Страница 100, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.182 Глубокая тарелка стоит 190 р., а мелкая - 160 р. Купили 12 глубоких и 12 мелких тарелок. Сколько заплатили за покупку? На сколько купленные глубокие тарелки дороже мелких?

Вариант решения 1:

1) $190 · 12 + 160 · 12 =$$12 · (190 + 160) =$$12 · 350 = 4200 (\mathrm{р}.)$

2) $190 · 12 - 160 · 12 =$$12 · (190 - 160) =$$12 · 30 = 360 (\mathrm{р}.)$

Ответ: 4200р, на 360р.

Вариант решения 2:

1) $\mathrm{190 · 12 = 2280} (\mathrm{р}.)$- стоимость глубоких тарелок

2) $\mathrm{160 · 12 = 1920 (}\mathrm{р}.)$- стоимость мелких тарелок

3)

р. - заплатили за покупку

4)

р.

Ответ: 4200р, на 360р.

Сколько заплатили за покупку?
Для решения этой части задачи можно найти общую стоимость одного комплекта, состоящего из одной глубокой и одной мелкой тарелки, а затем умножить эту стоимость на количество купленных комплектов.
1. Находим стоимость одного комплекта:
$190 + 160 = 350$ рублей.
2. Так как купили 12 таких комплектов, находим общую стоимость покупки:
$350 \times 12 = 4200$ рублей.
Этот способ решения основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $12 \times 190 + 12 \times 160 = 12 \times (190 + 160)$.
Ответ: за покупку заплатили 4200 рублей.

На сколько купленные глубокие тарелки дороже мелких?
Чтобы найти разницу в стоимости, сначала определим, на сколько одна глубокая тарелка дороже одной мелкой, а затем умножим эту разницу на количество купленных тарелок.
1. Находим разницу в стоимости одной глубокой и одной мелкой тарелки:
$190 - 160 = 30$ рублей.
2. Умножаем полученную разницу на количество тарелок (12), чтобы найти общую разницу в стоимости:
$30 \times 12 = 360$ рублей.
Этот способ также использует распределительное свойство, но уже относительно вычитания: $12 \times 190 - 12 \times 160 = 12 \times (190 - 160)$.
Ответ: купленные глубокие тарелки дороже мелких на 360 рублей.

3.183 За 1 ч художник расписывает 6 ёлочных игрушек. В первый день художник работал 6 ч, а во второй - 7 ч. Сколько игрушек расписал художник за два дня? На сколько меньше игрушек расписал художник в первый день, чем во второй?

1) $6 · 6 + 6 · 7$$= 6 · (6 + 7) =$$6 · 13 = 78$ (игр) расписал за 2 дня

2) $6 · 7 - 6 · 6 =$$6 · (7 - 6) =$$6 · 1 = 6$ (игр)

Ответ: 78 игрушек, на 6 игрушек.

Сколько игрушек расписал художник за два дня?

Чтобы найти общее количество расписанных игрушек, нужно сначала рассчитать, сколько игрушек было сделано в каждый из дней, а затем сложить эти значения.

1. Рассчитаем количество игрушек, расписанных в первый день. Художник работал 6 часов, расписывая по 6 игрушек в час:
$6 \text{ ч} \cdot 6 \text{ игрушек/ч} = 36 \text{ игрушек}$

2. Рассчитаем количество игрушек, расписанных во второй день. Художник работал 7 часов:
$7 \text{ ч} \cdot 6 \text{ игрушек/ч} = 42 \text{ игрушки}$

3. Сложим количество игрушек за оба дня, чтобы найти общее количество:
$36 + 42 = 78 \text{ игрушек}$

Альтернативный способ: можно сначала найти общее время работы, а затем умножить его на производительность.

1. Общее время работы за два дня:
$6 \text{ ч} + 7 \text{ ч} = 13 \text{ ч}$

2. Общее количество игрушек:
$13 \text{ ч} \cdot 6 \text{ игрушек/ч} = 78 \text{ игрушек}$

Ответ: за два дня художник расписал 78 игрушек.

На сколько меньше игрушек расписал художник в первый день, чем во второй?

Чтобы найти разницу, нужно вычесть количество игрушек, расписанных в первый день, из количества игрушек, расписанных во второй.

Количество игрушек в первый день: 36.
Количество игрушек во второй день: 42.

Находим разницу:
$42 - 36 = 6 \text{ игрушек}$

Ответ: в первый день художник расписал на 6 игрушек меньше, чем во второй.

3.184 бъясните решение: 13 • 5 = (10 + 3) • 5 = 10 • 5 + 3 • 5 = 50 + 15 = 65.

Решите с объяснением:

а) 12 • 8;

б) 34 • 6.

$13 · 5 = (10 + 3) · 5 =$$10 · 5 + 3 · 5 =$$50 + 15 = 65$

Представляем число 13 в виде суммы 10 и 3. Применяем распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму умножить на число, нужно каждое слагаемое умножить на число и полученные результаты сложить.

а) $12 · 8 = (10 + 2) · 8 = 10 · 8 + 2 · 8 = 80 + 16 = 96$

Представляем число 12 в виде суммы 10 и 2. Применяем распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму умножить на число, нужно каждое слагаемое умножить на число и полученные результаты сложить.

б) $34 · 6 = (30 + 4) · 6 =$$30 · 6 + 4 · 6 =$$180 + 24 = 204$

Представляем число 34 в виде суммы 30 и 4. Применяем распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму умножить на число, нужно каждое слагаемое умножить на число и полученные результаты сложить.

В представленном решении $13 \cdot 5 = (10 + 3) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 50 + 15 = 65$ используется распределительное свойство умножения относительно сложения. Суть этого свойства заключается в том, что для умножения числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. Общая формула этого свойства выглядит так: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В примере число $13$ было представлено как сумма удобных для умножения слагаемых $10$ и $3$, чтобы упростить вычисления.

а) Для вычисления произведения $12 \cdot 8$ представим число $12$ в виде суммы разрядных слагаемых $10$ и $2$. Далее применим распределительное свойство: умножим каждое слагаемое на $8$ и сложим полученные результаты.
$12 \cdot 8 = (10 + 2) \cdot 8 = 10 \cdot 8 + 2 \cdot 8 = 80 + 16 = 96$.
Ответ: 96

б) Для вычисления произведения $34 \cdot 6$ представим число $34$ в виде суммы разрядных слагаемых $30$ и $4$. Далее применим распределительное свойство: умножим каждое слагаемое на $6$ и сложим полученные результаты.
$34 \cdot 6 = (30 + 4) \cdot 6 = 30 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 180 + 24 = 204$.
Ответ: 204

3.185 С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения:

а) 82 • 7;

б) 8 • 61;

в) 4 • 302;

г) 5 • 606.

