Страница 106, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.261 В школе обучается 623 человека, причём девочек на 45 больше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в школе?

Пусть х мальчиков обучается в школе, тогда х + 45 девочек обучается в школе.

$x + (x + 45) = 623$
$x + x + 45 = 623$
$2x = 623 - 45$

$2x = 578$
$x = 578 : 2$

$x = 289$
$289 + 45 = 334 (\mathrm{д}.)$

Ответ: 289 мальчиков и 334 девочки.

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Давайте составим уравнение.

Пусть $x$ — количество мальчиков в школе.

Согласно условию, девочек на 45 больше, чем мальчиков. Значит, количество девочек можно выразить как $x + 45$.

Общее количество учеников в школе — это сумма количества мальчиков и девочек, которая равна 623. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + (x + 45) = 623$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$ (количество мальчиков).

1. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 45 = 623$

2. Перенесем число 45 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 623 - 45$

$2x = 578$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{578}{2}$

$x = 289$

Таким образом, в школе учится 289 мальчиков.

Теперь, зная количество мальчиков, можем найти количество девочек:

$289 + 45 = 334$

В школе учится 334 девочки.

Проверка:

Сложим количество мальчиков и девочек, чтобы убедиться, что общее число учеников равно 623:

$289 + 334 = 623$

Проверим, что девочек на 45 больше, чем мальчиков:

$334 - 289 = 45$

Оба условия выполняются, значит, задача решена верно.

Ответ: в школе учится 334 девочки и 289 мальчиков.

3.262 Найдите значение выражения:

а) $2006 \stackrel{4}{·} (\mathrm{10\; 425} \stackrel{2}{:} 75 \stackrel{3}{-} (5506 \stackrel{1}{-} 5415\left)\right)=96288$

1)

2)

3)

4)

б) $5004 \stackrel{4}{·} (24717 \stackrel{1}{:} 77 \stackrel{2}{-} 318 \stackrel{3}{+} 24) = 135108$

1)

2)

4)

в) $\mathrm{207\; 746} \stackrel{3}{:} (306 \stackrel{1}{·} 54 \stackrel{2}{-} \mathrm{16\; 486})=5467$

1)

2)

3)

г) $9984 \stackrel{1}{:} 48 \stackrel{3}{-} \mathrm{14\; 283} \stackrel{2}{:} 69=1$

1)

2)

д) $1560 \stackrel{4}{:} (52 \stackrel{1}{·} 36 \stackrel{3}{-} 20 \stackrel{2}{·} 91)=30$

1)

2)

3)

4)

е) $6883 \stackrel{4}{+} (706 \stackrel{1}{·} 350 \stackrel{2}{-} \mathrm{47\; 000}) \stackrel{3}{:} 300=7550$

1)

2)

3)

4)

3.263 Развивай мышление. В вершинах треугольников были написаны десять цифр от 0 до 9, а в каждом треугольнике - сумма цифр в трёх его вершинах. Некоторые из чисел стёрли (рис. 3.17). Какая цифра была написана в закрашенной вершине?

Ответ: 5.

1 В магазине было 12 упаковок тетрадей в линейку, по 50 штук в каждой. За день продали 9 упаковок тетрадей. Сколько тетрадей осталось продать?

Решая эту задачу, ученики составили числовые выражения:

а) 12 • 50 - 9 • 50;

б) 50(12 - 9);

в) 12 • 50 - 9;

г) (12 - 9) • 50.

Какое выражение не является решением задачи?

Было - 12 уп. по 50 шт.
Продали - 9 уп.
Осталось - ? тетр.

в) $12 · 50 - 9$ - неверно, так как $(12 · 50)$ тетрадей было.

Из количества тетрадей вычли упаковки.

Ответ: в).

Для того чтобы определить, какое из предложенных выражений не является решением задачи, сначала решим саму задачу. Это поможет нам проверить правильность каждого выражения.

Условие: В магазине было 12 упаковок тетрадей по 50 штук в каждой. За день продали 9 упаковок. Нужно найти, сколько тетрадей осталось продать.

Задачу можно решить двумя способами:

Способ 1:
1. Найти количество оставшихся упаковок: $12 - 9 = 3$ (упаковки).
2. Найти общее количество тетрадей в оставшихся упаковках: $3 \cdot 50 = 150$ (тетрадей).

Способ 2:
1. Найти, сколько всего тетрадей было изначально: $12 \cdot 50 = 600$ (тетрадей).
2. Найти, сколько тетрадей было продано: $9 \cdot 50 = 450$ (тетрадей).
3. Найти разницу, чтобы определить остаток: $600 - 450 = 150$ (тетрадей).

Итак, правильный ответ — 150 тетрадей. Теперь проанализируем каждое из выражений.

а) $12 \cdot 50 - 9 \cdot 50$
Это выражение соответствует второму способу решения. Из общего количества тетрадей ($12 \cdot 50$) вычитается количество проданных тетрадей ($9 \cdot 50$). Вычисление $600 - 450 = 150$ дает верный ответ. Следовательно, это выражение является решением задачи.

б) $50(12 - 9)$
Это выражение соответствует первому способу решения. Сначала вычисляется количество оставшихся упаковок ($12 - 9 = 3$), а затем результат умножается на количество тетрадей в одной упаковке (50). Вычисление $50 \cdot 3 = 150$ дает верный ответ. Следовательно, это выражение является решением задачи.

в) $12 \cdot 50 - 9$
В этом выражении из общего количества тетрадей ($12 \cdot 50 = 600$) вычитается количество проданных упаковок (9). Вычитать из тетрадей упаковки некорректно, так как это разные единицы измерения. Результат $600 - 9 = 591$ не имеет смысла в контексте данной задачи и не является правильным ответом. Следовательно, это выражение не является решением задачи.

