Страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.235 ПИН-код банковской карточки составляется из четырёх цифр. Сколько вариантов кода можно составить?

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – все цифры.

Количество всех цифр = 10. Так как ПИН-код банковской карточки состоит из 4-х цифр, то на первом месте может стоять любая цифра из 10 данных цифр, на втором месте – любая из 10 цифр, на третьем месте – любая из 10 цифр и на четвертом месте – любая из 10 цифр. Значит, для составления кода существует $10·10·10·10=10000$ различных вариантов.

Ответ: 10 000 вариантов.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. ПИН-код представляет собой последовательность из четырёх позиций, каждую из которых нужно заполнить цифрой.

В нашем распоряжении есть 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Так как в условии не сказано об ограничениях, цифры в ПИН-коде могут повторяться.

Рассмотрим каждую позицию в четырёхзначном коде:

• На первой позиции может стоять любая из 10 цифр.
• На второй позиции также может стоять любая из 10 цифр.
• На третьей позиции — снова любая из 10 цифр.
• На четвёртой позиции — любая из 10 цифр.

Чтобы найти общее количество возможных вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$

Данный тип комбинаций называется размещениями с повторениями. Формула для их вычисления: $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов, из которых мы выбираем (в нашем случае 10 цифр), а $k$ — количество позиций (в нашем случае 4).
Применяя формулу, получаем тот же результат:
$\bar{A}_{10}^4 = 10^4 = 10000$

Таким образом, можно составить 10 000 различных вариантов ПИН-кода (от 0000 до 9999).

Ответ: 10000

3.236 Чему равен остаток:

а) 956 : 14;

б) 790 : 23;

в) 4311 : 127?

1)

Oтвет: 4.

2)

Oтвет: 8.

3)

Oтвет: 120.

а) Чтобы найти остаток от деления 956 на 14, выполним деление с остатком. Деление можно представить в виде формулы: $a = bq + r$, где $a$ — делимое (956), $b$ — делитель (14), $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток.
Выполним деление столбиком или подбором:
1. Найдем, сколько раз 14 помещается в 95. $14 \cdot 6 = 84$. $14 \cdot 7 = 98$ (это много). Значит, первая цифра частного — 6.
2. Найдем остаток от этого шага: $95 - 84 = 11$.
3. Сносим следующую цифру делимого (6), получаем число 116.
4. Найдем, сколько раз 14 помещается в 116. $14 \cdot 8 = 112$. $14 \cdot 9 = 126$ (это много). Значит, вторая цифра частного — 8.
5. Найдем финальный остаток: $116 - 112 = 4$.
Неполное частное равно 68, а остаток равен 4.
Проверим: $14 \cdot 68 + 4 = 952 + 4 = 956$.
Ответ: 4

б) Чтобы найти остаток от деления 790 на 23, выполним деление с остатком.
1. Найдем, сколько раз 23 помещается в 79. $23 \cdot 3 = 69$. $23 \cdot 4 = 92$ (много). Первая цифра частного — 3.
2. Остаток: $79 - 69 = 10$.
3. Сносим следующую цифру (0), получаем число 100.
4. Найдем, сколько раз 23 помещается в 100. $23 \cdot 4 = 92$. $23 \cdot 5 = 115$ (много). Вторая цифра частного — 4.
5. Финальный остаток: $100 - 92 = 8$.
Неполное частное равно 34, а остаток равен 8.
Проверим: $23 \cdot 34 + 8 = 782 + 8 = 790$.
Ответ: 8

в) Чтобы найти остаток от деления 4311 на 127, выполним деление с остатком.
1. Найдем, сколько раз 127 помещается в 431. $127 \cdot 3 = 381$. $127 \cdot 4 = 508$ (много). Первая цифра частного — 3.
2. Остаток: $431 - 381 = 50$.
3. Сносим следующую цифру (1), получаем число 501.
4. Найдем, сколько раз 127 помещается в 501. $127 \cdot 3 = 381$. $127 \cdot 4 = 508$ (много). Вторая цифра частного — 3.
5. Финальный остаток: $501 - 381 = 120$.
Неполное частное равно 33, а остаток равен 120.
Проверим: $127 \cdot 33 + 120 = 4191 + 120 = 4311$.
Ответ: 120

3.237 Чему равно делимое, если неполное частное 20, делитель 16, остаток 15?