Образец:

а) (80 + 2) • 7 =

а) $82 · 7 = (80 + 2) · 7 =$$80 · 7 + 2 · 7 =$$560 + 14 = 574$

б) $8 · 61 = 8 · (60 + 1) =$$8 · 60 + 8 · 1 =$$480 + 8 = 488$

в) $4 · 302 = 4 · (300 + 2) =$$4 · 300 + 4 · 2 =$$1200 + 8 = 1208$

г) $5 · 606 = 5 · (600 + 6) =$$5 · 600 + 5 · 6 =$$3000 + 30 = 3030$

а) Чтобы найти значение произведения $82 \cdot 7$ с помощью распределительного свойства, необходимо представить один из множителей в виде суммы. Представим число 82 в виде суммы разрядных слагаемых $80$ и $2$. Затем применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое выглядит так: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
$82 \cdot 7 = (80 + 2) \cdot 7 = 80 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 560 + 14 = 574$.
Ответ: 574.

б) Для вычисления произведения $8 \cdot 61$ представим число 61 в виде суммы слагаемых $60$ и $1$. Применим распределительное свойство умножения $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$:
$8 \cdot 61 = 8 \cdot (60 + 1) = 8 \cdot 60 + 8 \cdot 1 = 480 + 8 = 488$.
Ответ: 488.

в) Чтобы найти произведение $4 \cdot 302$, представим число 302 как сумму $300 + 2$. Затем воспользуемся распределительным свойством умножения:
$4 \cdot 302 = 4 \cdot (300 + 2) = 4 \cdot 300 + 4 \cdot 2 = 1200 + 8 = 1208$.
Ответ: 1208.

г) Для нахождения значения произведения $5 \cdot 606$ представим множитель 606 в виде суммы $600 + 6$. Применим распределительное свойство:
$5 \cdot 606 = 5 \cdot (600 + 6) = 5 \cdot 600 + 5 \cdot 6 = 3000 + 30 = 3030$.
Ответ: 3030.

3.186 Объясните решение:

Решите с объяснением:

а) 38 • 5;

б) 69 • 6.

$29 · 4 = (30 - 1) · 4 =$$30 · 4 - 1 · 4 =$$120 - 4 = 116$

Представляем число 29 в виде разности чисел 30 и 1. Применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания. Чтобы разность умножить на число, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе.

а) $38 · 5 = (40 - 2) · 5 =$$40 · 5 - 2 · 5 =$$200 - 10 = 190$

Представляем число 38 в виде разности чисел 40 и 2. Применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания. Чтобы разность умножить на число, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе.

б) $69 · 6 = (70 - 1) · 6 =$$70 · 6 - 1 · 6 =$$420 - 6 = 414$

Представляем число 69 в виде разности чисел 70 и 1. Применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания. Чтобы разность умножить на число, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе.

В данном примере для упрощения вычислений используется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Оно заключается в том, что для умножения разности на число, можно сначала умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого результата вычесть второй. В виде формулы это выглядит так: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

В примере $29 \cdot 4$ число 29 заменяется на разность $(30 - 1)$, так как умножать на круглое число 30 проще. Затем применяется свойство:

$29 \cdot 4 = (30 - 1) \cdot 4 = 30 \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 120 - 4 = 116$.

Решим остальные примеры по этому же принципу.

а)

Чтобы решить пример $38 \cdot 5$, представим число 38 в виде разности. Ближайшее удобное для умножения круглое число — это 40. Следовательно, $38 = 40 - 2$.

Применим распределительное свойство:

$38 \cdot 5 = (40 - 2) \cdot 5 = 40 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 200 - 10 = 190$.

Ответ: $190$

б)

Для решения примера $69 \cdot 6$ представим число 69 в виде разности. Ближайшее удобное круглое число — это 70. Следовательно, $69 = 70 - 1$.

Применим распределительное свойство:

$69 \cdot 6 = (70 - 1) \cdot 6 = 70 \cdot 6 - 1 \cdot 6 = 420 - 6 = 414$.

Ответ: $414$

3.187 С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения:

а) 8 • 79;

б) 6 • 198;

в) 5 • 497;

г) 499 • 25.

Образец:

а) 8 • (80 - 1) =

а) $8 · 79 = 8 · (80 - 1) =$$8 · 80 - 8 · 1 =$$640 - 8 = 632$

б) $6 · 198 = 6 · (200 - 2) =$$6 · 200 - 6 · 2 =$$1200 - 12 = 1188$

в) $5 · 497 = 5 · (500 - 3) =$$5 · 500 - 5 · 3 =$$2500 - 15 = 2485$

г) $499 · 25 = (500 - 1) · 25 =$$500 · 25 - 1 · 25 =$$12500 - 25 = 12475$

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания формулируется так:

• $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
• $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Чтобы упростить вычисления, мы представим один из множителей в виде суммы или разности двух чисел, одно из которых является «круглым» (например, 100, 200, 500), и затем применим это свойство.

а) Для вычисления произведения $8 \cdot 79$ представим число $79$ как разность $80 - 1$ и применим распределительное свойство.

$8 \cdot 79 = 8 \cdot (80 - 1) = 8 \cdot 80 - 8 \cdot 1 = 640 - 8 = 632$.

Ответ: 632

б) Для вычисления произведения $6 \cdot 198$ представим число $198$ как разность $200 - 2$ и применим распределительное свойство.

$6 \cdot 198 = 6 \cdot (200 - 2) = 6 \cdot 200 - 6 \cdot 2 = 1200 - 12 = 1188$.

Ответ: 1188

в) Для вычисления произведения $5 \cdot 497$ представим число $497$ как разность $500 - 3$ и применим распределительное свойство.

$5 \cdot 497 = 5 \cdot (500 - 3) = 5 \cdot 500 - 5 \cdot 3 = 2500 - 15 = 2485$.

Ответ: 2485

г) Для вычисления произведения $499 \cdot 25$ представим число $499$ как разность $500 - 1$ и применим распределительное свойство.

$499 \cdot 25 = (500 - 1) \cdot 25 = 500 \cdot 25 - 1 \cdot 25 = 12500 - 25 = 12475$.

Ответ: 12475

3.188 С помощью распределительного свойства умножения найдите значение произведения:

а) 36 • 101;

б) 22 • 25;

в) 16 • 99;

г) 45 • 18.

а) $36 · 101 = 36 · (100 + 1) =$$36 · 100 + 36 · 1 =$$3600 + 36 = 3636$

б) $22 · 25 = (20 + 2) · 25 =$$20 · 25 + 2 · 25 =$

в) $16 · 99 = 16 · (100 - 1) =$$16 · 100 - 16 · 1 =$$1600 - 16 = 1584$

г) $45 · 18 = 45 · (20 - 2) =$$45 · 20 - 45 · 2 =$$900 - 90 = 810$

Распределительное свойство умножения (или дистрибутивность) позволяет раскрывать скобки. Для сложения оно выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, а для вычитания так: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$. Используем это свойство, чтобы упростить вычисления.

а) Представим один из множителей в виде суммы или разности. В данном случае удобно представить $101$ как сумму $100 + 1$.

