Страница 103, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.221 При приготовлении яблочного сока получают 7 частей сока и 2 части жмыха (по массе). Сколько сока получится из 18 ц яблок?

Пусть x из - масса одной части, тогда 7x ц - масса сока, 2x ц - масса жмыха.
$7x + 2x = 18$
$\left(7 + 2\right)x = 18$
$9x = 18$
$x = 18 : 9$
$x = 2$
$7 · 2 = 14 \left(\mathrm{ц}\right)$
Ответ: 14ц.

Согласно условию задачи, при переработке яблок вся их масса делится на части: 7 частей сока и 2 части жмыха. Для начала найдем общее количество частей, на которые делятся яблоки.
$7 + 2 = 9$ (частей)

Это означает, что вся масса яблок, составляющая 18 центнеров (ц), эквивалентна 9 равным частям. Теперь мы можем найти, какая масса приходится на одну часть. Для этого разделим общую массу на количество частей:
$18 \text{ ц} \div 9 = 2 \text{ ц}$

Итак, масса одной части составляет 2 центнера.

Поскольку сок составляет 7 частей, для определения его массы необходимо умножить массу одной части на 7:
$2 \text{ ц} \times 7 = 14 \text{ ц}$

Ответ: из 18 ц яблок получится 14 ц сока.

3.222 Для изготовления казеинового клея берут 11 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 4 части казеина (по массе). Сколько граммов каждого вещества нужно взять, чтобы приготовить 720 г клея?

Пусть х г - масса одной части, тогда 11х г - масса воды, 5х г - масса нашатырного спирта, 4х г - масса казеина.
$11x + 5x + 4x = 720$
$11 + 5 + 4$
$20x = 720$
$x = 720 : 20$

$x = 36$
11 · 36 = 396 (г) - масса воды
5 · 36 = 180 (г) - масса нашатырного спирта
4 · 36 = 144 (г) - масса казеина.
Ответ: 396 г, 180 г, 144 г.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общее количество частей в смеси, а затем определить массу одной части.

1. Находим общее количество частей.

Смесь для клея состоит из нескольких компонентов, взятых в определённых пропорциях (частях):

11 частей воды + 5 частей нашатырного спирта + 4 части казеина.

Сложим все части, чтобы найти их общее количество:

$11 + 5 + 4 = 20$ частей.

Таким образом, вся масса клея состоит из 20 равных частей.

2. Находим массу одной части.

По условию, нам нужно приготовить 720 граммов клея. Эта масса соответствует 20 частям. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу клея на общее количество частей:

$720 \text{ г} \div 20 \text{ частей} = 36$ г.

Следовательно, масса одной части составляет 36 граммов.

3. Рассчитываем массу каждого компонента.

Теперь, зная массу одной части, мы можем вычислить, сколько граммов каждого вещества потребуется.

Вода:

Нужно 11 частей воды. Умножаем количество частей на массу одной части:

$11 \times 36 \text{ г} = 396$ г.

Нашатырный спирт:

Нужно 5 частей нашатырного спирта:

$5 \times 36 \text{ г} = 180$ г.

Казеин:

Нужно 4 части казеина:

$4 \times 36 \text{ г} = 144$ г.

Для проверки можно сложить массы всех компонентов: $396 + 180 + 144 = 720$ г. Сумма совпадает с требуемой массой клея, значит, расчеты верны.

Ответ: для приготовления 720 г клея нужно взять 396 г воды, 180 г нашатырного спирта и 144 г казеина.

3.223 1) В блокадном Ленинграде (ныне город Санкт-Петербург) паёк хлеба, который получал военнослужащий, состоял из 6 частей ржаной муки, 2 частей целлюлозы и жмыха, 1 части отрубей и 1 части прочих примесей. Сколько граммов ржаной муки содержал паёк массой 300 г, который получал военнослужащий?

2) В блокадном Ленинграде норма хлеба на одного ребёнка была в 2 раза меньше нормы на одного рабочего завода и в 4 раза меньше нормы солдата первой линии обороны. Сколько граммов хлеба полагалось ребёнку, если буханка массой 1 кг делилась на двоих детей, одного рабочего и одного солдата первой линии обороны?

1) Пусть $x$ г – масса одной части, тогда 6x г – масса ржаной муки,2x г – масса целлюлозы и тминка,1x г – масса отрубей, 1x г – масса прочих примесей

$6x + 2x + 1x + 1x = 300$
$(6 + 2 + 1 + 1)x = 300$
$10x = 300$
$x = 300 : 10$
$x = 30$
$\mathrm{6 · 30 = 180}\left(\mathrm{г}\right)$. – масса ржаной муки.

Ответ: 180 г.

2) Пусть х г – норма хлеба на 1 ребенка, тогда 2x г – норма хлеба на 1 рабочего завода, 4x г – норма солдата первой линии обороны Так как буханка хлеба массой 1 кг делилась на 2-х детей, 1 рабочего и 1 солдата первой линии обороны, составим уравнение:

$2 · x + 2x + 4x = 1000$
$\mathrm{1}\mathrm{кг} = 1000\mathrm{г}$
$(2 + 2 + 4)x = 1000$
$8x = 1000$
$x = 1000 : 8$
$x = 125$

Ответ: 125 г.

1)

Для решения задачи сначала найдем общее количество частей, из которых состоял паёк хлеба. Сложим все части, указанные в условии:

$6 \text{ (ржаная мука)} + 2 \text{ (целлюлоза и жмых)} + 1 \text{ (отруби)} + 1 \text{ (прочие примеси)} = 10 \text{ частей}$

Общая масса пайка составляет 300 граммов. Чтобы найти, сколько граммов приходится на одну часть, разделим общую массу на общее количество частей:

$300 \text{ г} \div 10 \text{ частей} = 30 \text{ г/часть}$

Теперь, зная массу одной части, мы можем вычислить массу ржаной муки, которая составляла 6 частей:

$30 \text{ г/часть} \times 6 \text{ частей} = 180 \text{ г}$

Ответ: паёк массой 300 г содержал 180 граммов ржаной муки.