г) $(12 - 9) \cdot 50$
Это выражение, как и выражение б), соответствует первому способу решения. Оно вычисляет количество оставшихся упаковок и умножает его на количество тетрадей в каждой. Вычисление $3 \cdot 50 = 150$ дает верный ответ. Следовательно, это выражение является решением задачи.

Ответ: Выражение в) $12 \cdot 50 - 9$ не является решением задачи.

2 Упростите выражение:

а) a + 2a;

б) 25x - 19x;

в) 18b • 2 • 5;

г) 5 • (3t - t);

д) (21s + 79) • 3.

a) $a + 2a = a · (1 + 2) = 3a$

б) $25x-19x = (25-19)x = 6x$

в) $18b · 2 · 5 = 18b · (2 · 5) =$
$= (18 · 10)b = 180b$

г) $5 · (3t - t) = 5 · t(3 - 1) =$
$= (5 · 2)t = 10t$

д) $(21s + 79) · 3 = 21s · 3 + 79 · 3 =$
$= 63s + 237$

а) Чтобы упростить выражение $a + 2a$, нужно сложить подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $a$ и $2a$. Коэффициент при $a$ равен 1. Используя распределительное свойство, выносим общую буквенную часть $a$ за скобки и складываем коэффициенты: $a + 2a = 1a + 2a = (1 + 2)a = 3a$. Ответ: $3a$

б) В выражении $25x - 19x$ слагаемые $25x$ и $19x$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x$. Чтобы упростить выражение, вынесем общую буквенную часть $x$ за скобки и выполним вычитание коэффициентов, стоящих при ней: $25x - 19x = (25 - 19)x = 6x$. Ответ: $6x$

в) Чтобы упростить выражение $18b \cdot 2 \cdot 5$, воспользуемся сочетательным (ассоциативным) свойством умножения, которое позволяет нам перемножать множители в любом порядке. Удобнее сначала перемножить числовые множители: $18b \cdot 2 \cdot 5 = (18 \cdot 2 \cdot 5)b$. Вычислим произведение чисел: $2 \cdot 5 = 10$, а затем $18 \cdot 10 = 180$. Таким образом, итоговое выражение равно $180b$. Ответ: $180b$

г) В выражении $5 \cdot (3t - t)$ сначала следует упростить выражение в скобках. В скобках находится разность подобных слагаемых $3t$ и $t$. Выполним вычитание: $3t - t = (3-1)t = 2t$. Теперь исходное выражение принимает вид $5 \cdot (2t)$. Перемножим числовые коэффициенты: $5 \cdot 2 = 10$. В результате получаем $10t$. Ответ: $10t$

д) Для упрощения выражения $(21s + 79) \cdot 3$ необходимо применить распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения. Для этого нужно умножить каждый член в скобках на множитель за скобками, то есть на 3: $(21s + 79) \cdot 3 = 21s \cdot 3 + 79 \cdot 3$. Вычислим каждое произведение по отдельности: $21s \cdot 3 = 63s$ и $79 \cdot 3 = 237$. В итоге получаем сумму $63s + 237$. Так как слагаемые $63s$ и $237$ не являются подобными (у них разная буквенная часть), дальнейшее упрощение невозможно. Ответ: $63s + 237$

3 Вычислите значение выражения, выбирая удобный способ:

а) 23 • 21 + 23 • 79;

б) 8 • (25 + 7);

в) 74 • 238 - 38 • 74;

г) 208 • 1001;

д) 99 • 134.

a) $23 · 21 + 23 · 79 =$
$= 23 · 21 + 79 =$
$= 23 · 100 = 2300$

б) $8 · 25 + 7 =$
$= 8 · 25 + 8 · 7 =$
$= 200 + 56 = 256$

в) $74 · 238 - 38 · 74 =$
$= 74 · 238 - 38 =$
$= 74 · 200 = 14800$

г) $208 · 1001 = 208 · 1000 + 1 =$
$= 208 · 1000 + 208 · 1 =$
$= 208000 + 208 = 208208$

д) $99 · 134 = 100 - 1 · 134 =$
$= 134 · 100 - 134 · 1 =$
$= 13400 - 134 = 13266$

а) $23 \cdot 21 + 23 \cdot 79$.
В этом выражении есть общий множитель 23. Чтобы упростить вычисление, воспользуемся распределительным свойством умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$ и вынесем общий множитель за скобки.
$23 \cdot 21 + 23 \cdot 79 = 23 \cdot (21 + 79)$.
Сначала выполним сложение в скобках: $21 + 79 = 100$.
Затем умножим: $23 \cdot 100 = 2300$.
Ответ: 2300

б) $8 \cdot (25 + 7)$.
Здесь удобнее сначала выполнить действие в скобках, а затем умножение.
1. Сложение: $25 + 7 = 32$.
2. Умножение: $8 \cdot 32 = 256$.
Также можно использовать распределительное свойство: $8 \cdot 25 + 8 \cdot 7 = 200 + 56 = 256$.
Ответ: 256

в) $74 \cdot 238 - 38 \cdot 74$.
Здесь также есть общий множитель 74. Используя переместительное свойство ($a \cdot b = b \cdot a$), мы видим, что $38 \cdot 74 = 74 \cdot 38$. Теперь применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$ и вынесем 74 за скобки.
$74 \cdot 238 - 74 \cdot 38 = 74 \cdot (238 - 38)$.
Сначала выполним вычитание в скобках: $238 - 38 = 200$.
Затем умножим: $74 \cdot 200 = 14800$.
Ответ: 14800

г) $208 \cdot 1001$.
Для удобства представим множитель 1001 в виде суммы $1000 + 1$ и применим распределительное свойство умножения.
$208 \cdot (1000 + 1) = 208 \cdot 1000 + 208 \cdot 1$.
Выполним умножения: $208 \cdot 1000 = 208000$ и $208 \cdot 1 = 208$.
Сложим результаты: $208000 + 208 = 208208$.
Ответ: 208208