Делимое - ?
Делитель - 16
Неполное частное - 20
Остаток - 15

$16 · 20 + 15 = 320 + 15 = 335$

Ответ: 335.

Для того чтобы найти делимое, зная делитель, неполное частное и остаток, используется основная формула деления с остатком:
Делимое = (Делитель ? Неполное частное) + Остаток

В виде математического выражения эта формула записывается так:
$a = b \cdot q + r$
где:
$a$ — искомое делимое,
$b$ — делитель,
$q$ — неполное частное,
$r$ — остаток.

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:
Неполное частное ($q$) = 20
Делитель ($b$) = 16
Остаток ($r$) = 15

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения делимого ($a$):
$a = 16 \cdot 20 + 15$

Выполним вычисления по порядку. Сначала выполним умножение:
$16 \cdot 20 = 320$

Затем к полученному произведению прибавим остаток:
$320 + 15 = 335$

Таким образом, делимое равно 335.

Ответ: 335

3.238 Найдите корень уравнения:

а) x : 13 = 246 + 116;

б) 1368 : y = 632 - 575;

в) z • 46 = 916 + 832;

г) (3705 + p) : 59 = 63;

д) 936 : (124 - k) = 8;

е) (150 - m) • 33 = 1683.

а) $x : 13 = 246 + 116$

$x : 13 = 362$
$x = 362 · 13$

$x = 4706$
Ответ: 4706.

б) $1368 : y = 632 - 575$

$1368 : y = 57$
$y = 1368 : 57$

$y = 24$
Ответ: 24.

в) $z · 46 = 916 + 832$

$z · 46 = 1748$
$z = 1748 : 46$

$z = 38$
Ответ: 38.

г) $(3705 + p) : 59 = 63$
$3705 + p = 63 · 59$

$3705 + p = 3717$
$p = 3717 - 3705$

$p = 12$
Ответ: 12

д) $936 : (124 - k) = 8$

$124 - k = 936 : 8$

$124 - k = 117$
$k = 124 - 117$

$k = 7$
Ответ: 7.

е) $(150 - m) · 33 = 1683$
$150 - m = 1683 : 33$

$150 - m = 51$
$m = 150 - 51$

$m = 99$
Ответ: 99.

а) $x : 13 = 246 + 116$
Сначала выполним сложение в правой части уравнения:
$246 + 116 = 362$
Теперь уравнение выглядит так:
$x : 13 = 362$
В этом уравнении $x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$x = 362 \cdot 13$
$x = 4706$
Проверка: $4706 : 13 = 362$.
Ответ: 4706.

б) $1368 : y = 632 - 575$
Сначала выполним вычитание в правой части уравнения:
$632 - 575 = 57$
Теперь уравнение выглядит так:
$1368 : y = 57$
В этом уравнении $y$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$y = 1368 : 57$
$y = 24$
Проверка: $1368 : 24 = 57$.
Ответ: 24.

в) $z \cdot 46 = 916 + 832$
Сначала выполним сложение в правой части уравнения:
$916 + 832 = 1748$
Теперь уравнение выглядит так:
$z \cdot 46 = 1748$
В этом уравнении $z$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$z = 1748 : 46$
$z = 38$
Проверка: $38 \cdot 46 = 1748$.
Ответ: 38.

г) $(3705 + p) : 59 = 63$
В этом уравнении выражение в скобках $(3705 + p)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти его, нужно частное умножить на делитель.
$3705 + p = 63 \cdot 59$
$3705 + p = 3717$
Теперь у нас простое уравнение, где $p$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$p = 3717 - 3705$
$p = 12$
Проверка: $(3705 + 12) : 59 = 3717 : 59 = 63$.
Ответ: 12.

д) $936 : (124 - k) = 8$
В этом уравнении выражение в скобках $(124 - k)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти его, нужно делимое разделить на частное.
$124 - k = 936 : 8$
$124 - k = 117$
Теперь у нас простое уравнение, где $k$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$k = 124 - 117$
$k = 7$
Проверка: $936 : (124 - 7) = 936 : 117 = 8$.
Ответ: 7.

