Страница 84, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.44 Установите закономерность и назовите вместо звёздочки нужное число.

а) Чтобы найти закономерность, рассмотрим первый круг. В нем находятся числа 8, 3 и 5. Можно заметить, что сумма двух чисел в нижних секторах равна числу в верхнем секторе: $3 + 5 = 8$.
Применим эту же закономерность ко второму кругу с числами 14, 8 и *. Сумма чисел в нижних секторах должна быть равна числу в верхнем. Обозначим неизвестное число как $x$.
Составим уравнение: $8 + x = 14$.
Решим уравнение: $x = 14 - 8$.
$x = 6$.
Таким образом, вместо звёздочки должно стоять число 6.
Ответ: 6

б) Рассмотрим первый круг в этом пункте. В нем находятся числа 16, 8 и 2. Закономерность из пункта а) здесь не работает, так как $8 + 2 = 10$, а не 16. Попробуем другую операцию. Произведение чисел в нижних секторах равно числу в верхнем секторе: $8 \cdot 2 = 16$.
Теперь применим эту новую закономерность ко второму кругу с числами 60, * и 4. Произведение чисел в нижних секторах должно быть равно числу в верхнем. Обозначим неизвестное число как $y$.
Составим уравнение: $y \cdot 4 = 60$.
Решим уравнение: $y = 60 / 4$.
$y = 15$.
Таким образом, вместо звёздочки должно стоять число 15.
Ответ: 15

3.45 Составьте условие задачи, которая решается с помощью уравнения:

а) y + 25 = 38;

б) 32 - y = 18.

а) у + 25 = 38

На остановке в автобус вошло 25 пассажиров. После этого в нём стало 38 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до остановки?

б) 32 - у = 18

У кормушки сидели 32 синички. Когда несколько синичек улетело, то у кормушки осталось 18 синичек. Сколько синичек улетело?

а) Условие задачи: У Маши было несколько наклеек. После того как ей подарили еще 25 наклеек, у нее их стало 38. Сколько наклеек было у Маши первоначально?
Решение:
Пусть $y$ — это первоначальное количество наклеек у Маши. Согласно условию задачи, к этому количеству добавили 25 наклеек, и в итоге получилось 38. Можем составить следующее уравнение:
$y + 25 = 38$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, необходимо из суммы 38 вычесть известное слагаемое 25:
$y = 38 - 25$
$y = 13$
Таким образом, у Маши изначально было 13 наклеек.
Ответ: 13 наклеек.

б) Условие задачи: На парковке стояло 32 машины. Через час несколько машин уехало, и на парковке осталось 18 машин. Сколько машин уехало с парковки?
Решение:
Пусть $y$ — это количество машин, которые уехали с парковки. Изначально было 32 машины, а осталось 18. Составим уравнение, соответствующее условию задачи:
$32 - y = 18$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого 32 вычесть разность 18:
$y = 32 - 18$
$y = 14$
Следовательно, с парковки уехало 14 машин.
Ответ: 14 машин.

3.46 Четырёхзначные числа составили из цифр 0, 2, 4, 6, 8, которые в записи числа не повторяются. Сколько таких чисел можно составить?

В записи четырёхзначного числа первой цифрой (единицы тысяч) может быть любая из четырёх цифр, кроме цифры 0, второй (сотни) - любая цифра из четырёх оставшихся, третьей (десятки) - любая из трёх оставшихся, четвёртой (единицы) - любая из двух оставшихся. Построим дерево вариантов, а точнее - его фрагмент. Пусть первой цифрой будет 2.

Цифра единиц тысяч – 2, 4, 6 или 8 – 4 варианта; цифра сотен – любая из четырёх оставшихся – 4 варианта; цифра десятков – 3 варианта и цифра единиц – 2 варианта.

4 · 4 · 3 · 2 = (4 · 4) · (3 · 2) = 16 · 6 = (10 + 6) · 6 = 10 · 6 · + 6 · 6 = 60 + 36 = 96 (ч.)

Ответ: 96 чисел.

Для решения этой задачи нужно определить, сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из набора цифр {0, 2, 4, 6, 8} при условии, что цифры в числе не повторяются. Мы можем решить эту задачу, используя комбинаторное правило умножения.

Четырёхзначное число состоит из четырёх позиций (разрядов). Рассчитаем количество возможных вариантов для каждого разряда поочерёдно.

На место первой цифры (разряд тысяч) можно поставить любую из заданных цифр, кроме 0, так как четырёхзначное число не может начинаться с нуля. Доступные для первой позиции цифры: {2, 4, 6, 8}. Таким образом, для первой позиции существует 4 варианта.

