Страница 113, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Какое число называют приближённым значением x с недостатком; с избытком, если a < x < b?
Если для числа $x$ выполняется двойное неравенство $a < x < b$, то число $a$ называют приближённым значением $x$ с недостатком, а число $b$ – приближённым значением $x$ с избытком. Приближение с недостатком всегда меньше точного значения, а приближение с избытком – всегда больше.
Ответ: $a$ – приближённое значение с недостатком, $b$ – приближённое значение с избытком.

Какое из чисел: 15,6 или 15,7 — является приближённым значением числа 15,62 с недостатком; с избытком?
Рассмотрим число 15,62. Для него справедливо неравенство $15,6 < 15,62 < 15,7$.
Поскольку $15,6$ меньше, чем $15,62$, оно является приближённым значением с недостатком.
Поскольку $15,7$ больше, чем $15,62$, оно является приближённым значением с избытком.
Ответ: 15,6 – приближённое значение с недостатком; 15,7 – приближённое значение с избытком.

Объясните, как округлить число.
Округление числа – это замена его приближённым значением с определённой точностью (до определённого разряда). Чтобы округлить число, необходимо:
1. Найти цифру в том разряде, до которого требуется округлить число. Эту цифру называют последней оставляемой.
2. Посмотреть на цифру, следующую за последней оставляемой.
3. Если следующая цифра – 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставляемую цифру не меняют, а все последующие цифры отбрасывают (если они стоят после запятой) или заменяют нулями (если они стоят в целой части числа).
4. Если следующая цифра – 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, а все последующие цифры отбрасывают или заменяют нулями по тому же принципу.
Ответ: Для округления числа смотрят на цифру, следующую за разрядом округления: если она меньше 5, то оставляемую цифру не меняют; если она равна 5 или больше, то оставляемую цифру увеличивают на 1.

Что надо сделать с последней оставленной цифрой, если после неё идёт цифра 6; цифра 5; цифра 2?
Применяя правило округления:
- Если после последней оставленной цифры идёт цифра 6 (поскольку $6 \ge 5$), то последнюю оставленную цифру нужно увеличить на 1.
- Если после последней оставленной цифры идёт цифра 5 (поскольку $5 \ge 5$), то последнюю оставленную цифру нужно увеличить на 1.
- Если после последней оставленной цифры идёт цифра 2 (поскольку $2 < 5$), то последнюю оставленную цифру нужно оставить без изменений.
Ответ: если идёт цифра 6 – увеличить на 1; если идёт цифра 5 – увеличить на 1; если идёт цифра 2 – оставить без изменений.

До какого разряда округлили дробь, если в результате получили число: а) 15,2; б) 15,20?
Разряд, до которого округлили число, определяется по положению последней цифры в его записи.
а) В числе 15,2 последняя цифра «2» находится в разряде десятых. Значит, округление производилось до десятых.
б) В числе 15,20 последняя цифра «0» находится в разряде сотых. В десятичных дробях нули в конце записи являются значащими и указывают на точность округления. Значит, округление производилось до сотых.
Ответ: а) до разряда десятых; б) до разряда сотых.

6.134 Сторона квадрата а см. Укажите приближённые значения с недостатком и с избытком для периметра и для площади этого квадрата, если:

а) 5 < а < 6;

б) 11 < а < 13;

в) 101 < а < 103.

Для решения задачи воспользуемся формулами периметра и площади квадрата со стороной $a$:
Периметр: $P = 4a$
Площадь: $S = a^2$
Чтобы найти приближённые значения с недостатком и с избытком, мы будем использовать свойства числовых неравенств. При умножении неравенства на положительное число или при возведении в квадрат (для положительных чисел) знак неравенства сохраняется.

а) Дано неравенство для стороны квадрата $a$: $5 < a < 6$.
Оценим периметр $P = 4a$. Умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot 5 < 4a < 4 \cdot 6$
$20 < P < 24$
Значит, приближённое значение периметра с недостатком равно 20 см, а с избытком — 24 см.
Оценим площадь $S = a^2$. Возведём все части неравенства в квадрат:
$5^2 < a^2 < 6^2$
$25 < S < 36$
Значит, приближённое значение площади с недостатком равно 25 см?, а с избытком — 36 см?.
Ответ: для периметра приближённое значение с недостатком — 20 см, с избытком — 24 см; для площади приближённое значение с недостатком — 25 см?, с избытком — 36 см?.

