Страница 105, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.249 Упростите выражение:

а) 5b + 85b;

б) 64c - 49c;

в) 499k + k;

г) 102x - x.

а) $5b + 85b = \left(5 + 85\right)b = 90b$
б) $64c - 49c = \left(64 - 49\right)c = 15c$
в) $499k + k = \left(499 + 1\right)k = 500k$
г) $102x - x = \left(102 - 1\right)x = 101x$

а) Чтобы упростить выражение $5b + 85b$, нужно сложить коэффициенты при одинаковой переменной $b$. Это называется приведением подобных слагаемых. Для этого выносим общий множитель $b$ за скобки:

$5b + 85b = (5 + 85)b$

Теперь выполним сложение чисел в скобках:

$5 + 85 = 90$

Подставив результат обратно в выражение, получаем:

$(5 + 85)b = 90b$

Ответ: $90b$.

б) Чтобы упростить выражение $64c - 49c$, нужно выполнить вычитание подобных слагаемых. Подобными слагаемыми здесь являются $64c$ и $49c$, так как у них одинаковая буквенная часть $c$. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$64c - 49c = (64 - 49)c$

Выполним вычитание чисел в скобках:

$64 - 49 = 15$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$(64 - 49)c = 15c$

Ответ: $15c$.

в) Чтобы упростить выражение $499k + k$, нужно привести подобные слагаемые. Важно помнить, что слагаемое $k$ имеет коэффициент 1, то есть его можно записать как $1k$. Теперь сложим коэффициенты при переменной $k$:

$499k + k = 499k + 1k = (499 + 1)k$

Выполним сложение в скобках:

$499 + 1 = 500$

В результате получаем упрощенное выражение:

$(499 + 1)k = 500k$

Ответ: $500k$.

г) Чтобы упростить выражение $102x - x$, приведем подобные слагаемые. Слагаемое $x$ имеет подразумеваемый коэффициент 1, то есть $x = 1x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$102x - x = 102x - 1x = (102 - 1)x$

Выполним вычитание в скобках:

$102 - 1 = 101$

Следовательно, итоговое выражение имеет вид:

$(102 - 1)x = 101x$

Ответ: $101x$.

3.250 Чему равно значение выражения:

а) $43a + 36a + 64a + 57a =$
$= (43 + 36 + 64 + 57)a =$
$= \left(\right(43 + 57) + (36 + 64\left)\right)a =$
$= (100 + 100)a = 200a$

при $a = 56$
$200 · 56 = 11200$

б) $134p - 68p - 34p =$
$= (134 - 68 - 34)p =$
$= \left(\right(134 - 34) - 68)p =$
$= (100 - 68)p = 32p$

при $p = 12$

$32 · 12 = 32 · (10 + 2) =$
$= 32 · 10 + 32 · 2 =$
$= 320 + 64 = 384$

а) Чтобы найти значение выражения $43a + 36a + 64a + 57a$ при $a = 56$, сначала упростим его. Для этого сложим коэффициенты при переменной $a$ (приведем подобные слагаемые):

$43a + 36a + 64a + 57a = (43 + 36 + 64 + 57)a$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые в скобках:

$(43 + 57) + (36 + 64) = 100 + 100 = 200$

Таким образом, исходное выражение равно $200a$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 56$:

$200 \cdot 56 = 11200$

Ответ: 11200

б) Чтобы найти значение выражения $134p - 68p - 34p$ при $p = 12$, сначала упростим его, выполнив действия с коэффициентами при переменной $p$:

$134p - 68p - 34p = (134 - 68 - 34)p$

Вычислим значение в скобках:

$134 - 68 - 34 = 66 - 34 = 32$

Таким образом, исходное выражение равно $32p$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $p = 12$:

$32 \cdot 12 = 384$

Ответ: 384

3.251 Найдите корень уравнения:

а) 18x + 23x = 697;

б) 72y - 25y = 611;

в) 59z - z = 348;

г) 103t - 5t = 1960.

a) $18x + 23x = 697$
$(18 + 23)x = 697$
$41x = 697$
$x = 697 : 41$

$x = 17$
Ответ: 17.

б) $72y - 25y = 611$
$(72 - 25)y = 611$
$47y = 611$
$y = 611 : 47$

$y = 13$
Ответ: 13.

в) $59z - z = 348$
$(59 - 1)z = 348$
$58z = 348$
$z = 348 : 58$

$z = 6$
Ответ: 6.

2) $103t - 5t = 1960$
$(103 - 5)t = 1960$
$98t = 1960$
$t = 1960 : 98$

$t = 20$
Ответ: 20.

а) $18x + 23x = 697$
Чтобы решить это уравнение, сначала приведем подобные слагаемые в левой части, сложив коэффициенты при переменной $x$:
$(18 + 23)x = 697$
$41x = 697$
Теперь, чтобы найти корень $x$, разделим обе части уравнения на 41:
$x = \frac{697}{41}$
$x = 17$
Ответ: 17.

б) $72y - 25y = 611$
Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание подобных слагаемых:
$(72 - 25)y = 611$
$47y = 611$
Чтобы найти корень $y$, разделим обе части уравнения на 47:
$y = \frac{611}{47}$
$y = 13$
Ответ: 13.

в) $59z - z = 348$
Упростим левую часть уравнения. Следует помнить, что выражение $z$ эквивалентно $1z$:
$(59 - 1)z = 348$
$58z = 348$
Теперь разделим обе части на 58, чтобы найти значение $z$:
$z = \frac{348}{58}$
$z = 6$
Ответ: 6.

г) $103t - 5t = 1960$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(103 - 5)t = 1960$
$98t = 1960$
Разделим обе части уравнения на 98, чтобы найти корень $t$:
$t = \frac{1960}{98}$
$t = 20$
Ответ: 20.

3.252 Найдите значение b, при котором разность 35b и 15b равна 680.

$35b - 15b = 680$
$(35 - 15)b = 680$
$20b = 680$
$b = 680 : 20$
$b = 34$
Ответ: 34.

Согласно условию задачи, разность выражений $35b$ и $15b$ равна $680$. Чтобы найти значение $b$, необходимо составить и решить уравнение.

Запишем уравнение, соответствующее условию:

$35b - 15b = 680$

Упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание подобных слагаемых. Для этого вычтем коэффициенты при переменной $b$:

$(35 - 15)b = 680$

$20b = 680$

Теперь мы получили простое линейное уравнение. Чтобы найти $b$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $b$, то есть на $20$:

$b = \frac{680}{20}$

Выполним деление:

$b = 34$

Таким образом, искомое значение $b$ равно 34.

Ответ: 34

3.253 Для ремонта участка железной дороги длиной 54 км необходимы рельсы, масса одного метра которых равна 65 кг. Сколько необходимо платформ для перевозки рельсов, если па платформу можно загрузить 60 т рельсов?

