверяем условие. Промежуточный результат $1,4$ сравниваем с 1. Так как $1,4 > 1$, условие в ромбе ($>1$) истинно, поэтому переходим по ветке "да".

5. Вычитаем 0,7: $1,4 - 0,7 = 0,7$.

6. Прибавляем 2,2: $0,7 + 2,2 = 2,9$.

Ответ: 2,9

6.188 Вместо знака вопроса поставьте одну и ту же цифру, чтобы было верно равенство или неравенство:

а) 4,?5 = 4,5?;

б) 2,?6 > 1,9?;

в) 0,?7 < 0,4?;

г) 0,2?9 < 0,37?.

а) В равенстве $4,?5 = 4,5?$ необходимо, чтобы цифры в одинаковых разрядах совпадали. Целые части чисел (4) равны. Сравним цифры в разряде десятых: слева стоит неизвестная цифра, а справа — цифра 5. Для выполнения равенства неизвестная цифра должна быть равна 5. Проверим разряд сотых: слева стоит 5, а справа — неизвестная цифра. Если мы подставим 5, то и сотые доли будут равны. Таким образом, мы получаем верное равенство: $4,55 = 4,55$.
Ответ: 5.

б) В неравенстве $2,?6 > 1,9?$ сравним целые части чисел. Целая часть левого числа — 2, а правого — 1. Поскольку $2 > 1$, левое число всегда будет больше правого, независимо от цифр, стоящих после запятой. Следовательно, на место знака вопроса можно поставить любую цифру от 0 до 9.
Ответ: любая цифра от 0 до 9.

в) В неравенстве $0,?7 < 0,4?$ целые части чисел равны (0). Поэтому для сравнения переходим к следующему разряду — десятым. Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде десятых левого числа должна быть меньше цифры в разряде десятых правого числа, то есть неизвестная цифра должна быть меньше 4. Если подставить цифру 4, то получится $0,47 < 0,44$, что неверно. Если подставить цифру больше 4, то левое число тем более будет больше правого. Следовательно, подходят только цифры, которые меньше 4.
Ответ: любая цифра из {0, 1, 2, 3}.

г) В неравенстве $0,2?9 < 0,37?$ целые части чисел равны (0). Сравним цифры в разряде десятых. У левого числа это 2, у правого — 3. Поскольку $2 < 3$, левое число гарантированно меньше правого, независимо от того, какие цифры стоят в последующих разрядах. Таким образом, на место знака вопроса можно подставить любую цифру от 0 до 9.
Ответ: любая цифра от 0 до 9.

6.189 Отметьте на координатной прямой с единичным отрезком в 10 клеток точки с координатами: 0,25; 0,4; 0,6; 0,9; 1,5; 1,8; 14; 25; 35; 145; 110.

$\frac{1}{4}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $1\frac{4}{5}$

0 $\frac{1}{10}$ 0,25 0,4 0,6 0,9 1 1,5 1,8 2

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{25·1}{25·4} = \frac{1}{4}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2·2}{2·5} = \frac{2}{5}$

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{2·3}{2·5} = \frac{3}{5}$

$1,8 = 1\frac{8}{10} = 1\frac{4}{5}$

Для решения задачи построим координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок равен 10 клеткам. Это означает, что расстояние на прямой от 0 до 1 соответствует 10 клеткам. Таким образом, одна клетка представляет собой одну десятую единицы, то есть $1 / 10 = 0,1$.

Чтобы отметить все заданные точки, сначала преобразуем обыкновенные дроби в десятичные, чтобы было удобнее определять их положение. Затем для каждой координаты рассчитаем её положение в клетках от начала координат (точки 0), умножив значение координаты на 10.