$36 \cdot 101 = 36 \cdot (100 + 1)$

Теперь применяем распределительное свойство:

$36 \cdot (100 + 1) = 36 \cdot 100 + 36 \cdot 1 = 3600 + 36 = 3636$.

Ответ: $3636$.

б) В произведении $22 \cdot 25$ можно представить число $22$ как сумму $20 + 2$, чтобы упростить умножение на $25$.

$22 \cdot 25 = (20 + 2) \cdot 25$

Применяем свойство и вычисляем:

$(20 + 2) \cdot 25 = 20 \cdot 25 + 2 \cdot 25 = 500 + 50 = 550$.

Ответ: $550$.

в) Здесь удобно представить число $99$ в виде разности $100 - 1$.

$16 \cdot 99 = 16 \cdot (100 - 1)$

Раскрываем скобки по правилу распределительного свойства для вычитания:

$16 \cdot (100 - 1) = 16 \cdot 100 - 16 \cdot 1 = 1600 - 16 = 1584$.

Ответ: $1584$.

г) В произведении $45 \cdot 18$ можно представить число $18$ как разность $20 - 2$ или как сумму $10 + 8$. Вариант с разностью удобнее:

$45 \cdot 18 = 45 \cdot (20 - 2)$

Применяем распределительное свойство и находим результат:

$45 \cdot (20 - 2) = 45 \cdot 20 - 45 \cdot 2 = 900 - 90 = 810$.

Ответ: $810$.

3.189 Вычислите:

а) (25 + 12) • 4;

б) (100 + 30 + 2) • 3;

в) (200 - 20) • 5;

г) (300 - 10 - 1) • 6.

а) $(25 + 12) · 4 =$$25 · 4 + 12 · 4 =$$100 + 48 = 148$

б) $(100 + 30 + 2) · 3 =$$100 · 3 + 30 · 3 + 2 · 3 =$$300 + 90 + 6 = 396$

в) $(200 - 20) · 5 =$$200 · 5 - 20 · 5 =$$1000 - 100 = 900$

г) $(300 - 10 - 1) · 6 =$$300 · 6 - 10 · 6 - 1 · 6 =$$1800 - 60 - 6 = 1734$

а) Для вычисления значения выражения $(25 + 12) \cdot 4$ необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем — умножение.
1. Сложение в скобках: $25 + 12 = 37$.
2. Умножение результата на 4: $37 \cdot 4 = 148$.
Полное решение: $(25 + 12) \cdot 4 = 37 \cdot 4 = 148$.
Ответ: 148.

б) Для вычисления значения выражения $(100 + 30 + 2) \cdot 3$ необходимо сначала найти сумму чисел в скобках, а после этого выполнить умножение.
1. Сложение в скобках: $100 + 30 + 2 = 132$.
2. Умножение результата на 3: $132 \cdot 3 = 396$.
Полное решение: $(100 + 30 + 2) \cdot 3 = 132 \cdot 3 = 396$.
Ответ: 396.

в) Для вычисления значения выражения $(200 - 20) \cdot 5$ сначала выполним вычитание в скобках, а затем — умножение.
1. Вычитание в скобках: $200 - 20 = 180$.
2. Умножение результата на 5: $180 \cdot 5 = 900$.
Полное решение: $(200 - 20) \cdot 5 = 180 \cdot 5 = 900$.
Ответ: 900.

г) Для вычисления значения выражения $(300 - 10 - 1) \cdot 6$ сначала выполним действия в скобках слева направо, а потом — умножение.
1. Вычитание в скобках: $300 - 10 - 1 = 290 - 1 = 289$.
2. Умножение результата на 6: $289 \cdot 6 = 1734$.
Полное решение: $(300 - 10 - 1) \cdot 6 = 289 \cdot 6 = 1734$.
Ответ: 1734.

3.190 Восстановите недостающую часть равенства:

а) (45 + ?) • 4 = 45 • ? + 12 • 4;

б) (125 - 9) • ? = 125 • 8 - ? • 8;

в) (? + ?) • 6 = 70 • 6 + 3 • 6;

г) (? - ?) • 8 = 40 • 8 - 2 • 8.

а) $(45 + ?) · 4 =$$45 · ? + 12 · 4$

$(45 + 12) · 4 =$$45 · 4 + 12 · 4$

б) $(125 - 9) · ? =$$125 · 8 - ? · 8$

$(125 - 9) · 8 =$$125 · 8 - 9 · 8$

в) $(? + ?) · 6 =$$70 · 6 + 3 · 6$

$(70 + 3) · 6 =$$70 · 6 + 3 · 6$

г) $(? - ?) · 8 =$$40 · 8 - 2 · 8$

$(40 - 2) · 8 =$$40 · 8 - 2 · 8$

Для решения данных задач используется распределительное свойство умножения. Оно гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ верны следующие равенства:

• Распределительное свойство относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
• Распределительное свойство относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Восстановим недостающие части равенств, применяя эти свойства.

а) Исходное равенство: $(45 + \text{?}) \cdot 4 = 45 \cdot \text{?} + 12 \cdot 4$.

Это равенство соответствует распределительному свойству умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Сравнивая левую часть $(45 + \text{?}) \cdot 4$ с $(a + b) \cdot c$, мы видим, что $a = 45$ и $c = 4$.
Сравнивая правую часть $45 \cdot \text{?} + 12 \cdot 4$ с $a \cdot c + b \cdot c$, мы можем определить недостающие числа. Первое слагаемое $45 \cdot \text{?}$ соответствует $a \cdot c$, значит, вместо знака вопроса должно стоять число $c$, равное 4. Второе слагаемое $12 \cdot 4$ соответствует $b \cdot c$, значит, $b = 12$.
Теперь подставим значение $b=12$ в левую часть равенства вместо знака вопроса.

Ответ: $(45 + 12) \cdot 4 = 45 \cdot 4 + 12 \cdot 4$.

б) Исходное равенство: $(125 - 9) \cdot \text{?} = 125 \cdot 8 - \text{?} \cdot 8$.

Это равенство соответствует распределительному свойству умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.
Сравнивая левую часть $(125 - 9) \cdot \text{?}$ с $(a - b) \cdot c$, мы видим, что $a = 125$ и $b = 9$.
Сравнивая правую часть $125 \cdot 8 - \text{?} \cdot 8$ с $a \cdot c - b \cdot c$, мы видим, что множитель $c$ равен 8. Следовательно, первый знак вопроса (общий множитель в левой части) равен 8.
Второе слагаемое в правой части $\text{?} \cdot 8$ соответствует $b \cdot c$. Поскольку $b=9$ и $c=8$, на месте второго знака вопроса должно быть число 9.

Ответ: $(125 - 9) \cdot 8 = 125 \cdot 8 - 9 \cdot 8$.

в) Исходное равенство: $(\text{?} + \text{?}) \cdot 6 = 70 \cdot 6 + 3 \cdot 6$.