1) Так как рельсы идут в 2 ряда, то $54 · 2 = 108 \text{км}$ - длина всех рельсов.

$108 \text{км} = 108 000 \text{м}$

2)

$108 000 · 65 = 7020 000 \text{кг}$

7 020 000 кг = 7020 т - масса всех рельсов

3)

$7020:60 = 117 \left(\mathrm{пл}\mathrm{.}\right)$

Ответ: 117 платформ.

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислить общую длину требуемых рельсов, их общую массу и, наконец, количество платформ, которое понадобится для их перевозки.

1. Найдем общую длину рельсов.
Железнодорожный путь состоит из двух параллельных рельсовых нитей. Следовательно, для ремонта участка длиной 54 км потребуется вдвое больше рельсов по длине:

$L_{общая} = 54 \text{ км} \times 2 = 108 \text{ км}$

Поскольку масса дана для одного метра рельса, переведем общую длину из километров в метры (в 1 км содержится 1000 м):

$108 \text{ км} = 108 \times 1000 \text{ м} = 108000 \text{ м}$

2. Вычислим общую массу всех рельсов.
Масса одного метра рельса составляет 65 кг. Умножим общую длину рельсов на массу одного метра, чтобы найти их общую массу:

$M_{общая} = 108000 \text{ м} \times 65 \frac{\text{кг}}{\text{м}} = 7020000 \text{ кг}$

3. Переведем массу в тонны.
Грузоподъемность одной платформы указана в тоннах, поэтому необходимо перевести общую массу рельсов в тонны. Учитывая, что 1 тонна = 1000 кг:

$M_{общая} = \frac{7020000 \text{ кг}}{1000} = 7020 \text{ т}$

4. Определим необходимое количество платформ.
Каждая платформа может перевезти 60 т рельсов. Чтобы найти, сколько платформ потребуется, разделим общую массу рельсов на грузоподъемность одной платформы:

$N_{платформ} = \frac{7020 \text{ т}}{60 \text{ т}} = 117$

Ответ: для перевозки рельсов необходимо 117 платформ.

3.254 Когда из первой корзины переложили во вторую 5 грибов, то грибов в обеих корзинах стало поровну. Сколько грибов было во второй корзине, если в первой корзине был 41 гриб?

1) $41 - 5 = 36$ (гр.) - стало в I корзине
2) $36 - 5 = 31$ (гр.) - было во II корзине
Ответ: 31 гриб.

Определим, сколько грибов стало в первой корзине после того, как из нее взяли 5 грибов. Изначально в ней был 41 гриб.

$41 - 5 = 36$ (грибов)

По условию, после этого в обеих корзинах грибов стало поровну. Следовательно, во второй корзине тоже стало 36 грибов.

Это количество (36 грибов) получилось во второй корзине после того, как в нее добавили 5 грибов. Чтобы узнать, сколько грибов было во второй корзине изначально, нужно из 36 вычесть 5.

$36 - 5 = 31$ (гриб)

Таким образом, изначально во второй корзине был 31 гриб.

Проверка:

Начальное состояние: первая корзина — 41 гриб, вторая корзина — 31 гриб.

После перемещения 5 грибов:

В первой корзине: $41 - 5 = 36$ грибов.

Во второй корзине: $31 + 5 = 36$ грибов.

В обеих корзинах стало по 36 грибов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 31 гриб.

3.255 В День города в спортивных соревнованиях приняло участие 1200 школьников, причём мальчиков было в 2 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?

Пусть x девочек участвовало в спортивных соревнованиях, тогда мальчиков участвовало 2x человек.

$x + 2x = 1200$
$(1 + 2)x = 1200$
$3x = 1200$
$x = 1200 : 3$
$x = 400$
$400 · 2 = 800$ (м.)

Ответ: 400 девочек и 800 мальчиков.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество девочек, которые участвовали в соревнованиях.

Согласно условию, мальчиков было в 2 раза больше, чем девочек. Следовательно, количество мальчиков можно выразить как $2x$.

Общее количество школьников, принявших участие в соревнованиях, равно 1200. Это сумма количества мальчиков и девочек. Составим и решим уравнение:

$x + 2x = 1200$

Сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$3x = 1200$

Теперь найдём значение $x$ (количество девочек), разделив обе части уравнения на 3:

$x = 1200 / 3$

$x = 400$

Таким образом, в соревнованиях участвовало 400 девочек.

Чтобы найти количество мальчиков, нужно количество девочек умножить на 2:

$2 \cdot 400 = 800$

Следовательно, в соревнованиях участвовало 800 мальчиков.

Проверим: $400$ (девочки) + $800$ (мальчики) = $1200$ (всего школьников). Решение верное.

Ответ: в соревнованиях участвовало 800 мальчиков и 400 девочек.

3.256 Площадь комнаты в 4 раза больше площади кухни. Найдите площадь комнаты, если она больше площади кухни на 24 квадратных метра.

$4x - x = 24$
$(4 - 1) · x = 24$
$3x = 24$
$x = 24 : 3$
$x = 8$

8 · 4 = 32 (кв. м) - площадь комнаты

Ответ: 32 кв. метра.

Для решения задачи составим систему уравнений. Обозначим площадь комнаты как $S_{к}$, а площадь кухни как $S_{кух}$.

Из первого условия задачи известно, что площадь комнаты в 4 раза больше площади кухни. Это можно записать в виде формулы:
$S_{к} = 4 \cdot S_{кух}$

Из второго условия известно, что площадь комнаты больше площади кухни на 24 квадратных метра. Это можно записать в виде другой формулы:
$S_{к} = S_{кух} + 24$

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$4 \cdot S_{кух} = S_{кух} + 24$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти площадь кухни. Перенесем $S_{кух}$ в левую часть уравнения:
$4 \cdot S_{кух} - S_{кух} = 24$
$3 \cdot S_{кух} = 24$
$S_{кух} = \frac{24}{3}$
$S_{кух} = 8$

Итак, площадь кухни составляет 8 квадратных метров.

Чтобы найти площадь комнаты, подставим найденное значение площади кухни в любое из первоначальных уравнений. Например, во второе:
$S_{к} = 8 + 24$
$S_{к} = 32$

Таким образом, площадь комнаты составляет 32 квадратных метра.

Ответ: 32 квадратных метра.

3.257 В трёх больших и четырёх маленьких бидонах 160 л молока. Сколько молока входит в большой бидон, если его объём в 4 раза больше объёма маленького?

Пусть х л – объём маленького бидона, 4х л – объём большого бидона.

$4x · 3 + 4x = 160$
$x · (4 · 3 + 4) = 160$
$16x = 160$
$x = 160 : 16$
$x = 10$
$\mathrm{4 · 10 = 40 (}\mathrm{л})$

Ответ: 40 л.

Для решения этой задачи составим и решим систему уравнений.

Пусть $x$ — это объём маленького бидона в литрах, а $y$ — объём большого бидона в литрах.