Расчет положения для каждой точки:

• Координаты $0,4$ и $\frac{2}{5}$.
  $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$. Эти координаты соответствуют одной и той же точке.
  Положение на прямой: $0,4 \cdot 10 = 4$ клетки от 0.
• Координаты $0,6$ и $\frac{3}{5}$.
  $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,6$. Эти координаты соответствуют одной и той же точке.
  Положение на прямой: $0,6 \cdot 10 = 6$ клеток от 0.
• Координаты $1,8$ и $1\frac{4}{5}$.
  $1\frac{4}{5} = 1 + \frac{8}{10} = 1,8$. Эти координаты соответствуют одной и той же точке.
  Положение на прямой: $1,8 \cdot 10 = 18$ клеток от 0.
• Координаты $0,25$ и $\frac{1}{4}$.
  $\frac{1}{4} = 0,25$. Эти координаты соответствуют одной и той же точке.
  Положение на прямой: $0,25 \cdot 10 = 2,5$ клетки от 0 (т.е. на полпути между 2-й и 3-й клеткой).
• Координата $0,9$.
  Положение на прямой: $0,9 \cdot 10 = 9$ клеток от 0.
• Координата $1,5$.
  Положение на прямой: $1,5 \cdot 10 = 15$ клеток от 0.
• Координата $\frac{1}{10}$.
  $\frac{1}{10} = 0,1$.
  Положение на прямой: $0,1 \cdot 10 = 1$ клетка от 0.

Теперь отметим все эти уникальные точки на координатной прямой.

Ответ:
Координатная прямая с отмеченными точками изображена на рисунке выше. Некоторые из заданных координат соответствуют одним и тем же точкам на прямой: $0,25 = \frac{1}{4}$; $0,4 = \frac{2}{5}$; $0,6 = \frac{3}{5}$; $1,8 = 1\frac{4}{5}$.

6.190 Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома короче лестницы на шестнадцатый этаж этого дома?

Чтобы определить, во сколько раз лестница на четвёртый этаж короче лестницы на шестнадцатый, необходимо сравнить количество лестничных пролётов, которые нужно пройти в каждом случае. Подъём всегда начинается с первого этажа.

1. Найдём количество лестничных пролётов, ведущих на четвёртый этаж. Чтобы подняться с первого этажа на четвёртый, нужно преодолеть пролёты между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м, 3-м и 4-м этажами. Общее число пролётов составляет:
$4 - 1 = 3$ пролёта.

2. Аналогично найдём количество лестничных пролётов, ведущих на шестнадцатый этаж. Чтобы подняться с первого этажа на шестнадцатый, нужно преодолеть:
$16 - 1 = 15$ пролётов.

3. Теперь найдём соотношение длин. Так как все лестничные пролёты в доме одинаковы, отношение длин лестниц будет равно отношению количества пролётов. Чтобы узнать, во сколько раз одна лестница короче другой, разделим большее количество пролётов на меньшее:
$\frac{15}{3} = 5$

Таким образом, лестница на четвёртый этаж в 5 раз короче, чем лестница на шестнадцатый этаж.
Ответ: в 5 раз.

6.191 Округлите числа:

а) 3,678; 0,5249; 374,259 до сотых;

б) 31 093,6; 27 544,5; 723,8 до сотен.

а) Чтобы округлить число до сотых, необходимо оставить две цифры после запятой, а все последующие отбросить. При этом следует посмотреть на первую отбрасываемую цифру (в разряде тысячных). Если эта цифра 5 или больше, то последняя оставляемая цифра (в разряде сотых) увеличивается на единицу. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то цифра в разряде сотых остается без изменений.

• Округляем число 3,678. Цифра в разряде сотых – это 7. Следующая за ней цифра – 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру 7 увеличиваем на 1. Получаем: $3,678 \approx 3,68$.

• Округляем число 0,5249. Цифра в разряде сотых – это 2. Следующая за ней цифра – 4. Так как $4 < 5$, то цифру 2 оставляем без изменений. Получаем: $0,5249 \approx 0,52$.

• Округляем число 374,259. Цифра в разряде сотых – это 5. Следующая за ней цифра – 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру 5 увеличиваем на 1. Получаем: $374,259 \approx 374,26$.

Ответ: 3,68; 0,52; 374,26.

б) Чтобы округлить число до сотен, необходимо все цифры правее разряда сотен (десятки, единицы, десятые и т.д.) заменить нулями. При этом следует посмотреть на цифру в разряде десятков. Если она равна 5 или больше, то цифра в разряде сотен увеличивается на единицу. Если цифра в разряде десятков меньше 5, то цифра в разряде сотен остается без изменений.