Здесь мы применяем распределительное свойство в обратном порядке: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.
Правая часть $70 \cdot 6 + 3 \cdot 6$ представляет собой сумму произведений с общим множителем $c=6$. Отсюда мы можем определить, что $a = 70$ и $b = 3$.
Следовательно, левая часть равенства, имеющая вид $(a + b) \cdot c$, должна быть $(70 + 3) \cdot 6$.

Ответ: $(70 + 3) \cdot 6 = 70 \cdot 6 + 3 \cdot 6$.

г) Исходное равенство: $(\text{?} - \text{?}) \cdot 8 = 40 \cdot 8 - 2 \cdot 8$.

Здесь мы применяем распределительное свойство относительно вычитания в обратном порядке: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.
Правая часть $40 \cdot 8 - 2 \cdot 8$ представляет собой разность произведений с общим множителем $c=8$. Отсюда мы можем определить, что $a = 40$ и $b = 2$.
Следовательно, левая часть равенства, имеющая вид $(a - b) \cdot c$, должна быть $(40 - 2) \cdot 8$.

Ответ: $(40 - 2) \cdot 8 = 40 \cdot 8 - 2 \cdot 8$.

3.191 Верно ли равенство:

а) (75 + 22) • 4 = 75 • 4 + 22 • 4;

б) (100 - 7) • 8 = 100 - 7 • 8;

в) (62 + 15) • 2 = 62 • 2 + 15;

г) 80 • 3 - 2 • 3 = (80 - 2) • 3?

а) $(75 + 22) · 4 =$$75 · 4 + 22 · 4$ - верно, распределительное свойство умножения относительно сложения

б) $(100 - 7) · 8 =$$100 - 7 · 8$ - неверно, $(100 - 7) · 8 =$$100 · 8 - 7 · 8$

в) $(62 + 15) · 2 =$$62 · 2 + 15$ - неверно, $(62 + 15) · 2 =$$62 · 2 + 15 · 2$

г) $80 · 3 - 2 · 3 =$$(80 - 2) · 3$ - верно

а) $(75 + 22) \cdot 4 = 75 \cdot 4 + 22 \cdot 4$

Данное равенство является примером применения распределительного свойства умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В нашем случае $a = 75$, $b = 22$ и $c = 4$. Так как выражение в точности соответствует этому свойству, равенство является верным.

Для проверки выполним вычисления обеих частей равенства:

Левая часть: $(75 + 22) \cdot 4 = 97 \cdot 4 = 388$.

Правая часть: $75 \cdot 4 + 22 \cdot 4 = 300 + 88 = 388$.

Поскольку $388 = 388$, равенство подтверждается.

Ответ: равенство верно.

б) $(100 - 7) \cdot 8 = 100 - 7 \cdot 8$

Для проверки верности этого равенства вычислим значения левой и правой частей, соблюдая порядок выполнения арифметических действий (сначала действия в скобках, затем умножение, потом вычитание).

Вычислим левую часть: $(100 - 7) \cdot 8 = 93 \cdot 8 = 744$.

Вычислим правую часть: $100 - 7 \cdot 8$. Сначала выполняем умножение: $7 \cdot 8 = 56$. Затем вычитание: $100 - 56 = 44$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $744 \neq 44$. Следовательно, равенство неверно.

Правильное применение распределительного свойства для левой части дало бы такой результат: $(100 - 7) \cdot 8 = 100 \cdot 8 - 7 \cdot 8$.

Ответ: равенство неверно.

в) $(62 + 15) \cdot 2 = 62 \cdot 2 + 15$

Проверим данное равенство путем вычисления обеих его частей.

Вычислим левую часть: $(62 + 15) \cdot 2 = 77 \cdot 2 = 154$.

Вычислим правую часть: $62 \cdot 2 + 15$. Сначала выполним умножение: $62 \cdot 2 = 124$. Затем сложение: $124 + 15 = 139$.

Так как $154 \neq 139$, равенство является неверным.

Ошибка в правой части состоит в том, что общий множитель 2 был умножен только на первое слагаемое (62), а на второе (15) — нет. Верное равенство выглядело бы так: $(62 + 15) \cdot 2 = 62 \cdot 2 + 15 \cdot 2$.

Ответ: равенство неверно.

г) $80 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = (80 - 2) \cdot 3$

Это равенство демонстрирует распределительное свойство умножения относительно вычитания, примененное в обратном порядке (вынесение общего множителя за скобки). Формула этого свойства: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. В данном случае $a = 80$, $b = 2$, $c = 3$. Равенство полностью соответствует свойству, а значит, оно верное.

Проверим это вычислениями:

Левая часть: $80 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 240 - 6 = 234$.

Правая часть: $(80 - 2) \cdot 3 = 78 \cdot 3 = 234$.

Поскольку $234 = 234$, равенство подтверждается.

Ответ: равенство верно.

3.192 Найдите значение выражения:

а) 47 • 34 + 53 • 34;

б) 304 • 87 - 204 • 87;

в) 962 • 54 + 54 • 38;

г) 281 • 72 - 181 • 72;

д) 438 • 90 - 238 • 90;

е) 801 • 6 + 94 • 801.

а) $47 · 34 + 53 · 34 =$$(47 + 53) · 34 =$$100 · 34 = 3400$

б) $304 · 87 - 204 · 87 =$$(304 - 204) · 87 =$$100 · 87 = 8700$

в) $962 · 54 + 54 · 38 =$$(962 + 38) · 54 =$$1000 · 54 = 54000$

г) $281 · 72 - 181 · 72 =$$(281 - 181) · 72 =$$100 · 72 = 7200$

д) $438 · 90 - 238 · 90 =$$(438 - 238) · 90 =$$200 · 90 = \mathrm{18\; 000}$

е) $801 · 6 + 94 · 801 =$$801 · (6 + 94) =$$801 · 100 = \mathrm{80\; 100}$

а) В выражении $47 \cdot 34 + 53 \cdot 34$ есть общий множитель $34$. Применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$, и вынесем общий множитель за скобки:

$(47 + 53) \cdot 34$

Сначала выполним действие в скобках:

$47 + 53 = 100$

Теперь умножаем полученный результат на общий множитель:

$100 \cdot 34 = 3400$

Ответ: 3400.

б) В выражении $304 \cdot 87 - 204 \cdot 87$ общий множитель равен $87$. Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ и вынесем $87$ за скобки:

$(304 - 204) \cdot 87$

Выполним вычитание в скобках:

$304 - 204 = 100$

Теперь умножим результат на $87$:

$100 \cdot 87 = 8700$

Ответ: 8700.

в) В выражении $962 \cdot 54 + 54 \cdot 38$ общий множитель равен $54$. Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), мы можем представить выражение как $962 \cdot 54 + 38 \cdot 54$. Теперь применим распределительное свойство и вынесем $54$ за скобки:

$(962 + 38) \cdot 54$

Выполним сложение в скобках:

$962 + 38 = 1000$

Теперь умножим результат на $54$:

$1000 \cdot 54 = 54000$

Ответ: 54000.