Из условия задачи мы знаем, что в трёх больших и четырёх маленьких бидонах всего 160 литров молока. Это можно записать в виде уравнения:
$3y + 4x = 160$

Также нам известно, что объём большого бидона в 4 раза больше объёма маленького. Это даёт нам второе уравнение:
$y = 4x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} 3y + 4x = 160 \\ y = 4x \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое, чтобы найти объём маленького бидона ($x$):
$3(4x) + 4x = 160$

Решим полученное уравнение:
$12x + 4x = 160$
$16x = 160$
$x = \frac{160}{16}$
$x = 10$

Таким образом, объём маленького бидона составляет 10 литров.

Теперь найдём объём большого бидона ($y$), подставив найденное значение $x$ во второе уравнение:
$y = 4x = 4 \cdot 10 = 40$

Следовательно, в большой бидон входит 40 литров молока.

Ответ: в большой бидон входит 40 л молока.

3.258 При варке сиропа для вишнёвого компота на 7 частей воды берут 2 части сахара (по массе). Сколько сахара потребовалось для приготовления компота, если сахара пошло на 4 кг 500 г меньше, чем воды?

$4\mathrm{кг}500\mathrm{г} = 4500\mathrm{г}$
$7x - 2x = 4500$
$\left(7 - 2\right)x = 4500$
$5x = 4500$
$x = 4500 : 5$
$x = 900$
$900 · 2 = 1800\left(\mathrm{г}\right)$ - сахара
$1800\mathrm{г} = 1\mathrm{кг}800\mathrm{г}$

Ответ: 1 кг 800 г.

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса одной части составляет $x$ граммов. Согласно условию, для приготовления сиропа на 7 частей воды берут 2 части сахара. Таким образом, можно выразить массу воды и сахара через $x$:

Масса сахара: $2x$ г.

Масса воды: $7x$ г.

В условии сказано, что сахара пошло на 4 кг 500 г меньше, чем воды. Это значит, что разница между массой воды и массой сахара равна 4 кг 500 г. Прежде чем составить уравнение, переведем эту массу в граммы:

4 кг 500 г = $4 \times 1000$ г + 500 г = 4500 г.

Теперь составим и решим уравнение, исходя из того, что разница масс составляет 4500 г:

$7x - 2x = 4500$

Упростим левую часть уравнения:

$5x = 4500$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = 4500 \div 5$

$x = 900$

Мы нашли, что масса одной части составляет 900 г.

Вопрос задачи — сколько сахара потребовалось для приготовления компота. Масса сахара составляет $2x$. Подставим найденное значение $x$:

Масса сахара = $2 \times 900 = 1800$ г.

Переведем полученное значение в килограммы и граммы:

1800 г = 1 кг 800 г.

Ответ: для приготовления компота потребовалось 1 кг 800 г сахара.

3.259 Чтобы приготовить раствор для мыльных пузырей, берут 40 частей воды, 12 частей жидкости для мытья посуды и 2 части сахара или глицерина (по объёму). Сколько получится раствора, если для его приготовления потребуется на 50 мл жидкости для мытья посуды больше, чем сахара?

$12x - 2x = 50$
$(12 - 2)x = 50$
$10x = 50$
$x = 50 : 10$
$x = 5$

$40 · 5 = 200$ (мл) - вода;
$12 · 5 = 60$ (мл) - жидкость для мытья посуды;
$2 · 5 = 10$ (мл) - сахара;

$200 + 60 + 10 = 270\left(\mathrm{мл}\right).$

Ответ: 270 мл.

Для решения задачи обозначим объем одной части раствора через $x$ мл. Согласно рецепту, для приготовления раствора необходимо:

• 40 частей воды, то есть $40x$ мл;
• 12 частей жидкости для мытья посуды, то есть $12x$ мл;
• 2 части сахара, то есть $2x$ мл.

По условию задачи, объем жидкости для мытья посуды на 50 мл больше объема сахара. На основе этого составим и решим уравнение:

$12x - 2x = 50$

$10x = 50$

$x = 50 / 10$

$x = 5$

Таким образом, объем одной части составляет 5 мл.

Теперь найдем общий объем всего раствора. Сначала определим общее количество частей в растворе:

$40 + 12 + 2 = 54$ (части)

Чтобы найти итоговый объем раствора, умножим общее количество частей на объем одной части:

$54 * 5 = 270$ (мл)

Проверим результат, вычислив объем каждого компонента отдельно:

• Вода: $40 * 5 = 200$ мл
• Жидкость для мытья посуды: $12 * 5 = 60$ мл
• Сахар: $2 * 5 = 10$ мл

Разница между объемом жидкости для мытья посуды и сахара составляет $60 - 10 = 50$ мл, что соответствует условию.Суммарный объем раствора: $200 + 60 + 10 = 270$ мл.

Ответ: 270 мл.

3.260 С двух рядов яблонь собрали 2250 кг яблок. Сколько килограммов яблок собрали с каждого ряда, если со второго ряда собрали на 150 кг меньше, чем с первого?

Пусть x кг яблок собрали со II ряда, тогда (x+150) кг собрали с I ряда.

$x + \left(x + 150\right) = 2250$
$x + x + 150 = 2250$
$2x = 2250 - 150$
$2x = 2100$
$x = 2100 : 2$
$x = 1050$

1050 + 150 = 1200 (кг) - с I ряда
Ответ: 1050 кг и 1200 кг

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения, как предложено в таблице к задаче. Обозначим массу яблок, собранных со второго ряда, за $x$ кг.

Из условия известно, что со второго ряда собрали на 150 кг меньше, чем с первого. Это означает, что с первого ряда собрали на 150 кг больше, чем со второго. Следовательно, масса яблок, собранных с первого ряда, составляет $(x + 150)$ кг.

Общая масса яблок с двух рядов равна 2250 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массу яблок с обоих рядов:

$(x + 150) + x = 2250$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Сначала упростим левую часть уравнения, сложив переменные:

$2x + 150 = 2250$

2. Перенесем число 150 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x = 2250 - 150$

$2x = 2100$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{2100}{2}$

$x = 1050$

Таким образом, со второго ряда собрали 1050 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок собрали с первого ряда, подставив найденное значение $x$ в выражение для первого ряда:

$x + 150 = 1050 + 150 = 1200$

С первого ряда собрали 1200 кг яблок.

Ответ: с первого ряда собрали 1200 кг яблок, а со второго ряда — 1050 кг яблок.

?

Как выполняют сложение и вычитание десятичных дробей столбиком?