е) $(150 - m) \cdot 33 = 1683$
В этом уравнении выражение в скобках $(150 - m)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, нужно произведение разделить на известный множитель.
$150 - m = 1683 : 33$
$150 - m = 51$
Теперь у нас простое уравнение, где $m$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$m = 150 - 51$
$m = 99$
Проверка: $(150 - 99) \cdot 33 = 51 \cdot 33 = 1683$.
Ответ: 99.

3.239 Найдите массу каждого из одинаковых кочанов капусты на рисунке 3.15, составив уравнение. (Масса гирь дана в килограммах.)

Пусть x кг – масса 1 кочана капусты, тогда 3x кг – масса трёх кочанов капусты.

$3x + 5 = 1 + 5 + 5$
$3x + 5 = 11$
$3x = 11 - 5$
$3x = 6$
$x = 6 : 3$
$x = 2$

Ответ: масса каждого кочана капусты 2 кг.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть масса одного кочана капусты равна $x$ кг. На рисунке изображены весы, находящиеся в равновесии. Это означает, что общая масса на левой чаше равна общей массе на правой чаше.

На левой чаше весов находятся 3 одинаковых кочана капусты и гиря массой 5 кг. Суммарная масса на левой чаше равна $3 \cdot x + 5$ кг.

На правой чаше весов находятся гири массами 1 кг, 5 кг и 5 кг. Суммарная масса на правой чаше равна $1 + 5 + 5 = 11$ кг.

Так как весы находятся в равновесии, мы можем приравнять массы на обеих чашах и составить уравнение: $3x + 5 = 11$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$.

Перенесем 5 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный: $3x = 11 - 5$ $3x = 6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = 6 \div 3$ $x = 2$

Следовательно, масса одного кочана капусты составляет 2 кг.

Ответ: 2 кг.

3.240 Сторона PQ треугольника PQR больше стороны PR на 9 см, но меньше стороны QR на 14 см. Найдите длину каждой стороны треугольника PQR, если его периметр равен 86 см.

Пусть x см - длина стороны PR, тогда (x+9) см - длина стороны PQ, ((x+9)+14) см - длина стороны QR

$x + (x + 9) + \left(\right(x + 9) + 14) = 86$

$x + x + 9 + x + 9 + 14 = 86$

$3x + 18 + 14 = 86$

$3x + 32 = 86$

$3x = 86 - 32$

$3x = 54$

$x = 54 : 3$

$x = 18$

$\mathrm{PR} = 18\text{ см}$

$18 + 9 = 27\text{ см}$ - длина стороны PQ,

$27 + 14 = 41\text{ см}$ - длина стороны QR

Ответ: 18 см, 27 см, 41 см.

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина стороны $PQ$ равна $x$ см.

Из условия известно, что сторона $PQ$ больше стороны $PR$ на 9 см. Следовательно, сторона $PR$ короче стороны $PQ$ на 9 см. Выразим длину стороны $PR$ через $x$:

$PR = PQ - 9 = x - 9$ (см)

Также из условия известно, что сторона $PQ$ меньше стороны $QR$ на 14 см. Следовательно, сторона $QR$ длиннее стороны $PQ$ на 14 см. Выразим длину стороны $QR$ через $x$:

$QR = PQ + 14 = x + 14$ (см)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника $PQR$ равен 86 см. Составим и решим уравнение, подставив выражения для каждой стороны:

$PQ + PR + QR = 86$

$x + (x - 9) + (x + 14) = 86$

$3x + 5 = 86$

$3x = 86 - 5$

$3x = 81$

$x = \frac{81}{3}$

$x = 27$

Таким образом, мы нашли длину стороны $PQ$: она равна 27 см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

• Длина стороны $PR = x - 9 = 27 - 9 = 18$ см.
• Длина стороны $QR = x + 14 = 27 + 14 = 41$ см.

Проверим правильность решения, сложив длины найденных сторон: $27 + 18 + 41 = 86$ см. Периметр совпадает с данным в условии.

Ответ: длина стороны $PQ$ равна 27 см, длина стороны $PR$ равна 18 см, длина стороны $QR$ равна 41 см.

3.241 Найдите длину отрезка MN на рисунке 3.16, если отрезок ВМ равен 15см.