г) В выражении $281 \cdot 72 - 181 \cdot 72$ общий множитель — это $72$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$(281 - 181) \cdot 72$

Выполним вычитание в скобках:

$281 - 181 = 100$

Теперь умножим результат на $72$:

$100 \cdot 72 = 7200$

Ответ: 7200.

д) В выражении $438 \cdot 90 - 238 \cdot 90$ общим множителем является число $90$. Вынесем его за скобки, применив распределительное свойство:

$(438 - 238) \cdot 90$

Выполним вычитание в скобках:

$438 - 238 = 200$

Теперь умножим результат на $90$:

$200 \cdot 90 = 18000$

Ответ: 18000.

е) В выражении $801 \cdot 6 + 94 \cdot 801$ общий множитель равен $801$. Используя переместительное и распределительное свойства, вынесем $801$ за скобки:

$801 \cdot (6 + 94)$

Выполним сложение в скобках:

$6 + 94 = 100$

Теперь умножим результат на $801$:

$801 \cdot 100 = 80100$

Ответ: 80100.

3.193 Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) (30 + 8) • 4 и 30 • 4 + 8 • 4;

б) 50 • 7 + 2 • 8 и (50 + 2) • 7.

а) $(30 + 8) · 4 = 30 · 4 + 8 · 4$

б) $50 · 7 + 2 · \underline{8}>(50 + 2) · \underline{7}$, так как $8>7$

а) Для сравнения выражений $(30 + 8) \cdot 4$ и $30 \cdot 4 + 8 \cdot 4$ воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Применим это свойство к первому выражению $(30 + 8) \cdot 4$. В данном случае $a = 30$, $b = 8$ и $c = 4$.

Раскрывая скобки по формуле, мы получаем: $(30 + 8) \cdot 4 = 30 \cdot 4 + 8 \cdot 4$.

Таким образом, левая часть тождественно равна правой. Следовательно, значения этих выражений равны.

Ответ: $(30 + 8) \cdot 4 = 30 \cdot 4 + 8 \cdot 4$.

б) Сравним выражения $50 \cdot 7 + 2 \cdot 8$ и $(50 + 2) \cdot 7$.

Сначала преобразуем второе выражение, используя распределительное свойство умножения $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Применив его к выражению $(50 + 2) \cdot 7$, получим: $(50 + 2) \cdot 7 = 50 \cdot 7 + 2 \cdot 7$.

Теперь задача сводится к сравнению двух выражений: $50 \cdot 7 + 2 \cdot 8$ и $50 \cdot 7 + 2 \cdot 7$.

Оба выражения имеют общее слагаемое $50 \cdot 7$. Чтобы сравнить суммы, достаточно сравнить вторые слагаемые: $2 \cdot 8$ и $2 \cdot 7$.

Так как $8 > 7$, то при умножении на одно и то же положительное число (2), неравенство сохранится: $2 \cdot 8 > 2 \cdot 7$.

Из этого следует, что вся сумма $50 \cdot 7 + 2 \cdot 8$ больше, чем сумма $50 \cdot 7 + 2 \cdot 7$.

Ответ: $50 \cdot 7 + 2 \cdot 8 > (50 + 2) \cdot 7$.

3.194 Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны:

а) 13 см и 7 см;

б) 22 см и 5 см.

Выберите удобный способ вычисления для каждого случая. Объясните свой выбор.

а) $P = (13 + 7) · 2 = 20 · 2 = 40$(см) или $P = 13 · 2 + 7 · 2 =$$(13 + 7) · 2 = 20 · 2 = 40$ (см)

Удобнее сумму сторон прямоугольника умножить на 2.

б) $(22 + 5) · 2 =$$22 · 2 + 5 · 2 =$$44 + 10 = 54$(м) - периметр прямоугольника

Удобнее каждое слагаемое умножить на 2 и полученные результаты сложить.

При выборе данных способов вычисления можно считать устно.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, его периметр $P$ со сторонами $a$ и $b$ можно вычислить по двум основным формулам:

1. $P = 2 \cdot (a + b)$ (сумма смежных сторон, умноженная на два).

2. $P = 2a + 2b$ (сумма удвоенных длин смежных сторон).

Выбор наиболее удобного способа зависит от чисел, с которыми проще производить вычисления в уме.

а) Стороны равны 13 см и 7 см.

В этом случае удобнее сначала сложить стороны, а затем умножить на 2, то есть использовать формулу $P = 2 \cdot (a + b)$.
Объяснение выбора: Сумма длин сторон $13 + 7 = 20$ является круглым числом. Умножение круглого числа на 2 выполняется очень легко.
Решение:
$P = 2 \cdot (13 + 7) = 2 \cdot 20 = 40$ (см).
Ответ: 40 см.

б) Стороны равны 22 см и 5 см.

В этом случае удобнее сначала удвоить каждую сторону, а затем сложить результаты, то есть использовать формулу $P = 2a + 2b$.
Объяснение выбора: Удвоить каждое число по отдельности ($2 \cdot 22 = 44$ и $2 \cdot 5 = 10$) очень просто. Последующее сложение $44 + 10$ также является простым действием, так как к числу прибавляется круглое число 10. Альтернативный способ ($2 \cdot (22+5) = 2 \cdot 27$) требует умножения на некруглое число, что немного сложнее.
Решение:
$P = 2 \cdot 22 + 2 \cdot 5 = 44 + 10 = 54$ (см).
Ответ: 54 см.

3.195 Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 9 км/ч, а другого - 11 км/ч. Найдите расстояние между посёлками.

(9 + 11) км/ч - скорость сближения

$(9 + 11) · 2 = 20 · 2 = 40$(км)

Ответ: 40 км.

Для решения этой задачи необходимо найти общее расстояние, которое проехали оба велосипедиста до момента их встречи. Это расстояние и будет равно расстоянию между посёлками.

Поскольку велосипедисты выехали одновременно и движутся навстречу друг другу, мы можем найти их общую скорость, которую называют скоростью сближения. Скорость сближения равна сумме скоростей двух велосипедистов.

Дано:
Скорость первого велосипедиста, $v_1 = 9$ км/ч.
Скорость второго велосипедиста, $v_2 = 11$ км/ч.
Время до встречи, $t = 2$ ч.

1. Вычислим скорость сближения велосипедистов ($v_{сбл}$):

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 9 \text{ км/ч} + 11 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

Это значит, что каждый час велосипедисты становятся ближе друг к другу на 20 км.

2. Теперь, зная скорость сближения и время, через которое они встретились, мы можем найти исходное расстояние между посёлками ($S$). Для этого умножим скорость сближения на время в пути.

$S = v_{сбл} \cdot t = 20 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$.

Таким образом, расстояние между посёлками составляет 40 километров.

Ответ: 40 км.

6.46 Найдите число по схеме алгоритма при:

а) $n=\frac{7}{13};$

б) $n=\frac{12}{13};$

в) n = 1?