д) $99 \cdot 134$.
Удобно представить множитель 99 в виде разности $100 - 1$ и применить распределительное свойство умножения.
$(100 - 1) \cdot 134 = 100 \cdot 134 - 1 \cdot 134$.
Выполним умножения: $100 \cdot 134 = 13400$ и $1 \cdot 134 = 134$.
Вычтем из первого результата второй: $13400 - 134 = 13266$.
Ответ: 13266

4 Решите уравнение:

а) 8x + 7x = 1515;

б) 8 • (2x - 6) = 128.

a) Исходное уравнение: $8x + 7x = 1515$.
Это линейное уравнение с одной переменной. В левой части уравнения находятся подобные слагаемые, которые можно сложить.
Сложим коэффициенты при переменной $x$:
$(8 + 7)x = 1515$
$15x = 1515$
Теперь, чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент 15:
$x = \frac{1515}{15}$
$x = 101$
Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:
$8 \cdot 101 + 7 \cdot 101 = 808 + 707 = 1515$.
$1515 = 1515$.
Равенство верно.
Ответ: $x = 101$.

б) Исходное уравнение: $8 \cdot (2x - 6) = 128$.
В этом уравнении можно пойти двумя путями: раскрыть скобки или разделить обе части уравнения на множитель перед скобками. Второй способ проще.
Разделим обе части уравнения на 8:
$\frac{8 \cdot (2x - 6)}{8} = \frac{128}{8}$
$2x - 6 = 16$
Теперь у нас простое линейное уравнение. Чтобы изолировать слагаемое с $x$, перенесем -6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$2x = 16 + 6$
$2x = 22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{22}{2}$
$x = 11$
Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:
$8 \cdot (2 \cdot 11 - 6) = 8 \cdot (22 - 6) = 8 \cdot 16 = 128$.
$128 = 128$.
Равенство верно.
Ответ: $x = 11$.

1 Запишите равенство и найдите, при каких значениях буквы оно будет верным:

а) сумма 3x и 8x равна 121;

б) разность 46y и 15y равна 186;

в) выражение 3a меньше 7a на 224;

г) выражение 9c больше 2c на 84;

д) 37b на 58 меньше, чем 280;

е) 6k втрое больше, чем 24.

а) сумма 3x и 8x равна 121;

Для того чтобы составить равенство, необходимо сложить выражения $3x$ и $8x$ и приравнять их сумму к 121.
Получаем уравнение:
$3x + 8x = 121$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$11x = 121$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 11:
$x = \frac{121}{11}$
$x = 11$
Ответ: Равенство $3x + 8x = 121$ будет верным при $x = 11$.

б) разность 46y и 15y равна 186;

Запишем разность выражений $46y$ и $15y$ и приравняем ее к 186.
Получаем уравнение:
$46y - 15y = 186$
Упростим левую часть уравнения, вычтя подобные слагаемые:
$31y = 186$
Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 31:
$y = \frac{186}{31}$
$y = 6$
Ответ: Равенство $46y - 15y = 186$ будет верным при $y = 6$.

в) выражение 3a меньше 7a на 224;

Это условие означает, что разность между большим выражением ($7a$) и меньшим ($3a$) равна 224.
Составим уравнение:
$7a - 3a = 224$
Приведем подобные слагаемые:
$4a = 224$
Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 4:
$a = \frac{224}{4}$
$a = 56$
Ответ: Равенство $7a - 3a = 224$ будет верным при $a = 56$.

г) выражение 9c больше 2c на 84;

Это условие означает, что если из большего выражения ($9c$) вычесть меньшее ($2c$), получится 84.
Составим уравнение:
$9c - 2c = 84$
Упростим левую часть:
$7c = 84$
Найдем $c$, разделив обе части уравнения на 7:
$c = \frac{84}{7}$
$c = 12$
Ответ: Равенство $9c - 2c = 84$ будет верным при $c = 12$.

д) 37b на 58 меньше, чем 280;

Это условие означает, что если к $37b$ прибавить 58, то получится 280.
Составим уравнение:
$37b + 58 = 280$
Перенесем 58 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$37b = 280 - 58$
$37b = 222$
Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 37:
$b = \frac{222}{37}$
$b = 6$
Ответ: Равенство $37b + 58 = 280$ будет верным при $b = 6$.

е) 6k втрое больше, чем 24.

Условие "втрое больше, чем 24" означает, что $6k$ равно произведению чисел 3 и 24.
Составим уравнение:
$6k = 3 \cdot 24$
Вычислим правую часть:
$6k = 72$
Найдем $k$, разделив обе части уравнения на 6:
$k = \frac{72}{6}$
$k = 12$
Ответ: Равенство $6k = 3 \cdot 24$ будет верным при $k = 12$.

2 Найдите значение выражения:

а) 13 • 23 + 23 • 10;

б) 200 • 17 + 100 • 17;

в) 154 • 30 - 124 • 30;

г) 687 • 25 - 487 • 25.

а) В выражении $13 \cdot 23 + 23 \cdot 10$ можно заметить общий множитель 23. Для упрощения вычислений вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Выполним вычисления: $(13 + 10) \cdot 23 = 23 \cdot 23 = 529$.

Ответ: 529

б) В выражении $200 \cdot 17 + 100 \cdot 17$ вынесем за скобки общий множитель 17.

Выполним вычисления: $(200 + 100) \cdot 17 = 300 \cdot 17 = 5100$.

Ответ: 5100

в) В выражении $154 \cdot 30 - 124 \cdot 30$ мы используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. Общий множитель здесь — 30.

Выполним вычисления: $(154 - 124) \cdot 30 = 30 \cdot 30 = 900$.

Ответ: 900

г) В выражении $687 \cdot 25 - 487 \cdot 25$ также выносим за скобки общий множитель, которым является число 25.