Чтобы выполнить сложение или вычитание десятичных дробей столбиком, необходимо следовать определённому алгоритму:
1. Уравнять количество знаков после запятой у всех чисел, которые участвуют в операции. Для этого к дробям с меньшим количеством знаков после запятой дописывают справа нули. Например, чтобы сложить $15,2$ и $3,456$, число $15,2$ представляют как $15,200$.
2. Записать дроби друг под другом так, чтобы запятая одного числа находилась строго под запятой другого. В этом случае одинаковые разряды (единицы, десятые, сотые и т.д.) окажутся в одном столбце.
3. Выполнить сложение или вычитание поразрядно, как с обычными натуральными числами, не обращая внимания на запятую.
4. В полученном результате (сумме или разности) поставить запятую в том же столбце, где она стоит в исходных числах.

Пример на сложение: $12,85 + 7,3$
Уравниваем количество знаков: $7,3$ превращается в $7,30$. Записываем и считаем столбиком:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 2 & , & 8 & 5 \\+ & & 7 & , & 3 & 0 \\\hline & 2 & 0 & , & 1 & 5 \\\end{array}$

Пример на вычитание: $41,5 - 9,72$
Уравниваем количество знаков: $41,5$ превращается в $41,50$. Записываем и считаем столбиком:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 4 & 1 & , & 5 & 0 \\- & & 9 & , & 7 & 2 \\\hline & 3 & 1 & , & 7 & 8 \\\end{array}$

Ответ: Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби столбиком, их записывают так, чтобы запятая находилась под запятой, при необходимости уравнивая число знаков после запятой с помощью нулей. Затем выполняют действие как с натуральными числами, а в ответе ставят запятую под запятыми.

Назовите шесть первых разрядов после запятой в десятичных дробях.

Разряды в дробной части десятичной дроби (после запятой) называются следующим образом, по порядку удаления от запятой:
1-й разряд – десятые (одна десятая, $0,1$).
2-й разряд – сотые (одна сотая, $0,01$).
3-й разряд – тысячные (одна тысячная, $0,001$).
4-й разряд – десятитысячные (одна десятитысячная, $0,0001$).
5-й разряд – стотысячные (одна стотысячная, $0,00001$).
6-й разряд – миллионные (одна миллионная, $0,000001$).

Ответ: Десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные, миллионные.

Как поразрядно сравнивают десятичные дроби?

Поразрядное сравнение десятичных дробей происходит пошагово:
1. Сначала сравниваются целые части дробей (числа, стоящие слева от запятой). Та дробь будет больше, у которой целая часть больше. Например, $15,3 > 14,999$, так как $15 > 14$.
2. Если целые части дробей равны, то переходят к сравнению их дробных частей. Сравнение идет поразрядно слева направо: сначала сравнивают цифры в разряде десятых, затем — в разряде сотых, и так далее.
3. Сравнение останавливается на первом же разряде, в котором цифры оказались различными. Большей будет та дробь, у которой цифра в этом разряде больше. Например, в дробях $2,58$ и $2,61$ целые части равны, а в разряде десятых $5 < 6$, следовательно $2,58 < 2,61$.
4. Если дробные части имеют разное количество цифр, то у дроби с меньшим количеством знаков после запятой можно мысленно (или письменно) дописать справа нули, чтобы уравнять их длину. Например, чтобы сравнить $0,5$ и $0,501$, представляем $0,5$ как $0,500$. Теперь сравниваем тысячные: $0 < 1$, значит $0,5 < 0,501$.

Ответ: Сначала сравнивают целые части дробей. Если они равны, то поочередно сравнивают цифры в разрядах после запятой (десятые, сотые и т.д.), пока не встретится разряд с разными цифрами. Большей будет та дробь, у которой цифра в этом разряде больше.

Сколько единиц в каждом разряде дробей 2,63 и 507,0503?

Разберем состав каждой дроби по разрядам:

Для дроби $2,63$:
• В разряде единиц (до запятой) стоит цифра 2, значит в этом разряде 2 единицы.
• В разряде десятых (первая цифра после запятой) стоит цифра 6, значит в этом разряде 6 единиц.
• В разряде сотых (вторая цифра после запятой) стоит цифра 3, значит в этом разряде 3 единицы.

Для дроби $507,0503$:
• В разряде сотен стоит цифра 5, значит в этом разряде 5 единиц.
• В разряде десятков стоит цифра 0, значит в этом разряде 0 единиц.
• В разряде единиц стоит цифра 7, значит в этом разряде 7 единиц.
• В разряде десятых стоит цифра 0, значит в этом разряде 0 единиц.
• В разряде сотых стоит цифра 5, значит в этом разряде 5 единиц.
• В разряде тысячных стоит цифра 0, значит в этом разряде 0 единиц.
• В разряде десятитысячных стоит цифра 3, значит в этом разряде 3 единицы.

Ответ: В дроби $2,63$: 2 единицы, 6 десятых, 3 сотых. В дроби $507,0503$: 5 сотен, 0 десятков, 7 единиц, 0 десятых, 5 сотых, 0 тысячных, 3 десятитысячных.

6.72 Грузоподъёмность автомобиля «Газель» 1,5 т, а автомобиля ЗИЛ «Бычок» — 5,2 т. На сколько грузоподъёмность автомобиля ЗИЛ «Бычок» больше грузоподъёмности «Газели»? Выполните вычисление двумя способами: с переходом к более мелким единицам массы и без перехода к ним.

Чтобы найти, на сколько грузоподъемность одного автомобиля больше другого, нужно из большей грузоподъемности вычесть меньшую. В задаче даны грузоподъемность автомобиля ЗИЛ «Бычок» — $5,2$ т и автомобиля «Газель» — $1,5$ т. Выполним вычисления двумя предложенными способами.

с переходом к более мелким единицам массы

Переведем грузоподъемность автомобилей из тонн в килограммы. Мы знаем, что в одной тонне содержится 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

1. Найдем грузоподъемность «Газели» в килограммах:
$1,5 \text{ т} = 1,5 \times 1000 \text{ кг} = 1500 \text{ кг}$

2. Найдем грузоподъемность ЗИЛ «Бычок» в килограммах:
$5,2 \text{ т} = 5,2 \times 1000 \text{ кг} = 5200 \text{ кг}$

3. Теперь найдем разницу в грузоподъемности в килограммах:
$5200 \text{ кг} - 1500 \text{ кг} = 3700 \text{ кг}$

4. Переведем полученный результат обратно в тонны:
$3700 \text{ кг} = 3700 / 1000 \text{ т} = 3,7 \text{ т}$

Ответ: грузоподъемность автомобиля ЗИЛ «Бычок» больше грузоподъемности «Газели» на $3,7$ т.

без перехода к ним

В этом способе мы будем вычитать десятичные дроби, выраженные в тоннах, напрямую, без перевода в другие единицы измерения.

1. Для нахождения разницы вычтем из грузоподъемности ЗИЛ «Бычок» грузоподъемность «Газели»:
$5,2 \text{ т} - 1,5 \text{ т}$

2. Выполним вычитание десятичных дробей:
$5,2 - 1,5 = 3,7$

Таким образом, разница составляет $3,7$ т.

Ответ: грузоподъемность автомобиля ЗИЛ «Бычок» больше грузоподъемности «Газели» на $3,7$ т.