На место второй цифры (разряд сотен) можно поставить любую из оставшихся цифр. Изначально было 5 цифр. Одну мы уже использовали для первого разряда, но теперь можно использовать 0. Значит, у нас осталось $5 - 1 = 4$ доступных цифры. Следовательно, для второй позиции есть 4 варианта.

На место третьей цифры (разряд десятков) можно поставить любую из цифр, которые не были использованы на первых двух позициях. Из пяти исходных цифр две уже заняты, значит, остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

На место четвертой цифры (разряд единиц) можно поставить одну из оставшихся цифр. Так как три уже использованы, остаётся $5 - 3 = 2$ варианта.

Общее количество возможных четырёхзначных чисел находится путём перемножения количества вариантов для каждой позиции:

$4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

Таким образом, можно составить 96 различных четырёхзначных чисел из заданных цифр без повторений.

Ответ: 96

3.47 Среди чисел 2, 0, 6, 12, 19 найдите корни уравнения:

а) x + 28 = 40;

б) 19 + x = 19 - x;

в) 30 + x = 34 - x;

г) 13 + x + 4 = 20 + x - 3.

а) Чтобы найти корень уравнения $x + 28 = 40$ среди данных чисел, сначала решим это уравнение относительно $x$.

Для нахождения неизвестного слагаемого $x$ нужно из суммы (40) вычесть известное слагаемое (28):

$x = 40 - 28$

$x = 12$

Теперь проверим, есть ли число 12 в предложенном списке {2, 0, 6, 12, 19}. Число 12 присутствует в этом списке. Следовательно, оно является корнем уравнения.

Проверка: $12 + 28 = 40$, что соответствует условию.

Ответ: 12

б) Рассмотрим уравнение $19 + x = 19 - x$.

Для его решения перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$x + x = 19 - 19$

$2x = 0$

$x = 0$

Число 0 есть в списке {2, 0, 6, 12, 19}. Значит, 0 является корнем данного уравнения.

Проверка: $19 + 0 = 19 - 0$, то есть $19 = 19$. Равенство верное.

Ответ: 0

в) Решим уравнение $30 + x = 34 - x$.

Аналогично предыдущему пункту, перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные числа — в правую.

$x + x = 34 - 30$

$2x = 4$

$x = 4 / 2$

$x = 2$

Число 2 есть в списке {2, 0, 6, 12, 19}, поэтому оно является корнем уравнения.

Проверка: $30 + 2 = 34 - 2$, то есть $32 = 32$. Равенство верное.

Ответ: 2

г) Рассмотрим уравнение $13 + x + 4 = 20 + x - 3$.

Сначала упростим обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание чисел.

Левая часть: $(13 + 4) + x = 17 + x$

Правая часть: $(20 - 3) + x = 17 + x$

Уравнение принимает вид: $17 + x = 17 + x$.

Это равенство является тождеством, оно верно при любом значении $x$. Это означает, что любое число будет корнем этого уравнения. Следовательно, все числа из предложенного набора {2, 0, 6, 12, 19} являются корнями.

Ответ: 2, 0, 6, 12, 19

3.48 Приведите примеры отрезка и прямой в окружающем мире.

Отрезок: карниз, линейка.

Прямая: туго натянутая нить, струна, линия горизонта.

Примеры отрезка

Отрезок в геометрии — это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). В отличие от прямой, отрезок имеет конечную, измеримую длину. В окружающем мире есть множество объектов, которые можно считать физическими моделями отрезков.

• Край стола, книги или экрана монитора.
• Карандаш, ручка или линейка.
• Натянутая струна гитары или бельевая веревка между двумя столбами.
• Отрезок дороги между двумя светофорами.
• Ножка стула или стола.

Ответ: Примерами отрезка являются край стола, карандаш, натянутая нить, линейка, сторона книги.

Примеры прямой

Прямая — это идеализированное понятие в геометрии. Она представляет собой линию, которая не имеет толщины, не изгибается и продолжается бесконечно в обе стороны. В реальном мире мы не можем найти по-настоящему бесконечных объектов, поэтому мы можем говорить только о моделях или представлениях прямой.

• Линия горизонта на море или в большом поле. Она кажется прямой и уходящей в обе стороны до бесконечности.
• Луч света от лазерной указки или от далекой звезды. Он распространяется по прямой на огромное расстояние.
• Длинный и прямой участок железной дороги или шоссе, уходящий к горизонту.
• Воображаемая линия, соединяющая две далекие звезды на небе.

Ответ: Примерами (моделями) прямой являются линия горизонта, луч света от далекой звезды, длинный прямой участок дороги.