Выполним вычисления: $(687 - 487) \cdot 25 = 200 \cdot 25 = 5000$.

Ответ: 5000

6.83 Легковой автомобиль движется со скоростью 75 км/ч, а грузовой — на 8,3 км/ч меньше. Как изменится расстояние между автомобилями за 1 ч, если они движутся:

а) навстречу друг другу;

б) в противоположные стороны?

Для решения задачи сначала определим скорость грузового автомобиля. Известно, что скорость легкового автомобиля равна $75$ км/ч, а грузовой движется на $8,3$ км/ч медленнее.

1. Найдем скорость грузового автомобиля ($v_{г}$):
$v_{г} = 75 - 8,3 = 66,7$ км/ч.

Теперь рассмотрим оба случая движения.

а) навстречу друг другу

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается. Скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) = скорость легкового автомобиля ($v_{л}$) + скорость грузового автомобиля ($v_{г}$).
$v_{сбл} = v_{л} + v_{г} = 75 + 66,7 = 141,7$ км/ч.

Это означает, что за каждый час расстояние между автомобилями уменьшается на $141,7$ км. Поскольку нас интересует изменение расстояния за 1 час, оно будет равно скорости сближения.

Изменение расстояния за 1 час = $141,7 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 141,7$ км.

Ответ: расстояние между автомобилями уменьшится на 141,7 км.

б) в противоположные стороны

Когда автомобили движутся в противоположные стороны, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), также равна сумме их скоростей.

Скорость удаления ($v_{уд}$) = скорость легкового автомобиля ($v_{л}$) + скорость грузового автомобиля ($v_{г}$).
$v_{уд} = v_{л} + v_{г} = 75 + 66,7 = 141,7$ км/ч.

Это означает, что за каждый час расстояние между автомобилями увеличивается на $141,7$ км. Изменение расстояния за 1 час будет равно скорости удаления.

Изменение расстояния за 1 час = $141,7 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 141,7$ км.

Ответ: расстояние между автомобилями увеличится на 141,7 км.

6.84 От одной пристани в противоположных направлениях отошли два катера. Скорость одного катера была 12,8 км/ч, а другого — 15,2 км/ч. Через какое время катера удалятся друг от друга на 84 км?

Для решения этой задачи сначала найдем скорость, с которой катера удаляются друг от друга. Поскольку они движутся в противоположных направлениях, их скорость удаления равна сумме их скоростей.

Скорость первого катера $v_1 = 12,8$ км/ч.
Скорость второго катера $v_2 = 15,2$ км/ч.

Вычислим скорость удаления $v_{уд}$:

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 12,8 + 15,2 = 28$ км/ч.

Таким образом, каждый час расстояние между катерами увеличивается на 28 км.

Теперь, зная скорость удаления и расстояние, на которое должны удалиться катера ($S = 84$ км), можно найти время $t$. Для этого нужно расстояние разделить на скорость удаления.

$t = \frac{S}{v_{уд}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$t = \frac{84}{28} = 3$ ч.

Ответ: через 3 часа катера удалятся друг от друга на 84 км.

6.85 Клумбу разделили под посадку разных цветов на 5 зон. Четвёртая зона больше пятой на 2,7 м2, но меньше третьей на 0,9 м². Первая зона больше второй на 2,4 м², но меньше третьей на 1,7 м². Найдите площадь клумбы, если площадь первой зоны 9,5 м².

Для решения задачи обозначим площади пяти зон клумбы как $S_1, S_2, S_3, S_4$ и $S_5$.

Согласно условию, площадь первой зоны известна:

$S_1 = 9,5 \text{ м}^2$.

Теперь, используя данные из условия, найдем площади остальных зон шаг за шагом.

1. Нахождение площади третьей зоны ($S_3$)

В условии сказано, что первая зона меньше третьей на $1,7 \text{ м}^2$. Следовательно, площадь третьей зоны больше площади первой на эту же величину:

$S_3 = S_1 + 1,7 = 9,5 + 1,7 = 11,2 \text{ м}^2$.

2. Нахождение площади второй зоны ($S_2$)

Известно, что первая зона больше второй на $2,4 \text{ м}^2$. Это означает, что площадь второй зоны меньше площади первой на $2,4 \text{ м}^2$:

$S_2 = S_1 - 2,4 = 9,5 - 2,4 = 7,1 \text{ м}^2$.

3. Нахождение площади четвёртой зоны ($S_4$)

По условию, четвёртая зона меньше третьей на $0,9 \text{ м}^2$. Так как мы уже вычислили площадь третьей зоны ($S_3 = 11,2 \text{ м}^2$), можем найти площадь четвёртой:

$S_4 = S_3 - 0,9 = 11,2 - 0,9 = 10,3 \text{ м}^2$.

4. Нахождение площади пятой зоны ($S_5$)

Сказано, что четвёртая зона больше пятой на $2,7 \text{ м}^2$. Значит, площадь пятой зоны меньше площади четвёртой на эту величину. Используя найденное значение $S_4$:

$S_5 = S_4 - 2,7 = 10,3 - 2,7 = 7,6 \text{ м}^2$.

5. Нахождение общей площади клумбы

Общая площадь клумбы равна сумме площадей всех пяти зон:

$S_{\text{общая}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$

$S_{\text{общая}} = 9,5 + 7,1 + 11,2 + 10,3 + 7,6$

$S_{\text{общая}} = 16,6 + 11,2 + 10,3 + 7,6 = 27,8 + 10,3 + 7,6 = 38,1 + 7,6 = 45,7 \text{ м}^2$.

Ответ: $45,7 \text{ м}^2$.

6.86 В треугольнике первая сторона равна 3,1 см, вторая сторона больше первой стороны на 1,2 см, но меньше третьей стороны на 1,4 см. Найдите периметр треугольника.