6.73 Для школьного хореографического ансамбля сшили костюмы. На пошив костюмов для старшеклассников потребовалось 32,8 м ткани, а для учащихся младших классов — 20,63 м. Сколько всего метров ткани потребовалось на пошив костюмов? Выполните вычисление двумя способами: с переходом к более мелким единицам длины и без перехода к ним.

Для старшеклассников – 32,8 м

Для младших классов – 20,63 м

Способ 1: $32,8 + 20,63 = 53,43\text{м}$

Способ 2: $1\text{м} = 100\text{см}$

32,8м = 32810м = 32810м = (32810 ⋅ 100)см = 328 ⋅ 10010см = 328 ⋅ 10см = 3280см$20,63\text{м} = 20\frac{63}{100}\text{м} = \frac{2063}{100}\text{м} = 2063\text{см}$$3280 + 2063 = 5343\text{см}$$\begin{array}{l}{}_{}^{①}\\ 3280\\ + \underset{}{2063\_}\\ 5343\end{array}$$5343\text{см} = \frac{5343}{100}\text{м} = 53\frac{43}{100}\text{м} = 53,43\text{м}$

Ответ: 53,43 м

Решение 2. №6.73 (с. 105)

Чтобы найти, сколько всего метров ткани потребовалось на пошив костюмов, нужно сложить количество ткани, использованное для старшеклассников и для младших классов. Выполним это двумя способами.

с переходом к более мелким единицам длины

Для выполнения вычисления этим способом переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

1. Переведем количество ткани для старшеклассников в сантиметры:
$32,8 \text{ м} = 32,8 \times 100 \text{ см} = 3280 \text{ см}$.

2. Переведем количество ткани для младших классов в сантиметры:
$20,63 \text{ м} = 20,63 \times 100 \text{ см} = 2063 \text{ см}$.

3. Сложим полученные значения, чтобы найти общую длину ткани в сантиметрах:
$3280 \text{ см} + 2063 \text{ см} = 5343 \text{ см}$.

4. Переведем результат обратно в метры, разделив на 100:
$5343 \text{ см} = 53,43 \text{ м}$.

Ответ: 53,43 м.

без перехода к ним

Для выполнения вычисления этим способом необходимо сложить десятичные дроби напрямую.

1. Складываем количество ткани, которое потребовалось для костюмов старшеклассников и младших классов:
$32,8 \text{ м} + 20,63 \text{ м}$.

2. Чтобы сложить десятичные дроби, их записывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Уравняем количество знаков после запятой у первого числа, дописав ноль ($32,8 = 32,80$), и выполним сложение в столбик:

$ \begin{array}{r} 32,80 \\ + 20,63 \\ \hline 53,43 \end{array} $

В результате сложения получаем $53,43 \text{ м}$.

Ответ: 53,43 м.

Решение 3. №6.73 (с. 105)

Решение 4. №6.73 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.74 (с. 105)

Условие. №6.74 (с. 105)

6.74 Найдите сумму:

а) 0,879 + 25,278;

б) 44,122 + 6,9;

в) 74,372 + 4,228;

г) 12,8099 + 0,45;

д) 6,8 + 1,24 + 0,7;

е) 149,85 + 8,3 + 0,223.

Решение 1. №6.74 (с. 105)

a) $$\begin{array}{rrrclll}& & \overline{)1}& & \overline{)1}& & \\ & 2& 5& ,& 2& 7& 8\\ + & & 0& ,& 8& 7& 9\\ \underline{}\\ & 2& 6& ,& 1& 5& 7\end{array}$$
б) $$\begin{array}{rrrclll}& & \overline{)1}& & & & \\ & 7& 4& ,& 3& 7& 2\\ + & & 4& ,& 2& 2& 8\\ \underline{}\\ & 7& 8& ,& 6& 0& 0\end{array}$$ = 78,6
g) $$\begin{array}{rrcll}& \overline{)1}& & & \\ & 6& ,& 8& 0\\ + & 1& ,& 2& 4\\ & 0& ,& 7& 0\\ \underline{}\\ & 8& ,& 7& 4\end{array}$$
д) $$\begin{array}{rrrclll}& \overline{)1}& & & \overline{)1}& & \\ & 4& 4& ,& 1& 2& 2\\ + & & 6& ,& 9& 0& 0\\ \underline{}\\ & 5& 1& ,& 0& 2& 2\end{array}$$
ч) $$\begin{array}{rrrcllll}& & \overline{)1}& & & & & \\ & 1& 2& ,& 8& 0& 9& 9\\ + & & 0& ,& 4& 5& 0& 0\\ \underline{}\\ & 1& 3& ,& 2& 5& 9& 9\end{array}$$
e) $$\begin{array}{rrrrclll}& & \overline{)1}& & & \overline{)1}& & \\ & 1& 4& 9& ,& 8& 5& 0\\ + & & & 8& ,& 3& 0& 0\\ & & & 0& ,& 2& 2& 3\\ \underline{}\\ & 1& 5& 8& ,& 3& 7& 3\end{array}$$

Решение 2. №6.74 (с. 105)

а) Чтобы найти сумму десятичных дробей, нужно записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Затем сложить числа как натуральные, не обращая внимания на запятые, и в результате поставить запятую под запятыми слагаемых.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 0,879 \\ 25,278 \\ \hline 26,157 \end{array} $

Ответ: $26,157$.

б) Уравняем количество знаков после запятой у слагаемых, добавив нули в конце дробной части числа $6,9$, и выполним сложение в столбик.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 44,122 \\ 6,900 \\ \hline 51,022 \end{array} $

Ответ: $51,022$.

в) Выполним сложение чисел, записав их в столбик так, чтобы запятая была под запятой.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 74,372 \\ 4,228 \\ \hline 78,600 \end{array} $

Нули в конце дробной части можно отбросить: $78,600 = 78,6$.

Ответ: $78,6$.

г) Для удобства сложения уравняем количество знаков после запятой у слагаемых.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 12,8099 \\ 0,4500 \\ \hline 13,2599 \end{array} $

Ответ: $13,2599$.

д) Для сложения трех десятичных дробей запишем их в столбик, выровняв по запятой. При необходимости добавим нули в конце дробной части, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 6,80 \\ 1,24 \\ 0,70 \\ \hline 8,74 \end{array} $

Ответ: $8,74$.

е) Запишем все три слагаемых в столбик, выровняв по запятой и уравняв количество знаков после запятой путем добавления нулей.

$ \begin{array}{r} + \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 149,850 \\ 8,300 \\ 0,223 \\ \hline 158,373 \end{array} $

Ответ: $158,373$.

Решение 3. №6.74 (с. 105)

Решение 4. №6.74 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.75 (с. 105)

Условие. №6.75 (с. 105)

6.75 Найдите разность:

а) 6,5 - 3,3;

б) 19,62 - 4,22;

в) 13,41 - 2,41;

г) 22,2 - 4,7;

д) 77,361 - 6,48;

е) 7,7 - 3,88.