3.49 Каким способом можно быстро и просто вычислить значение выражения:

35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + 23 - 21 +...+ 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1 = (35 - 33) + (31 - 29) + (27 - 25) + (23 - 21) + ... + (11 - 9) + (7 - 5) + (3 - 1) = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 + 2 = 2 · 9 = 18;

В данном выражении всего 18 нечётных чисел; так как в скобки мы взяли по два числа, значит таких скобок будет ровно в 2 раза меньше, чем самих чисел, то есть 9.

Ответ 18.

Чтобы быстро и просто вычислить значение данного выражения, следует заметить закономерность: выражение представляет собой последовательность пар чисел, где из большего нечетного числа вычитается предыдущее нечетное число.

Исходное выражение: $35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + 23 - 21 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1$.

Сгруппируем числа попарно: $ (35 - 33) + (31 - 29) + (27 - 25) + (23 - 21) + ... + (11 - 9) + (7 - 5) + (3 - 1) $.

Результат вычитания в каждой паре одинаков: $ 35 - 33 = 2 $
$ 31 - 29 = 2 $
$ 27 - 25 = 2 $
И так далее для всех пар. Каждая пара в сумме дает 2.

Теперь необходимо определить количество таких пар. В выражении перечислены все нечетные числа от 1 до 35. Чтобы найти их общее количество, можно воспользоваться формулой для нахождения числа членов в арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 1$, последний $a_n = 35$, разность прогрессии $d = 2$. Количество членов $n$ находится по формуле:

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Подставим наши значения:

$n = \frac{35 - 1}{2} + 1 = \frac{34}{2} + 1 = 17 + 1 = 18$

Всего в выражении 18 чисел. Поскольку мы объединяем их в пары по два числа, количество пар будет:

$18 \div 2 = 9$

Итак, мы имеем 9 пар, значение каждой из которых равно 2. Общая сумма равна произведению количества пар на значение одной пары:

$9 \times 2 = 18$

Ответ: 18

3.50 Найдите корни уравнения:

а) 119 + z = 246 - 78;

б) 135 + z - 75 = 85;

в) 123 - z - 33 = 44;

г) 58 + z + 79 = 167.

а) Дано уравнение $119 + z = 246 - 78$.
Сначала выполним вычитание в правой части уравнения:
$246 - 78 = 168$
Теперь уравнение выглядит так:
$119 + z = 168$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$z = 168 - 119$
$z = 49$
Проверка: $119 + 49 = 168$ и $246 - 78 = 168$. $168 = 168$. Решение верное.
Ответ: $49$.

б) Дано уравнение $135 + z - 75 = 85$.
Сгруппируем и упростим числовые значения в левой части уравнения:
$(135 - 75) + z = 85$
$60 + z = 85$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$z = 85 - 60$
$z = 25$
Проверка: $135 + 25 - 75 = 160 - 75 = 85$. $85 = 85$. Решение верное.
Ответ: $25$.

в) Дано уравнение $123 - z - 33 = 44$.
Сгруппируем и упростим числовые значения в левой части уравнения:
$(123 - 33) - z = 44$
$90 - z = 44$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $z$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$z = 90 - 44$
$z = 46$
Проверка: $123 - 46 - 33 = 77 - 33 = 44$. $44 = 44$. Решение верное.
Ответ: $46$.

г) Дано уравнение $58 + z + 79 = 167$.
Сгруппируем и упростим числовые значения в левой части уравнения:
$(58 + 79) + z = 167$
$137 + z = 167$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$z = 167 - 137$
$z = 30$
Проверка: $58 + 30 + 79 = 88 + 79 = 167$. $167 = 167$. Решение верное.
Ответ: $30$.

3.51 При каком значении буквы верно равенство:

а) 43 + m = 43;

б) n + 25 = 25;

в) 57 - x = 57;

г) 108 - y = 0;

д) z + 0 = 0;

е) 0 - t = 0;

ж) a - a = 0;

з) c + c = 0?

а) В равенстве $43 + m = 43$ переменная m является неизвестным слагаемым. Чтобы найти значение m, нужно из суммы (43) вычесть известное слагаемое (43).
$m = 43 - 43$
$m = 0$
Равенство верно, если к числу 43 прибавить 0.
Ответ: $m=0$.

б) В равенстве $n + 25 = 25$ переменная n является неизвестным слагаемым. Чтобы найти значение n, нужно из суммы (25) вычесть известное слагаемое (25).
$n = 25 - 25$
$n = 0$
Равенство верно, если к числу 25 прибавить 0.
Ответ: $n=0$.

в) В равенстве $57 - x = 57$ переменная x является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти значение x, нужно из уменьшаемого (57) вычесть разность (57).
$x = 57 - 57$
$x = 0$
Равенство верно, если из числа 57 вычесть 0.
Ответ: $x=0$.