а)

Для $n = \frac{7}{13}$ выполним шаги по схеме алгоритма.

1. Сначала выполним действия до блока сравнения. Отнимем $ \frac{2}{13} $ и прибавим $ \frac{7}{13} $.
$ \frac{7}{13} - \frac{2}{13} + \frac{7}{13} = \frac{5}{13} + \frac{7}{13} = \frac{12}{13} $.

2. Теперь сравним полученный результат с единицей.
$ \frac{12}{13} < 1 $. Условие "> 1" не выполняется, поэтому мы следуем по ветке "нет".

3. Выполним действия на ветке "нет": прибавим $ \frac{3}{13} $ и отнимем $ \frac{5}{13} $.
$ \frac{12}{13} + \frac{3}{13} - \frac{5}{13} = \frac{15}{13} - \frac{5}{13} = \frac{10}{13} $.

Ответ: $\frac{10}{13}$

б)

Для $n = \frac{12}{13}$ выполним шаги по схеме алгоритма.

1. Сначала выполним действия до блока сравнения. Отнимем $ \frac{2}{13} $ и прибавим $ \frac{7}{13} $.
$ \frac{12}{13} - \frac{2}{13} + \frac{7}{13} = \frac{10}{13} + \frac{7}{13} = \frac{17}{13} $.

2. Теперь сравним полученный результат с единицей.
$ \frac{17}{13} > 1 $. Условие "> 1" выполняется, поэтому мы следуем по ветке "да".

3. Выполним действия на ветке "да": отнимем $ \frac{5}{13} $ и затем отнимем $ \frac{6}{13} $.
$ \frac{17}{13} - \frac{5}{13} - \frac{6}{13} = \frac{12}{13} - \frac{6}{13} = \frac{6}{13} $.

Ответ: $\frac{6}{13}$

в)

Для $n = 1$ выполним шаги по схеме алгоритма. Для удобства представим $1$ как $ \frac{13}{13} $.

1. Сначала выполним действия до блока сравнения. Отнимем $ \frac{2}{13} $ и прибавим $ \frac{7}{13} $.
$ 1 - \frac{2}{13} + \frac{7}{13} = \frac{13}{13} - \frac{2}{13} + \frac{7}{13} = \frac{11}{13} + \frac{7}{13} = \frac{18}{13} $.

2. Теперь сравним полученный результат с единицей.
$ \frac{18}{13} > 1 $. Условие "> 1" выполняется, поэтому мы следуем по ветке "да".

3. Выполним действия на ветке "да": отнимем $ \frac{5}{13} $ и затем отнимем $ \frac{6}{13} $.
$ \frac{18}{13} - \frac{5}{13} - \frac{6}{13} = \frac{13}{13} - \frac{6}{13} = \frac{7}{13} $.

Ответ: $\frac{7}{13}$

6.47 Найдите, какую часть тонны составляют 1 кг, 10 кг, 100 кг, 300 кг.

Чтобы найти, какую часть тонны составляет определенное количество килограммов, нужно знать, что в одной тонне содержится 1000 килограммов. Таким образом, чтобы найти долю, нужно данное количество килограммов разделить на 1000.

1 кг

Чтобы найти, какую часть тонны составляет 1 кг, нужно 1 разделить на 1000:

$1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ тонны}$

Ответ: $\frac{1}{1000}$ тонны.

10 кг

Чтобы найти, какую часть тонны составляют 10 кг, нужно 10 разделить на 1000 и сократить полученную дробь:

$\frac{10}{1000} = \frac{10 \div 10}{1000 \div 10} = \frac{1}{100}$

Ответ: $\frac{1}{100}$ тонны.

100 кг

Чтобы найти, какую часть тонны составляют 100 кг, нужно 100 разделить на 1000 и сократить полученную дробь:

$\frac{100}{1000} = \frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$ тонны.

300 кг

Чтобы найти, какую часть тонны составляют 300 кг, нужно 300 разделить на 1000 и сократить полученную дробь:

$\frac{300}{1000} = \frac{300 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$ тонны.

6.48 Назовите числа, 110 которых равна 50, 23, 4, 1.

Чтобы найти целое число, зная его часть, выраженную дробью, нужно значение этой части разделить на саму дробь. В данном случае, нам известна $\frac{1}{10}$ часть искомого числа. Пусть искомое число будет $x$. Тогда можно составить уравнение:

$\frac{1}{10} \cdot x = \text{значение части}$

Чтобы найти $x$, нужно известное значение части умножить на 10:

$x = \text{значение части} \times 10$

Теперь найдем числа для каждого из заданных значений.

50
Если десятая часть числа равна 50, то для нахождения всего числа необходимо 50 умножить на 10.
$50 \times 10 = 500$
Ответ: 500

23
Если десятая часть числа равна 23, то для нахождения всего числа необходимо 23 умножить на 10.
$23 \times 10 = 230$
Ответ: 230

4
Если десятая часть числа равна 4, то для нахождения всего числа необходимо 4 умножить на 10.
$4 \times 10 = 40$
Ответ: 40

1
Если десятая часть числа равна 1, то для нахождения всего числа необходимо 1 умножить на 10.
$1 \times 10 = 10$
Ответ: 10

6.49 Найдите, используя рисунок 6.5, какое число стоит вместо знака вопроса:

а) Чтобы найти неизвестное число в равенстве $ \frac{1}{2} = \frac{?}{12} $, обратимся к рисунку 6.5. Числовая прямая от 0 до 1 разделена на 12 равных делений, поэтому каждое деление соответствует $ \frac{1}{12} $. Точка $ \frac{1}{2} $ находится на середине отрезка, что соответствует шестому делению. Следовательно, дробь $ \frac{1}{2} $ равна дроби $ \frac{6}{12} $. Таким образом, вместо знака вопроса должно стоять число 6.

Ответ: 6

б) Рассмотрим равенство $ \frac{1}{4} = \frac{?}{12} $. Найдём на числовой прямой точку, соответствующую дроби $ \frac{1}{4} $. На шкале, разделённой на 12 частей, эта точка соответствует третьему делению (так как $ 12 \div 4 = 3 $). Таким образом, дробь $ \frac{1}{4} $ равна дроби $ \frac{3}{12} $. Вместо знака вопроса должно стоять число 3.

Ответ: 3

в) В равенстве $ \frac{?}{4} = \frac{9}{12} $ найдём на числовой прямой точку, соответствующую дроби $ \frac{9}{12} $. Она отмечена на девятом делении. Чтобы выразить эту дробь со знаменателем 4, сгруппируем деления по 3 (так как $ 12 \div 4 = 3 $). Девятое деление является концом третьей такой группы ($ 9 \div 3 = 3 $). Следовательно, точка $ \frac{9}{12} $ соответствует дроби $ \frac{3}{4} $. Значит, искомое число — это 3.