По условию задачи $\mathrm{BM} = 15 \mathrm{см}$
$3y = 15$
$y = 15 : 3$
$y = 5$

$2y = 2 · 5 = 10\left(\text{см}\right)$ - длина BC
$7y = 7 · 5 = 35\left(\text{см}\right)$ - длина CN

$15 + 10 + 35 =$
$= (15 + 35) + 10 =$
$\mathrm{ = 50 + 10 = 60} \left(\mathrm{см}\right)$ - длина MN

Ответ: $60\text{см}$

Для того чтобы найти длину отрезка MN, сначала необходимо определить значение переменной y. В условии задачи сказано, что длина отрезка BM равна 15 см. На рисунке эта же длина, MB, обозначена как $3y$ см. Так как BM и MB — это один и тот же отрезок, мы можем приравнять их длины и составить уравнение:

$3y = 15$

Чтобы найти y, разделим обе части уравнения на 3:

$y = \frac{15}{3} = 5$

Теперь, зная значение y, мы можем найти длину всего отрезка MN. Длина MN складывается из длин его частей: MB, BC и CN.

$MN = MB + BC + CN$

Выразим общую длину через y, используя данные с рисунка:

$MN = 3y + 2y + 7y = 12y$

Подставим найденное значение $y=5$ в это выражение:

$MN = 12 \cdot 5 = 60$ см.

Для проверки можно вычислить длины отдельных отрезков: $MB = 3 \cdot 5 = 15$ см, $BC = 2 \cdot 5 = 10$ см, $CN = 7 \cdot 5 = 35$ см. Их сумма: $15 + 10 + 35 = 60$ см. Вычисления верны.

Ответ: 60 см.

3.242 В 5 «А» учится 28 человек. К Новому году купили 7 коробок пирожных, по 12 штук в каждой. Сколько пирожных получит каждый ученик?

1) $7 · 12 = 7 · (10 + 2) =$
$= 7 · 10 + 7 · 2 =$
$= \mathrm{70 + 14 = 84 (}\mathrm{п}.)\; -\mathrm{всего}$

2) $84 : 28 = 3\text{ (п.)}$

Ответ: 3 пирожых.

Для того чтобы определить, сколько пирожных получит каждый ученик, необходимо сначала найти общее количество всех пирожных, а затем разделить это количество на число учеников в классе.

1. Вычислим общее количество пирожных. Для этого умножим количество коробок на количество пирожных в каждой коробке:

$7 \times 12 = 84$ (пирожных)

Всего было куплено 84 пирожных.

2. Теперь разделим общее количество пирожных на количество учеников в классе, чтобы узнать, сколько пирожных достанется каждому:

$84 \div 28 = 3$ (пирожных)

Ответ: 3 пирожных.

3.243 В России за три первых месяца 2021 г. добыли 124 960 тыс. тонн нефти. За январь добыли 43 200 тыс. тонн, а за январь и февраль - 81 760 тыс. тонн. Сколько тысяч тонн нефти добыли в России за февраль и сколько - за март?

1) $81760 - 43200 = 38560 (\mathrm{тыс}. \mathrm{т})$ - февраль

2) $124960 - 81760 = 43200 (\mathrm{тыс}. \mathrm{т})$ - март

Ответ: 38 560 тыс. т; 43 200 тыс. т.

Для решения задачи выполним два действия.

Сколько тысяч тонн нефти добыли за февраль

Чтобы найти, сколько тысяч тонн нефти было добыто в феврале, необходимо из общего объема добычи за январь и февраль вычесть объем, добытый в январе.

Объем добычи за январь и февраль: $81 760$ тыс. тонн.

Объем добычи за январь: $43 200$ тыс. тонн.

Выполним вычитание:

$81 760 - 43 200 = 38 560$ (тыс. тонн)

Ответ: за февраль добыли 38 560 тысяч тонн нефти.

Сколько тысяч тонн нефти добыли за март

Чтобы найти, сколько тысяч тонн нефти было добыто в марте, нужно из общего объема добычи за первые три месяца (январь, февраль, март) вычесть объем, добытый за первые два месяца (январь и февраль).

Объем добычи за три месяца: $124 960$ тыс. тонн.

Объем добычи за январь и февраль: $81 760$ тыс. тонн.

Выполним вычитание:

$124 960 - 81 760 = 43 200$ (тыс. тонн)

Ответ: за март добыли 43 200 тысяч тонн нефти.

3.244 1) Катер проплыл 2 ч и сломался, не доплыв до места назначения 4 км. С какой скоростью плыл катер до поломки, если планировалось проплыть 34 км?