Для нахождения периметра треугольника необходимо сначала вычислить длины всех его сторон, а затем найти их сумму.

1. Нахождение длины второй стороны

Из условия известно, что первая сторона равна $3,1$ см. Вторая сторона больше первой на $1,2$ см. Следовательно, для нахождения длины второй стороны нужно сложить длину первой стороны и $1,2$ см.

$3,1 \text{ см} + 1,2 \text{ см} = 4,3 \text{ см}$

Ответ: длина второй стороны равна $4,3$ см.

2. Нахождение длины третьей стороны

В условии также сказано, что вторая сторона меньше третьей на $1,4$ см. Это значит, что третья сторона, наоборот, больше второй на $1,4$ см. Зная, что вторая сторона равна $4,3$ см, вычислим длину третьей стороны.

$4,3 \text{ см} + 1,4 \text{ см} = 5,7 \text{ см}$

Ответ: длина третьей стороны равна $5,7$ см.

3. Нахождение периметра треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Теперь у нас есть все необходимые данные: первая сторона — $3,1$ см, вторая — $4,3$ см, третья — $5,7$ см. Сложим эти значения.

$P = 3,1 \text{ см} + 4,3 \text{ см} + 5,7 \text{ см}$

Выполним сложение:

$3,1 + 4,3 + 5,7 = 7,4 + 5,7 = 13,1 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника равен $13,1$ см.

6.87 а) Запишите переместительное свойство сложения с помощью букв а и с и проверьте его при а = 5,6, с = 38.

б) Запишите сочетательное свойство сложения с помощью букв х, у и z и проверьте его при х = 4,8, у = 5,6, z = 1,2.

а) Переместительное свойство сложения (также известное как коммутативное свойство) утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел a и c это свойство записывается в виде формулы:

$a + c = c + a$

Теперь проверим это свойство при заданных значениях $a = 5,6$ и $c = 38$.

1. Вычислим левую часть равенства: $a + c$.

$5,6 + 38 = 43,6$

2. Вычислим правую часть равенства: $c + a$.

$38 + 5,6 = 43,6$

Поскольку результаты в обоих случаях одинаковы ($43,6 = 43,6$), переместительное свойство сложения для данных чисел подтверждается.

Ответ: Переместительное свойство сложения: $a + c = c + a$. Проверка: $5,6 + 38 = 43,6$ и $38 + 5,6 = 43,6$. Так как $43,6 = 43,6$, свойство выполняется.

б) Сочетательное свойство сложения (также известное как ассоциативное свойство) утверждает, что при сложении трех и более чисел результат не зависит от того, как сгруппированы слагаемые. Для любых чисел x, y и z это свойство записывается в виде формулы:

$(x + y) + z = x + (y + z)$

Теперь проверим это свойство при заданных значениях $x = 4,8$, $y = 5,6$ и $z = 1,2$.

1. Вычислим левую часть равенства, где сначала складываются x и y:

$(x + y) + z = (4,8 + 5,6) + 1,2 = 10,4 + 1,2 = 11,6$

2. Вычислим правую часть равенства, где сначала складываются y и z:

$x + (y + z) = 4,8 + (5,6 + 1,2) = 4,8 + 6,8 = 11,6$

Поскольку результаты в обоих случаях одинаковы ($11,6 = 11,6$), сочетательное свойство сложения для данных чисел подтверждается.

Ответ: Сочетательное свойство сложения: $(x + y) + z = x + (y + z)$. Проверка: $(4,8 + 5,6) + 1,2 = 11,6$ и $4,8 + (5,6 + 1,2) = 11,6$. Так как $11,6 = 11,6$, свойство выполняется.

6.88 Запишите свойство вычитания числа из суммы и свойство вычитания суммы из числа с помощью букв m, n и r. Проверьте эти свойства при m = 24,3, n = 5,9 и r = 3,8.

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы двух чисел, можно вычесть это число из любого слагаемого (если это слагаемое больше или равно вычитаемому) и к результату прибавить другое слагаемое.
В буквенном виде это свойство записывается так:
$ (m + n) - r = (m - r) + n $ или $ (m + n) - r = m + (n - r) $.
Проверим это свойство для данных значений $ m = 24,3 $, $ n = 5,9 $ и $ r = 3,8 $.
Сначала вычислим значение левой части выражения:
$ (m + n) - r = (24,3 + 5,9) - 3,8 = 30,2 - 3,8 = 26,4 $.
Теперь вычислим значение правой части, используя первый вариант формулы:
$ (m - r) + n = (24,3 - 3,8) + 5,9 = 20,5 + 5,9 = 26,4 $.
Мы видим, что $ 26,4 = 26,4 $, значит, равенство верное.
Ответ: Свойство вычитания числа из суммы: $ (m + n) - r = (m - r) + n $. Проверка: $ (24,3 + 5,9) - 3,8 = 26,4 $; $ (24,3 - 3,8) + 5,9 = 26,4 $. Равенство верное.

Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа вычесть одно слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.
В буквенном виде это свойство записывается так:
$ m - (n + r) = (m - n) - r = (m - r) - n $.
Проверим это свойство для данных значений $ m = 24,3 $, $ n = 5,9 $ и $ r = 3,8 $.
Сначала вычислим значение левой части выражения:
$ m - (n + r) = 24,3 - (5,9 + 3,8) = 24,3 - 9,7 = 14,6 $.
Теперь вычислим значение правой части выражения:
$ (m - n) - r = (24,3 - 5,9) - 3,8 = 18,4 - 3,8 = 14,6 $.
Мы видим, что $ 14,6 = 14,6 $, значит, равенство верное.
Ответ: Свойство вычитания суммы из числа: $ m - (n + r) = (m - n) - r $. Проверка: $ 24,3 - (5,9 + 3,8) = 14,6 $; $ (24,3 - 5,9) - 3,8 = 14,6 $. Равенство верное.