Ответ: 3

г) В равенстве $ \frac{2}{6} = \frac{4}{?} $ сначала упростим дробь $ \frac{2}{6} $ до $ \frac{1}{3} $. Теперь найдём точку $ \frac{1}{3} $ на числовой прямой. Для этого разделим 12 делений на 3, получив 4 деления. Значит, точка $ \frac{1}{3} $ находится на четвёртом делении, что соответствует дроби $ \frac{4}{12} $. Таким образом, мы получаем равенство $ \frac{2}{6} = \frac{4}{12} $. Сравнивая его с исходным, видим, что вместо знака вопроса должно стоять число 12. Другой способ: в равенстве $ \frac{2}{6} = \frac{4}{?} $ числитель увеличился в 2 раза ($ 4 \div 2 = 2 $), следовательно, и знаменатель должен увеличиться в 2 раза: $ 6 \times 2 = 12 $.

Ответ: 12

6.50 Развивай воображение. Какие из фигур (рис. 6.6) являются развёртками куба?

Ответ: в), г)

Чтобы определить, является ли фигура развёрткой куба, необходимо проверить два условия:
1. Фигура должна состоять ровно из 6 квадратов (по числу граней куба).
2. При мысленном сворачивании фигуры все грани должны сомкнуться в куб без наложений (когда два квадрата претендуют на одну и ту же грань) и без пробелов (когда какая-то грань остается открытой).

Проанализируем каждую фигуру.

а

Эта фигура состоит из 6 квадратов. Представим, что центральный горизонтальный ряд из четырех квадратов — это боковые стенки куба. Если мы свернем их в "кольцо", то два крайних квадрата (первый и четвертый) сойдутся. Два оставшихся квадрата, которые прикреплены к ним сверху, окажутся с одной стороны от этого "кольца" и при складывании будут претендовать на одну и ту же грань куба (например, на верхнюю). Произойдет наложение, а нижняя грань останется открытой. Следовательно, эта фигура не является развёрткой куба.

Ответ: не является.

б

Эта фигура состоит из 6 квадратов. Попробуем мысленно сложить из нее куб. Это возможно сделать следующим образом:

• Возьмем за основание (нижнюю грань) второй квадрат в длинной части (считая слева).
• Первый квадрат станет передней гранью.
• Третий квадрат станет правой гранью.
• Четвертый квадрат, примыкающий к правой грани, станет верхней гранью.
• Пятый квадрат, примыкающий к верхней грани, станет задней гранью.
• Шестой квадрат, примыкающий к задней, станет левой гранью и замкнет куб.

Все грани занимают свои места без наложений. Следовательно, эта фигура является развёрткой куба.

Ответ: является.

в

Эта фигура состоит из 6 квадратов. Она является одной из классических развёрток куба. Убедимся в этом, выполнив мысленное сворачивание:

• Возьмем за основание третий квадрат в горизонтальном ряду.
• Квадрат под ним станет передней гранью.
• Квадрат слева от основания (второй) станет левой гранью.
• Квадрат справа от основания (четвертый) станет правой гранью.
• Крайний левый квадрат (первый) станет задней гранью.
• Квадрат над левой гранью станет верхней гранью.

Все грани складываются в куб без наложений. Следовательно, эта фигура является развёрткой куба.

Ответ: является.

г

Эта фигура состоит из 6 квадратов. Попробуем ее сложить. Если взять за основание левый нижний квадрат из центрального блока 2x2, то квадрат над ним станет левой гранью, а квадрат справа от основания — передней. При дальнейшем сворачивании окажется, что два квадрата (правый верхний из блока 2x2 и крайний правый квадрат) будут претендовать на одну и ту же грань — верхнюю. Произойдет наложение, а одна из боковых граней останется пустой. Следовательно, эта фигура не является развёрткой куба.

Ответ: не является.

д

Для того чтобы фигура была развёрткой куба, она должна состоять из 6 квадратов. Посчитаем квадраты в фигуре 'д': она состоит из ряда в 4 квадрата и еще одного квадрата сверху. Общее число квадратов равно $4+1=5$. Так как у куба 6 граней, фигура из 5 квадратов не может быть его развёрткой.

Ответ: не является.

6.51 Выразите в килограммах и граммах:

а) 5,256 кг;

б) 21,600 кг;

в) 0,009 кг;

г) 15,001 кг;

д) 23,008 кг;

е) 10,011 кг.

a) $5,256\mathrm{кг} = 5\frac{256}{1000}\mathrm{кг} = \left(5 + \frac{256}{1000}\right)\mathrm{кг} =$

$= 5\mathrm{кг} + \frac{256}{1000}\mathrm{кг} = 5\mathrm{кг} + 256г = 5\mathrm{кг}256г$

б) $21,600\mathrm{кг} = 21\frac{600}{1000}\mathrm{кг} = 21\mathrm{кг} + \frac{600}{1000}\mathrm{кг} =$

$= 21\mathrm{кг} + 600г = 21\mathrm{кг}600г$

в) $0,009\mathrm{кг} = \frac{009}{1000}\mathrm{кг} = \frac{9}{1000}\mathrm{кг} = 9г$

г) $15,001\mathrm{кг} = 15\frac{001}{1000}\mathrm{кг} = 15\frac{1}{1000}\mathrm{кг} =$

$= 15\mathrm{кг} + \frac{1}{1000}\mathrm{кг} = 15\mathrm{кг} + 1г = 15\mathrm{кг}1г$

д) $23,008\mathrm{кг} = 23\frac{008}{1000}\mathrm{кг} = 23\frac{8}{1000}\mathrm{кг} =$

$= 23\mathrm{кг} + \frac{8}{1000}\mathrm{кг} = 23\mathrm{кг} + 8г = 23\mathrm{кг}8г$

е) $10,011\mathrm{кг} = 10\frac{011}{1000}\mathrm{кг} = 10\frac{11}{1000}\mathrm{кг} =$

$= 10\mathrm{кг} + \frac{11}{1000}\mathrm{кг} = 10\mathrm{кг} + 11г = 10\mathrm{кг}11г$

Чтобы выразить массу, заданную в килограммах в виде десятичной дроби, в килограммах и граммах, нужно разделить число на целую и дробную части. Целая часть представляет собой количество килограммов. Дробную часть нужно умножить на 1000, чтобы перевести её в граммы, поскольку в одном килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

а) 5,256 кг
Целая часть числа 5,256 равна 5, что соответствует 5 кг.
Дробная часть равна 0,256. Переводим её в граммы: $0,256 \times 1000 = 256$ г.
Следовательно, $5,256 \text{ кг} = 5 \text{ кг } 256 \text{ г}$.
Ответ: 5 кг 256 г.

б) 21,600 кг
Целая часть числа 21,600 равна 21, что соответствует 21 кг.
Дробная часть равна 0,600. Переводим её в граммы: $0,600 \times 1000 = 600$ г.
Следовательно, $21,600 \text{ кг} = 21 \text{ кг } 600 \text{ г}$.
Ответ: 21 кг 600 г.