Решение 1. №6.75 (с. 105)

а) $\begin{array}{c}\hfill 6,5\\ \hfill - 3,3\\ \hfill 3,2\end{array}$
б) $\begin{array}{c}\hfill 19,62\\ \hfill - 4,22\\ \hfill 15,40\end{array} = 15,4$
в) $\begin{array}{c}\hfill 13,41\\ \hfill - 2,41\\ \hfill 11,00\end{array} = 11$
г) $\begin{array}{c}\hfill 22,2\\ \hfill - 4,7\\ \hfill 17,5\end{array}$
д) $\begin{array}{c}\hfill 77,361\\ \hfill - 6,480\\ \hfill 70,881\end{array}$
е) $\begin{array}{c}\hfill 7,70\\ \hfill - 3,88\\ \hfill 3,82\end{array}$

Решение 2. №6.75 (с. 105)

а) Чтобы найти разность десятичных дробей, нужно выровнять их по запятой и выполнить вычитание так же, как и с натуральными числами.
$6,5 - 3,3$
Вычитаем столбиком:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} 6,5 \\ 3,3 \\ \hline 3,2 \end{array} $
Вычитаем десятые: $5 - 3 = 2$.
Вычитаем целые: $6 - 3 = 3$.
Получаем $3,2$.
Ответ: $3,2$.

б) Найдем разность $19,62 - 4,22$.
Вычитаем столбиком, записывая разряд под разрядом:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} 19,62 \\ \phantom{0}4,22 \\ \hline 15,40 \end{array} $
Вычитаем сотые: $2 - 2 = 0$.
Вычитаем десятые: $6 - 2 = 4$.
Вычитаем целые: $19 - 4 = 15$.
Результат $15,40$, что равно $15,4$.
Ответ: $15,4$.

в) Найдем разность $13,41 - 2,41$.
Вычитаем столбиком:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} 13,41 \\ \phantom{0}2,41 \\ \hline 11,00 \end{array} $
Вычитаем сотые: $1 - 1 = 0$.
Вычитаем десятые: $4 - 4 = 0$.
Вычитаем целые: $13 - 2 = 11$.
Результат $11,00$, что равно $11$.
Ответ: $11$.

г) Найдем разность $22,2 - 4,7$.
Вычитаем столбиком:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} \dot{2}\dot{2},2 \\ \phantom{0}4,7 \\ \hline 17,5 \end{array} $
В разряде десятых из $2$ вычесть $7$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда единиц. $12 - 7 = 5$.
В разряде единиц осталось $1$. Из $1$ вычесть $4$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда десятков. $11 - 4 = 7$.
В разряде десятков осталась $1$. $1 - 0 = 1$.
Получаем $17,5$.
Ответ: $17,5$.

д) Найдем разность $77,361 - 6,48$.
Чтобы выполнить вычитание, уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $6,48$. Получим $6,480$.
Вычитаем столбиком:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} 7\dot{7},\dot{3}\dot{6}1 \\ \phantom{0}6,480 \\ \hline 70,881 \end{array} $
Вычитаем тысячные: $1 - 0 = 1$.
В разряде сотых из $6$ вычесть $8$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда десятых. $16 - 8 = 8$.
В разряде десятых осталось $2$. Из $2$ вычесть $4$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда единиц. $12 - 4 = 8$.
В разряде единиц осталось $6$. $6 - 6 = 0$.
В разряде десятков $7 - 0 = 7$.
Получаем $70,881$.
Ответ: $70,881$.

е) Найдем разность $7,7 - 3,88$.
Уравняем количество знаков после запятой, записав $7,7$ как $7,70$.
Вычитаем столбиком:
$ \begin{array}{r} -\\\;\end{array} \begin{array}{l} \dot{7},\dot{7}0 \\ 3,88 \\ \hline 3,82 \end{array} $
В разряде сотых из $0$ вычесть $8$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда десятых. $10 - 8 = 2$.
В разряде десятых осталось $6$. Из $6$ вычесть $8$ нельзя. Занимаем $1$ из разряда единиц. $16 - 8 = 8$.
В разряде единиц осталось $6$. $6 - 3 = 3$.
Получаем $3,82$.
Ответ: $3,82$.

Решение 3. №6.75 (с. 105)

Решение 4. №6.75 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.76 (с. 105)

Условие. №6.76 (с. 105)

6.76 За яблоки заплатили 178,4 р., а за мандарины — на 18,2 р. больше. Сколько заплатили за яблоки и мандарины вместе?

Решение 1. №6.76 (с. 105)

Яблоки - 178,4 р.

Мандарины - на 18,2 р. больше ?

1) $\mathrm{178,4} + \mathrm{18,2} = \mathrm{196,6}$ (р.) - заплатили

$\begin{array}{cc}& \hfill \text{(1)}\\ & \hfill \mathrm{178,4}\\ + \hfill & \hfill \mathrm{18,2}\\ & \hfill \mathrm{196,6}\end{array}$ за мандарины

2) $\mathrm{178,4} + \mathrm{196,6} = \mathrm{375,0} = 375$ (р.)

$\begin{array}{cc}& \hfill \text{①①①}\\ & \hfill \mathrm{178,4}\\ + \hfill & \hfill \mathrm{196,6}\\ & \hfill \mathrm{375,0}\end{array}$

Ответ: 375 р.

Решение 2. №6.76 (с. 105)

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала определим стоимость мандаринов, а затем сложим её со стоимостью яблок, чтобы найти общую сумму покупки.

1. Найдём стоимость мандаринов. По условию, за них заплатили на $18,2$ р. больше, чем за яблоки. Стоимость яблок равна $178,4$ р.
Следовательно, стоимость мандаринов составляет:
$178,4 + 18,2 = 196,6$ (р.)

2. Теперь вычислим общую стоимость, сложив цену яблок и цену мандаринов.
$178,4 + 196,6 = 375,0$ (р.)

Ответ: $375$ р.

Решение 3. №6.76 (с. 105)

Решение 4. №6.76 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.77 (с. 105)

Условие. №6.77 (с. 105)

6.77 Бабушка с внучкой ходили в лес за малиной. Внучка собрала 3,5 кг малины, что оказалось на 1,8 кг меньше, чем собрала бабушка. Сколько малины собрали бабушка и внучка вместе?

Решение 1. №6.77 (с. 105)

Внучка – 3,5 кг, на 1,8 кг меньшеБабушка – ?1) $\mathrm{3,5} + \mathrm{1,8} = \mathrm{5,3}\mathrm{кг}$ - собрала бабушка$\begin{array}{r}\mathrm{3,5}\\ + \mathrm{1,8}\\ \overline{\mathrm{5,3}}\end{array}$2) $\mathrm{3,5} + \mathrm{5,3} = \mathrm{8,8}\mathrm{кг}$$\begin{array}{r}\mathrm{3,5}\\ + \mathrm{5,3}\\ \overline{\mathrm{8,8}}\end{array}$Ответ: 8,8 кг

Решение 2. №6.77 (с. 105)

Для решения задачи выполним два действия.