• Округляем число 31 093,6. Цифра в разряде сотен – 0. Цифра в разряде десятков – 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру 0 увеличиваем на 1, а все цифры правее заменяем нулями. Получаем: $31 093,6 \approx 31 100$.

• Округляем число 27 544,5. Цифра в разряде сотен – 5. Цифра в разряде десятков – 4. Так как $4 < 5$, то цифру 5 оставляем без изменений, а все цифры правее заменяем нулями. Получаем: $27 544,5 \approx 27 500$.

• Округляем число 723,8. Цифра в разряде сотен – 7. Цифра в разряде десятков – 2. Так как $2 < 5$, то цифру 7 оставляем без изменений, а все цифры правее заменяем нулями. Получаем: $723,8 \approx 700$.

Ответ: 31 100; 27 500; 700.

6.192 Найдите значение выражения:

а) 7654,4 + (178,27 + 304,16);

б) 36,531 - (17,743 - 0,8);

в) 675,4 + (700 - 674,4);

г) (43,76 - 38,45) - 3,76.

a)

1) $\begin{array}{r}\phantom{ + }\stackrel{\mathrm{①}}{1}78,\stackrel{\mathrm{①}}{2}7\\ + 304,16\\ \text{—————}\\ \phantom{ + }482,43\end{array}$

2) $\begin{array}{r}\phantom{ + }7\stackrel{\mathrm{①}}{6}5\stackrel{\mathrm{①}}{4},\stackrel{\mathrm{①}}{4}0\\ + 482,43\\ \text{—————}\\ \phantom{ + }8136,83\end{array}$

б)

1) $\begin{array}{r}\phantom{ - }1\stackrel{\mathrm{①}}{7},743\\ - 0,800\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }16,943\end{array}$

2) $\begin{array}{r}\phantom{ - }3\stackrel{\mathrm{①}}{6},531\\ - 16,943\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }19,588\end{array}$

в)

1) $\begin{array}{r}\phantom{ - }7\stackrel{•}{0}0,\stackrel{•}{0}\\ - 674,4\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }25,6\end{array}$

2) $\begin{array}{r}\phantom{ + }6\stackrel{\mathrm{①}}{7}\stackrel{\mathrm{①}}{5},\stackrel{\mathrm{①}}{4}\\ + 25,6\\ \text{—————}\\ \phantom{ + }701,0\end{array}$

или

$= 1 + 700 = 701$

2)

1) $\begin{array}{r}\phantom{ - }4\stackrel{\mathrm{①}}{3},76\\ - 38,45\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }5,31\end{array}$

2) $\begin{array}{r}\phantom{ - }\stackrel{\mathrm{②}}{5},31\\ - 3,76\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }1,55\end{array}$

или

$= 40 - 38,45 = 1,55$

$\begin{array}{r}\phantom{ - }4\stackrel{•}{0},\stackrel{•}{0}\stackrel{•}{0}\\ - 38,45\\ \text{—————}\\ \phantom{ - }1,55\end{array}$

а) $7654,4 + (178,27 + 304,16)$

Для решения этого выражения сначала выполним действие в скобках, а затем сложим результат с первым числом.

1. Найдем сумму в скобках:

$178,27 + 304,16 = 482,43$

2. Прибавим полученное значение к первому числу:

$7654,4 + 482,43 = 8136,83$

Ответ: 8136,83

б) $36,531 - (17,743 - 0,8)$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем вычтем результат из первого числа.

1. Найдем разность в скобках:

$17,743 - 0,8 = 16,943$

2. Вычтем полученное значение из первого числа:

$36,531 - 16,943 = 19,588$

Ответ: 19,588

в) $675,4 + (700 - 674,4)$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем прибавим результат к первому числу.

1. Найдем разность в скобках:

$700 - 674,4 = 25,6$

2. Прибавим полученное значение к первому числу:

$675,4 + 25,6 = 701$

Ответ: 701

г) $(43,76 - 38,45) - 3,76$

В данном выражении можно раскрыть скобки и для удобства вычислений перегруппировать числа. Это свойство вычитания: $ (a - b) - c = a - c - b $.

1. Сначала вычтем $3,76$ из $43,76$:

$43,76 - 3,76 = 40$

2. Теперь из полученного результата вычтем $38,45$:

$40 - 38,45 = 1,55$

Ответ: 1,55