в) 0,009 кг
Целая часть числа 0,009 равна 0, что соответствует 0 кг.
Дробная часть равна 0,009. Переводим её в граммы: $0,009 \times 1000 = 9$ г.
Следовательно, $0,009 \text{ кг} = 0 \text{ кг } 9 \text{ г}$.
Ответ: 0 кг 9 г.

г) 15,001 кг
Целая часть числа 15,001 равна 15, что соответствует 15 кг.
Дробная часть равна 0,001. Переводим её в граммы: $0,001 \times 1000 = 1$ г.
Следовательно, $15,001 \text{ кг} = 15 \text{ кг } 1 \text{ г}$.
Ответ: 15 кг 1 г.

д) 23,008 кг
Целая часть числа 23,008 равна 23, что соответствует 23 кг.
Дробная часть равна 0,008. Переводим её в граммы: $0,008 \times 1000 = 8$ г.
Следовательно, $23,008 \text{ кг} = 23 \text{ кг } 8 \text{ г}$.
Ответ: 23 кг 8 г.

е) 10,011 кг
Целая часть числа 10,011 равна 10, что соответствует 10 кг.
Дробная часть равна 0,011. Переводим её в граммы: $0,011 \times 1000 = 11$ г.
Следовательно, $10,011 \text{ кг} = 10 \text{ кг } 11 \text{ г}$.
Ответ: 10 кг 11 г.

6.52 Выразите:

а)

Для того чтобы выразить число в тысячах, необходимо разделить его на $1000$.

1. Выразим $2345$ в тысячах:
$2345 \div 1000 = 2,345$ тыс.

2. Выразим $9,039$ млн в тысячах.
Так как $1 \text{ миллион} = 1000 \text{ тысяч}$, то для перевода из миллионов в тысячи нужно умножить на $1000$.
$9,039 \text{ млн} = 9,039 \times 1000 \text{ тыс.} = 9039$ тыс.

3. Выразим $23,8$ млрд в тысячах.
Так как $1 \text{ миллиард} = 1\;000\;000 \text{ тысяч}$, то для перевода из миллиардов в тысячи нужно умножить на $1\;000\;000$.
$23,8 \text{ млрд} = 23,8 \times 1\;000\;000 \text{ тыс.} = 23\;800\;000$ тыс.

Ответ: $2,345$ тыс.; $9039$ тыс.; $23\;800\;000$ тыс.

б)

Для того чтобы выразить число в миллионах, необходимо разделить его на $1\;000\;000$.

1. Выразим $9\;231\;000$ в миллионах:
$9\;231\;000 \div 1\;000\;000 = 9,231$ млн.

2. Выразим $89,64$ млрд в миллионах.
Так как $1 \text{ миллиард} = 1000 \text{ миллионов}$, то для перевода из миллиардов в миллионы нужно умножить на $1000$.
$89,64 \text{ млрд} = 89,64 \times 1000 \text{ млн} = 89\;640$ млн.

Ответ: $9,231$ млн; $89\;640$ млн.

6.53 а) На рисунке 6.7 изображена шкала весов. Назовите массу предметов, если стрелка останавливалась напротив делений, обозначенных буквами.

б) Назовите температуру больного, если ртутный столбик останавливался на отметках, обозначенных буквами (рис. 6.8).

а)

На рисунке 6.7 изображена шкала весов. Чтобы определить массу, соответствующую каждой букве, сначала найдем цену деления шкалы. Шкала проградуирована от 0 до 1 кг. Возьмем интервал между отметками 0 и 0,1 кг. Этот интервал разделен на 2 деления.

Следовательно, цена одного деления (ЦД) равна:

ЦД = $ \frac{0,1 \text{ кг}}{2} = 0,05 \text{ кг} $

Теперь, зная цену деления, мы можем определить массу для каждой буквенной отметки:

• A: Стрелка указывает на 1 деление правее отметки 0,1 кг. Масса равна $0,1 + 1 \cdot 0,05 = 0,15$ кг.
• H: Стрелка указывает на 2 деления правее отметки 0,1 кг. Масса равна $0,1 + 2 \cdot 0,05 = 0,2$ кг.
• D: Стрелка указывает на 2 деления левее отметки 0,6 кг. Масса равна $0,6 - 2 \cdot 0,05 = 0,5$ кг.
• B: Стрелка указывает на 1 деление левее отметки 0,6 кг. Масса равна $0,6 - 1 \cdot 0,05 = 0,55$ кг.
• E: Стрелка указывает на 1 деление правее отметки 0,6 кг. Масса равна $0,6 + 1 \cdot 0,05 = 0,65$ кг.
• G: Стрелка указывает на 3 деления правее отметки 0,6 кг. Масса равна $0,6 + 3 \cdot 0,05 = 0,75$ кг.
• M: Стрелка указывает на 3 деления левее отметки 1 кг. Масса равна $1 - 3 \cdot 0,05 = 0,85$ кг.
• F: Стрелка указывает на 2 деления левее отметки 1 кг. Масса равна $1 - 2 \cdot 0,05 = 0,9$ кг.

Ответ: A = 0,15 кг; H = 0,2 кг; D = 0,5 кг; B = 0,55 кг; E = 0,65 кг; G = 0,75 кг; M = 0,85 кг; F = 0,9 кг.

б)

На рисунке 6.8 изображена шкала медицинского термометра. Единица измерения – градусы Цельсия (°C). Определим цену деления шкалы. Возьмем интервал между двумя соседними оцифрованными отметками, например, 37°C и 38°C. Расстояние между ними составляет 1°C, и оно разделено на 10 маленьких делений.

Цена одного деления (ЦД) равна:

ЦД = $ \frac{38 \text{ °C} - 37 \text{ °C}}{10} = \frac{1 \text{ °C}}{10} = 0,1 \text{ °C} $

Теперь определим температуру для каждой из отметок, на которые указывает ртутный столбик:

• m: Ртутный столбик находится точно на отметке 41°C.
• d: Ртутный столбик находится на 2 деления выше отметки 39°C. Температура равна $39 + 2 \cdot 0,1 = 39,2$ °C.
• n: Ртутный столбик находится на 1 деление ниже отметки 39°C. Температура равна $39 - 1 \cdot 0,1 = 38,9$ °C.
• c: Ртутный столбик находится на 2 деления ниже отметки 38°C. Температура равна $38 - 2 \cdot 0,1 = 37,8$ °C.
• a: Ртутный столбик находится на 3 деления ниже отметки 37°C. Температура равна $37 - 3 \cdot 0,1 = 36,7$ °C.
• b: Ртутный столбик находится на 4 деления ниже отметки 37°C. Температура равна $37 - 4 \cdot 0,1 = 36,6$ °C.
• r: Ртутный столбик находится на 1 деление ниже отметки 36°C. Температура равна $36 - 1 \cdot 0,1 = 35,9$ °C.

Ответ: m = 41°C; d = 39,2°C; n = 38,9°C; c = 37,8°C; a = 36,7°C; b = 36,6°C; r = 35,9°C.