2) Велосипедист собирался проехать 33 км. Проехав 2 ч, он узнал, что ему осталось проехать 7 км. С какой скоростью двигался велосипедист?

3) В брикете 1 кг мороженого. После того как сделали несколько порций по 150 г, в брикете осталось 250 г. Сколько порций мороженого сделали?

4) Для подготовки к итоговой контрольной работе Ваня ежедневно решал по 7 задач из списка, содержащего 45 задач. Сколько дней готовился Ваня к контрольной работе, если накануне ему оставалось решить 3 задачи?

1)

Пусть $x$ км/ч – скорость катера.

$2x = 34 - 4$
$2x = 30$
$x = 30 : 2$
$x = 15$
Ответ: 15 км/ч

2)

Пусть $x$ км/ч – скорость велосипедиста.

$2x = 33 - 7$
$2x = 26$
$x = 26 : 2$
$x = 13$
Ответ: 13 км/ч

3)

Пусть сделали $x$ порций мороженого.

$150x = 1000 - 250$
$150x = 750$
$x = 750 : 150$
$x = 5$
Ответ: 5 порций

4)

Пусть $x$ дней Ваня готовился к контрольной работе.

$7x = 45 - 3$
$7x = 42$
$x = 42 : 7$
$x = 6$
Ответ: 6 дней

1) Сначала найдем расстояние, которое катер успел проплыть до поломки. Для этого из всего запланированного расстояния вычтем то, что осталось проплыть до места назначения:
$34 \text{ км} - 4 \text{ км} = 30 \text{ км}$
Это расстояние катер проплыл за 2 часа. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время ($v = S/t$):
$v = 30 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 15 \text{ км/ч}$
Ответ: 15 км/ч.

2) Вычислим расстояние, которое велосипедист проехал за 2 часа. Для этого из общего расстояния вычтем оставшееся:
$33 \text{ км} - 7 \text{ км} = 26 \text{ км}$
Теперь найдем скорость велосипедиста, разделив пройденное им расстояние на время в пути:
$v = 26 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 13 \text{ км/ч}$
Ответ: 13 км/ч.

3) Сначала переведем вес брикета мороженого в граммы, чтобы все единицы измерения были одинаковыми: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Теперь найдем, сколько всего граммов мороженого было использовано на порции. Для этого из начального веса вычтем вес остатка:
$1000 \text{ г} - 250 \text{ г} = 750 \text{ г}$
Чтобы узнать, сколько порций было сделано, разделим вес использованного мороженого на вес одной порции:
$750 \text{ г} / 150 \text{ г} = 5$
Ответ: 5 порций.

4) Определим, сколько задач Ваня уже решил. Для этого из общего количества задач в списке вычтем количество задач, которые ему осталось решить:
$45 \text{ задач} - 3 \text{ задачи} = 42 \text{ задачи}$
Так как Ваня решал по 7 задач ежедневно, найдем количество дней, разделив общее число решенных задач на количество задач в день:
$42 \text{ задачи} / 7 \text{ задач/день} = 6 \text{ дней}$
Ответ: 6 дней.

3.245 Выполните действия:

1) 953 680 : 5 : 14 : 131;

2) 125 • (9720 : 81 : 6);

3) 335 920 : 95 : 17 • 125;

4) 138 600 : 56 : 25 : 9.

1) $\mathrm{953\; 680} \stackrel{1}{:} 5 \stackrel{2}{:} 14 \stackrel{3}{:} 731=104$

1)

2)

3)

2) $125 \stackrel{3}{·} (9720 \stackrel{1}{:} 81 \stackrel{2}{:} 6)=250$

1)

2)

3)

3) $\mathrm{335\; 920} \stackrel{1}{:} 95 \stackrel{2}{:} 17 \stackrel{3}{·} 125=2600$

1)

2)

3)

4) $\mathrm{138\; 600} \stackrel{1}{:} 56 \stackrel{2}{:} 25 \stackrel{3}{:} 9=11$

1)

2)

1) $953\,680 : 5 : 14 : 131$

Для решения этого примера необходимо выполнить действия деления последовательно, слева направо.
1. Сначала разделим $953\,680$ на $5$:
$953\,680 : 5 = 190\,736$
2. Затем полученный результат разделим на $14$:
$190\,736 : 14 = 13\,624$
3. И наконец, разделим результат второго действия на $131$:
$13\,624 : 131 = 104$