2)

Пусть норма хлеба на одного ребёнка составляет $x$ граммов. Тогда, согласно условию задачи:

• норма на одного рабочего завода в 2 раза больше, то есть $2x$ граммов;
• норма на одного солдата первой линии обороны в 4 раза больше, чем на ребёнка, то есть $4x$ граммов.

Общая масса буханки хлеба составляет 1 кг, что равно 1000 граммов. Эта буханка делилась на двоих детей, одного рабочего и одного солдата. Составим уравнение, чтобы найти общую массу хлеба, распределенного между ними:

$(2 \times \text{норма ребёнка}) + (1 \times \text{норма рабочего}) + (1 \times \text{норма солдата}) = 1000 \text{ г}$

Подставим наши переменные в уравнение:

$2x + 2x + 4x = 1000$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$8x = 1000$

$x = 1000 \div 8$

$x = 125$

Таким образом, норма хлеба, которая полагалась одному ребёнку, составляла 125 граммов.

Ответ: ребёнку полагалось 125 граммов хлеба.

3.224 Мороженое «Пломбир» содержит 84 части молочных продуктов (молоко и сливки), 14 частей сахара, а 2 части составляют ванилин и желатин. Сколько нужно сахара для приготовления 5200 кг мороженого?

Пусть Х кг - масса одной части, тогда 84х кг - масса молочных продуктов, 14х кг - масса сахара, 2х кг - масса ванилина и желатина.
$84x + 14x + 2x = 5200$
$84 + 14 + 2$
$100x = 5200$
$x = 5200 : 100$
$x = 52$
$14 · 52 = 728 \text{кг}$ - масса сахара.

Ответ: 728 кг.

Для того чтобы рассчитать необходимое количество сахара, сперва найдем общее количество частей в рецепте мороженого.

1. Суммируем все части ингредиентов:

• Молочные продукты: 84 части
• Сахар: 14 частей
• Ванилин и желатин: 2 части

Общее количество частей: $84 + 14 + 2 = 100$ частей.

2. Теперь определим, какая масса приходится на одну часть. Общая масса мороженого, которую необходимо приготовить, составляет 5200 кг. Эта масса соответствует 100 частям. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу на общее количество частей:
$5200 \text{ кг} \div 100 \text{ частей} = 52 \text{ кг/часть}$.

3. Наконец, рассчитаем массу сахара. Согласно рецепту, сахар составляет 14 частей. Умножим количество частей сахара на массу одной части, чтобы найти итоговую массу сахара:
$14 \text{ частей} \times 52 \text{ кг/часть} = 728 \text{ кг}$.

Ответ: для приготовления 5200 кг мороженого понадобится 728 кг сахара.

3.225 Катя нашла в 2 раза больше грибов, чем Петя. После того как Петя нашёл ещё 17 грибов, у ребят оказалось всего 89 грибов. Сколько грибов нашёл Петя, а сколько - Катя?

Пусть $x$ грибов первоначально нашёл Петя, тогда $2x$ грибов нашла Катя.

$\left(x + 2x\right) + 17 = 89$
$x\left(1 + 2\right) = 89 - 17$
$3x = 72$
$x = 72 : 3$
$24 + 17 = 41 (\mathrm{гр}.)$ – нашёл Петя
$2 · 24 = 48 (\mathrm{гр}.)$ – нашла Катя

Ответ: 41 гриб и 48 грибов.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество грибов, которое Петя нашёл изначально.

По условию задачи, Катя нашла в 2 раза больше грибов, чем Петя, следовательно, у Кати было $2x$ грибов.

После того как Петя нашёл ещё 17 грибов, у него стало $x + 17$ грибов. Количество грибов у Кати не изменилось. Общее количество грибов у них стало 89. Составим уравнение, которое отражает эту ситуацию:

$(\text{грибы Пети}) + (\text{грибы Кати}) = 89$

$(x + 17) + 2x = 89$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сложим слагаемые, содержащие $x$:

$3x + 17 = 89$

2. Перенесём число 17 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$3x = 89 - 17$

$3x = 72$

3. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{72}{3}$

$x = 24$

Таким образом, мы нашли, что Петя изначально нашёл 24 гриба.

Теперь найдём, сколько грибов нашла Катя. Мы знаем, что у неё было в 2 раза больше грибов, чем у Пети, то есть $2x$:

$2 \times 24 = 48$

Следовательно, Катя нашла 48 грибов.

Проверим полученные результаты: у Пети после того, как он нашёл ещё грибы, стало $24 + 17 = 41$ гриб. У Кати было 48 грибов. Вместе у них $41 + 48 = 89$ грибов, что соответствует условию задачи.

Ответ: Петя нашёл 24 гриба, а Катя — 48 грибов.

3.226 Составьте уравнение по числовому равенству 4 • 13 + 5 • 13 + 12 • 13 + 3 • 13 = 312, если известно, что его корень равен 13. Придумайте задачу по этому уравнению.

$4·13 + 5·13 + 12·13 + 3·13 = 312$

Известно, что корень уравнения равен 13. Значит, $x = 13$. Получим уравнение $4x + 5x + 12x + 3x = 312.$ Купили 312 г сухофруктов. Финики составляют 4 части, курага - 5 частей, изюм - 12 частей и инжир - 2 части от массы сухофруктов. Сколько граммовизюма, кураги, фиников и инжиракупили в отдельности?

Составьте уравнение по числовому равенству

Исходное числовое равенство: $4 \cdot 13 + 5 \cdot 13 + 12 \cdot 13 + 3 \cdot 13 = 312$.

В условии сказано, что корень уравнения, которое нужно составить, равен 13. Это означает, что мы должны заменить число 13 на неизвестную переменную, например, $x$. При такой замене левая часть равенства превратится в левую часть искомого уравнения.

Выполним замену:

$4 \cdot x + 5 \cdot x + 12 \cdot x + 3 \cdot x = 312$

Это и есть искомое уравнение. Для удобства его можно упростить. Вынесем общий множитель $x$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$(4 + 5 + 12 + 3) \cdot x = 312$

Вычислим сумму в скобках:

$4 + 5 + 12 + 3 = 24$

В результате получаем упрощенное уравнение:

$24x = 312$

Проверим, что $x = 13$ действительно является корнем этого уравнения: $24 \cdot 13 = 312$, что верно.

