Страница 96, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.161 Вычислите.

a)
$100 - 4 = 96$

$96 : 16 = 6$

$6 - 12 = 6 - (10 + 2) =$$6 - 10 + 6 - 2 =$$60 + 12 = 72$

$72 + 28 = (70 + 2) + (20 + 8) =$$(70 + 20) + (2 + 8) =$$90 + 10 = 100$

б)
$75 - 29 = 75 - (20 + 9) =$$(75 - 20) - 9 =$$55 - 9 =$$55 - (5 + 4) =$$(55 - 5) - 4 =$$50 - 4 = 46$

$46 : 23 = 2$

$2 - 18 = 2 - (10 + 8) =$$2 - 10 + 2 - 8 =$$20 + 16 = 36$

$36 : 36 = 1$

в)
$90 - 6 = 84$

$84 : 14 = 6$

$6 + 19 = 25$

$25 - 3 = (20 + 5) - 3 =$$20 - 3 + 5 - 3 =$$= 60 + 15 = 75$

г)
$92 - 47 = 92 - (40 + 7) =$$(92 - 40) - 7 =$$52 - 7 =$$52 - (2 + 5) =$$(52 - 2) - 5 =$$50 - 5 = 45$

$45 : 15 = 3$

$3 + 23 = 26$

$26 : 13 = 2$

д)
$100 - 16 =$$100 - (10 + 6) =$$(100 - 10) - 6 =$$90 - 6 = 84$

$84 : 12 = 7$

$7 + 9 = 16$

$16 - 3 = (10 + 6) - 3 =$$10 - 3 + 6 - 3 =$$30 + 18 = 48$

а)

Для решения этого примера необходимо выполнить действия последовательно, сверху вниз:

1. Первое действие – вычитание: $100 - 4 = 96$.

2. Второе действие – деление результата первого действия на 16: $96 : 16 = 6$.

3. Третье действие – умножение результата второго действия на 12: $6 \cdot 12 = 72$.

4. Четвертое действие – сложение результата третьего действия с 28: $72 + 28 = 100$.

Ответ: 100

б)

Выполним вычисления по порядку:

1. Вычитаем из 75 число 29: $75 - 29 = 46$.

2. Делим полученный результат на 23: $46 : 23 = 2$.

3. Умножаем результат на 18: $2 \cdot 18 = 36$.

4. Делим результат на 36: $36 : 36 = 1$.

Ответ: 1

в)

Решаем пример по шагам:

1. Находим разность чисел 90 и 6: $90 - 6 = 84$.

2. Полученное число делим на 14: $84 : 14 = 6$.

3. К результату прибавляем 19: $6 + 19 = 25$.

4. Полученную сумму умножаем на 3: $25 \cdot 3 = 75$.

Ответ: 75

г)

Выполняем действия в указанном порядке:

1. Вычисляем разность: $92 - 47 = 45$.

2. Результат делим на 15: $45 : 15 = 3$.

3. К полученному числу прибавляем 23: $3 + 23 = 26$.

4. Результат делим на 13: $26 : 13 = 2$.

Ответ: 2

д)

Проведем вычисления последовательно:

1. Вычитаем 16 из 100: $100 - 16 = 84$.

2. Делим результат на 12: $84 : 12 = 7$.

3. К полученному числу прибавляем 9: $7 + 9 = 16$.

4. Умножаем результат на 3: $16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: 48

3.162 Проверьте цепочку вычислений.

a) $10 + 15 = 25$

$25 · 3 = (20 + 5) · 3 =$$20 · 3 + 5 · 3 =$$60 + 15 = 75$

$75 : 15 = 5$

$5 · 6 = 30$

$30 - 16 =$$30 - (10 + 6) =$$(30 - 10) - 6 =$$20 - 6 = 14$

$14 : 2 = 7$

$7 + 13 = 20$

$20 - 10 = 10$

б) $90 - 45 =$$90 - (40 + 5) =$$(90 - 40) - 5 =$$50 - 5 = 45$

$45 : 15 = 3$

$3 · 28 = 3 · (20 + 8)$$= 3 · 20 + 3 · 8 =$$60 + 24 = 84$

$84 - 12 = 72$

$72 : 8 = 9$

$9 + 27 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 · 5 = (10 + 8) · 5 =$$10 · 5 + 8 · 5 =$$50 + 40 = 90$

а) Для проверки этой цепочки вычислений начнем с числа 10, указанного в зеленом кружке, и будем последовательно выполнять все действия, двигаясь против часовой стрелки.

1. Выполним вычитание: $10 - 10 = 0$.
2. К полученному результату прибавим 13: $0 + 13 = 13$.
3. Разделим результат на 2: $13 : 2 = 6.5$.
4. Из результата вычтем 16: $6.5 - 16 = -9.5$.
5. Умножим результат на 6: $-9.5 \cdot 6 = -57$.
6. Разделим результат на 15: $-57 : 15 = -3.8$.
7. Умножим результат на 3: $-3.8 \cdot 3 = -11.4$.
8. К результату прибавим 15: $-11.4 + 15 = 3.6$.
В результате мы получили число 3.6. Это число не совпадает с начальным числом 10. Следовательно, цепочка вычислений неверна.
Ответ: цепочка вычислений неверна.

б) Для проверки второй цепочки начнем с числа 90 и также будем выполнять все действия по порядку против часовой стрелки.