Ответ: $104$

2) $125 \cdot (9720 : 81 : 6)$

Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем значение выражения в скобках.
1. Выполняем первое действие в скобках – деление $9720$ на $81$:
$9720 : 81 = 120$
2. Выполняем второе действие в скобках – делим результат на $6$:
$120 : 6 = 20$
3. Теперь умножаем число $125$ на результат, полученный в скобках:
$125 \cdot 20 = 2500$

Ответ: $2500$

3) $335\,920 : 95 : 17 \cdot 125$

В этом выражении действия деления и умножения выполняются последовательно слева направо.
1. Первое действие – деление $335\,920$ на $95$:
$335\,920 : 95 = 3536$
2. Второе действие – деление результата на $17$:
$3536 : 17 = 208$
3. Третье действие – умножение результата на $125$:
$208 \cdot 125 = 26\,000$

Ответ: $26\,000$

4) $138\,600 : 56 : 25 : 9$

Выполняем последовательное деление слева направо.
1. Первое действие – деление $138\,600$ на $56$:
$138\,600 : 56 = 2475$
2. Второе действие – деление результата на $25$:
$2475 : 25 = 99$
3. Третье действие – деление результата на $9$:
$99 : 9 = 11$

Ответ: $11$

3.246 Представьте в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения:

а) 12 • (70 + b);

б) 38 • (21 - b);

в) (x - 14) • 19;

г) (16 + z) • 13.

a) $12 · (70 + b) =$
$= 12 · 70 + 12b =$
$= 840 + 12b$

б) $38 · (21 - b) =$
$= 38 · 21 - 38\mathrm{b} =$
$= 798 - 38\mathrm{b}$

в) $(x - 14) · 19 =$
$= 19x - 14 · 19 =$
$= 19x - 266$

г) $(16 + z) · 13 =$
$= 16 · 13 + 13z =$
$= 208 + 13z$

а) Чтобы представить выражение $12 \cdot (70 + b)$ в виде суммы, мы используем распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

В нашем случае, $a = 12$, первым слагаемым в скобках является $70$, а вторым — $b$. Применяя свойство, мы умножаем $12$ на каждый член внутри скобок:

$12 \cdot (70 + b) = 12 \cdot 70 + 12 \cdot b$

Теперь вычислим произведение чисел:

$12 \cdot 70 = 840$

Подставив результат в выражение, получаем итоговую сумму:

$840 + 12b$

Ответ: $840 + 12b$

б) Для выражения $38 \cdot (21 - b)$ мы применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

Здесь множитель перед скобками $a = 38$, уменьшаемое в скобках $b = 21$, а вычитаемое $c = b$. Раскроем скобки, умножив $38$ на каждый член внутри них:

$38 \cdot (21 - b) = 38 \cdot 21 - 38 \cdot b$

Вычислим произведение чисел:

$38 \cdot 21 = 798$

Таким образом, мы получаем итоговую разность:

$798 - 38b$

Ответ: $798 - 38b$

в) Выражение $(x - 14) \cdot 19$ преобразуется в разность с помощью распределительного свойства умножения: $(b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a$.

В этом примере уменьшаемое $b = x$, вычитаемое $c = 14$, а множитель $a = 19$. Умножим каждый член в скобках на $19$:

$(x - 14) \cdot 19 = x \cdot 19 - 14 \cdot 19$

Вычислим произведение чисел:

$14 \cdot 19 = 266$

Запишем итоговое выражение в стандартном виде (коэффициент перед переменной):

$19x - 266$

Ответ: $19x - 266$

г) Для выражения $(16 + z) \cdot 13$ мы используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$.

Здесь первое слагаемое $b = 16$, второе слагаемое $c = z$, а множитель $a = 13$. Умножим каждый член в скобках на $13$:

$(16 + z) \cdot 13 = 16 \cdot 13 + z \cdot 13$

Вычислим произведение чисел:

$16 \cdot 13 = 208$

Запишем итоговое выражение в виде суммы:

$208 + 13z$

Ответ: $208 + 13z$

3.247 Вычислите, применив распределительное свойство умножения:

а) (25 + 250) • 4;

б) 6 • (13 + 150);

в) 8 • 29 + 8 • 21;

г) 63 • 237 + 63 • 763.