б) Дано неравенство для стороны квадрата $a$: $11 < a < 13$.
Оценим периметр $P = 4a$:
$4 \cdot 11 < 4a < 4 \cdot 13$
$44 < P < 52$
Приближённое значение периметра с недостатком — 44 см, с избытком — 52 см.
Оценим площадь $S = a^2$:
$11^2 < a^2 < 13^2$
$121 < S < 169$
Приближённое значение площади с недостатком — 121 см?, с избытком — 169 см?.
Ответ: для периметра приближённое значение с недостатком — 44 см, с избытком — 52 см; для площади приближённое значение с недостатком — 121 см?, с избытком — 169 см?.

в) Дано неравенство для стороны квадрата $a$: $101 < a < 103$.
Оценим периметр $P = 4a$:
$4 \cdot 101 < 4a < 4 \cdot 103$
$404 < P < 412$
Приближённое значение периметра с недостатком — 404 см, с избытком — 412 см.
Оценим площадь $S = a^2$:
$101^2 < a^2 < 103^2$
$10201 < S < 10609$
Приближённое значение площади с недостатком — 10201 см?, с избытком — 10609 см?.
Ответ: для периметра приближённое значение с недостатком — 404 см, с избытком — 412 см; для площади приближённое значение с недостатком — 10201 см?, с избытком — 10609 см?.

6.135 Округлите дроби:

а) 8,263; 0,13; 7,5303 до единиц;

б) 12,612; 10,5; 42,09; 74,2 до десятков.

а) $\underset{\_}{8},263\approx 8$

$\underset{\_}{0},13\approx 0$

$\underset{\_}{7},5303\approx 8$

б) $1\underset{\_}{2},612\approx 10$

$1\underset{\_}{0},5\approx 10$

$4\underset{\_}{2},09\approx 40$

$7\underset{\_}{4},2\approx 70$

а) Требуется округлить дроби до единиц. Для этого необходимо посмотреть на цифру в разряде десятых (первая цифра после запятой). Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то целая часть числа не изменяется, а дробная часть отбрасывается. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то целая часть увеличивается на единицу, а дробная часть отбрасывается.

Выполним округление для данных чисел:

• В числе 8,263 первая цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $8,263 \approx 8$.

• В числе 0,13 первая цифра после запятой — 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $0,13 \approx 0$.

• В числе 7,5303 первая цифра после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону: $7,5303 \approx 8$.

Ответ: 8; 0; 8.

б) Требуется округлить числа до десятков. Для этого необходимо посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в разряде десятков не изменяется, а цифра в разряде единиц и все цифры дробной части заменяются нулями (при этом дробная часть отбрасывается). Если же цифра в разряде единиц 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде десятков увеличивается на единицу, а цифра в разряде единиц и вся дробная часть обнуляются.

Выполним округление для данных чисел:

• В числе 12,612 цифра в разряде единиц — 2. Так как $2 < 5$, округляем до 10: $12,612 \approx 10$.

• В числе 10,5 цифра в разряде единиц — 0. Так как $0 < 5$, округляем до 10: $10,5 \approx 10$.

• В числе 42,09 цифра в разряде единиц — 2. Так как $2 < 5$, округляем до 40: $42,09 \approx 40$.

• В числе 74,2 цифра в разряде единиц — 4. Так как $4 < 5$, округляем до 70: $74,2 \approx 70$.

Ответ: 10; 10; 40; 70.

6.136 Подставьте вместо знака вопроса цифру, чтобы округление было выполнено верно:

а) 5,57? ≈ 5,57;

б) 6,02? ≈ 6,03;

в) 22,0? ≈ 22,0;

г) 23,? ≈ 24;

д) 200,01? ≈ 200,02;

е) 8,70? ≈ 8,70.

а) $5,571\approx 5,57$

$5,572\approx 5,57$

$5,573\approx 5,57$

$5,574\approx 5,57$

б) $22,01\approx 22,0$

$22,02\approx 22,0$

$22,03\approx 22,0$

$22,04\approx 22,0$

г) $23,5\approx 24$

$23,6\approx 24$

$23,7\approx 24$

$23,8\approx 24$

$23,9\approx 24$

е) $8,701\approx 8,70$

$8,702\approx 8,70$

$8,703\approx 8,70$

$8,704\approx 8,70$

д) $6,025\approx 6,03$

$6,026\approx 6,03$

$6,027\approx 6,03$

$6,028\approx 6,03$

$6,029\approx 6,03$

ж) $200,015\approx 200,02$

$200,016\approx 200,02$

$200,017\approx 200,02$

$200,018\approx 200,02$

$200,019\approx 200,02$

а) В выражении $5,57? \approx 5,57$ округление выполнено до сотых. Чтобы при округлении цифра в разряде сотых (которая равна 7) не изменилась, следующая за ней цифра (на месте знака вопроса) должна быть меньше 5. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4. Ответ: любая цифра от 0 до 4.

б) В выражении $6,02? \approx 6,03$ округление выполнено до сотых. Цифра в разряде сотых увеличилась с 2 до 3. Это происходит, если следующая за ней цифра (на месте знака вопроса) равна 5 или больше. Это цифры 5, 6, 7, 8, 9. Ответ: любая цифра от 5 до 9.

в) В выражении $22,0? \approx 22,0$ округление выполнено до десятых. Чтобы цифра в разряде десятых (которая равна 0) не изменилась, следующая за ней цифра (на месте знака вопроса) должна быть меньше 5. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4. Ответ: любая цифра от 0 до 4.

г) В выражении $23,? \approx 24$ округление выполнено до единиц (целых). Цифра в разряде единиц увеличилась с 3 до 4. Это происходит, если следующая за ней цифра в разряде десятых (на месте знака вопроса) равна 5 или больше. Это цифры 5, 6, 7, 8, 9. Ответ: любая цифра от 5 до 9.

д) В выражении $200,01? \approx 200,02$ округление выполнено до сотых. Цифра в разряде сотых увеличилась с 1 до 2. Это происходит, если следующая за ней цифра (на месте знака вопроса) равна 5 или больше. Это цифры 5, 6, 7, 8, 9. Ответ: любая цифра от 5 до 9.

е) В выражении $8,70? \approx 8,70$ округление выполнено до сотых. Чтобы цифра в разряде сотых (которая равна 0) не изменилась, следующая за ней цифра (на месте знака вопроса) должна быть меньше 5. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4. Ответ: любая цифра от 0 до 4.

6.137 а) Старинная аптекарская мера массы унция равна 31,1035 г. Округлите это значение до целых; до десятых; до десятков.

б) Английская мера массы фунт равна 453,59237 г. Округлите это значение до целых; до сотых; до сотен.

в) Старинная русская мера длины фут равна 0,3048 м. Округлите это значение до десятых; до сотых.

а) Исходное число $31,1035$. Правило округления: если первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из сохраняемых цифр не изменяется.

Округление до целых: Чтобы округлить до целых, смотрим на цифру в разряде десятых (первая после запятой). Это цифра $1$. Так как $1 < 5$, целую часть оставляем без изменений, а дробную отбрасываем. $31,1035 \approx 31$.

Округление до десятых: Чтобы округлить до десятых, смотрим на цифру в разряде сотых (вторая после запятой). Это цифра $0$. Так как $0 < 5$, цифру в разряде десятых ($1$) оставляем без изменений, а остальные отбрасываем. $31,1035 \approx 31,1$.

Округление до десятков: Чтобы округлить до десятков, смотрим на цифру в разряде единиц. Это цифра $1$. Так как $1 < 5$, цифру в разряде десятков ($3$) оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем на ноль. Дробную часть отбрасываем. $31,1035 \approx 30$.

Ответ: $31$; $31,1$; $30$.

б) Исходное число $453,59237$.

Округление до целых: Смотрим на цифру в разряде десятых. Это цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде единиц увеличиваем на $1$ ($453 + 1 = 454$), а дробную часть отбрасываем. $453,59237 \approx 454$.

Округление до сотых: Смотрим на цифру в разряде тысячных (третья после запятой). Это цифра $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде сотых ($9$) оставляем без изменений. $453,59237 \approx 453,59$.

Округление до сотен: Смотрим на цифру в разряде десятков. Это цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотен ($4$) увеличиваем на $1$ ($4 + 1 = 5$), а цифры в разрядах десятков и единиц заменяем на нули. $453,59237 \approx 500$.

Ответ: $454$; $453,59$; $500$.

в) Исходное число $0,3048$.

Округление до десятых: Смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра $0$. Так как $0 < 5$, цифру в разряде десятых ($3$) оставляем без изменений. $0,3048 \approx 0,3$.

Округление до сотых: Смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра $4$. Так как $4 < 5$, цифру в разряде сотых ($0$) оставляем без изменений. Важно сохранить ноль, чтобы показать точность округления. $0,3048 \approx 0,30$.

Ответ: $0,3$; $0,30$.

6.138 Округлите дроби:

а) 3,791; 5,2626; 311,954; 40,57 до десятых;

б) 0,08324; 3,46511; 20,097; 87,423; 9,655 до сотых;

в) 238,2; 4175,02; 333,3; 500,9; 248 до десятков.

а) Чтобы округлить дроби до десятых, нужно проанализировать цифру, стоящую в разряде сотых (вторая цифра после запятой). Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в разряде десятых нужно увеличить на единицу, а все последующие цифры отбросить. Если же в разряде сотых стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в разряде десятых остается без изменений, а все последующие цифры отбрасываются.

Выполним округление для каждого числа:

• Для числа $3,791$: цифра в разряде сотых — это $9$. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (7) на 1: $7+1=8$. Таким образом, $3,791 \approx 3,8$.

• Для числа $5,2626$: цифра в разряде сотых — это $6$. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (2) на 1: $2+1=3$. Таким образом, $5,2626 \approx 5,3$.

• Для числа $311,954$: цифра в разряде сотых — это $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (9) на 1: $9+1=10$. Это приводит к увеличению целой части на 1: $311+1=312$. В разряде десятых ставим 0. Таким образом, $311,954 \approx 312,0$.

• Для числа $40,57$: цифра в разряде сотых — это $7$. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (5) на 1: $5+1=6$. Таким образом, $40,57 \approx 40,6$.

Ответ: 3,8; 5,3; 312,0; 40,6.

б) Чтобы округлить дроби до сотых, нужно посмотреть на цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой). Если эта цифра 5 или больше, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений. Все цифры правее разряда сотых отбрасываются.

Выполним округление для каждого числа:

• Для числа $0,08324$: цифра в разряде тысячных — это $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых (8) оставляем без изменений. Таким образом, $0,08324 \approx 0,08$.

• Для числа $3,46511$: цифра в разряде тысячных — это $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (6) на 1: $6+1=7$. Таким образом, $3,46511 \approx 3,47$.

• Для числа $20,097$: цифра в разряде тысячных — это $7$. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (9) на 1: $9+1=10$. В разряде сотых пишем 0 и увеличиваем на 1 цифру в разряде десятых: $0+1=1$. Таким образом, $20,097 \approx 20,10$.

• Для числа $87,423$: цифра в разряде тысячных — это $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых (2) оставляем без изменений. Таким образом, $87,423 \approx 87,42$.

• Для числа $9,655$: цифра в разряде тысячных — это $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (5) на 1: $5+1=6$. Таким образом, $9,655 \approx 9,66$.

Ответ: 0,08; 3,47; 20,10; 87,42; 9,66.

в) Чтобы округлить числа до десятков, нужно посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра 5 или больше, то цифру в разряде десятков увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде десятков оставляем без изменений. Цифру в разряде единиц заменяем на 0, а дробную часть отбрасываем.

Выполним округление для каждого числа:

• Для числа $238,2$: цифра в разряде единиц — это $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятков (3) на 1: $3+1=4$. Разряд единиц заменяем нулем. Таким образом, $238,2 \approx 240$.

• Для числа $4175,02$: цифра в разряде единиц — это $5$. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятков (7) на 1: $7+1=8$. Разряд единиц заменяем нулем. Таким образом, $4175,02 \approx 4180$.

• Для числа $333,3$: цифра в разряде единиц — это $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде десятков (3) оставляем без изменений. Разряд единиц заменяем нулем. Таким образом, $333,3 \approx 330$.

• Для числа $500,9$: цифра в разряде единиц — это $0$. Так как $0 < 5$, цифру в разряде десятков (0) оставляем без изменений. Разряд единиц уже является нулем. Таким образом, $500,9 \approx 500$.

• Для числа $248$: цифра в разряде единиц — это $8$. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятков (4) на 1: $4+1=5$. Разряд единиц заменяем нулем. Таким образом, $248 \approx 250$.

Ответ: 240; 4180; 330; 500; 250.

6.139 В строительстве применяется керамический (красный) кирпич разных видов: полнотелый, пустотелый, облицовочный, для строительства печей — огнеупорный. В зависимости от вида и размера кирпичи имеют разную массу. В таблице представлена масса одного одинарного кирпича каждого вида. Одинарный кирпич имеет размер 250 х 120 х 65 мм.

Заполните таблицу. Округлите общую массу кирпичей во втором столбике до десятых и сравните с общей массой в третьем столбике.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить вычисления для заполнения таблицы, а затем сравнить полученные итоговые значения.

1. Сначала заполним третий столбец «Масса кирпича, кг (в точностью до десятых долей)», округляя значения из второго столбца до одного знака после запятой. Округление производится по следующему правилу: если следующая за десятыми цифра (сотая) равна 5 или больше, то цифра в разряде десятых увеличивается на 1; в противном случае она остается без изменений.

• Полнотелый кирпич: $3,53 \approx 3,5$ кг (так как цифра в разряде сотых 3 < 5).
• Пустотелый кирпич: $2,37 \approx 2,4$ кг (так как цифра в разряде сотых 7 ? 5).
• Облицовочный кирпич: $1,45 \approx 1,5$ кг (так как цифра в разряде сотых 5 ? 5).
• Огнеупорный кирпич: $3,952 \approx 4,0$ кг (так как цифра в разряде сотых 5 ? 5).

2. Теперь рассчитаем общую массу для последней строки таблицы.

Для второго столбца сложим точные значения массы каждого кирпича:

$3,53 + 2,37 + 1,45 + 3,952 = 11,302$ кг.

Для третьего столбца сложим округленные значения массы:

$3,5 + 2,4 + 1,5 + 4,0 = 11,4$ кг.

3. Внесем все вычисленные значения в таблицу.

Ответ: Заполненная таблица приведена выше. Общая масса кирпичей во втором столбце равна 11,302 кг, в третьем — 11,4 кг.

Общая масса кирпичей, рассчитанная во втором столбце по точным значениям, составляет $11,302$ кг.

Округлим это значение до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых — это 0. Так как $0 < 5$, то отбрасываем последующие разряды, не изменяя разряд десятых:

$11,302 \approx 11,3$ кг.

Общая масса в третьем столбце, полученная как сумма уже округленных значений, равна $11,4$ кг.

Теперь сравним два этих результата:

Округленная точная сумма: $11,3$ кг.
Сумма округленных слагаемых: $11,4$ кг.

Сравнение показывает, что значения не равны: $11,3 \text{ кг} \neq 11,4 \text{ кг}$.

Это происходит из-за накопления погрешностей при округлении каждого отдельного слагаемого. Сумма округленных чисел не всегда равна округленной сумме точных чисел.

Ответ: Округленная до десятых общая масса из второго столбца ($11,3$ кг) не совпадает с общей массой из третьего столбца ($11,4$ кг).