1. Выполним вычитание: $90 - 45 = 45$.
2. Разделим результат на 15: $45 : 15 = 3$.
3. Умножим результат на 28: $3 \cdot 28 = 84$.
4. Из результата вычтем 12: $84 - 12 = 72$.
5. Разделим результат на 8: $72 : 8 = 9$.
6. К результату прибавим 27: $9 + 27 = 36$.
7. Разделим результат на 2: $36 : 2 = 18$.
8. Умножим результат на 5: $18 \cdot 5 = 90$.
В результате мы получили число 90, которое совпадает с начальным числом. Следовательно, цепочка вычислений верна.
Ответ: цепочка вычислений верна.

3.163 Найдите произведение:

а) 8 • 25 • 18;

б) 56 • 5 • 4;

в) 250 • 47 • 4;

г) 24 • 6 • 50.

a) $8 · 25 · 18 =$$(8 · 25) · 18 =$$200 · 18 = 3600$

б) $56 · 5 · 4 = 56 · (5 · 4) =$$56 · 20 = 1120$

в) $250 · 47 · 4 =$$(250 · 4) · 47 =$$1000 · 47 = 47 000$

г) $24 · 6 · 50 = 24 · (6 · 50) =$$24 · 300 = 7200$

а) Для нахождения произведения $8 \cdot 25 \cdot 18$ воспользуемся сочетательным свойством умножения и сгруппируем множители так, чтобы вычисления были проще. Удобно сначала умножить 8 на 25.
$8 \cdot 25 = 200$
Теперь полученный результат умножим на 18:
$200 \cdot 18 = 3600$
Таким образом, $8 \cdot 25 \cdot 18 = (8 \cdot 25) \cdot 18 = 200 \cdot 18 = 3600$.
Ответ: 3600

б) В выражении $56 \cdot 5 \cdot 4$ удобнее сначала перемножить 5 и 4.
$5 \cdot 4 = 20$
Далее умножим 56 на полученный результат:
$56 \cdot 20 = 1120$
Полное вычисление: $56 \cdot 5 \cdot 4 = 56 \cdot (5 \cdot 4) = 56 \cdot 20 = 1120$.
Ответ: 1120

в) В произведении $250 \cdot 47 \cdot 4$ сгруппируем множители 250 и 4, так как их произведение является круглым числом.
$250 \cdot 4 = 1000$
Теперь умножим 1000 на оставшийся множитель 47:
$1000 \cdot 47 = 47000$
Следовательно, $250 \cdot 47 \cdot 4 = (250 \cdot 4) \cdot 47 = 1000 \cdot 47 = 47000$.
Ответ: 47000

г) Для вычисления произведения $24 \cdot 6 \cdot 50$ сгруппируем множители 6 и 50.
$6 \cdot 50 = 300$
Теперь умножим 24 на 300:
$24 \cdot 300 = 24 \cdot 3 \cdot 100 = 72 \cdot 100 = 7200$
Полное решение: $24 \cdot 6 \cdot 50 = 24 \cdot (6 \cdot 50) = 24 \cdot 300 = 7200$.
Ответ: 7200

3.164 Разделите 10 000 на 16. Используйте результат при вычислениях:

а) 625 • 16;

б) 100 000 : 625;

в) 1 000 000 : 625;

г) 160 • 6250.

$10 000 : 16 = 625$

a) $625 · 16 = 10 000$

б) $100 000 : 625 = 160$

в) $1 000 000 : 625 = 1600$

г) $160 · 6250 = 1 000 000$

Сначала выполним основное действие, указанное в задаче: разделим 10 000 на 16.

$10000 \div 16 = 625$

Из этого равенства следует, что $625 \cdot 16 = 10000$. Теперь используем этот результат для решения следующих примеров.

а) Для вычисления произведения $625 \cdot 16$ воспользуемся результатом, полученным выше. Так как деление является операцией, обратной умножению, из равенства $10000 \div 16 = 625$ напрямую следует, что:
$625 \cdot 16 = 10000$
Ответ: 10000.

б) Чтобы вычислить $100000 \div 625$, представим делимое $100000$ как $10 \cdot 10000$. Мы знаем, что $10000 = 625 \cdot 16$. Подставим это в наше выражение:
$100000 \div 625 = (10 \cdot 10000) \div 625 = (10 \cdot (625 \cdot 16)) \div 625$
При делении $625$ сокращается:
$10 \cdot 16 = 160$
Ответ: 160.

в) Чтобы вычислить $1000000 \div 625$, поступим аналогично предыдущему пункту. Представим $1000000$ как $100 \cdot 10000$. Снова используем замену $10000 = 625 \cdot 16$:
$1000000 \div 625 = (100 \cdot 10000) \div 625 = (100 \cdot (625 \cdot 16)) \div 625$
Сокращаем $625$:
$100 \cdot 16 = 1600$
Ответ: 1600.

г) Для вычисления произведения $160 \cdot 6250$ представим каждый множитель в удобном для нас виде. $160 = 16 \cdot 10$ и $6250 = 625 \cdot 10$. Перепишем выражение:
$160 \cdot 6250 = (16 \cdot 10) \cdot (625 \cdot 10)$
Сгруппируем множители, используя переместительный закон умножения:
$(16 \cdot 625) \cdot (10 \cdot 10)$
Мы знаем, что $16 \cdot 625 = 10000$. Подставляем это значение:
$10000 \cdot 100 = 1000000$
Ответ: 1000000.

3.165 Запишите самое маленькое и самое большое шестизначные числа, в записи которых все цифры различны.

102345 - самое маленькое шестизначное число;

987654 - самое большое шестизначное число

Самое маленькое шестизначное число с различными цифрами

Чтобы найти самое маленькое шестизначное число, в записи которого все цифры различны, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Число должно быть шестизначным, то есть состоять из шести цифр. Чтобы число было как можно меньше, его старшие разряды (те, что слева) должны содержать как можно меньшие цифры.

2. Набор доступных нам цифр: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Все цифры в числе должны быть уникальны.

3. Первая цифра (в разряде сотен тысяч) не может быть нулем, иначе число станет пятизначным. Следовательно, наименьшая возможная цифра для этого разряда — 1.

4. Для второго разряда (десятки тысяч) следует выбрать наименьшую из оставшихся цифр. Мы уже использовали 1. Самая маленькая доступная цифра — это 0.

5. Для последующих разрядов продолжаем выбирать наименьшие из оставшихся цифр по порядку: для разряда тысяч — 2, для сотен — 3, для десятков — 4, и для единиц — 5.

Собирая цифры вместе, получаем число 102345.

Ответ: 102345.

Самое большое шестизначное число с различными цифрами

Чтобы найти самое большое шестизначное число с различными цифрами, логика будет обратной:

1. Чтобы число было как можно больше, его старшие разряды должны содержать как можно большие цифры.

2. Для первого разряда (сотни тысяч) выбираем самую большую из доступных цифр — 9.

3. Для второго разряда (десятки тысяч) выбираем наибольшую из оставшихся цифр. Мы уже использовали 9, значит, следующая по величине — 8.

4. Продолжая этот процесс, для следующих разрядов мы выбираем самые большие из оставшихся цифр в порядке убывания: для тысяч — 7, для сотен — 6, для десятков — 5, и для единиц — 4.

Собирая цифры вместе, получаем число 987654.

Ответ: 987654.

3.166 Сравните на глаз отрезки МК и KL (рис. 3.10). Проверьте свой вывод измерением.

На глаз: MK = KL

Измерением: MK = KL

Сравнение на глаз отрезков MK и KL

При визуальном осмотре отрезков MK и KL на рисунке может возникнуть обманчивое впечатление, что их длины не одинаковы. Часто из-за особенностей зрительного восприятия и контекста изображения (в данном случае, стрелок на прямой) один из отрезков кажется длиннее другого. Визуально может показаться, что отрезок KL длиннее отрезка MK.

Ответ: На глаз кажется, что отрезок KL длиннее отрезка MK.

Проверка вывода измерением

Чтобы получить точный ответ и проверить наше первоначальное предположение, необходимо измерить длины отрезков с помощью линейки.

1. Приложим линейку к отрезку MK так, чтобы нулевая отметка шкалы совпала с точкой M. Зафиксируем длину отрезка.

2. Затем измерим длину отрезка KL, совмещая нулевую отметку линейки с точкой K.

В результате измерений мы увидим, что длины обоих отрезков на самом деле одинаковы. Следовательно, первоначальный вывод, сделанный на глаз, был неверным из-за оптической иллюзии. Равенство длин отрезков можно записать в виде формулы:

$MK = KL$

Ответ: Измерение показывает, что отрезки MK и KL равны.

3.167 Расстояние между Марсом и нашей планетой Земля меняется от 60 млн км до 390 млн км.

а) Сколько времени понадобится свету, чтобы преодолеть эти расстояния, если скорость света 300 000 км/с?

б) Сколько времени понадобится ракете, чтобы преодолеть эти же расстояния, если скорость ракеты 20 км/с?

Пусть x банок было.

Добавили в каждую банку – 3кг

Стало в каждой банке – 8кг

Составим уравнение:

$45 : x + 3 = 8$
$45 : x = 8 - 3$
$45 : x = 5$
$x = 45 : 5$
$x = 9$

Ответ: 9 банок.

Для решения этой задачи мы будем использовать основную формулу, связывающую расстояние, скорость и время: $t = \frac{S}{v}$, где $t$ — это время, $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Исходные данные:

• Минимальное расстояние между Марсом и Землей ($S_{min}$): $60 \text{ млн км} = 60 \, 000 \, 000 \text{ км}$
• Максимальное расстояние между Марсом и Землей ($S_{max}$): $390 \text{ млн км} = 390 \, 000 \, 000 \text{ км}$

Скорость света ($v_{света}$) составляет $300 \, 000 \text{ км/с}$.

1. Найдем время, необходимое свету для преодоления минимального расстояния:

$t_{min} = \frac{S_{min}}{v_{света}} = \frac{60 \, 000 \, 000 \text{ км}}{300 \, 000 \text{ км/с}} = 200 \text{ с}$

Переведем 200 секунд в более привычные единицы: $200 \text{ с} = 3 \text{ минуты } 20 \text{ секунд}$.

2. Найдем время, необходимое свету для преодоления максимального расстояния:

$t_{max} = \frac{S_{max}}{v_{света}} = \frac{390 \, 000 \, 000 \text{ км}}{300 \, 000 \text{ км/с}} = 1300 \text{ с}$

Переведем 1300 секунд в минуты и секунды: $1300 \text{ с} = 21 \text{ минута } 40 \text{ секунд}$.

Ответ: свету понадобится от 200 секунд (3 минуты 20 секунд) до 1300 секунд (21 минута 40 секунд), чтобы преодолеть расстояние между Землей и Марсом.

Скорость ракеты ($v_{ракеты}$) составляет $20 \text{ км/с}$.

1. Найдем время, необходимое ракете для преодоления минимального расстояния:

$t_{min} = \frac{S_{min}}{v_{ракеты}} = \frac{60 \, 000 \, 000 \text{ км}}{20 \text{ км/с}} = 3 \, 000 \, 000 \text{ с}$

Чтобы лучше представить это время, переведем его в сутки (в одних сутках $24 \times 60 \times 60 = 86 \, 400$ секунд):

$3 \, 000 \, 000 \text{ с} \div 86 \, 400 \text{ с/сутки} \approx 34,7 \text{ суток}$.

2. Найдем время, необходимое ракете для преодоления максимального расстояния:

$t_{max} = \frac{S_{max}}{v_{ракеты}} = \frac{390 \, 000 \, 000 \text{ км}}{20 \text{ км/с}} = 19 \, 500 \, 000 \text{ с}$

Переведем это время в сутки:

$19 \, 500 \, 000 \text{ с} \div 86 \, 400 \text{ с/сутки} \approx 225,7 \text{ суток}$.

Ответ: ракете понадобится от 3 000 000 секунд (примерно 34,7 суток) до 19 500 000 секунд (примерно 225,7 суток), чтобы преодолеть расстояние между Землей и Марсом.

3.168 Оператор тратит 12 мин на разговор с одним клиентом. Сколько клиентов успеет обзвонить оператор за 7 ч?

$7 \mathrm{ч} = 420 \mathrm{мин}$
$420 : 12 = 35 (\mathrm{кл}.)$

Ответ: 35 клиентов.

Чтобы решить эту задачу, необходимо сначала привести общее время работы и время на одного клиента к одной единице измерения. Удобнее всего перевести часы в минуты.

1. Перевод часов в минуты
В одном часе 60 минут. Чтобы узнать, сколько минут в 7 часах, нужно умножить 7 на 60.
$7 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 420 \text{ мин}$
Таким образом, общее время, которое оператор потратит на звонки, составляет 420 минут.

2. Расчет количества клиентов
Теперь, зная общее время работы в минутах (420) и время на одного клиента (12 минут), мы можем найти количество клиентов. Для этого нужно общее время разделить на время, затрачиваемое на одного клиента.
$\frac{420 \text{ мин}}{12 \text{ мин}} = 35$
Следовательно, оператор успеет обзвонить 35 клиентов.

Ответ: 35 клиентов.

3.169 За неделю через плохо закрытый кран вытекает 2800 л холодной воды, если толщина струи равна толщине спички. Сколько двухсотлитровых бочек воды теряется за месяц (30 дней)? Сколько надо заплатить за этот объём воды, если за одну бочку надо заплатить около 14 р.?

1)

$\mathrm{2800 : 7 = 400 (}\mathrm{л})$ в день вытекает холодной воды

2) $\mathrm{400 · 30 = 12 000 (}\mathrm{л})$ вытекает за месяц

3)

$\mathrm{12 000 : 200 = 60} \left(\mathrm{бочек}\right)$ воды теряется за месяц

4)

$\mathrm{60 · 14 = 60 · (10 + 4) = }$$\mathrm{60 · 10 + 60 · 4 = }$$\mathrm{600 + 240 = 840} (\mathrm{р}.)$

Ответ: 60 бочек; 840 р.

Сколько двухсотлитровых бочек воды теряется за месяц (30 дней)?

1. Сначала определим, сколько воды вытекает из крана за один день. В неделе 7 дней, значит, суточные потери составят:

$V_{день} = \frac{2800 \text{ л}}{7 \text{ дней}} = 400 \text{ л/день}$

2. Далее рассчитаем объём воды, который вытечет за месяц (30 дней):

$V_{месяц} = V_{день} \times 30 \text{ дней} = 400 \text{ л/день} \times 30 \text{ дней} = 12000 \text{ л}$

3. Теперь найдём, сколько двухсотлитровых бочек составляет этот объём. Для этого разделим общий объём воды на объём одной бочки (200 л):

$N_{бочек} = \frac{V_{месяц}}{V_{бочки}} = \frac{12000 \text{ л}}{200 \text{ л}} = 60 \text{ бочек}$

Ответ: за месяц теряется 60 двухсотлитровых бочек воды.

Сколько надо заплатить за этот объём воды, если за одну бочку надо заплатить около 14 р.?

1. Из предыдущего пункта мы знаем, что за месяц теряется 60 бочек воды.

2. Стоимость одной бочки воды составляет 14 рублей.

3. Чтобы найти общую стоимость потерянной воды, умножим количество бочек на цену одной бочки:

$Стоимость = N_{бочек} \times Цена_{бочки} = 60 \times 14 \text{ р.} = 840 \text{ р.}$

Ответ: за этот объём воды надо заплатить 840 рублей.

3.170 Оле а лет, а её маме b лет. Оля младше мамы на 24 года. Заполните таблицу.

а) Во сколько раз Оля была младше мамы, когда маме было: 26 лет; 48 лет?

б) Во сколько раз мама была старше Оли, когда Оле было: 4 года; 12 лет?

$b = a + 24$

при $a = 1$,
$b = 1 + 24 = 25$;

$25 : 1 = 25$

при $b = 26$;
$26 = a + 24$
$a = 26 - 24$
$a = 2$;

$26 : 2 = 13$

при $a = 4$,
$b = 4 + 24 = 28$;

$28 : 4 = 7$

при $b = 32$,
$32 = a + 24$
$a = 32 - 24$
$a = 8$;

$32 : 8 = 4$

при $a = 12$,
$b = 12 + 24 = 36$;

$36 : 12 = 3$

при $b = 48$,
$48 = a + 24$
$a = 48 - 24$
$a = 24$;

$48 : 24 = 2$

а) в 13 раз; в 2 раза
б) в 7 раз; в 3 раза

По условию задачи, возраст Оли — $a$ лет, а возраст её мамы — $b$ лет. Оля младше мамы на 24 года, что можно выразить формулой: $b = a + 24$.

Мы будем использовать эту формулу для заполнения пустых ячеек в таблице. В случаях, когда в таблице уже указаны оба возраста и они не соответствуют этой формуле, мы будем использовать предоставленные значения как есть для этого конкретного случая. Затем мы вычислим отношение $b:a$ для каждого столбца.

Заполнение таблицы:

Столбец 1: Даны значения $a = 1$ и $b = 26$. Разница в возрасте составляет $26 - 1 = 25$ лет. Отношение возрастов: $b:a = 26:1 = 26$.
Столбец 2: Дано значение $a = 4$. Используем формулу, чтобы найти возраст мамы: $b = 4 + 24 = 28$ лет. Отношение возрастов: $b:a = 28:4 = 7$.
Столбец 3: Даны значения $a = 12$ и $b = 32$. Разница в возрасте составляет $32 - 12 = 20$ лет. Отношение возрастов: $b:a = 32:12$. Сократив дробь, получаем $\frac{32}{12} = \frac{8}{3}$.
Столбец 4: Дано значение $b = 48$. Используем формулу, чтобы найти возраст Оли: $a = 48 - 24 = 24$ года. Отношение возрастов: $b:a = 48:24 = 2$.

Итоговая заполненная таблица:

а) Чтобы найти, во сколько раз Оля была младше мамы, нужно разделить возраст мамы ($b$) на возраст Оли ($a$).

- Когда маме было 26 лет ($b=26$), из таблицы видно, что Оле был 1 год ($a=1$).
Отношение: $26 : 1 = 26$.
- Когда маме было 48 лет ($b=48$), мы вычислили, что Оле было 24 года ($a=24$).
Отношение: $48 : 24 = 2$.
Ответ: когда маме было 26 лет, Оля была младше в 26 раз; когда маме было 48 лет, Оля была младше в 2 раза.

б) Чтобы найти, во сколько раз мама была старше Оли, нужно также разделить возраст мамы ($b$) на возраст Оли ($a$).

- Когда Оле было 4 года ($a=4$), мы вычислили, что маме было 28 лет ($b=28$).
Отношение: $28 : 4 = 7$.
- Когда Оле было 12 лет ($a=12$), из таблицы видно, что маме было 32 года ($b=32$).
Отношение: $32 : 12 = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
Ответ: когда Оле было 4 года, мама была старше в 7 раз; когда Оле было 12 лет, мама была старше в $\frac{8}{3}$ раза (или в $2\frac{2}{3}$ раза).

6.24 Решите уравнение:

1) $n : 17 = 4556 + 2445$

Сначала выполним действие в правой части уравнения — сложение:

$4556 + 2445 = 7001$

Получаем упрощенное уравнение:

$n : 17 = 7001$

В данном уравнении $n$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель:

$n = 7001 \cdot 17$

$n = 119017$

Ответ: $n = 119017$.

2) $m : 29 = 3477 - 2963$

Сначала выполним действие в правой части уравнения — вычитание:

$3477 - 2963 = 514$

Получаем упрощенное уравнение:

$m : 29 = 514$

Здесь $m$ — это неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное умножить на делитель:

$m = 514 \cdot 29$

$m = 14906$

Ответ: $m = 14906$.

3) $140 895 : (z - 197) = 465$

В этом уравнении выражение в скобках $(z - 197)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное:

$z - 197 = 140 895 : 465$

$z - 197 = 303$

Теперь мы имеем простое уравнение, где $z$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$z = 303 + 197$

$z = 500$

Ответ: $z = 500$.

4) $(2747 + x) \cdot 125 = 593 375$

Здесь выражение в скобках $(2747 + x)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

$2747 + x = 593 375 : 125$

$2747 + x = 4747$

Теперь у нас есть простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 4747 - 2747$

$x = 2000$

Ответ: $x = 2000$.

6.25 Запишите в виде десятичной дроби:

a) $5\frac{3}{10} = 5,3$

$7\frac{4}{10} = 7,4$

$13\frac{13}{100} = 13,13$

$8\frac{21}{100} = 8,21$

$9\frac{8}{100} = 9\frac{08}{100} = 9,08$

$100\frac{1}{100} = 100\frac{01}{100} = 100,01$

$303\frac{303}{1000} = 303,303$

$12\frac{25}{1000} = 12\frac{025}{1000} = 12,025$

б) $324\frac{7}{1000} = 324\frac{007}{1000} = 324,007$

$9\frac{19}{10000} = 9\frac{0019}{10000} = 9,0019$

$21\frac{407}{100000} = 21\frac{00407}{100000} = 21,00407$

$320\frac{1}{10000} = 320\frac{0001}{10000} = 320,0001$

$\frac{8}{10} = 0,8$

$\frac{9}{100} = \frac{09}{100} = 0,09$

$\frac{1}{100000} = \frac{00001}{100000} = 0,00001$

Чтобы записать смешанное число или правильную дробь в виде десятичной дроби, нужно целую часть (если она есть) записать перед запятой, а после запятой записать числитель дробной части. При этом количество знаков после запятой должно быть равно количеству нулей в знаменателе. Если в числителе меньше цифр, чем нулей в знаменателе, то перед числителем дописываются нули.

• $5 \frac{3}{10}$: целая часть 5, в знаменателе 1 ноль, в числителе одна цифра. Получаем 5,3.

• $7 \frac{4}{10}$: целая часть 7, в знаменателе 1 ноль, в числителе одна цифра. Получаем 7,4.

• $13 \frac{13}{100}$: целая часть 13, в знаменателе 2 ноля, в числителе две цифры. Получаем 13,13.

• $8 \frac{21}{100}$: целая часть 8, в знаменателе 2 ноля, в числителе две цифры. Получаем 8,21.

• $9 \frac{8}{100}$: целая часть 9, в знаменателе 2 ноля, а в числителе одна цифра. Дописываем один ноль перед 8. Получаем 9,08.

• $100 \frac{1}{100}$: целая часть 100, в знаменателе 2 ноля, а в числителе одна цифра. Дописываем один ноль перед 1. Получаем 100,01.

• $303 \frac{303}{1000}$: целая часть 303, в знаменателе 3 ноля, в числителе три цифры. Получаем 303,303.

• $12 \frac{25}{1000}$: целая часть 12, в знаменателе 3 ноля, а в числителе две цифры. Дописываем один ноль перед 25. Получаем 12,025.

Ответ: 5,3; 7,4; 13,13; 8,21; 9,08; 100,01; 303,303; 12,025.

• $324 \frac{7}{1000}$: целая часть 324, в знаменателе 3 ноля, а в числителе одна цифра. Дописываем два ноля перед 7. Получаем 324,007.

• $9 \frac{19}{10\,000}$: целая часть 9, в знаменателе 4 ноля, а в числителе две цифры. Дописываем два ноля перед 19. Получаем 9,0019.

• $21 \frac{407}{100\,000}$: целая часть 21, в знаменателе 5 нолей, а в числителе три цифры. Дописываем два ноля перед 407. Получаем 21,00407.

• $320 \frac{1}{10\,000}$: целая часть 320, в знаменателе 4 ноля, а в числителе одна цифра. Дописываем три ноля перед 1. Получаем 320,0001.

• $\frac{8}{10}$: целая часть отсутствует (равна 0), в знаменателе 1 ноль, в числителе одна цифра. Получаем 0,8.

• $\frac{9}{100}$: целая часть 0, в знаменателе 2 ноля, а в числителе одна цифра. Дописываем один ноль перед 9. Получаем 0,09.

• $\frac{1}{100\,000}$: целая часть 0, в знаменателе 5 нолей, а в числителе одна цифра. Дописываем четыре ноля перед 1. Получаем 0,00001.

Ответ: 324,007; 9,0019; 21,00407; 320,0001; 0,8; 0,09; 0,00001.

6.26 Сравните:

а) Чтобы сравнить два смешанных числа $13\frac{3}{4}$ и $12\frac{1}{4}$, нужно в первую очередь сравнить их целые части. Целая часть первого числа равна $13$, а целая часть второго числа равна $12$. Поскольку $13 > 12$, то первое число больше второго, независимо от их дробных частей.
Ответ: $13\frac{3}{4} > 12\frac{1}{4}$.

б) Чтобы сравнить смешанное число $6\frac{2}{3}$ и неправильную дробь $\frac{20}{3}$, приведем их к одному виду. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и к результату прибавим числитель; знаменатель оставим без изменений: $6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{18 + 2}{3} = \frac{20}{3}$. Теперь сравним полученную дробь $\frac{20}{3}$ и исходную дробь $\frac{20}{3}$. Так как дроби равны, то и исходные числа равны.
Ответ: $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.

в) Чтобы сравнить два смешанных числа $9\frac{17}{25}$ и $9\frac{19}{25}$, сначала сравним их целые части. В обоих случаях целая часть равна $9$. Так как целые части равны, необходимо сравнить их дробные части: $\frac{17}{25}$ и $\frac{19}{25}$. У этих дробей одинаковые знаменатели. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $17 < 19$. Следовательно, $\frac{17}{25} < \frac{19}{25}$. Значит, и первое смешанное число меньше второго.
Ответ: $9\frac{17}{25} < 9\frac{19}{25}$.

6.27 Выразите:

а) в метрах: 10 м 36 см; 405 см; 25 см; 1 дм;

б) в тоннах и центнерах: 7,1 т; 9,22 т; 0,25 т; 0,07 т;

в) в квадратных километрах: 1 км² 50 м²; 106 га; 2000 а.

а) $10\text{м}36\text{см} = 10\text{м} + \frac{36}{100}\text{м} = 10\frac{36}{100}\text{м} =$

$= \mathrm{10,36}\text{м}$

$405\text{см} = \frac{405}{100}\text{м} = 4\frac{5}{100}\text{м} = 4\frac{05}{100}\text{м} =$

$= \mathrm{4,05}\text{м}$

$25\text{см} = \frac{25}{100}\text{м} = \mathrm{0,25}\text{м}$

$1\text{дм} = \frac{1}{10}\text{м} = \mathrm{0,1}\text{м}$

б) $\mathrm{7,1}\text{м} = 7\frac{1}{10}\text{м} = 7\text{м} + \frac{1}{10}\text{м} =$

$= 7\text{м} + 1\text{дц} = 7\text{м}1\text{дц}$

$\mathrm{9,22}\text{м} = 9\frac{22}{100}\text{м} = 9\text{м} + \frac{22}{100}\text{м} =$

$= 9\text{м} + \frac{22}{10}\text{дц} = 9\text{м} + 2\frac{2}{10}\text{дц} =$

$= 9\text{м} + \mathrm{2,2}\text{дц} = 9\text{м}\mathrm{2,2}\text{дц}$

$\mathrm{0,25}\text{м} = \frac{25}{100}\text{м} = \frac{25}{10}\text{дц} = 2\frac{5}{10}\text{дц} =$

$= \mathrm{2,5}\text{дц}$

$\mathrm{0,07}\text{м} = \frac{7}{100}\text{м} = \frac{7}{10}\text{дц} = \mathrm{0,7}\text{дц}$

в) $1{\text{км}}^{2}50{\text{м}}^2 = 1{\text{км}}^2 + 50{\text{м}}^2 = 1{\text{км}}^2 + \frac{50}{1000000}{\text{км}}^2 =$

$= 1{\text{км}}^2 + \frac{000050}{1000000}{\text{км}}^2 = \mathrm{1,000050}{\text{км}}^2$

$106\text{га} = \frac{106}{100}{\text{км}}^2 = 1\frac{06}{100}{\text{км}}^2 = \mathrm{1,06}{\text{км}}^2$

$2000\text{а} = \frac{2000}{10000}{\text{км}}^2 = \frac{2·1000}{10·1000}{\text{км}}^2 =$

$= \frac{2}{10}{\text{км}}^2 = \mathrm{0,2}{\text{км}}^2$

а) Для того чтобы выразить данные величины в метрах, воспользуемся следующими соотношениями: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ (сантиметров) и $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ (дециметров). Отсюда следует, что $1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$ и $1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$.

$10 \text{ м } 36 \text{ см} = 10 \text{ м} + 36 \text{ см} = 10 \text{ м} + \frac{36}{100} \text{ м} = 10 \text{ м} + 0,36 \text{ м} = 10,36 \text{ м}$.

$405 \text{ см} = \frac{405}{100} \text{ м} = 4,05 \text{ м}$.

$25 \text{ см} = \frac{25}{100} \text{ м} = 0,25 \text{ м}$.

$1 \text{ дм} = \frac{1}{10} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$.

Ответ: $10,36 \text{ м}$; $4,05 \text{ м}$; $0,25 \text{ м}$; $0,1 \text{ м}$.

б) Для того чтобы выразить данные величины в тоннах и центнерах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$ (центнеров). Целая часть числа, обозначающего массу в тоннах, будет являться тоннами, а дробную часть необходимо перевести в центнеры, умножив ее на 10.

$7,1 \text{ т} = 7 \text{ т} + 0,1 \text{ т} = 7 \text{ т} + (0,1 \times 10) \text{ ц} = 7 \text{ т } 1 \text{ ц}$.

$9,22 \text{ т} = 9 \text{ т} + 0,22 \text{ т} = 9 \text{ т} + (0,22 \times 10) \text{ ц} = 9 \text{ т } 2,2 \text{ ц}$.

$0,25 \text{ т} = 0 \text{ т} + 0,25 \text{ т} = (0,25 \times 10) \text{ ц} = 2,5 \text{ ц}$.

$0,07 \text{ т} = 0 \text{ т} + 0,07 \text{ т} = (0,07 \times 10) \text{ ц} = 0,7 \text{ ц}$.

Ответ: $7 \text{ т } 1 \text{ ц}$; $9 \text{ т } 2,2 \text{ ц}$; $2,5 \text{ ц}$; $0,7 \text{ ц}$.

в) Для того чтобы выразить данные величины в квадратных километрах, воспользуемся следующими соотношениями: $1 \text{ км}^2 = 1\;000\;000 \text{ м}^2$ (квадратных метров), $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$ (гектаров), $1 \text{ км}^2 = 10\;000 \text{ а}$ (аров).

$1 \text{ км}^2 \text{ } 50 \text{ м}^2 = 1 \text{ км}^2 + 50 \text{ м}^2 = 1 \text{ км}^2 + \frac{50}{1\;000\;000} \text{ км}^2 = 1 \text{ км}^2 + 0,00005 \text{ км}^2 = 1,00005 \text{ км}^2$.

$106 \text{ га} = \frac{106}{100} \text{ км}^2 = 1,06 \text{ км}^2$.

$2000 \text{ а} = \frac{2000}{10\;000} \text{ км}^2 = 0,2 \text{ км}^2$.

Ответ: $1,00005 \text{ км}^2$; $1,06 \text{ км}^2$; $0,2 \text{ км}^2$.

6.28 Водитель автомобиля увидел идущий впереди автобус, когда расстояние до него было 900 м, и через 3 мин его догнал. С какой скоростью двигался автобус, если скорость автомобиля 1500 м/мин?

1500 м/мин

х м/мин

Автомобиль

900м

Автобус

через 3 мин

Пусть х м/мин – скорость автобуса, тогда (1500 – х) м/мин – скорость сближения. Зная, что автомобиль догнал автобус через 3 мин, составили и решили уравнение:

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Скорость сближения — это скорость, с которой уменьшается расстояние между двумя движущимися объектами.

1. Найдем скорость сближения.
Автомобиль догоняет автобус, сокращая начальное расстояние между ними. Начальное расстояние $S$ равно 900 м, а время $t$, за которое автомобиль догнал автобус, составляет 3 мин. Скорость сближения ($v_{сближения}$) можно найти, разделив расстояние на время:

$v_{сближения} = \frac{S}{t} = \frac{900 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 300 \text{ м/мин}$

Таким образом, каждую минуту расстояние между автомобилем и автобусом сокращалось на 300 метров.

2. Найдем скорость автобуса.
Когда один объект догоняет другой, их скорость сближения равна разности их скоростей. Обозначим скорость автомобиля как $v_{авто}$, а скорость автобуса как $v_{автобус}$.

$v_{сближения} = v_{авто} - v_{автобус}$

Мы знаем скорость автомобиля ($v_{авто} = 1500$ м/мин) и скорость сближения ($v_{сближения} = 300$ м/мин). Подставим эти значения в формулу, чтобы найти неизвестную скорость автобуса:

$300 \text{ м/мин} = 1500 \text{ м/мин} - v_{автобус}$

Теперь выразим из этого уравнения $v_{автобус}$:

$v_{автобус} = 1500 \text{ м/мин} - 300 \text{ м/мин}$

$v_{автобус} = 1200 \text{ м/мин}$

Ответ: скорость автобуса 1200 м/мин.

6.29 Велосипедист Миша отправился в соседний город, расстояние до которого 72 км. Сколько километров проезжал Миша в час, если в первые три часа он проезжал одинаковое расстояние, а за четвёртый час проехал на 4 км меньше?

Для решения задачи обозначим за $x$ расстояние в километрах, которое Миша проезжал каждый час в течение первых трёх часов.

Согласно условию, в первые три часа он проезжал одинаковое расстояние. Таким образом:

• Расстояние за 1-й час: $x$ км
• Расстояние за 2-й час: $x$ км
• Расстояние за 3-й час: $x$ км

За четвёртый час он проехал на 4 км меньше, чем в предыдущие часы. Значит, расстояние за четвёртый час равно $(x - 4)$ км.

Общее расстояние, которое проехал Миша, составляет 72 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния, пройденные за каждый из четырёх часов:$x + x + x + (x - 4) = 72$

Теперь решим это уравнение:
1. Сначала сгруппируем и сложим все переменные $x$:
$4x - 4 = 72$
2. Перенесём число -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4x = 72 + 4$
$4x = 76$
3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:
$x = \frac{76}{4}$
$x = 19$

Таким образом, в течение первых трёх часов Миша проезжал по 19 км в час.

Теперь найдём, сколько километров Миша проехал за четвёртый час:
$x - 4 = 19 - 4 = 15$ км.

Проверим наше решение:$19 \text{ км} + 19 \text{ км} + 19 \text{ км} + 15 \text{ км} = 3 \times 19 + 15 = 57 + 15 = 72 \text{ км}$.
Общее расстояние совпадает с условием задачи.

Ответ: в первые три часа Миша проезжал по 19 км, а за четвёртый час — 15 км.

6.30 Найдите значение выражения:

а) $623 + (501 - 3 \cdot (9696 : 96)) : 18$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, при этом первыми идут умножение и деление, а затем сложение и вычитание. После этого выполняются остальные действия в том же порядке.

1. Первое действие — деление в самых внутренних скобках:
$9696 : 96 = 101$

2. Второе действие — умножение в скобках:
$3 \cdot 101 = 303$

3. Третье действие — вычитание в скобках:
$501 - 303 = 198$

4. Четвертое действие — деление:
$198 : 18 = 11$

5. Пятое, заключительное действие — сложение:
$623 + 11 = 634$

Ответ: 634

б) $516 + (702 - 4 \cdot (7373 : 73)) \cdot 6$

Решаем по порядку действий. Сначала действия в скобках (деление, затем умножение и вычитание), потом умножение за скобками, и в конце — сложение.

1. Первое действие — деление во внутренних скобках:
$7373 : 73 = 101$

2. Второе действие — умножение в скобках:
$4 \cdot 101 = 404$

3. Третье действие — вычитание в скобках:
$702 - 404 = 298$

4. Четвертое действие — умножение:
$298 \cdot 6 = 1788$

5. Пятое, заключительное действие — сложение:
$516 + 1788 = 2304$

Ответ: 2304

1 Запишите в виде десятичных дробей числа из таблицы.

Чтобы записать числа из таблицы в виде десятичных дробей, нужно для каждой строки последовательно записать цифры из ячеек, разделяя целую и дробную части запятой. Каждая цифра в таблице соответствует определённому разряду числа.

I.

Для первого числа (строка I) имеем:

Целая часть: 0 сотен, 0 десятков, 1 единица. Записываем целую часть как 1.

Дробная часть: 5 десятых, 3 сотых, 0 тысячных, 5 десятитысячных. Записываем дробную часть после запятой как 5305.

Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

$0 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,01 + 0 \cdot 0,001 + 5 \cdot 0,0001 = 1 + 0,5 + 0,03 + 0 + 0,0005 = 1,5305$.

Ответ: 1,5305.

II.

Для второго числа (строка II) действуем аналогично:

Целая часть: 2 сотни, 0 десятков, 3 единицы. Целая часть равна 203.

Дробная часть: 0 десятых, 1 сотая, 5 тысячных, 0 десятитысячных. Дробная часть равна 0150. Незначащий ноль в конце дробной части можно отбросить.

Сумма разрядных слагаемых:

$2 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,01 + 5 \cdot 0,001 + 0 \cdot 0,0001 = 200 + 3 + 0,01 + 0,005 = 203,015$.

Ответ: 203,015.

III.

Для третьего числа (строка III):

Целая часть: 0 сотен, 1 десяток, 0 единиц. Целая часть равна 10.

Дробная часть: 1 десятая, 0 сотых, 0 тысячных, 2 десятитысячные. Дробная часть равна 1002.

Сумма разрядных слагаемых:

$0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,01 + 0 \cdot 0,001 + 2 \cdot 0,0001 = 10 + 0,1 + 0,0002 = 10,1002$.

Ответ: 10,1002.

IV.

Для четвертого числа (строка IV):

Целая часть: 4 сотни, 0 десятков, 0 единиц. Целая часть равна 400.

Дробная часть: 0 десятых, 0 сотых, 6 тысячных, 0 десятитысячных. Дробная часть равна 0060, или просто 006.

Сумма разрядных слагаемых:

$4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,01 + 6 \cdot 0,001 + 0 \cdot 0,0001 = 400 + 0,006 = 400,006$.

Ответ: 400,006.