6.89 Вычислите наиболее удобным способом, используя свойства сложения и вычитания, значение выражения:

а) 4,27 + (9,38 + 6,73);

б) 0,432 + (0,568 + 4,835);

в) (12,327 + 7,6) + (5,4 + 4,673);

г) 25,629 - (4,429 + 8,2);

д) (17,508 + 17,976) - 7,508;

е) (39,215 + 29,99) - 5,99.

а) Чтобы упростить вычисление, воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения и сгруппируем слагаемые так, чтобы их сумма давала целое число.
$4,27 + (9,38 + 6,73) = (4,27 + 6,73) + 9,38$.
Сначала сложим числа в скобках: $4,27 + 6,73 = 11$.
Затем к результату прибавим оставшееся слагаемое: $11 + 9,38 = 20,38$.
Ответ: 20,38.

б) Используем сочетательное свойство сложения, чтобы сгруппировать первое и второе слагаемые.
$0,432 + (0,568 + 4,835) = (0,432 + 0,568) + 4,835$.
Сумма в скобках: $0,432 + 0,568 = 1$.
Теперь прибавим третье слагаемое: $1 + 4,835 = 5,835$.
Ответ: 5,835.

в) Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы упростить сложение.
$(12,327 + 7,6) + (5,4 + 4,673) = (12,327 + 4,673) + (7,6 + 5,4)$.
Вычислим сумму в первой паре скобок: $12,327 + 4,673 = 17$.
Вычислим сумму во второй паре скобок: $7,6 + 5,4 = 13$.
Сложим полученные результаты: $17 + 13 = 30$.
Ответ: 30.

г) Используем свойство вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.
$25,629 - (4,429 + 8,2) = 25,629 - 4,429 - 8,2$.
Выполним вычитание по порядку. Удобнее сначала вычесть $4,429$ из $25,629$:
$25,629 - 4,429 = 21,2$.
Теперь из результата вычтем $8,2$: $21,2 - 8,2 = 13$.
Ответ: 13.

д) Используем свойство вычитания числа из суммы: $(a + b) - c = (a - c) + b$.
$(17,508 + 17,976) - 7,508 = (17,508 - 7,508) + 17,976$.
Вычислим разность в скобках: $17,508 - 7,508 = 10$.
К результату прибавим оставшееся число: $10 + 17,976 = 27,976$.
Ответ: 27,976.

е) Используем свойство вычитания числа из суммы: $(a + b) - c = a + (b - c)$.
$(39,215 + 29,99) - 5,99 = 39,215 + (29,99 - 5,99)$.
Вычислим разность в скобках: $29,99 - 5,99 = 24$.
К результату прибавим оставшееся число: $39,215 + 24 = 63,215$.
Ответ: 63,215.

6.90 Вычислите:

а) 10,94 - 2,87 - 1,39 + 0,22;

б) 28,594 - 18,84 + 2,323;

в) 25,98 - (6,92 - 4,27);

г) 16 - (4,87 + 5,93).

а) Для вычисления выражения $10,94 - 2,87 - 1,39 + 0,22$ выполним действия по порядку слева направо.
1. Вычтем $2,87$ из $10,94$:
$10,94 - 2,87 = 8,07$
2. Из полученного результата вычтем $1,39$:
$8,07 - 1,39 = 6,68$
3. К полученному результату прибавим $0,22$:
$6,68 + 0,22 = 6,9$
Ответ: 6,9

б) Для вычисления выражения $28,594 - 18,84 + 2,323$ выполним действия по порядку слева направо.
1. Вычтем $18,84$ из $28,594$. Для удобства приведем числа к одному количеству знаков после запятой: $28,594 - 18,840$.
$28,594 - 18,840 = 9,754$
2. К полученному результату прибавим $2,323$:
$9,754 + 2,323 = 12,077$
Ответ: 12,077

в) В выражении $25,98 - (6,92 - 4,27)$ сначала выполняется действие в скобках.
1. Вычислим разность в скобках:
$6,92 - 4,27 = 2,65$
2. Теперь вычтем полученный результат из $25,98$:
$25,98 - 2,65 = 23,33$
Ответ: 23,33

г) В выражении $16 - (4,87 + 5,93)$ сначала выполняется действие в скобках.
1. Вычислим сумму в скобках:
$4,87 + 5,93 = 10,80$
2. Теперь вычтем полученный результат из $16$. Представим $16$ как $16,0$:
$16 - 10,8 = 5,2$
Ответ: 5,2

6.91 Назовите число единиц каждого разряда чисел 12,345 и 9,7021.

Для числа 12,845

Чтобы определить число единиц каждого разряда в числе $12,845$, проанализируем позицию каждой цифры:
• Цифра 1 стоит в разряде десятков, следовательно, в этом разряде 1 единица.
• Цифра 2 стоит в разряде единиц, следовательно, в этом разряде 2 единицы.
• Цифра 8 стоит в разряде десятых, следовательно, в этом разряде 8 единиц.
• Цифра 4 стоит в разряде сотых, следовательно, в этом разряде 4 единицы.
• Цифра 5 стоит в разряде тысячных, следовательно, в этом разряде 5 единиц.

Ответ: в числе 12,845 содержится 1 десяток, 2 единицы, 8 десятых, 4 сотых и 5 тысячных.

Для числа 9,7021

Чтобы определить число единиц каждого разряда в числе $9,7021$, проанализируем позицию каждой цифры:
• Цифра 9 стоит в разряде единиц, следовательно, в этом разряде 9 единиц.
• Цифра 7 стоит в разряде десятых, следовательно, в этом разряде 7 единиц.
• Цифра 0 стоит в разряде сотых, следовательно, в этом разряде 0 единиц.
• Цифра 2 стоит в разряде тысячных, следовательно, в этом разряде 2 единицы.
• Цифра 1 стоит в разряде десятитысячных, следовательно, в этом разряде 1 единица.