a) $(25 + 250) · 4 =$
$= 25 · 4 + 250 · 4 =$
$= 100 + 1000 = 1100$

б) $6 · (13 + 150) =$
$= 6 · 13 + 6 · 150 =$
$= 78 + 900 = 978$

в) $8 · 29 + 8 · 21 =$
$= 8 · (29 + 21) =$
$= 8 · 50 = 400$

г) $63 · 237 + 63 · 763 =$
$= 63 · (237 + 763) =$
$= 63 · 1000 = 63000$

а) Чтобы вычислить выражение $(25 + 250) \cdot 4$, применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на 4:
$(25 + 250) \cdot 4 = 25 \cdot 4 + 250 \cdot 4$
Теперь вычислим каждое произведение по отдельности:
$25 \cdot 4 = 100$
$250 \cdot 4 = 1000$
Сложим полученные результаты:
$100 + 1000 = 1100$
Ответ: 1100

б) Для вычисления выражения $6 \cdot (13 + 150)$ применим распределительное свойство умножения $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Умножим 6 на каждый член в скобках:
$6 \cdot (13 + 150) = 6 \cdot 13 + 6 \cdot 150$
Вычислим каждое произведение:
$6 \cdot 13 = 78$
$6 \cdot 150 = 900$
Сложим полученные результаты:
$78 + 900 = 978$
Ответ: 978

в) В выражении $8 \cdot 29 + 8 \cdot 21$ мы видим сумму двух произведений с общим множителем. Применим распределительное свойство в обратном порядке, вынеся общий множитель за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
Общий множитель здесь – это 8.
$8 \cdot 29 + 8 \cdot 21 = 8 \cdot (29 + 21)$
Сначала выполним действие в скобках:
$29 + 21 = 50$
Теперь умножим общий множитель на полученную сумму:
$8 \cdot 50 = 400$
Ответ: 400

г) В выражении $63 \cdot 237 + 63 \cdot 763$ также применим распределительное свойство, вынеся общий множитель за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
Общий множитель здесь – 63.
$63 \cdot 237 + 63 \cdot 763 = 63 \cdot (237 + 763)$
Выполним сложение в скобках:
$237 + 763 = 1000$
Теперь умножим 63 на результат сложения:
$63 \cdot 1000 = 63000$
Ответ: 63000

3.248 Вычислите наиболее удобным способом:

а) (40 - 3) • 5;

б) 6 • (80 - 2);

в) 95 • 317 - 85 • 317;

г) 87 • 316 - 87 • 306.

a) $(40- 3) · 5 = 40 · 5 - 3 · 5 =$
$= 200 - 15=185$

б) $6· (80- 2)= 6 · 80- 6 · 2=$
$= 480 - 12 = 468$

в) $95 · 317- 85 · 317=$
$= 317 · (95 - 85) =$
$= 317 · 10= 3170$

г) $87 · 316 - 87 · 306=$
$= 87· (316- 306) =$
$= 87 · 10= 870$

а) Для вычисления выражения $(40 - 3) \cdot 5$ наиболее удобным способом является применение распределительного свойства умножения относительно вычитания, которое имеет вид $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Применив это свойство, мы можем легко выполнить вычисления в уме:

$(40 - 3) \cdot 5 = 40 \cdot 5 - 3 \cdot 5 = 200 - 15 = 185$.

Ответ: 185

б) Аналогично, для вычисления выражения $6 \cdot (80 - 2)$ используем распределительное свойство $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$. Это позволяет упростить вычисления:

$6 \cdot (80 - 2) = 6 \cdot 80 - 6 \cdot 2 = 480 - 12 = 468$.

Ответ: 468

в) В выражении $95 \cdot 317 - 85 \cdot 317$ наиболее удобным является вынесение общего множителя $317$ за скобки. Это обратное применение распределительного свойства: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. Это значительно упрощает расчеты:

$95 \cdot 317 - 85 \cdot 317 = (95 - 85) \cdot 317 = 10 \cdot 317 = 3170$.

Ответ: 3170

г) В выражении $87 \cdot 316 - 87 \cdot 306$ также выносим общий множитель $87$ за скобки по правилу $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. Это позволяет быстро найти результат:

$87 \cdot 316 - 87 \cdot 306 = 87 \cdot (316 - 306) = 87 \cdot 10 = 870$.

Ответ: 870