1. Найдем, сколько килограммов малины собрала бабушка.
В условии сказано, что внучка собрала 3,5 кг малины, и это на 1,8 кг меньше, чем собрала бабушка. Это значит, что бабушка собрала на 1,8 кг малины больше, чем внучка. Чтобы рассчитать, сколько малины собрала бабушка, сложим количество малины, собранное внучкой, с разницей в 1,8 кг.
$3,5 + 1,8 = 5,3$ (кг) – малины собрала бабушка.

2. Найдем, сколько всего малины собрали бабушка и внучка вместе.
Теперь, зная, сколько малины собрала каждая, мы можем найти общее количество. Для этого нужно сложить массу малины, собранной бабушкой, и массу малины, собранной внучкой.
$5,3 + 3,5 = 8,8$ (кг) – всего малины собрали бабушка и внучка.

Ответ: 8,8 кг.

Решение 3. №6.77 (с. 105)

Решение 4. №6.77 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.78 (с. 105)

Условие. №6.78 (с. 105)

6.78 От тридевятого царства до тридесятого государства Ивану-царевичу надо было проскакать 300 вёрст на Сивке-Бурке. Он проскакал 99,9 версты. Сколько вёрст осталось проскакать Ивану-царевичу?

Решение 1. №6.78 (с. 105)

Всего - 300 вёрст

Проскакал - 99,9 версты

Осталось -?

$300 - 99,9 = 200,1\text{(в)}$

$\begin{array}{c}\hfill 300,0\\ \hfill - 99,9\\ \hfill \text{—————}\\ \hfill 200,1\end{array}$

Ответ: 200,1 версты

Решение 2. №6.78 (с. 105)

Чтобы найти, сколько вёрст осталось проскакать Ивану-царевичу, необходимо из общего расстояния, которое ему нужно было преодолеть, вычесть то расстояние, которое он уже проскакал.

Общее расстояние от тридевятого царства до тридесятого государства составляет 300 вёрст.
Иван-царевич уже проскакал 99,9 версты.

Вычислим оставшееся расстояние путём вычитания:
$300 - 99,9$
Для удобства вычисления можно представить целое число 300 в виде десятичной дроби 300,0. Тогда вычитание будет выглядеть следующим образом:
$300,0 - 99,9 = 200,1$ (версты)

Ответ: 200,1 версты.

Решение 3. №6.78 (с. 105)

Решение 4. №6.78 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.79 (с. 105)

Условие. №6.79 (с. 105)

6.79 Найдите массу самолёта с грузом, если масса самолёта 6,2 т и он тяжелее поднимаемого им груза на 5,31 т.

Решение 1. №6.79 (с. 105)

Масса самолёта - 6,2т, на 5,31т больше ?Груз - ?1) $\mathrm{6,2} - \mathrm{5,31} = \mathrm{0,89}\left(\mathrm{т}\right)$ - масса груза
$\begin{array}{l}\mathrm{6,20}\\ \underset{}{ - \mathrm{5,31}}\\ \mathrm{0,89}\end{array}$2) $\mathrm{6,2} + \mathrm{0,89} = \mathrm{7,09}\left(\mathrm{т}\right)$
$\begin{array}{l}\stackrel{①}{\mathrm{6,20}}\\ \underset{}{ + \mathrm{0,89}}\\ \mathrm{7,09}\end{array}$
Ответ: 7,09 т

Решение 2. №6.79 (с. 105)

Для решения задачи необходимо сначала найти массу груза, а затем сложить её с массой самолёта.

1. Найдём массу груза.

Из условия известно, что масса самолёта составляет $6,2$ т. Также сказано, что самолёт тяжелее поднимаемого им груза на $5,31$ т. Это значит, что масса груза на $5,31$ т меньше массы самолёта. Чтобы найти массу груза, нужно из массы самолёта вычесть эту разницу:

$6,2 \text{ т} - 5,31 \text{ т} = 0,89 \text{ т}$

Таким образом, масса груза равна $0,89$ т.

2. Найдём массу самолёта с грузом.

Чтобы найти общую массу самолёта с грузом, необходимо сложить массу самого самолёта и массу груза, которую мы вычислили в предыдущем шаге:

$6,2 \text{ т} + 0,89 \text{ т} = 7,09 \text{ т}$

Следовательно, масса самолёта с грузом составляет $7,09$ т.

Ответ: 7,09 т.

Решение 3. №6.79 (с. 105)

Решение 4. №6.79 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.80 (с. 105)

Условие. №6.80 (с. 105)

6.80 Найдите значение выражения:

а) 9,8 + 6,7;

б) 438 + 9,46;

в) 9,1 - 5,38;

г) 101,2 - 0,094;

д) 37,8 + 0,252;

е) 1130 - 0,0022;

ж) 0,03 - 0,0179;

з) 0,004 - 0,00092;

и) 1 - 0,999;

к) 1425 - 4,591;

л) 67 - 66,875;

м) 110,2 - 0,05.

Решение 1. №6.80 (с. 105)

a) $9,8 + 6,7 = 16,5$
б) $438,00 + 9,46 = 447,46$
в) $9,10 - 5,38 = 3,72$
г) $101,200 - 0,094 = 101,106$
д) $37,800 + 0,252 = 38,052$
е) $1130,0000 - 0,0022 = 1129,9978$
ж) $0,0300 - 0,0179 = 0,0121$
з) $0,00400 - 0,00092 = 0,00308$
и) $1,000 - 0,999 = 0,001$
к) $1425,000 - 4,591 = 1420,409$
л) $67,000 - 66,875 = 0,125$
м) $110,20 - 0,05 = 110,15$

Решение 2. №6.80 (с. 105)

а) Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их столбиком, выравнивая по запятой, и выполнить сложение как с обычными числами. Запятая в ответе ставится под запятыми слагаемых. $9,8 + 6,7 = 16,5$. Ответ: $16,5$.

б) При сложении целого числа и десятичной дроби можно представить целое число как десятичную дробь с нулевой дробной частью, дописав запятую и нули. $438 = 438,00$. Выполним сложение: $438,00 + 9,46 = 447,46$. Ответ: $447,46$.

в) Для вычитания десятичных дробей необходимо уравнять количество знаков после запятой, дописав нули к числу с меньшим количеством знаков. Запишем $9,1$ как $9,10$. Теперь выполним вычитание: $9,10 - 5,38 = 3,72$. Ответ: $3,72$.

г) Уравняем количество знаков после запятой, представив $101,2$ как $101,200$. Выполним вычитание: $101,200 - 0,094 = 101,106$. Ответ: $101,106$.