Ответ: в числе 9,7021 содержится 9 единиц, 7 десятых, 0 сотых, 2 тысячных и 1 десятитысячная.

6.92 Разложите числа 15,693 и 0,480002 по разрядным слагаемым.

15,693

Чтобы разложить число по разрядным слагаемым, необходимо представить его в виде суммы, где каждое слагаемое — это значение, которое представляет каждая цифра в числе в зависимости от её позиции (разряда).
Для числа 15,693 разложение будет следующим:
- цифра 1 находится в разряде десятков, её значение равно $10$;
- цифра 5 находится в разряде единиц, её значение равно $5$;
- цифра 6 находится в разряде десятых, её значение равно $0,6$;
- цифра 9 находится в разряде сотых, её значение равно $0,09$;
- цифра 3 находится в разряде тысячных, её значение равно $0,003$.
Теперь запишем это в виде суммы.

Ответ: $15,693 = 10 + 5 + 0,6 + 0,09 + 0,003$.

0,480002

Аналогично разложим второе число. При разложении десятичной дроби слагаемые, соответствующие разрядам, в которых стоит цифра 0, можно не записывать, так как они равны нулю.
Для числа 0,480002 разложение будет следующим:
- цифра 4 находится в разряде десятых, её значение равно $0,4$;
- цифра 8 находится в разряде сотых, её значение равно $0,08$;
- цифра 2 находится в разряде миллионных, её значение равно $0,000002$.
Складываем полученные ненулевые значения.

Ответ: $0,480002 = 0,4 + 0,08 + 0,000002$.

6.93 Представьте в десятичной записи дробь:

а) 16 целых 4 десятых 9 сотых 8 тысячных;

б) 0 целых 2 десятых 5 десятитысячных.

а) 16 целых 4 десятых 9 сотых 8 тысячных

Чтобы представить данное число в виде десятичной дроби, мы записываем целую часть, ставим десятичную запятую, а затем последовательно записываем цифры, соответствующие каждому разряду дробной части.

Целая часть числа — это 16.

Дробная часть состоит из следующих разрядов:

• 4 десятых — это цифра 4 в первом разряде после запятой.
• 9 сотых — это цифра 9 во втором разряде после запятой.
• 8 тысячных — это цифра 8 в третьем разряде после запятой.

Это можно представить в виде суммы: $16 + \frac{4}{10} + \frac{9}{100} + \frac{8}{1000}$. Преобразуя обыкновенные дроби в десятичные, получаем: $16 + 0,4 + 0,09 + 0,008 = 16,498$.

Соединив целую и дробную части, получаем десятичную дробь: 16,498.

Ответ: 16,498

б) 0 целых 2 десятых 5 десятитысячных

Целая часть числа — это 0.

Дробная часть состоит из следующих разрядов:

• 2 десятых — это цифра 2 в первом разряде после запятой (разряд десятых).
• 5 десятитысячных — это цифра 5 в четвертом разряде после запятой (разряд десятитысячных).

В условии не указаны разряды сотых и тысячных. Это означает, что на их месте (второй и третий разряды после запятой) стоят нули.

Представим число в виде суммы: $0 + \frac{2}{10} + \frac{0}{100} + \frac{0}{1000} + \frac{5}{10000}$. Преобразуя в десятичные дроби и складывая, получаем: $0 + 0,2 + 0 + 0 + 0,0005 = 0,2005$.

Таким образом, записываем целую часть 0, ставим запятую, затем цифру 2 для десятых, 0 для сотых, 0 для тысячных и 5 для десятитысячных: 0,2005.

Ответ: 0,2005

6.94 Запишите длину отрезка MN, равного 9 м 3 дм 5 см 8 мм, в:

а) миллиметрах;

б) сантиметрах;

в) дециметрах;

г) метрах.

а) миллиметрах;
Чтобы выразить длину отрезка MN в миллиметрах, необходимо перевести все составные части длины в миллиметры и затем сложить их.Нам известно, что:
1 метр (м) = 1000 миллиметров (мм)
1 дециметр (дм) = 100 миллиметров (мм)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметров (мм)
Исходная длина отрезка MN равна 9 м 3 дм 5 см 8 мм.Выполним перевод каждой части в миллиметры:
9 м = $9 \times 1000 \text{ мм} = 9000 \text{ мм}$
3 дм = $3 \times 100 \text{ мм} = 300 \text{ мм}$
5 см = $5 \times 10 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$
8 мм так и остается 8 мм.
Теперь сложим все полученные значения:
$9000 \text{ мм} + 300 \text{ мм} + 50 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 9358 \text{ мм}$.
Ответ: 9358 мм.

б) сантиметрах;
Чтобы выразить длину в сантиметрах, необходимо перевести все части длины в сантиметры и сложить их.Соотношения единиц длины:
1 м = 100 см
1 дм = 10 см
1 мм = 0,1 см
Переведем каждую часть длины 9 м 3 дм 5 см 8 мм в сантиметры:
9 м = $9 \times 100 \text{ см} = 900 \text{ см}$
3 дм = $3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$
5 см так и остается 5 см.
8 мм = $8 / 10 \text{ см} = 0,8 \text{ см}$.
Сложим все значения:
$900 \text{ см} + 30 \text{ см} + 5 \text{ см} + 0,8 \text{ см} = 935,8 \text{ см}$.
Ответ: 935,8 см.