Ответ: $4x + 5x + 12x + 3x = 312$ или в упрощенном виде $24x = 312$.

Придумайте задачу по этому уравнению

Текст задачи:

Для школьной библиотеки закупили книги в четырех партиях. В первой партии было 4 упаковки книг, во второй — 5 упаковок, в третьей — 12 упаковок и в четвертой — 3 упаковки. Во всех упаковках было одинаковое количество книг. Сколько книг в каждой упаковке, если всего было закуплено 312 книг?

Составление уравнения и решение:

Пусть в каждой упаковке было $x$ книг. Тогда в первой партии было $4x$ книг, во второй — $5x$ книг, в третьей — $12x$ книг, а в четвертой — $3x$ книг. Всего было закуплено $4x + 5x + 12x + 3x$ книг. По условию, это количество равно 312. Составим уравнение:

$4x + 5x + 12x + 3x = 312$

$24x = 312$

$x = 312 : 24$

$x = 13$

Значит, в каждой упаковке было по 13 книг.

Ответ: Для школьной библиотеки закупили книги в четырех партиях. В первой партии было 4 упаковки книг, во второй — 5 упаковок, в третьей — 12 упаковок и в четвертой — 3 упаковки. Во всех упаковках было одинаковое количество книг. Сколько книг в каждой упаковке, если всего было закуплено 312 книг?

3.227 Вычислите:

a) $25 · 3 = (20 + 5) · 3 =$
$= 20 · 3 + 5 · 3 =$
$= 60 + 15 = 75$

$75 : 15 = 5$

$5 + 29 = 34$

$34 : 17 = 2$

б) $15 · 4 = (10 + 5) · 4 =$
$= 10 · 4 + 5 · 4 =$
$= 40 + 20 = 60$

$60 + 16 = 76$

$76 : 19 = 4$

$4 - 4 = 0$

в) $100 : 25 = 4$

$4 · 17 = 4 · (10 + 7) =$
$= 4 · 10 + 4 · 7 =$
$= 40 + 28 = 68$

$68 : 2 = 34$

$34 + 26 = 60$

2) $16 · 3 = (10 + 6) · 3 =$
$= 10 · 3 + 6 · 3 =$
$= 30 + 18 = 48$

$48 - 12 = 36$

$36 : 12 = 3$

$3 · 23 = 3 · (20 + 3) =$
$= 3 · 20 + 3 · 3 =$
$= 60 + 9 = 69$

g) $54 : 18 = 3$

$3 + 27 = 30$

$30 : 15 = 2$

$2 · 29 = 2 · (20 + 9) =$
$= 2 · 20 + 2 · 9 =$
$= 40 + 18 = 58$

а) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $25 \cdot 3 = 75$.

2) Второе действие — деление: $75 : 15 = 5$.

3) Третье действие — сложение: $5 + 29 = 34$.

4) Четвертое действие — деление: $34 : 17 = 2$.

Ответ: 2

б) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $15 \cdot 4 = 60$.

2) Второе действие — сложение: $60 + 16 = 76$.

3) Третье действие — деление: $76 : 19 = 4$.

4) Четвертое действие — вычитание: $4 - 4 = 0$.

Ответ: 0

в) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — деление: $100 : 25 = 4$.

2) Второе действие — умножение: $4 \cdot 17 = 68$.

3) Третье действие — деление: $68 : 2 = 34$.

4) Четвертое действие — сложение: $34 + 26 = 60$.

Ответ: 60

г) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $16 \cdot 3 = 48$.

2) Второе действие — вычитание: $48 - 12 = 36$.

3) Третье действие — деление: $36 : 12 = 3$.

4) Четвертое действие — умножение: $3 \cdot 23 = 69$.

Ответ: 69

д) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — деление: $54 : 18 = 3$.

2) Второе действие — сложение: $3 + 27 = 30$.

3) Третье действие — деление: $30 : 15 = 2$.

4) Четвертое действие — умножение: $2 \cdot 29 = 58$.

Ответ: 58

3.228 Вычислите, выбирая наиболее удобный способ:

а) 8 • 46 • 125;

б) 24 • 13 • 125;

в) 71 + 785 + 94 + 29 + 215.

а) $8 · 46 · 125 =$
$= (8 · 125) · 46 =$
$= 1000 · 46 = 46000$

б) $24 · 13 · 125 =$
$= (3 · 8) · 13 · 125 =$
$= (3 · 13) · (8 · 125) =$
$= 39 · 1000 = 39000$

в) $71 + 785 + 94 + 29 + 215 =$
$= (71 + 29) + (785 + 215) + 94 =$
$= 100 + 1000 + 94 = 1194$

а)

Чтобы вычислить $8 \cdot 46 \cdot 125$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число. Удобно умножить $8$ на $125$.

$8 \cdot 46 \cdot 125 = (8 \cdot 125) \cdot 46$

Вычислим произведение в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$1000 \cdot 46 = 46000$

Ответ: $46000$

б)

В выражении $24 \cdot 13 \cdot 125$ также удобно использовать группировку. Представим множитель $24$ в виде произведения $3 \cdot 8$.

$24 \cdot 13 \cdot 125 = (3 \cdot 8) \cdot 13 \cdot 125$

Перегруппируем множители, чтобы снова использовать удобное произведение $8 \cdot 125$:

$(3 \cdot 13) \cdot (8 \cdot 125)$

Вычислим произведения в каждой паре скобок:

$3 \cdot 13 = 39$

$8 \cdot 125 = 1000$

Теперь найдем конечное произведение:

$39 \cdot 1000 = 39000$

Ответ: $39000$

в)

Чтобы вычислить сумму $71 + 785 + 94 + 29 + 215$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа.

$71 + 785 + 94 + 29 + 215 = (71 + 29) + (785 + 215) + 94$

Вычислим суммы в скобках:

$71 + 29 = 100$

$785 + 215 = 1000$

Теперь сложим полученные результаты с оставшимся слагаемым:

$100 + 1000 + 94 = 1100 + 94 = 1194$

Ответ: $1194$

3.229 Решите уравнение:

а) 37 = 37 + a;

б) 37 - a = 37;

в) a - 37 = 37;

г) 0 = 37 - a.

a) $37 = 37 + a$
$a = 37 - 37$
$a = 0$
Ответ: 0.