д) Уравняем количество знаков после запятой, представив $37,8$ как $37,800$. Выполним сложение: $37,800 + 0,252 = 38,052$. Ответ: $38,052$.

е) Представим целое число $1130$ как десятичную дробь $1130,0000$, чтобы уравнять количество знаков после запятой. Выполним вычитание: $1130,0000 - 0,0022 = 1129,9978$. Ответ: $1129,9978$.

ж) Уравняем количество знаков после запятой, представив $0,03$ как $0,0300$. Выполним вычитание: $0,0300 - 0,0179 = 0,0121$. Ответ: $0,0121$.

з) Уравняем количество знаков после запятой, представив $0,004$ как $0,00400$. Выполним вычитание: $0,00400 - 0,00092 = 0,00308$. Ответ: $0,00308$.

и) Представим целое число $1$ как десятичную дробь $1,000$. Выполним вычитание: $1,000 - 0,999 = 0,001$. Ответ: $0,001$.

к) Представим целое число $1425$ как десятичную дробь $1425,000$. Выполним вычитание: $1425,000 - 4,591 = 1420,409$. Ответ: $1420,409$.

л) Представим целое число $67$ как десятичную дробь $67,000$. Выполним вычитание: $67,000 - 66,875 = 0,125$. Ответ: $0,125$.

м) Уравняем количество знаков после запятой, представив $110,2$ как $110,20$. Выполним вычитание: $110,20 - 0,05 = 110,15$. Ответ: $110,15$.

Решение 3. №6.80 (с. 105)

Решение 4. №6.80 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.81 (с. 105)

Условие. №6.81 (с. 105)

6.81 Скорость катера на озере равна 23,7 км/ч. Найдите скорости катера по течению и против течения при движении по реке. Скорость течения реки 5,1 км/ч.

Решение 1. №6.81 (с. 105)

Скорость катера на озере – это собственная скорость катера

$V_{\text{собств}} = 23,7\text{км/ч}$

$V_{\text{теч}} = 5,1\text{км/ч}$

V по течению – ?

V против течения – ?

V по течению $= V_{\text{собств}} + V_{\text{теч}} = 23,7 + 5,1 =$

$= 28,8\left(\text{км/ч}\right)$

$+ \begin{array}{r}23,7\\ 5,1\\ \text{———}\\ 28,8\end{array}$

V против течения $= V_{\text{собств}} - V_{\text{теч}} = 23,7 - 5,1 =$

$= 18,6\left(\text{км/ч}\right)$

$- \begin{array}{r}23,7\\ 5,1\\ \text{———}\\ 18,6\end{array}$

Ответ: 28,8 км/ч, 18,6 км/ч

Решение 2. №6.81 (с. 105)

Для решения этой задачи воспользуемся основными формулами для движения по воде. Скорость катера на озере является его собственной скоростью, так как в озере нет течения.

Обозначим:
$v_{с}$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
$v_{т}$ — скорость течения реки.
$v_{по}$ — скорость катера по течению.
$v_{пр}$ — скорость катера против течения.

По условию нам дано:
$v_{с} = 23,7$ км/ч
$v_{т} = 5,1$ км/ч

Найдем скорость катера по течению.
Когда катер движется по течению, река помогает ему, поэтому его скорость увеличивается на величину скорости течения. Формула для расчета:
$v_{по} = v_{с} + v_{т}$
Подставляем числовые значения:
$v_{по} = 23,7 + 5,1 = 28,8$ км/ч
Ответ: скорость катера по течению равна 28,8 км/ч.

Найдем скорость катера против течения.
Когда катер движется против течения, река замедляет его движение, поэтому его скорость уменьшается на величину скорости течения. Формула для расчета:
$v_{пр} = v_{с} - v_{т}$
Подставляем числовые значения:
$v_{пр} = 23,7 - 5,1 = 18,6$ км/ч
Ответ: скорость катера против течения равна 18,6 км/ч.

Решение 3. №6.81 (с. 105)

Решение 4. №6.81 (с. 105)

Страница 104 Вернуться к содержанию Страница 106

№6.82 (с. 105)

Условие. №6.82 (с. 105)

6.82 Найдите собственную скорость речного скутера и его скорость против течения, если скорость течения реки 4,1 км/ч, а скорость скутера по течению 39,5 км/ч.

Решение 1. №6.82 (с. 105)

$V_{mer} = \mathrm{4,1}\text{ км/ч}$
$V_{\text{по течению}} = \mathrm{39,5}\text{ км/ч}$
$V_{\text{собств}}-?$
$V_{\text{против течения}}-?$
$V_{\text{собств}} = V_{\text{по течению}}-V_{mer} = \mathrm{39,5}-\mathrm{4,1} =$
$= \mathrm{35,4}\text{ (км/ч)}$
$\begin{array}{r}\text{−}\mathrm{39,5}\\ \mathrm{4,1}\\ \text{———}\\ \mathrm{35,4}\end{array}$
$V_{\text{против течения}} = V_{\text{собств}}-V_{mer} =$
$= \mathrm{35,4}-\mathrm{4,1} = \mathrm{31,3}\text{ (км/ч)}$
$\begin{array}{r}\text{−}\mathrm{35,4}\\ \mathrm{4,1}\\ \text{———}\\ \mathrm{31,3}\end{array}$
Ответ: 35,4 км/ч, 31,3 км/ч

Решение 2. №6.82 (с. 105)

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{соб}$ — собственная скорость скутера (скорость в стоячей воде).
• $v_{теч}$ — скорость течения реки.
• $v_{по}$ — скорость скутера по течению.
• $v_{против}$ — скорость скутера против течения.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• $v_{теч} = 4,1$ км/ч.
• $v_{по} = 39,5$ км/ч.

Движение по течению и против течения описывается следующими формулами:

Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$

Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$

Собственная скорость речного скутера

Чтобы найти собственную скорость скутера, необходимо из скорости по течению вычесть скорость течения реки. Для этого преобразуем формулу скорости по течению:

$v_{соб} = v_{по} - v_{теч}$

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисление:

$v_{соб} = 39,5 - 4,1 = 35,4$ км/ч.

Ответ: собственная скорость речного скутера равна 35,4 км/ч.

Скорость скутера против течения

Зная собственную скорость скутера и скорость течения, мы можем рассчитать его скорость против течения, используя соответствующую формулу.

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$

Подставим найденное значение собственной скорости и данное значение скорости течения:

$v_{против} = 35,4 - 4,1 = 31,3$ км/ч.

Ответ: скорость скутера против течения равна 31,3 км/ч.

Решение 3. №6.82 (с. 105)

Решение 4. №6.82 (с. 105)

Другие страницы:

стр. 98

стр. 99

стр. 100

стр. 101

стр. 102

стр. 103

стр. 104

стр. 105

стр. 106

стр. 107

стр. 108

стр. 109

стр. 110

стр. 111

стр. 112

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться