Страница 91, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.110 Найдите три натуральных числа, произведение и сумма которых равны 6 (рис. 3.7).

$1 + 2 + 3 = 6$
$1 · 2 · 3 = 6$
Ответ: 1, 2 и 3.

Пусть искомые три натуральных числа – это $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, их сумма и произведение должны быть равны 6. Это можно записать в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ a \cdot b \cdot c = 6 \end{cases} $

Так как $a$, $b$ и $c$ являются натуральными числами (т.е. целыми положительными числами: 1, 2, 3, ...), начнем решение со второго уравнения, так как оно имеет ограниченное количество решений в натуральных числах. Нам нужно найти все тройки натуральных чисел, произведение которых равно 6.

Разложим число 6 на три натуральных множителя. Чтобы не повторять комбинации, будем располагать числа в порядке неубывания ($a \le b \le c$):

• Если первый множитель равен 1, то произведение двух оставшихся должно быть равно 6. Возможные пары: 1 и 6, или 2 и 3. Так мы получаем две тройки множителей: (1, 1, 6) и (1, 2, 3).

Таким образом, у нас есть всего два набора чисел-кандидатов: {1, 1, 6} и {1, 2, 3}.

Теперь проверим, какой из этих наборов удовлетворяет первому уравнению системы, то есть $a + b + c = 6$.

1. Проверяем набор {1, 1, 6}:
   Сумма чисел: $1 + 1 + 6 = 8$.
   Так как $8 \ne 6$, этот набор нам не подходит.
2. Проверяем набор {1, 2, 3}:
   Сумма чисел: $1 + 2 + 3 = 6$.
   Так как $6 = 6$, этот набор является решением.

Итак, единственная тройка натуральных чисел, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 1, 2 и 3.

Ответ: 1, 2, 3.

3.111 В корзине лежат яблоки, груши и сливы - всего 25 фруктов. Сколько в корзине яблок, если груш в 12 раз меньше, чем слив?

Пусть x груш лежит в корзине, тогда 12x слив лежит в корзине.

Значит, $25 - (x + 12x)$ яблок лежит в корзине

$25 - (x + 12x) =$$25 - x(1 + 12) =$$25 - x · 13 =$$25 - 13x.$

Если x = 1, то $25 - 13 · 1 =$$25 - 13 = 12$.

Если x = 2, то $25 - 13 · 2 = 25 - 26$ не имеет смысла.

Ответ: 12 яблок.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $Я$ — это количество яблок, $Г$ — количество груш, а $С$ — количество слив в корзине.

Согласно условию, общее количество фруктов равно 25, что можно записать в виде уравнения: $Я + Г + С = 25$. Также нам известно, что груш в 12 раз меньше, чем слив, следовательно, количество слив в 12 раз больше количества груш: $С = 12 \cdot Г$.

Теперь мы можем подставить выражение для $С$ в первое уравнение, чтобы связать количество яблок и груш: $Я + Г + (12 \cdot Г) = 25$

Упростим полученное уравнение, сложив количество груш: $Я + 13 \cdot Г = 25$

Выразим из этого уравнения количество яблок $Я$: $Я = 25 - 13 \cdot Г$

Поскольку количество фруктов может быть только целым неотрицательным числом, и из условия "в корзине лежат яблоки, груши и сливы" следует, что каждый вид фруктов представлен (то есть $Г \ge 1$), нам нужно найти такое целое значение $Г$, при котором $Я$ также будет целым и положительным.

Проверим возможные целые значения для $Г$, начиная с 1:

• Если предположить, что в корзине 1 груша ($Г = 1$), то количество яблок будет: $Я = 25 - 13 \cdot 1 = 12$. Количество слив при этом $С = 12 \cdot 1 = 12$. Проверим общее число фруктов: $12 \text{ (яблок)} + 1 \text{ (груша)} + 12 \text{ (слив)} = 25$. Это решение удовлетворяет всем условиям задачи.
• Если предположить, что в корзине 2 груши ($Г = 2$), то количество яблок будет: $Я = 25 - 13 \cdot 2 = 25 - 26 = -1$. Количество яблок не может быть отрицательным, поэтому этот вариант и все последующие (где $Г > 2$) невозможны.

Таким образом, единственно возможный вариант — в корзине 1 груша, 12 слив и, соответственно, 12 яблок.

Ответ: в корзине 12 яблок.

3.112 Запишите в виде суммы произведение:

а) (a - b) • 4;

б) (2a + b) • 4;

в) (3x + 4y) • 5;

г) (12x) • 7.

a) $(a - b) · 4 = (a - b) + (a - b)$$+ (a - b) + (a - b);$

б) $(2a + b) · 4 = (2a + b) +$$(2a + b) + (2a + b);$

в) $(3x + 4y) · 5 = (3x + 4y) +$$(3x + 4y) +$$+ (3x + 4y) +$$(3x + 4y) + (3x + 4y);$

г) $\left(12x\right) · 7 = 12x + 12x$$+ 12x + 12x +$$12x + 12x + 12x.$

а) Чтобы записать произведение $(a - b) \cdot 4$ в виде суммы, необходимо использовать распределительный закон умножения. Согласно этому закону, нужно умножить каждый член внутри скобок на множитель за скобками, то есть на 4.

$(a - b) \cdot 4 = a \cdot 4 - b \cdot 4$

По правилам записи алгебраических выражений, числовой коэффициент ставится перед переменной:

$a \cdot 4 - b \cdot 4 = 4a - 4b$

Ответ: $4a - 4b$

б) Для преобразования произведения $(2a + b) \cdot 4$ в сумму, мы также применяем распределительный закон умножения. Умножаем каждый член в скобках на 4.

$(2a + b) \cdot 4 = 2a \cdot 4 + b \cdot 4$

Выполняем умножение:

$2a \cdot 4 = 8a$

$b \cdot 4 = 4b$

Складываем полученные произведения:

$8a + 4b$

Ответ: $8a + 4b$

в) В этом случае мы снова используем распределительный закон для выражения $(3x + 4y) \cdot 5$. Каждый член, находящийся в скобках, умножается на 5.

$(3x + 4y) \cdot 5 = 3x \cdot 5 + 4y \cdot 5$

Вычисляем каждое произведение:

$3x \cdot 5 = 15x$

$4y \cdot 5 = 20y$

Результатом будет сумма этих произведений:

$15x + 20y$

Ответ: $15x + 20y$

г) Выражение $(12x) \cdot 7$ представляет собой произведение одночлена на число. Чтобы его упростить, нужно перемножить числовые коэффициенты.

$(12x) \cdot 7 = 12 \cdot 7 \cdot x$

Вычисляем произведение чисел:

$12 \cdot 7 = 84$

Таким образом, получаем:

$84x$

Полученное выражение $84x$ является одночленом, который формально можно считать суммой, состоящей из одного слагаемого.

Ответ: $84x$

3.113 Запишите произведение выражений:

а) 6b и 2a + 11;

б) 3x + 4y и 5a - 16b;

в) 4xy и 5mn.

а) $6b · (2a + 11)$

б) $(3x + 4y) · (5a - 16b)$

в) $\left(4xy\right) · \left(5mn\right)$

a) Чтобы найти произведение выражений $6b$ и $2a + 11$, необходимо умножить одночлен $6b$ на многочлен $(2a + 11)$. Используем распределительное свойство умножения: умножаем одночлен на каждый член многочлена и складываем результаты.

$6b \cdot (2a + 11) = 6b \cdot 2a + 6b \cdot 11 = 12ab + 66b$

Ответ: $12ab + 66b$.

б) Чтобы найти произведение выражений $3x + 4y$ и $5a - 16b$, нужно умножить один многочлен на другой. Для этого каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго и складываем полученные произведения.

$(3x + 4y) \cdot (5a - 16b) = 3x \cdot 5a + 3x \cdot (-16b) + 4y \cdot 5a + 4y \cdot (-16b) = 15ax - 48bx + 20ay - 64by$

Подобные слагаемые в полученном выражении отсутствуют.

Ответ: $15ax - 48bx + 20ay - 64by$.

в) Чтобы найти произведение одночленов $4xy$ и $5mn$, перемножаем их числовые коэффициенты и их буквенные части.

$4xy \cdot 5mn = (4 \cdot 5) \cdot (x \cdot y \cdot m \cdot n) = 20xymn$

Ответ: $20xymn$.

3.114 Назовите множители в произведении:

а) (a + 9y) • (6a + 6);

б) (b - 3x) • (x + 4y);

в) 3zt(y - 4b);

г) 8abc.

а) В данном выражении $(a + 9y) \cdot (6a + b)$ представлено произведение двух двучленов. Первый множитель — это выражение в первых скобках, а второй множитель — выражение во вторых скобках.
Ответ: $(a + 9y)$ и $(6a + b)$.

б) В произведении $(b - 3x) \cdot (x + 4y)$ множителями являются два выражения, каждое из которых заключено в скобки.
Ответ: $(b - 3x)$ и $(x + 4y)$.

в) Выражение $3zt(y - 4b)$ представляет собой произведение, состоящее из нескольких множителей. Это числовой коэффициент $3$, переменные $z$ и $t$, и двучлен $(y - 4b)$.
Ответ: $3$, $z$, $t$ и $(y - 4b)$.

г) Выражение $8abc$ является произведением. Его множителями являются числовой коэффициент $8$ и три переменные $a$, $b$ и $c$.
Ответ: $8$, $a$, $b$ и $c$.

3.115 Заполните таблицу.

3a - 20, при а = 60

3 · 60 - 20 = 180 - 20 = 160

при а = 80

3 · 80 - 20 = 240 - 20 = 220

при а = 100

3 · 100 - 20 = 300 - 20 = 280

при а = 120

3 · 120 - 20 = 360 - 20 = 340

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения переменной $a$ из верхней строки вычислить значение выражения $3a - 20$.

При a = 60
Подставляем значение $a = 60$ в выражение и вычисляем:
$3 \cdot 60 - 20 = 180 - 20 = 160$
Ответ: 160

При a = 80
Подставляем значение $a = 80$ в выражение и вычисляем:
$3 \cdot 80 - 20 = 240 - 20 = 220$
Ответ: 220

При a = 100
Подставляем значение $a = 100$ в выражение и вычисляем:
$3 \cdot 100 - 20 = 300 - 20 = 280$
Ответ: 280

При a = 120
Подставляем значение $a = 120$ в выражение и вычисляем:
$3 \cdot 120 - 20 = 360 - 20 = 340$
Ответ: 340

Теперь можно заполнить таблицу полученными значениями:

3.116 Автомат по розливу и упаковке питьевой воды работает с производительностью 15 бутылок в минуту. Сколько литров воды разливает автомат за n мин, если вместимость одной бутылки a л?

Составьте выражение и найдите его значение при:

а) a = 5, n = 20;

б) a = 2, a = 480.

(15а) л в минуту развивает автомат;

(15аn) л вода развивает автомат за n мин.

а) при a = 5, n = 20

$15 · 5 · 20 = 15 · (5 · 20) =$$15 · 100 = 1500 \left(\mathrm{л}\right)$

б) при a=2, n=480

$15 · 2 · 480 = (15 · 2) · 480 =$$30 · 480 = 14400 \left(\mathrm{л}\right)$

Ответ: (15аn) л; а) 1500 л; б) 14400 л.

Сначала составим выражение для нахождения общего объема воды, который разливает автомат.

1. Производительность автомата — 15 бутылок в минуту.

2. За время $n$ минут автомат наполнит: $15 \cdot n$ бутылок.

3. Вместимость одной бутылки — $a$ литров.

4. Общий объем воды $V$, который автомат разливает за $n$ минут, равен произведению количества бутылок на вместимость одной бутылки.

Таким образом, искомое выражение имеет вид: $V = 15 \cdot n \cdot a$.

Теперь найдем значение этого выражения при заданных условиях.

a) при $a = 5$ л, $n = 20$ мин.

Подставляем значения в формулу:

$V = 15 \cdot 20 \cdot 5 = 300 \cdot 5 = 1500$ (литров).

Ответ: 1500 литров.

б) при $a = 2$ л, $n = 480$ мин.

Подставляем значения в формулу:

$V = 15 \cdot 480 \cdot 2 = 15 \cdot 2 \cdot 480 = 30 \cdot 480 = 14400$ (литров).

Ответ: 14400 литров.

3.117 Найдите корень уравнения:

а) (x - 87) - 27 = 36;

б) 87 - (41 + y) = 22;

в) (764 + y) - 64 = 800;

г) (s + 391) - 391 = 834.

а) В уравнении $(x - 87) - 27 = 36$ выражение в скобках $(x - 87)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно сложить вычитаемое 27 и разность 36.
$x - 87 = 36 + 27$
$x - 87 = 63$
Теперь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно сложить вычитаемое 87 и разность 63.
$x = 63 + 87$
$x = 150$
Проверка: $(150 - 87) - 27 = 63 - 27 = 36$. Равенство верно.

Ответ: 150

б) В уравнении $87 - (41 + y) = 22$ выражение в скобках $(41 + y)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого 87 вычесть разность 22.
$41 + y = 87 - 22$
$41 + y = 65$
Теперь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы 65 вычесть известное слагаемое 41.
$y = 65 - 41$
$y = 24$
Проверка: $87 - (41 + 24) = 87 - 65 = 22$. Равенство верно.

Ответ: 24

в) В уравнении $(764 + y) - 64 = 800$ выражение в скобках $(764 + y)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно сложить вычитаемое 64 и разность 800.
$764 + y = 800 + 64$
$764 + y = 864$
Теперь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы 864 вычесть известное слагаемое 764.
$y = 864 - 764$
$y = 100$
Проверка: $(764 + 100) - 64 = 864 - 64 = 800$. Равенство верно.

Ответ: 100

г) В уравнении $(s + 391) - 391 = 834$ выражение в скобках $(s + 391)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно сложить вычитаемое 391 и разность 834.
$s + 391 = 834 + 391$
$s + 391 = 1225$
Теперь $s$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы 1225 вычесть известное слагаемое 391.
$s = 1225 - 391$
$s = 834$
Проверка: $(834 + 391) - 391 = 1225 - 391 = 834$. Равенство верно.

Ответ: 834

3.118 Предложение запишите в виде равенства и найдите значение буквы, при котором оно верно:

1) разность 302 и x меньше числа 408 на 209;

2) число 498 меньше суммы 145 и y на 289;

3) сумма m и 134 больше числа 521 на 238;

4) число 772 больше разности 900 и y на 39.

1) разность 302 и x меньше числа 408 на 209;

Это утверждение означает, что число 408 больше, чем разность $(302 - x)$, и их разница равна 209. Запишем это в виде равенства:

$408 - (302 - x) = 209$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$408 - 302 + x = 209$

Выполним вычитание в левой части:

$106 + x = 209$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 209 - 106$

$x = 103$

Ответ: $103$

2) число 498 меньше суммы 145 и y на 289;

Это утверждение означает, что сумма $(145 + y)$ больше, чем число 498, и их разница равна 289. Запишем это в виде равенства:

$(145 + y) - 498 = 289$

Решим это уравнение. Чтобы найти уменьшаемое $(145 + y)$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$145 + y = 289 + 498$

$145 + y = 787$

Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$y = 787 - 145$

$y = 642$

Ответ: $642$

3) сумма m и 134 больше числа 521 на 238;

Это утверждение означает, что разница между суммой $(m + 134)$ и числом 521 равна 238. Запишем это в виде равенства:

$(m + 134) - 521 = 238$

Решим это уравнение. Найдем уменьшаемое $(m + 134)$:

$m + 134 = 238 + 521$

$m + 134 = 759$

Теперь найдем неизвестное слагаемое $m$:

$m = 759 - 134$

$m = 625$

Ответ: $625$

4) число 772 больше разности 900 и y на 39.

Это утверждение означает, что разница между числом 772 и разностью $(900 - y)$ равна 39. Запишем это в виде равенства:

$772 - (900 - y) = 39$

Решим это уравнение. Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$772 - 900 + y = 39$

Выполним вычитание в левой части:

$-128 + y = 39$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $y$, нужно к разности прибавить вычитаемое (в данном случае, сложить 39 и 128):

$y = 39 + 128$

$y = 167$

Ответ: $167$

3.119 Масса яйца пеликана на 1 кг 335 г меньше массы яйца страуса. Чему равна масса яйца страуса, если масса яйца пеликана 165 г?

1 кг 335 г + 165 г = 1 кг 500 г

Ответ: 1 кг 500 г.

Для решения задачи необходимо найти массу яйца страуса. Из условия известно, что масса яйца пеликана на 1 кг 335 г меньше, чем масса яйца страуса. Это означает, что масса яйца страуса на 1 кг 335 г больше массы яйца пеликана.

Обозначим массу яйца пеликана как $m_п$ и массу яйца страуса как $m_с$.

Дано:

Масса яйца пеликана: $m_п = 165 \text{ г}$.

Разница масс: $\Delta m = 1 \text{ кг } 335 \text{ г}$.

Чтобы найти массу яйца страуса, нужно к массе яйца пеликана прибавить разницу масс:

$m_с = m_п + \Delta m$

Прежде чем выполнять сложение, приведем все величины к единой единице измерения — граммам. Вспомним, что в одном килограмме содержится 1000 граммов.

$1 \text{ кг } 335 \text{ г} = 1 \times 1000 \text{ г} + 335 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 335 \text{ г} = 1335 \text{ г}$.

Теперь выполним сложение:

$m_с = 165 \text{ г} + 1335 \text{ г} = 1500 \text{ г}$.

Полученный результат можно также выразить в килограммах и граммах:

$1500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1 \text{ кг } 500 \text{ г}$.

Ответ: масса яйца страуса равна 1500 г, или 1 кг 500 г.

3.120 Один файл занимает 298 Мбайт, а другой - на 37 Мбайт больше. Можно ли записать два этих файла на жёсткий диск объёмом 700 Мбайт?

1) 298 + 37 = 335 Мбайт – II файл

2) 298 + 335 = 633 Мбайт – занимают два файла

3) 633 < 700

Ответ: можно.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти объём второго файла, затем вычислить суммарный объём двух файлов и сравнить его с объёмом жёсткого диска.

1. Вычислим объём второго файла.

Известно, что объём первого файла составляет 298 Мбайт, а второй файл на 37 Мбайт больше. Значит, объём второго файла равен:

$298 + 37 = 335$ Мбайт

2. Найдём общий объём двух файлов.

Сложим объёмы первого и второго файлов, чтобы найти, сколько места они займут вместе:

$298 + 335 = 633$ Мбайт

3. Сравним общий объём файлов с объёмом жёсткого диска.

Объём жёсткого диска — 700 Мбайт. Общий объём двух файлов — 633 Мбайт.

Поскольку $633 \text{ Мбайт} < 700 \text{ Мбайт}$, суммарный объём двух файлов меньше, чем доступное место на жёстком диске.

Ответ: да, два этих файла можно записать на жёсткий диск объёмом 700 Мбайт.

3.121 Найдите длину ограды треугольной клумбы, первая сторона которой равна 2 м 70 см, вторая - на 40 см короче первой, а третья - в 2 раза длиннее второй.

1) $2\mathrm{м} 70 \mathrm{см} - 40 \mathrm{см} = 2 \mathrm{м} 30 \mathrm{см}$ - длина второй стороны

2) $2 \mathrm{м} 30 \mathrm{см} · 2 = 4 \mathrm{м} 60 \mathrm{см}$ - длина третьей стороны

3) $2 \mathrm{м} 70 \mathrm{см} + 2 \mathrm{м} 30 \mathrm{см} + 4 \mathrm{м} 60 \mathrm{см} =$$4 \mathrm{м} 100 \mathrm{см} + 4 \mathrm{м} 60 \mathrm{см} =$$5\mathrm{м} + 4\mathrm{м} 60 \mathrm{см} = 9 \mathrm{м} 60 \mathrm{см}$

Ответ: 9 м 60 см.

Для того чтобы найти длину ограды, необходимо вычислить периметр треугольной клумбы. Периметр — это сумма длин всех ее сторон. Найдем длину каждой стороны поочередно.

1. Длина первой стороны дана в условии: $2$ м $70$ см. Для удобства вычислений переведем эту величину полностью в сантиметры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $2 \text{ м} = 200 \text{ см}$.

Длина первой стороны: $200 \text{ см} + 70 \text{ см} = 270 \text{ см}$.

2. Вторая сторона на $40$ см короче первой. Чтобы найти ее длину, вычтем $40$ см из длины первой стороны:

Длина второй стороны: $270 \text{ см} - 40 \text{ см} = 230 \text{ см}$.

3. Третья сторона в $2$ раза длиннее второй. Чтобы найти ее длину, умножим длину второй стороны на $2$:

Длина третьей стороны: $230 \text{ см} \times 2 = 460 \text{ см}$.

4. Теперь, когда известны длины всех трех сторон, найдем общую длину ограды (периметр), сложив их:

Длина ограды: $270 \text{ см} + 230 \text{ см} + 460 \text{ см} = 960 \text{ см}$.

5. Переведем результат обратно в метры и сантиметры:

$960 \text{ см} = 9 \text{ м } 60 \text{ см}$.

Ответ: 9 м 60 см.

3.122 За 3 мин 20 с Сергей пробежал по беговой дорожке вокруг поля школьного стадиона 3 круга, а Артём - 4 круга. На сколько метров в секунду скорость Артёма больше скорости Сергея, если длина дорожки 200 м?

$3 \mathrm{мин} 20 \mathrm{с} = (3 · 60 + 20) \mathrm{с} =$$(180 + 20) \mathrm{с} = 200 \mathrm{с}$

1) $200 · 3 = 600 \left(\mathrm{м}\right)$ - пробежал Сергей

2) $600 : 200 = 3 (\mathrm{м}/\mathrm{с})$ - скорость Сергея

3) $200 · 4 = 800 \left(\mathrm{м}\right)$ - пробежал Андрей

4) $800 : 200 = 4 (\mathrm{м}/\mathrm{с})$ - скорость Андрея

5) $4 - 3 = 1 (\mathrm{м}/\mathrm{с})$

Ответ: на 1 м/с.

Для того чтобы найти, на сколько скорость Артёма больше скорости Сергея, можно вычислить скорость каждого из них и найти разницу. Или же можно найти разницу в пройденном расстоянии за одно и то же время и разделить её на это время. Воспользуемся вторым, более рациональным способом.

1. Сначала определим, на сколько кругов больше пробежал Артём, чем Сергей, за одно и то же время.
$4 \text{ круга} - 3 \text{ круга} = 1 \text{ круг}$

2. Теперь найдём, какому расстоянию соответствует эта разница. Длина одного круга (дорожки) составляет 200 м.
$\Delta S = 1 \text{ круг} \cdot 200 \text{ м/круг} = 200 \text{ м}$
Это означает, что за одно и то же время Артём пробежал на 200 метров больше, чем Сергей.

3. Переведём общее время в секунды, так как скорость нужно найти в метрах в секунду.
$t = 3 \text{ мин } 20 \text{ с} = 3 \cdot 60 \text{ с} + 20 \text{ с} = 180 \text{ с} + 20 \text{ с} = 200 \text{ с}$

4. Разница в скоростях — это разница в расстоянии, пройденном за единицу времени. Чтобы найти разницу в скоростях, нужно разделить разницу в расстоянии на время, за которое она была достигнута.
$\Delta v = \frac{\Delta S}{t} = \frac{200 \text{ м}}{200 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость Артёма больше скорости Сергея на 1 м/с.

3.123 В столовой есть три вида супа и три вида второго блюда. Сколькими способами можно составить обед, состоящий из первого и второго блюд?

Построим дерево вариантов. В состав обеда входит один из трех видов супа и один из трех видов второго блюда.

Обед мо

жно составить $3 · 3 = 9$ способами.

Ответ: 9 способами.

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Согласно этому правилу, если объект A можно выбрать $n$ способами, а после каждого такого выбора объект B можно выбрать $m$ способами, то выбрать пару (A, B) можно $n \times m$ способами.

В данном случае нам нужно составить обед, который состоит из двух частей:

1. Первое блюдо (суп).
2. Второе блюдо.

По условию задачи, у нас есть 3 вида супа и 3 вида второго блюда. Выбор супа не зависит от выбора второго блюда.

Пусть количество способов выбрать суп — это $n_1$, а количество способов выбрать второе блюдо — $n_2$.
$n_1 = 3$
$n_2 = 3$

Чтобы найти общее количество способов составить обед, нужно перемножить количество вариантов для каждого блюда:
$N = n_1 \times n_2 = 3 \times 3 = 9$

Таким образом, с каждым из трёх супов можно выбрать любое из трёх вторых блюд, что даёт 9 уникальных комбинаций обеда.

Ответ: 9.

3.124 Автомобиль ехал по шоссе 15 мин, а затем выехал на трассу и увеличил скорость до 1600 м/мин и проехал ещё 24 мин. Сколько километров проехал автомобиль, если его скорость по шоссе равна 880 м/мин?

1) $880 · 15 = 13200 \left(\mathrm{м}\right)$ - проехал по шоссе

2) $1600 · 24 = 38400 \left(\mathrm{м}\right)$ - проехал по трассе

3) $13200 + 38400 = 51600 \left(\mathrm{м}\right)$

$51600 \mathrm{м} = 51 \mathrm{км} 600 \mathrm{м}$

Ответ: 51 км 600 м.

Для решения задачи необходимо вычислить расстояние, пройденное автомобилем на каждом из двух участков пути, а затем сложить эти расстояния. Итоговый результат нужно представить в километрах.

1. Расстояние, пройденное по шоссе

Сначала найдем расстояние, которое автомобиль проехал по шоссе. Используем формулу расстояния: $S = v \times t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Скорость по шоссе ($v_1$) = 880 м/мин.
Время движения по шоссе ($t_1$) = 15 мин.

Подставим значения в формулу:

$S_1 = 880 \text{ м/мин} \times 15 \text{ мин} = 13200 \text{ м}$.

2. Расстояние, пройденное по трассе

Далее вычислим расстояние, которое автомобиль проехал по трассе.

Скорость по трассе ($v_2$) = 1600 м/мин.
Время движения по трассе ($t_2$) = 24 мин.

Подставим значения в формулу:

$S_2 = 1600 \text{ м/мин} \times 24 \text{ мин} = 38400 \text{ м}$.

3. Общее расстояние

Теперь найдем общее расстояние, сложив расстояния, пройденные на обоих участках.

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 13200 \text{ м} + 38400 \text{ м} = 51600 \text{ м}$.

4. Перевод в километры

Вопрос требует указать ответ в километрах. Зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, переведем полученное расстояние из метров в километры.

$51600 \text{ м} = \frac{51600}{1000} \text{ км} = 51,6 \text{ км}$.

Ответ: 51,6 км.

9. Сможет ли курьер доставить посылку за 21 мин, если он идёт со скоростью 7 км/ч и пройти нужно 3 км?

N9.

$3 : 7 = \frac{3}{7}$ (ч) нужно курьеру, чтобы доставить посылку.

1ч = 60 мин

$\frac{3}{7}·60 = \frac{3·60}{7} = \frac{180}{7} = 25\frac{5}{7}$ (мин) -

Нужно курьеру, чтобы доставить посылку.

$\begin{array}{rc}180& 7\\ 14& 25\\ \overline{40}& \\ 35& \\ \overline{5}& \end{array}$

21 мин $<25\frac{5}{7}$ мин

Ответ: не успеет.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо рассчитать время, которое потребуется курьеру для преодоления заданного расстояния, и сравнить его с доступным временем.

1. Найдём время, необходимое для прохождения пути

Воспользуемся стандартной физической формулой для нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – это расстояние, а $v$ – скорость.
Дано:
Расстояние $S = 3$ км.
Скорость $v = 7$ км/ч.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти время в часах:
$t = \frac{3 \text{ км}}{7 \text{ км/ч}} = \frac{3}{7}$ часа.

2. Переведём полученное время в минуты

Так как в одном часе содержится 60 минут, для перевода часов в минуты необходимо умножить полученное значение на 60:
$t_{мин} = \frac{3}{7} \times 60 = \frac{180}{7}$ минут.

3. Сравним необходимое время с имеющимся

Теперь сравним время, которое требуется курьеру на дорогу, с временем, которое у него есть в запасе (21 минута).
Вычислим приближенное значение дроби:
$t_{мин} = \frac{180}{7} \approx 25.71$ минут.
Сравним рассчитанное время с доступным:
$25.71 \text{ минут} > 21 \text{ минута}$.

Поскольку времени, которое требуется курьеру, чтобы пройти 3 км (около 25.71 минут), больше, чем 21 минута, он не успеет доставить посылку вовремя.

Ответ: нет, не сможет.

10. Миша может покрасить забор на даче за 15 ч, а Дима — за 12 ч. Какую часть забора они смогут покрасить за 1 ч вместе? Смогут ли они покрасить весь забор за 7 ч?

N10

1) $1 : 15 = \frac{1}{15}$ часть забора красит Миша за 1 час

2) $1 : 12 = \frac{1}{12}$ часть забора красит Дима за 1 час

3) $\frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 20} = \frac{3}{20}$ часть забора они покрасили вместе за 1 час

4) $1 : \frac{3}{20} = 1 \cdot \frac{20}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ (ч) потребуется времени на покраску забора, если они будут красить вместе

$6\frac{2}{3}<7$

Ответ: смогут

Какую часть забора они смогут покрасить за 1 ч вместе?

Чтобы решить задачу, сначала определим производительность каждого человека, то есть какую часть работы (покраски забора) он выполняет за 1 час. Весь забор примем за 1.

1. Производительность Миши. Он красит весь забор за 15 часов, значит, за 1 час он покрасит $1/15$ часть забора.

2. Производительность Димы. Он красит весь забор за 12 часов, значит, за 1 час он покрасит $1/12$ часть забора.

3. Совместная производительность. Чтобы найти, какую часть забора они покрасят вместе за 1 час, нужно сложить их производительности:

$1/15 + 1/12$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 15 и 12 равно 60. Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 5.

$1/15 + 1/12 = 4/60 + 5/60 = 9/60$

Полученную дробь можно сократить на 3:

$9/60 = (9:3) / (60:3) = 3/20$

Ответ: за 1 час вместе они смогут покрасить $3/20$ часть забора.

Смогут ли они покрасить весь забор за 7 ч?

Мы знаем, что за 1 час совместной работы Миша и Дима красят $3/20$ забора. Чтобы узнать, какую часть забора они покрасят за 7 часов, нужно их совместную производительность в час умножить на количество часов:

$(3/20) * 7 = 21/20$

Весь забор — это 1 или $20/20$. Сравним работу, выполненную за 7 часов, с объемом всей работы:

$21/20 > 20/20$

Так как $21/20$ больше 1, это означает, что за 7 часов они выполнят больше работы, чем требуется для покраски всего забора. Следовательно, они успеют покрасить весь забор.

Можно также найти точное время, за которое они покрасят забор вместе. Для этого нужно всю работу (1) разделить на их совместную производительность ($3/20$):

$1 / (3/20) = 1 * (20/3) = 20/3 = 6 \frac{2}{3}$ часа.

Поскольку $6 \frac{2}{3}$ часа меньше, чем 7 часов, они справятся с работой.

Ответ: да, смогут.

11. Из металлического уголка требуется изготовить каркас аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Длина параллелепипеда равна 34 м, высота на 720 м меньше длины, а ширина на 110 м меньше высоты. Сколько метров металлического уголка потребуется для изготовления аквариума?

Для изготовления каркаса аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, необходимо рассчитать общую длину всех его ребер. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер: 4 длины, 4 ширины и 4 высоты. Сначала найдем все размеры аквариума.

1. Найдем высоту аквариума.

Длина параллелепипеда известна и равна $l = \frac{3}{4}$ м. Высота $h$ на $\frac{7}{20}$ м меньше длины. Вычислим высоту:

$h = l - \frac{7}{20} = \frac{3}{4} - \frac{7}{20}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 20:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$

Теперь произведем вычитание:

$h = \frac{15}{20} - \frac{7}{20} = \frac{15 - 7}{20} = \frac{8}{20}$ м.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$h = \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5}$ м.

2. Найдем ширину аквариума.

Ширина $w$ на $\frac{1}{10}$ м меньше высоты, которую мы только что нашли ($h = \frac{2}{5}$ м). Вычислим ширину:

$w = h - \frac{1}{10} = \frac{2}{5} - \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$

Теперь произведем вычитание:

$w = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ м.

3. Вычислим общую длину металлического уголка.

Общая длина уголка $L$ равна сумме длин всех 12 ребер каркаса. Формула для расчета:

$L = 4 \times (l + h + w)$

Подставим известные значения длины, высоты и ширины:

$L = 4 \times (\frac{3}{4} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10})$

Сначала найдем сумму в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю 20:

$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

$\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$

$\frac{3}{10} = \frac{6}{20}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} + \frac{6}{20} = \frac{15 + 8 + 6}{20} = \frac{29}{20}$ м.

Умножим полученную сумму на 4, чтобы найти общую длину уголка:

$L = 4 \times \frac{29}{20} = \frac{4 \times 29}{20} = \frac{116}{20}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$L = \frac{116 \div 4}{20 \div 4} = \frac{29}{5}$ м.

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$\frac{29}{5} = 5 \frac{4}{5}$ м.

Ответ: для изготовления аквариума потребуется $5 \frac{4}{5}$ метров металлического уголка.

12. Как отмерить 50 см от верёвки длиной 23 м, не имея никаких измерительных инструментов?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какую долю от общей длины веревки составляет искомый отрезок, а затем получить эту долю с помощью складывания.

1. Сначала переведем все величины в единую систему измерения. Длина веревки составляет $L = \frac{2}{3}$ метра. Так как 1 метр равен 100 сантиметрам, длина веревки в сантиметрах будет:

$L = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3}$ см.

2. Теперь найдем, какую часть от общей длины веревки ($L$) составляет требуемый отрезок ($l = 50$ см):

$\frac{l}{L} = \frac{50}{\frac{200}{3}} = \frac{50 \times 3}{200} = \frac{150}{200} = \frac{3}{4}$.

Это означает, что искомая длина в 50 см составляет ровно $\frac{3}{4}$ от всей длины веревки.

3. Отмерить $\frac{3}{4}$ длины веревки можно с помощью следующих действий:

1. Сложите веревку пополам, совместив ее концы. Место сгиба будет точно соответствовать середине веревки. Эта точка делит веревку на две равные части, каждая длиной в $\frac{1}{2}$ от общей длины.
2. Разверните веревку. Теперь возьмите одну из половин (отрезок от одного из концов до сделанной отметки на середине) и снова сложите ее пополам. Для этого нужно совместить конец веревки с центральной отметкой. Новый сгиб разделит эту половину на две равные части, длина каждой из которых составит $\frac{1}{4}$ от общей длины веревки.
3. Теперь у веревки есть две отметки (сгиба). Одна находится на середине ($\frac{1}{2}$ длины), другая — на расстоянии $\frac{1}{4}$ длины от одного из концов. Длина отрезка от другого конца до более дальней отметки будет составлять сумму длин целой половины и одной четверти: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от общей длины.

Проверим результат: искомая длина равна $\frac{3}{4}$ от общей длины веревки.

$\frac{3}{4} \times L = \frac{3}{4} \times \frac{200}{3} \text{ см} = \frac{3 \times 200}{4 \times 3} \text{ см} = \frac{200}{4} \text{ см} = 50 \text{ см}$.

Ответ: Сначала нужно сложить веревку пополам, чтобы найти ее середину. Затем одну из получившихся половин (от конца до середины) нужно снова сложить пополам. Отрезок от другого конца веревки до самой дальней отметки (сгиба) и будет искомым отрезком в 50 см.

13. Для ремонта в ванной комнате купили 560 плиток. Сколько надо купить пачек клея, если одной пачкой можно приклеить 60 плиток?

Для того чтобы найти необходимое количество пачек клея, нужно разделить общее количество купленных плиток на количество плиток, которые можно приклеить с помощью одной пачки клея.

Всего куплено 560 плиток.
Одной пачкой клея можно приклеить 60 плиток.

Выполним деление:
$560 \div 60 = \frac{560}{60} = \frac{56}{6} \approx 9,33$

Так как в результате деления получилось нецелое число, а пачки клея можно купить только целиком, необходимо округлить результат в большую сторону. Девяти пачек клея будет недостаточно, так как их хватит только на $9 \times 60 = 540$ плиток. Следовательно, чтобы приклеить все 560 плиток, нужно приобрести 10 пачек клея.

Ответ: 10 пачек.

14. Во время весенних каникул Петя составил себе примерный план дня:

зарядка и уборка в комнате — 1/30 суток;

игры с друзьями на улице — 1/6 суток;

помощь родителям — 1/12 суток;

чтение книг — 1/24 суток;

игры с друзьями в сети — 1/12 суток;

чтение книг и игры с младшими братиком и сестрёнкой — 1/16 суток;

завтрак, обед и ужин — 1/16 суток;

игра в шахматы — 1/12 суток;

сон — 10 ч.

Можно ли выполнить такой план?

Примечание. Обыкновенные дроби записывают и через косую черту: 12 = 1/2.

N14

$10\text{ч} = \frac{10}{24}\text{суток} = \frac{5}{12}\text{суток} - \text{сон}$

$\frac{1}{30} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12}$

$= \frac{1}{30} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{24}$

$= \frac{1}{30} + \frac{5}{30} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{2}{16} + \frac{1}{24}$

$= \frac{6}{30} + \frac{8}{12} + \frac{2}{16} + \frac{1}{24}$

$= \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

$= \frac{1}{5} + 2024 = \frac{1}{5} + \frac{5}{6}$

$= \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = 630 + 2530 = 3130\text{суток}$

$\frac{31}{30}\text{суток}>1\text{суток}$

Ответ: нельзя

Чтобы ответить на вопрос, можно ли выполнить такой план, необходимо сложить время, отведённое на все виды деятельности, и сравнить результат с общей продолжительностью суток. В сутках 24 часа.

План Пети включает следующие активности:

• Зарядка и уборка в комнате: $ \frac{1}{30} $ суток
• Игры с друзьями на улице: $ \frac{1}{6} $ суток
• Помощь родителям: $ \frac{1}{12} $ суток
• Чтение книг: $ \frac{1}{24} $ суток
• Игры с друзьями в сети: $ \frac{1}{12} $ суток
• Чтение книг и игры с младшими братиком и сестрёнкой: $ \frac{1}{16} $ суток
• Завтрак, обед и ужин: $ \frac{1}{16} $ суток
• Игра в шахматы: $ \frac{1}{12} $ суток
• Сон: 10 часов

Сначала выразим всё время в единой единице измерения — долях суток. Время сна дано в часах, переведем его в долю от суток, зная, что в сутках 24 часа:

$ \frac{10 \text{ часов}}{24 \text{ часа}} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} $ суток.

Теперь сложим доли суток, которые Петя планирует потратить на все свои дела:

$ S = \frac{1}{30} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} $

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 30, 6, 12, 24 и 16 является 240.

Приведем каждую дробь к знаменателю 240:

• $ \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 8}{30 \cdot 8} = \frac{8}{240} $
• $ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 40}{6 \cdot 40} = \frac{40}{240} $
• $ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 20}{12 \cdot 20} = \frac{20}{240} $
• $ \frac{1}{24} = \frac{1 \cdot 10}{24 \cdot 10} = \frac{10}{240} $
• $ \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 15}{16 \cdot 15} = \frac{15}{240} $
• $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 20}{12 \cdot 20} = \frac{100}{240} $

Теперь сложим все дроби, учитывая, что некоторые из них повторяются:

$ S = \frac{8}{240} + \frac{40}{240} + \frac{20}{240} + \frac{10}{240} + \frac{20}{240} + \frac{15}{240} + \frac{15}{240} + \frac{20}{240} + \frac{100}{240} $

Сложим числители:

$ 8 + 40 + 20 + 10 + 20 + 15 + 15 + 20 + 100 = 248 $

Таким образом, общее время, запланированное Петей, составляет:

$ S = \frac{248}{240} $ суток.

Целые сутки — это 1, или $ \frac{240}{240} $. Сравним полученный результат с 1:

$ \frac{248}{240} > \frac{240}{240} $, следовательно $ S > 1 $.

Суммарное время на все запланированные дела (248/240 суток) превышает продолжительность одних суток (240/240 суток). Следовательно, выполнить такой план невозможно.

Ответ: такой план выполнить нельзя, так как суммарное время на все дела по плану составляет $ \frac{248}{240} $ суток, что больше, чем 1 сутки.

15. В нашей стране наибольшее количество осадков за год (315 м) выпадает у горы Ачишхо на Западном Кавказе, а наименьшее (320 м) — в Прикаспийской низменности. На сколько больше выпадает осадков около горы Ачишхо?

Для того чтобы определить, на сколько больше осадков выпадает у горы Ачишхо по сравнению с Прикаспийской низменностью, необходимо найти разность между количеством осадков в этих двух местах.

Количество осадков у горы Ачишхо составляет $3\frac{1}{5}$ м.

Количество осадков в Прикаспийской низменности составляет $\frac{3}{20}$ м.

Вычислим разность: $3\frac{1}{5} - \frac{3}{20}$.

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала представим смешанное число $3\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

Теперь у нас есть выражение: $\frac{16}{5} - \frac{3}{20}$.

Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 5 и 20 равен 20. Приведем дробь $\frac{16}{5}$ к знаменателю 20, умножив ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{64}{20}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{64}{20} - \frac{3}{20} = \frac{64 - 3}{20} = \frac{61}{20}$

Чтобы результат был более наглядным, преобразуем неправильную дробь $\frac{61}{20}$ обратно в смешанное число. Для этого разделим числитель 61 на знаменатель 20 с остатком:

$61 \div 20 = 3$ (остаток $1$)

Следовательно, $\frac{61}{20} = 3\frac{1}{20}$.

Ответ: около горы Ачишхо выпадает на $3\frac{1}{20}$ м осадков больше, чем в Прикаспийской низменности.

16. В таблице приведены данные при производстве бруса из древесины. Заполните таблицу и ответьте на вопросы:

а) Сколько кубометров древесины теряется при производстве бруса?

б) Из какой древесины получается больше бруса?

в) Во сколько раз уменьшился объём древесины?

Для решения задачи сначала необходимо рассчитать промежуточные и конечные объемы бруса после каждого этапа обработки. Расчеты производятся путем вычитания потерь из объема, полученного на предыдущем этапе. Начальный объем бревен для обоих видов древесины составляет 1 м?.

Расчет для хвойной древесины:

1. Объем после распиловки (Выход, м?): Начальный объем минус потери при распиловке.
   $1 - \frac{36}{100} = \frac{100}{100} - \frac{36}{100} = \frac{64}{100}$ м?.

2. Объем после сушки (Выход, м?): Объем после распиловки минус потери при сушке.
   $\frac{64}{100} - \frac{3}{100} = \frac{61}{100}$ м?.

3. Объем после строгания (Итоговый выход, м?): Объем после сушки минус потери при строгании.
   $\frac{61}{100} - \frac{14}{100} = \frac{47}{100}$ м?.

Расчет для лиственной древесины:

1. Объем после распиловки (Выход, м?): Начальный объем минус потери при распиловке.
   $1 - \frac{36}{100} = \frac{100}{100} - \frac{36}{100} = \frac{64}{100}$ м?.

2. Объем после сушки (Выход, м?): Объем после распиловки минус потери при сушке.
   $\frac{64}{100} - \frac{7}{100} = \frac{57}{100}$ м?.

3. Объем после строгания (Итоговый выход, м?): Объем после сушки минус потери при строгании.
   $\frac{57}{100} - \frac{13}{100} = \frac{44}{100}$ м?.

Теперь, имея все данные, ответим на вопросы.

а) Сколько кубометров древесины теряется при производстве бруса?

Общие потери – это сумма потерь на всех этапах производства.
Для хвойной древесины: $\frac{36}{100} + \frac{3}{100} + \frac{14}{100} = \frac{36+3+14}{100} = \frac{53}{100}$ м?.
Для лиственной древесины: $\frac{36}{100} + \frac{7}{100} + \frac{13}{100} = \frac{36+7+13}{100} = \frac{56}{100}$ м?.
Также потери можно найти, вычтя конечный объем из начального:
Для хвойной древесины: $1 - \frac{47}{100} = \frac{53}{100}$ м?.
Для лиственной древесины: $1 - \frac{44}{100} = \frac{56}{100}$ м?.
Ответ: при производстве бруса из хвойной древесины теряется $\frac{53}{100}$ м?, а из лиственной — $\frac{56}{100}$ м?.

б) Из какой древесины получается больше бруса?

Сравним конечный объем бруса для каждого вида древесины:
Конечный объем хвойного бруса: $\frac{47}{100}$ м?.
Конечный объем лиственного бруса: $\frac{44}{100}$ м?.
Поскольку $\frac{47}{100} > \frac{44}{100}$, из хвойной древесины получается больше бруса.
Ответ: больше бруса получается из хвойной древесины.

в) Во сколько раз уменьшился объём древесины?

Чтобы найти, во сколько раз уменьшился объем, необходимо начальный объем разделить на конечный.
Для хвойной древесины: $1 : \frac{47}{100} = 1 \cdot \frac{100}{47} = \frac{100}{47} \approx 2,13$ раза.
Для лиственной древесины: $1 : \frac{44}{100} = 1 \cdot \frac{100}{44} = \frac{25}{11} \approx 2,27$ раза.
Ответ: объём хвойной древесины уменьшился в $\frac{100}{47}$ раза (примерно в 2,13 раза), а объём лиственной древесины уменьшился в $\frac{25}{11}$ раза (примерно в 2,27 раза).