б) $37 - a = 37$
$a = 37 - 37$
$a = 0$
Ответ: 0.

в) $a - 37 = 37$
$a = 37 + 37$
$a = 74$
Ответ: 74.

г) $0 = 37 - a$
$a = 37 - 0$
$a = 37$
Ответ: 37.

а) Дано уравнение $37 = 37 + a$.

В этом уравнении a является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (37) вычесть известное слагаемое (37).

$a = 37 - 37$

$a = 0$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$37 = 37 + 0$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 0$.

б) Дано уравнение $37 - a = 37$.

Здесь a является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (37) вычесть разность (37).

$a = 37 - 37$

$a = 0$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$37 - 0 = 37$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 0$.

в) Дано уравнение $a - 37 = 37$.

В данном случае a является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (37) прибавить вычитаемое (37).

$a = 37 + 37$

$a = 74$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$74 - 37 = 37$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 74$.

г) Дано уравнение $0 = 37 - a$.

Это уравнение можно переписать для удобства: $37 - a = 0$. Здесь a является неизвестным вычитаемым. Чтобы разность была равна нулю, уменьшаемое и вычитаемое должны быть равны. Следовательно, $a = 37$.

Другой способ решения — перенести -a из правой части в левую, изменив знак на противоположный:

$a = 37$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$0 = 37 - 37$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 37$.

3.230 Подберите корни уравнения:

а) x - 234 = 3856 - 234;

б) y : 98 = 1274 : 98;

в) 2018z = 24 • 2018.

а) В уравнении $x - 234 = 3856 - 234$ мы видим, что в левой и правой частях вычитается одно и то же число ($234$). Равенство представляет собой равенство двух разностей. Если вычитаемые равны, то для сохранения равенства должны быть равны и уменьшаемые.
В левой части уменьшаемое — это $x$.
В правой части уменьшаемое — это $3856$.
Следовательно, чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы $x$ был равен $3856$.
Проверка: $3856 - 234 = 3622$. Справа: $3856 - 234 = 3622$. Равенство $3622 = 3622$ истинно.
Ответ: $x = 3856$.

б) В уравнении $y : 98 = 1274 : 98$ левая и правая части делятся на одно и то же число ($98$). Это равенство двух частных. Если делители равны, то для сохранения равенства должны быть равны и делимые.
В левой части делимое — это $y$.
В правой части делимое — это $1274$.
Следовательно, чтобы равенство было верным, $y$ должен быть равен $1274$.
Проверка: подставив $y = 1274$, получаем $1274 : 98 = 1274 : 98$, что является верным равенством.
Ответ: $y = 1274$.

в) Уравнение $2018z = 24 \cdot 2018$ можно записать как $2018 \cdot z = 24 \cdot 2018$. В этом уравнении мы видим, что левая и правая части представляют собой произведения, содержащие одинаковый множитель ($2018$). Если один из множителей в произведениях одинаков (и не равен нулю), то для сохранения равенства должны быть равны и вторые множители.
В левой части второй множитель — это $z$.
В правой части второй множитель — это $24$.
Следовательно, $z$ должен быть равен $24$.
Проверка: $2018 \cdot 24 = 24 \cdot 2018$. Согласно переместительному свойству умножения, это равенство является верным.
Ответ: $z = 24$.

3.231 Придумайте задачу по уравнению:

а) 4a + a = 95;

б) c + c + c = c + 72;

в) 4b + 6b = 120.

а) $4a + a = 95$
В парке посадили 95 саженцев берёз и дуба, причём берёз посадили в 4 раза больше, чем дубов. Сколько саженцев берёз и саженцев дуба посадили в парке
б) $c + c + c = c + 72$
Задумали некоторое число. Сумма трёх таких чисел равна сумме задуманного числа и числа 72. Какое число задумали?
в) $4b + 6b = 120$
Для приготовления напитка берут 4 части сиропа и 6 частей воды. Сколько граммов сиропа и воды нужно взять, чтобы получить 120 г напитка?

а) Задача: В одной корзине в 4 раза больше яблок, чем в другой. Когда обе корзины с яблоками взвесили вместе, их общая масса составила 95 кг. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Решение:
Пусть $a$ кг яблок находится в меньшей корзине. Тогда в большей корзине будет $4a$ кг яблок. Согласно условию задачи, общая масса яблок составляет 95 кг. Составим уравнение:
$4a + a = 95$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$5a = 95$
Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 5:
$a = 95 / 5$
$a = 19$
Таким образом, в меньшей корзине 19 кг яблок.
Теперь найдем массу яблок в большей корзине:
$4a = 4 \cdot 19 = 76$
В большей корзине 76 кг яблок.
Проверка: $19 + 76 = 95$.

Ответ: В одной корзине 19 кг яблок, а в другой — 76 кг.

б) Задача: На левой чаше весов лежат 3 одинаковых пакета с мукой. На правой чаше весов лежит 1 такой же пакет с мукой и гиря массой 72 грамма. Весы находятся в равновесии. Какова масса одного пакета с мукой?

Решение:
Пусть $c$ граммов — масса одного пакета с мукой. Тогда на левой чаше весов находится масса $c + c + c$ или $3c$ граммов. На правой чаше весов находится масса $c + 72$ граммов. Поскольку весы в равновесии, массы на обеих чашах равны. Составим уравнение:
$c + c + c = c + 72$
Упростим левую часть:
$3c = c + 72$
Перенесем слагаемое $c$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$3c - c = 72$
$2c = 72$
Найдем $c$, разделив обе части уравнения на 2:
$c = 72 / 2$
$c = 36$
Проверка: $3 \cdot 36 = 108$; $36 + 72 = 108$. Равенство верное.

Ответ: Масса одного пакета с мукой составляет 36 граммов.

в) Задача: Турист шёл 4 часа до обеда и 6 часов после обеда, двигаясь с одной и той же скоростью. За весь день он прошёл 120 километров. С какой скоростью шёл турист?

Решение:
Пусть $b$ км/ч — скорость туриста. Расстояние, которое он прошёл до обеда, равно $4b$ км. Расстояние, которое он прошёл после обеда, равно $6b$ км. Общее расстояние, которое он прошёл за день, составляет 120 км. Составим уравнение:
$4b + 6b = 120$
Сложим слагаемые в левой части уравнения:
$10b = 120$
Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 10:
$b = 120 / 10$
$b = 12$
Проверка: $4 \cdot 12 + 6 \cdot 12 = 48 + 72 = 120$. Равенство верное.

Ответ: Турист шёл со скоростью 12 км/ч.

3.232 В каких случаях может получиться число 0 в результате сложения, вычитания, умножения, деления двух чисел?

1) $a + b = 0$

В результате сложения двух чисел может получиться 0 только тогда, когда оба слагаемые равны 0, т.е. $a = b = 0$

2) $a - b = 0$

В результате вычитания двух чисел может получиться 0 только тогда, когда уменьшаемое равно вычитаемому, т.е. $a = b$

3) $a·b = 0$

В результате умножения двух чисел может получиться 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. (или оба множителя равны 0) $a = 0$ или $b = 0$.

4) $a : b = 0$

В результате деления двух чисел может получиться 0 только тогда, когда делимое $a = 0.$

Сложение: Сумма двух чисел $a$ и $b$ равна нулю, если эти числа являются противоположными. Это означает, что одно число должно быть положительным, а другое — таким же по модулю, но отрицательным. Математически это записывается как $a + b = 0$, что равносильно $a = -b$.
Например:

• $5 + (-5) = 0$
• $-12.3 + 12.3 = 0$

Также, если оба числа равны нулю, их сумма будет равна нулю: $0 + 0 = 0$.
Ответ: если слагаемые являются противоположными числами.

Вычитание: Разность двух чисел $a$ и $b$ равна нулю, если эти числа равны между собой. То есть уменьшаемое должно быть равно вычитаемому. Математически это записывается как $a - b = 0$, что равносильно $a = b$.
Например:

• $7 - 7 = 0$
• $-4 - (-4) = 0$
• $0 - 0 = 0$

Ответ: если уменьшаемое равно вычитаемому.

Умножение: Произведение двух чисел $a$ и $b$ равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это одно из фундаментальных свойств нуля. Математически это записывается как $a \cdot b = 0$, что выполняется при $a = 0$ или $b = 0$.
Например:

• $25 \cdot 0 = 0$
• $0 \cdot (-8) = 0$
• $0 \cdot 0 = 0$

Ответ: если хотя бы один из множителей равен нулю.

Деление: Частное от деления двух чисел $a$ на $b$ равно нулю, если делимое ($a$) равно нулю, а делитель ($b$) не равен нулю. Деление на ноль является неопределенной операцией в математике. Математически это записывается как $a : b = 0$, что выполняется только при $a=0$ и $b \neq 0$.
Например:

• $0 : 10 = 0$
• $0 : (-1) = 0$

Выражение $0:0$ не имеет смысла (является неопределенностью).
Ответ: если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

3.233 Сумма семи натуральных чисел равна произведению этих чисел. Найдите эти семь чисел. Попробуйте найти ещё решение.

1) $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 7$
$14 = 14$

2) $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4$
$12 = 12$

Пусть искомые семь натуральных чисел это $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$. По условию задачи, их сумма равна их произведению: $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5 \cdot x_6 \cdot x_7$$

Поскольку произведение натуральных чисел, как правило, растет значительно быстрее их суммы, можно предположить, что большинство из этих чисел должны быть равны 1. Умножение на 1 не изменяет произведение, но увеличивает сумму. Упорядочим числа по возрастанию: $1 \le x_1 \le x_2 \le \dots \le x_7$. Если предположить, что все числа не меньше 2, то их сумма $\sum x_i \ge 7 \cdot 2 = 14$, а произведение $\prod x_i \ge 2^7 = 128$. Произведение будет заведомо больше суммы. Следовательно, хотя бы одно из чисел должно быть равно 1.

Пусть $k$ — это количество единиц среди семи чисел, а остальные $m=7-k$ чисел больше 1. Обозначим эти числа через $y_1, y_2, \ldots, y_m$, где каждое $y_i \ge 2$. Тогда уравнение примет вид: $$k \cdot 1 + (y_1 + y_2 + \ldots + y_m) = 1^k \cdot (y_1 \cdot y_2 \cdot \ldots \cdot y_m)$$ $$k + \sum_{i=1}^{m} y_i = \prod_{i=1}^{m} y_i$$ Рассмотрим возможные значения $k$ (от 6 до 0, так как $k=7$ дает $7=1$).

Случай 1: Шесть единиц ($k=6, m=1$)

Остается одно число $y_1 > 1$. Уравнение: $6 + y_1 = y_1$, что приводит к неверному равенству $6=0$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: Пять единиц ($k=5, m=2$)

Остаются два числа $y_1, y_2$, причем $2 \le y_1 \le y_2$. Уравнение: $5 + y_1 + y_2 = y_1 y_2$. Преобразуем уравнение, чтобы разложить на множители: $y_1 y_2 - y_1 - y_2 = 5$
$y_1 y_2 - y_1 - y_2 + 1 = 6$
$(y_1 - 1)(y_2 - 1) = 6$.

Так как $y_1, y_2$ — целые числа не меньше 2, то $y_1-1$ и $y_2-1$ — целые положительные множители числа 6. Рассмотрим возможные пары множителей ($a,b$) так, что $a \cdot b = 6$ и $a \le b$:

• $y_1 - 1 = 1$ и $y_2 - 1 = 6$. Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = 7$. Это дает нам первый набор чисел: {1, 1, 1, 1, 1, 2, 7}.
  Проверка: Сумма = $1+1+1+1+1+2+7 = 14$. Произведение = $1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot2\cdot7 = 14$. Решение верное.
• $y_1 - 1 = 2$ и $y_2 - 1 = 3$. Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$. Это дает нам второй набор чисел: {1, 1, 1, 1, 1, 3, 4}.
  Проверка: Сумма = $1+1+1+1+1+3+4 = 12$. Произведение = $1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot4 = 12$. Решение верное.

В этом случае мы нашли два решения.

Случай 3: Четыре единицы ($k=4, m=3$)

Остаются три числа $y_1, y_2, y_3$, причем $2 \le y_1 \le y_2 \le y_3$. Уравнение: $4 + y_1 + y_2 + y_3 = y_1 y_2 y_3$. Если предположить $y_1 = 2$, то уравнение станет $6 + y_2 + y_3 = 2 y_2 y_3$. Преобразование дает $(2y_2-1)(2y_3-1) = 13$. Так как 13 — простое число, а $y_2 \ge 2$, то $2y_2-1 \ge 3$. Уравнение не имеет целочисленных решений. Если $y_1 \ge 3$, то $y_2, y_3 \ge 3$. Можно показать, что в этом случае произведение $y_1y_2y_3$ всегда будет больше суммы $4+y_1+y_2+y_3$. Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 4: Три единицы или меньше ($k \le 3, m \ge 4$)

Уравнение имеет вид $\prod_{i=1}^{m} y_i - \sum_{i=1}^{m} y_i = k$. Левая часть $\prod y_i - \sum y_i$ при $y_i \ge 2$ имеет минимальное значение, когда все $y_i=2$.

• При $m=4$ ($k=3$): Минимальное значение левой части $2^4 - (4 \cdot 2) = 16 - 8 = 8$. Правая часть равна $k=3$. Поскольку $8 > 3$ и левая часть только увеличивается с ростом $y_i$, решений нет.
• При $m=5$ ($k=2$): Минимальное значение левой части $2^5 - (5 \cdot 2) = 32 - 10 = 22$. Правая часть $k=2$. $22 > 2$, решений нет.
• При $m=6$ ($k=1$): Минимальное значение левой части $2^6 - (6 \cdot 2) = 64 - 12 = 52$. Правая часть $k=1$. $52 > 1$, решений нет.
• При $m=7$ ($k=0$): Минимальное значение левой части $2^7 - (7 \cdot 2) = 128 - 14 = 114$. Правая часть $k=0$. $114 > 0$, решений нет.

Таким образом, других решений, кроме найденных в случае 2, не существует.

Ответ: Существует два набора таких чисел (с точностью до перестановки):
1) 1, 1, 1, 1, 1, 2, 7.
2) 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4.

3.234 В библиотеке за 4 дня оцифровали 23 книги. В каждый следующий день книг оцифровывали больше, чем в предыдущий, и в четвёртый день оцифровали вчетверо больше, чем в первый. Сколько книг оцифровали в каждый из этих четырёх дней?

Пусть $x$ книг оцифровали в I день, тогда в IV день оцифровали $4x$ книги.

1) Предположим, что $x = 1$, т.е. в I-ый день оцифровали $1$ книгу, тогда в IV-ый день $4 · 1 = 4$ книги оцифровали. $23-(1 + 4) = 23-5 = 18$ (кн.) оцифровалив II и III день.

По условию задачи в каждый следующий день книг оцифровывали больше, чем в предыдущий. Значит, только 2 книги могли оцифровать во II-ой день и 3 книги – в III день. $2 + 3 = 5$. Следовательно, наше предположение неверно, так как $5<18$.

2) Предположим, что $x = 2$, т.е. в I-ый день оцифровали две книги, тогда $4 · 2 = 8$ (кн.) оцифровали в IV день. 

$23-(2 + 8) = 23-10 = 13$ (кн.) оцифровали во II и III день.

По условию задачи во II и III день оцифровали больше, чем 2 и меньше, чем 8. Если во II день оцифровали 3 книги, то $13-3 = 10$ (кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $10>8$.

Если во II день оцифровали 4 книги, то $13-4 = 9$(кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $9>8$.

Если во II день оцифровали 5 книг, то $13-5 = 8$(кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $8=8$.

Если во II день оцифровали 6 книг, то $13-6 = 7$(кн.) оцифровали в III день. $7<8$ - верно.

Таким образом, I день - 2 книги, II день - 6 книг, III день - 7 книги, IV день - 8 книг.

Ответ: 2 книги, 6 книги, 7 книги и 8 книги.

Обозначим количество книг, оцифрованных в первый, второй, третий и четвертый дни, как $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$ соответственно.

Согласно условиям задачи, мы имеем следующую систему уравнений и неравенств:
1. Общее количество книг: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 23$.
2. Ежедневное увеличение количества оцифрованных книг (все $n$ — целые числа): $n_1 < n_2 < n_3 < n_4$.
3. Соотношение между первым и четвертым днем: $n_4 = 4n_1$.

Для решения этой системы подставим выражение для $n_4$ из третьего пункта в первый:
$n_1 + n_2 + n_3 + (4n_1) = 23$
$5n_1 + n_2 + n_3 = 23$

Выразим сумму книг, оцифрованных во второй и третий дни:
$n_2 + n_3 = 23 - 5n_1$

Теперь используем неравенства. Поскольку $n_1, n_2, n_3$ — это целые числа и $n_1 < n_2 < n_3$, то минимально возможные значения для $n_2$ и $n_3$ будут:
$n_2 \ge n_1 + 1$
$n_3 \ge n_2 + 1 \ge (n_1 + 1) + 1 = n_1 + 2$

Сложив эти минимальные значения, получим нижнюю границу для их суммы:
$n_2 + n_3 \ge (n_1 + 1) + (n_1 + 2) = 2n_1 + 3$

Теперь мы можем объединить полученное неравенство с уравнением для суммы $n_2 + n_3$:
$23 - 5n_1 \ge 2n_1 + 3$
Перенесем слагаемые:
$23 - 3 \ge 2n_1 + 5n_1$
$20 \ge 7n_1$
$n_1 \le \frac{20}{7} \approx 2.857$

Так как $n_1$ — это количество книг, оно должно быть целым и положительным числом ($n_1 \ge 1$). Следовательно, для $n_1$ возможны только два значения: 1 или 2. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $n_1 = 1$
Если $n_1 = 1$, то $n_4 = 4 \times 1 = 4$.
Сумма $n_2 + n_3 = 23 - 5(1) = 18$.
При этом должно выполняться неравенство $n_1 < n_2 < n_3 < n_4$, то есть $1 < n_2 < n_3 < 4$.
В промежутке от 1 до 4 есть только два целых числа: 2 и 3. Если предположить, что $n_2=2$ и $n_3=3$, то их сумма $2+3=5$, что не равно 18. Других целых чисел в этом промежутке нет, значит, этот случай невозможен.

Случай 2: $n_1 = 2$
Если $n_1 = 2$, то $n_4 = 4 \times 2 = 8$.
Сумма $n_2 + n_3 = 23 - 5(2) = 23 - 10 = 13$.
При этом должно выполняться неравенство $n_1 < n_2 < n_3 < n_4$, то есть $2 < n_2 < n_3 < 8$.
Нам нужно найти два разных целых числа в интервале от 2 до 8, которые в сумме дают 13.
Проверим варианты для $n_2$, учитывая, что $n_2 < n_3$:
- если $n_2=3$, то $n_3=10$ (не подходит, так как $10 \not< 8$);
- если $n_2=4$, то $n_3=9$ (не подходит, так как $9 \not< 8$);
- если $n_2=5$, то $n_3=8$ (не подходит, так как $n_3$ должно быть строго меньше 8);
- если $n_2=6$, то $n_3=7$. Этот вариант подходит, так как удовлетворяет неравенству $2 < 6 < 7 < 8$.

Таким образом, единственно возможное решение найдено.
Проверка: $n_1=2, n_2=6, n_3=7, n_4=8$.
Общая сумма: $2 + 6 + 7 + 8 = 23$.
Последовательность возрастает: $2 < 6 < 7 < 8$.
Соотношение первого и четвертого дня: $8 = 4 \times 2$.
Все условия выполнены.

Ответ: в первый день оцифровали 2 книги, во второй — 6 книг, в третий — 7 книг, в четвёртый — 8 книг.

1 Сравните величины:

а) 0,24 кг и 240 г;

б) 5,73 м и 57,35 см;

в) 210,01 мм и 2,101 дм;

г) 2,35 га и 235 а;

д) 4 км² и 40,1 га;

е) 0,5 га и 500 а.

а) Для сравнения величин $0,24$ кг и $240$ г приведем их к одной единице измерения, например, к граммам (г). В одном килограмме (кг) содержится $1000$ граммов.
Переведем килограммы в граммы:
$0,24 \text{ кг} = 0,24 \times 1000 \text{ г} = 240 \text{ г}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$240 \text{ г} = 240 \text{ г}$.
Следовательно, данные величины равны.
Ответ: $0,24 \text{ кг} = 240 \text{ г}$.

б) Для сравнения величин $5,73$ м и $57,35$ см приведем их к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см). В одном метре (м) содержится $100$ сантиметров.
Переведем метры в сантиметры:
$5,73 \text{ м} = 5,73 \times 100 \text{ см} = 573 \text{ см}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$573 \text{ см} > 57,35 \text{ см}$.
Следовательно, первая величина больше второй.
Ответ: $5,73 \text{ м} > 57,35 \text{ см}$.

в) Для сравнения величин $210,01$ мм и $2,101$ дм приведем их к одной единице измерения, например, к миллиметрам (мм). В одном дециметре (дм) содержится $100$ миллиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$).
Переведем дециметры в миллиметры:
$2,101 \text{ дм} = 2,101 \times 100 \text{ мм} = 210,1 \text{ мм}$.
Теперь сравним полученное значение с первой величиной:
$210,01 \text{ мм} < 210,1 \text{ мм}$.
Следовательно, первая величина меньше второй.
Ответ: $210,01 \text{ мм} < 2,101 \text{ дм}$.

г) Для сравнения величин $2,35$ га и $235$ а приведем их к одной единице измерения, например, к арам (а). В одном гектаре (га) содержится $100$ аров.
Переведем гектары в ары:
$2,35 \text{ га} = 2,35 \times 100 \text{ а} = 235 \text{ а}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$235 \text{ а} = 235 \text{ а}$.
Следовательно, данные величины равны.
Ответ: $2,35 \text{ га} = 235 \text{ а}$.

д) Для сравнения величин $4$ км? и $40,1$ га приведем их к одной единице измерения, например, к гектарам (га). Один квадратный километр (км?) равен площади квадрата со стороной $1$ км ($1000$ м). Площадь такого квадрата составляет $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}?$. Один гектар (га) равен $10 000 \text{ м}?$.
Таким образом, в одном квадратном километре содержится $1 000 000 / 10 000 = 100$ гектаров.
Переведем квадратные километры в гектары:
$4 \text{ км}? = 4 \times 100 \text{ га} = 400 \text{ га}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$400 \text{ га} > 40,1 \text{ га}$.
Следовательно, первая величина больше второй.
Ответ: $4 \text{ км}? > 40,1 \text{ га}$.

е) Для сравнения величин $0,5$ га и $500$ а приведем их к одной единице измерения, например, к арам (а). В одном гектаре (га) содержится $100$ аров.
Переведем гектары в ары:
$0,5 \text{ га} = 0,5 \times 100 \text{ а} = 50 \text{ а}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$50 \text{ а} < 500 \text{ а}$.
Следовательно, первая величина меньше второй.
Ответ: $0,5 \text{ га} < 500 \text{ а}$.

2 Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы неравенство было верным? Запишите все возможные варианты.

а) 1,2* > 1,24;

б) 5,667 < 5,*9;

в) 1*,69 < 16,96;

г) 47,399 > 47,3*9?

а) В неравенстве $1,2* > 1,24$ сравниваются две десятичные дроби. Целые части и разряды десятых у них равны (1 и 2 соответственно). Чтобы первая дробь была больше второй, её цифра в разряде сотых, обозначенная звёздочкой, должна быть больше цифры в разряде сотых второй дроби, то есть больше 4. Таким образом, вместо звёздочки можно поставить любую цифру от 5 до 9.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

б) В неравенстве $5,667 < 5,*9$ целые части равны (5). Сравниваем дробные части поразрядно слева направо. В разряде десятых у первой дроби стоит 6. Если в разряде десятых второй дроби (на месте звёздочки) будет стоять цифра больше 6 (то есть 7, 8 или 9), то неравенство будет верным, так как, например, $5,667 < 5,79$. Если на месте звёздочки будет стоять цифра 6, то неравенство примет вид $5,667 < 5,69$. Оно тоже будет верным, так как в следующем разряде, разряде сотых, у второй дроби (9) стоит цифра больше, чем у первой (6). Если же на месте звёздочки будет стоять цифра меньше 6, неравенство будет неверным. Значит, подходят цифры 6, 7, 8, 9.
Ответ: 6, 7, 8, 9.

в) В неравенстве $1*,69 < 16,96$ сравниваем числа поразрядно слева направо. Разряд десятков у обоих чисел одинаков (1). Сравниваем разряд единиц. Чтобы первое число было меньше второго, цифра в разряде единиц первого числа (на месте звёздочки) должна быть меньше или равна цифре в разряде единиц второго числа (6). Если звёздочка меньше 6 (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5), то неравенство будет верным, например, $15,69 < 16,96$. Если звёздочка равна 6, то неравенство примет вид $16,69 < 16,96$. Оно тоже будет верным, так как цифра в разряде десятых у первого числа (6) меньше, чем у второго (9). Если звёздочка будет больше 6, неравенство станет неверным. Следовательно, подходят цифры от 0 до 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

г) В неравенстве $47,399 > 47,3*9$ целые части (47) и разряды десятых (3) у чисел равны. Сравниваем разряды сотых. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде сотых (9) должна быть больше или, в случае равенства, следующие разряды должны определять превосходство. Если цифра на месте звёздочки меньше 9 (то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), то первое число уже в разряде сотых оказывается больше, и неравенство будет верным, например, $47,399 > 47,389$. Если на месте звёздочки будет стоять 9, то неравенство примет вид $47,399 > 47,399$, что неверно, так как числа равны. Таким образом, подходят все цифры, которые меньше 9.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3 Запишите два значения а, при которых верно двойное неравенство:

а) 0,6 < а < 0,7;

б) 2,56 < а < 2,57;

в) 10,99 < а < 11;

г) 5 < а < 5,1.

N3

а) $\mathrm{0,6}<a<\mathrm{0,7}$

$\mathrm{0,60}<a<\mathrm{0,70}$

$a = \mathrm{0,65};a = \mathrm{0,68}$

б) $\mathrm{2,56}<a<\mathrm{2,57}$

$\mathrm{2,560}<a<\mathrm{2,570}$

$a = \mathrm{2,564};a = \mathrm{2,569}$

в) $\mathrm{10,99}<a<11$

$\mathrm{10,990}<a<11$

$a = \mathrm{10,993};a = \mathrm{10,997}$

г) $5<a<\mathrm{5,1}$

$5<a<\mathrm{5,10}$

$a = \mathrm{5,06};a = \mathrm{5,09}$

а) Чтобы найти два значения $a$, удовлетворяющих двойному неравенству $0,6 < a < 0,7$, можно представить его границы с большим числом знаков после запятой. Например, запишем $0,6$ как $0,60$ и $0,7$ как $0,70$. Тогда неравенство примет вид $0,60 < a < 0,70$. Теперь легко выбрать два числа из этого промежутка, например, $0,61$ и $0,65$.
Ответ: 0,61 и 0,65.

б) Рассмотрим неравенство $2,56 < a < 2,57$. Аналогично предыдущему пункту, добавим нули в конце десятичных дробей, чтобы увеличить разрядность: $2,560 < a < 2,570$. Из этого интервала можно выбрать любые числа, например, $2,561$ и $2,562$.
Ответ: 2,561 и 2,562.

в) В неравенстве $10,99 < a < 11$ представим целое число $11$ в виде десятичной дроби $11,00$. Неравенство станет $10,99 < a < 11,00$. Чтобы было проще найти промежуточные значения, снова увеличим разрядность: $10,990 < a < 11,000$. Теперь можно выбрать, например, числа $10,991$ и $10,995$.
Ответ: 10,991 и 10,995.

г) Для неравенства $5 < a < 5,1$ представим его границы с одинаковым количеством знаков после запятой, например, с двумя: $5,00 < a < 5,10$. Из этого интервала можно выбрать, к примеру, числа $5,01$ и $5,05$.
Ответ: 5,01 и 5,05.

4 Приведите дроби к общему знаменателю:

а) 5,1 и 1,02;

б) 15,35 и 20,7;

в) 0,345 и 0,3451.

Чтобы привести десятичные дроби к общему знаменателю, нужно уравнять у них количество знаков после запятой. Для этого к дроби с меньшим количеством десятичных знаков дописывают справа нули. При этом величина дроби не изменяется. После этого десятичные дроби легко представляются в виде обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, равным $10$, $100$, $1000$ и т.д.

а) 5,1 и 1,02;

В дроби 5,1 один знак после запятой, а в дроби 1,02 — два знака. Наибольшее количество знаков — два. Чтобы уравнять количество знаков, добавим один ноль в конец дроби 5,1:

$5,1 = 5,10$

Теперь обе дроби, 5,10 и 1,02, имеют по два знака после запятой. Это означает, что они приведены к общему знаменателю 100. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$5,10 = \frac{510}{100}$

$1,02 = \frac{102}{100}$

Ответ: $\frac{510}{100}$ и $\frac{102}{100}$.

б) 15,35 и 20,7;

В дроби 15,35 два знака после запятой, в дроби 20,7 — один. Наибольшее количество знаков — два. Добавим один ноль в конец дроби 20,7:

$20,7 = 20,70$

Теперь дроби 15,35 и 20,70 имеют по два знака после запятой, что соответствует общему знаменателю 100. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$15,35 = \frac{1535}{100}$

$20,70 = \frac{2070}{100}$

Ответ: $\frac{1535}{100}$ и $\frac{2070}{100}$.

в) 0,345 и 0,3451.

В дроби 0,345 три знака после запятой, в дроби 0,3451 — четыре. Наибольшее количество знаков — четыре. Добавим один ноль в конец дроби 0,345:

$0,345 = 0,3450$

Теперь дроби 0,3450 и 0,3451 имеют по четыре знака после запятой, что соответствует общему знаменателю 10000. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$0,3450 = \frac{3450}{10000}$

$0,3451 = \frac{3451}{10000}$

Ответ: $\frac{3450}{10000}$ и $\frac{3451}{10000}$.