в) дециметрах;
Для выражения длины в дециметрах, переведем все части в дециметры.Соотношения единиц длины:
1 м = 10 дм
1 см = 0,1 дм
1 мм = 0,01 дм
Переведем каждую часть длины 9 м 3 дм 5 см 8 мм в дециметры:
9 м = $9 \times 10 \text{ дм} = 90 \text{ дм}$
3 дм так и остается 3 дм.
5 см = $5 / 10 \text{ дм} = 0,5 \text{ дм}$
8 мм = $8 / 100 \text{ дм} = 0,08 \text{ дм}$.
Сложим все значения:
$90 \text{ дм} + 3 \text{ дм} + 0,5 \text{ дм} + 0,08 \text{ дм} = 93,58 \text{ дм}$.
Ответ: 93,58 дм.

г) метрах.
Для выражения длины в метрах, переведем все части в метры.Соотношения единиц длины:
1 дм = 0,1 м
1 см = 0,01 м
1 мм = 0,001 м
Переведем каждую часть длины 9 м 3 дм 5 см 8 мм в метры:
9 м так и остается 9 м.
3 дм = $3 / 10 \text{ м} = 0,3 \text{ м}$
5 см = $5 / 100 \text{ м} = 0,05 \text{ м}$
8 мм = $8 / 1000 \text{ м} = 0,008 \text{ м}$.
Сложим все значения:
$9 \text{ м} + 0,3 \text{ м} + 0,05 \text{ м} + 0,008 \text{ м} = 9,358 \text{ м}$.
Ответ: 9,358 м.

6.95 Запишите длину отрезка KD, равного 3,631 м, в:

а) дециметрах;

б) сантиметрах;

в) миллиметрах.

а) дециметрах;

Чтобы перевести метры в дециметры, необходимо знать их соотношение. В одном метре содержится 10 дециметров.
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
Для перевода длины отрезка KD из метров в дециметры, умножим данное значение на 10:
$3,631 \text{ м} = 3,631 \times 10 \text{ дм} = 36,31 \text{ дм}$

Ответ: $36,31$ дм.

б) сантиметрах;

Для перевода метров в сантиметры используется соотношение: в одном метре содержится 100 сантиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Следовательно, для выражения длины отрезка KD в сантиметрах, умножим его длину в метрах на 100:
$3,631 \text{ м} = 3,631 \times 100 \text{ см} = 363,1 \text{ см}$

Ответ: $363,1$ см.

в) миллиметрах.

Для перевода метров в миллиметры применяется соотношение: в одном метре содержится 1000 миллиметров.
$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$
Чтобы найти длину отрезка KD в миллиметрах, умножим данное значение в метрах на 1000:
$3,631 \text{ м} = 3,631 \times 1000 \text{ мм} = 3631 \text{ мм}$

Ответ: $3631$ мм.

6.96 На координатной прямой, единичный отрезок которой равен 10 см, отметьте точки с координатами: 0,53; 0,7; 1,75; 0,21; 0,84; 1,32.

Для того чтобы отметить заданные точки на координатной прямой, необходимо вычислить, на каком расстоянии в сантиметрах от начала координат (точки 0) находится каждая точка. По условию задачи, единичный отрезок равен 10 см. Это означает, что координате 1 соответствует расстояние 10 см, координате 2 — 20 см, и так далее.

Чтобы найти расстояние для каждой точки, мы должны умножить ее координату на длину единичного отрезка (10 см).

0,53

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 0,53:
$0,53 \times 10 \text{ см} = 5,3 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 0,53 отмечается на расстоянии 5,3 см от начала координат.

0,7

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 0,7:
$0,7 \times 10 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 0,7 отмечается на расстоянии 7 см от начала координат.

1,75

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 1,75:
$1,75 \times 10 \text{ см} = 17,5 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 1,75 отмечается на расстоянии 17,5 см от начала координат.

0,21

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 0,21:
$0,21 \times 10 \text{ см} = 2,1 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 0,21 отмечается на расстоянии 2,1 см от начала координат.

0,84

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 0,84:
$0,84 \times 10 \text{ см} = 8,4 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 0,84 отмечается на расстоянии 8,4 см от начала координат.

1,32

Вычисляем расстояние от начала координат до точки с координатой 1,32:
$1,32 \times 10 \text{ см} = 13,2 \text{ см}$.

Ответ: Точка с координатой 1,32 отмечается на расстоянии 13,2 см от начала координат.

6.97 Назовите координаты точек М, N, Z, А и D на рисунке 6.11.

Для определения координат точек на координатной прямой сначала найдем цену деления шкалы. На рисунке видно, что отрезок между целыми числами 8 и 9 разделен на 10 равных частей. Длина этого отрезка равна $9 - 8 = 1$. Следовательно, цена одного деления составляет $1 \div 10 = 0,1$.

Теперь найдем координаты каждой точки, прибавляя к известным целым значениям произведение цены деления на количество делений.

M: Точка M расположена на 3 деления правее отметки 8. Чтобы найти ее координату, нужно к 8 прибавить произведение числа делений на цену деления: $8 + 3 \times 0,1 = 8 + 0,3 = 8,3$.
Ответ: M(8,3)

N: Точка N расположена на 7 делений правее отметки 8. Ее координата равна: $8 + 7 \times 0,1 = 8 + 0,7 = 8,7$. Альтернативно, можно посчитать от отметки 9: точка N находится на 3 деления левее 9, значит ее координата $9 - 3 \times 0,1 = 9 - 0,3 = 8,7$.
Ответ: N(8,7)

Z: Точка Z расположена на 2 деления правее отметки 9. Ее координата равна: $9 + 2 \times 0,1 = 9 + 0,2 = 9,2$.
Ответ: Z(9,2)

А: Точка А расположена на 5 делений правее отметки 9. Это ровно середина между 9 и 10. Ее координата равна: $9 + 5 \times 0,1 = 9 + 0,5 = 9,5$.
Ответ: А(9,5)

D: Точка D расположена на 7 делений правее отметки 9. Ее координата равна: $9 + 7 \times 0,1 = 9 + 0,7 = 9,7$.
Ответ: D(9,7)