г) В равенстве $108 - y = 0$ переменная y является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти значение y, нужно из уменьшаемого (108) вычесть разность (0).
$y = 108 - 0$
$y = 108$
Равенство верно, если из числа 108 вычесть 108.
Ответ: $y=108$.

д) В равенстве $z + 0 = 0$ используется свойство нуля: прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Таким образом, левая часть уравнения $z + 0$ равна z. Получаем равенство:
$z = 0$
Ответ: $z=0$.

е) В равенстве $0 - t = 0$ переменная t является вычитаемым. Равенство будет верным только в том случае, если вычитаемое равно уменьшаемому, то есть 0.
$t = 0$
Ответ: $t=0$.

ж) Равенство $a - a = 0$ является тождеством. По определению вычитания, разность любого числа и самого себя всегда равна нулю. Это означает, что равенство будет верным при любом значении переменной a.
Ответ: a — любое число.

з) Равенство $c + c = 0$ можно записать в виде $2 \cdot c = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку первый множитель равен 2 (и не равен нулю), то для верности равенства второй множитель c должен быть равен нулю.
$c = 0$
Ответ: $c=0$.

3.52 1) Для приготовления пирога хозяйка использовала 11 яблок, а затем докупила ещё 18 яблок, после чего у неё стало 42 яблока. Сколько яблок было у хозяйки изначально?

2) На парковке было 23 автомобиля. После того как несколько автомобилей освободили парковку, а 9 автомобилей на ней припарковались заново, стало 17 автомобилей. Сколько автомобилей освободили парковку?

1) Пусть х яблок у хозяйки изначально.

Было – х яблок

Ичпользовала – 11 яблок

Докупила – 18 яблок

Стало – 42 яблок

Ответ: 35 яблок.

2) Пусть х автомобилей освободили парковку.

Было – 23 авт.

Уехало – х авт.

Приехали – 9 авт.

Стало – 17 авт.

(23 - х) + 9 = 17
23 - х = 17 - 9
23 - х = 8
х = 23 - 8
х = 15

23 - 8 = 23 - (3 + 5) = (23 - 3) - 5 = 20 - 5 = 15

Ответ: 15 автомобилей.

1) Для того чтобы найти, сколько яблок было у хозяйки изначально, можно выполнить действия в обратном порядке.
В конце у хозяйки было 42 яблока. Это количество получилось после того, как она докупила 18 яблок. Значит, до покупки у неё было:
$42 - 18 = 24$ яблока.
Эти 24 яблока остались после того, как она использовала 11 яблок для пирога. Следовательно, до приготовления пирога у неё было:
$24 + 11 = 35$ яблок.
Другой способ — составить уравнение. Пусть $x$ — это начальное количество яблок. Тогда можно записать следующее равенство:
$x - 11 + 18 = 42$
$x + 7 = 42$
$x = 42 - 7$
$x = 35$
Ответ: 35 яблок.

2) Чтобы определить, сколько автомобилей освободили парковку, также можно рассуждать в обратном порядке.
В конце на парковке стало 17 автомобилей. Это произошло после того, как 9 автомобилей припарковались. Значит, до их приезда на парковке было:
$17 - 9 = 8$ автомобилей.
Изначально на парковке было 23 автомобиля, а после того как несколько машин уехало, их осталось 8. Чтобы найти, сколько машин уехало, нужно из начального количества вычесть оставшееся:
$23 - 8 = 15$ автомобилей.
Также задачу можно решить с помощью уравнения. Пусть $y$ — это количество автомобилей, которые освободили парковку. Составим уравнение:
$23 - y + 9 = 17$
$32 - y = 17$
$y = 32 - 17$
$y = 15$
Ответ: 15 автомобилей.

3.53 Упростите выражение:

1) (206 + a) - 77;

2) (189 + c) - 63;

3) (z - 27) + 74;

4) (t - 39) + 118.

1) (206 + а) - 77 = (206 - 77) + а = 129 + а

2) (189 + с) - 63 = (189 - 63) + с = 126 + с

3) (z - 27) + 74 = 74 + (z - 27) = (74 - 27) + z = 47 + z

4) (t - 39) + 118 = 118 + (t - 39) = (118 - 39) + t = 79 + t

Чтобы упростить выражение $(206 + a) - 77$, мы можем раскрыть скобки и перегруппировать члены выражения, используя сочетательное свойство сложения. Это означает, что мы можем вычесть 77 из 206, а затем прибавить a. Выполним вычисления: $(206 + a) - 77 = 206 + a - 77 = (206 - 77) + a$. Вычисляем разность чисел: $206 - 77 = 129$. В итоге получаем: $129 + a$.
Ответ: $129 + a$

Для упрощения выражения $(189 + c) - 63$ применим тот же подход. Раскроем скобки и сгруппируем числовые значения, используя сочетательное свойство: $(189 + c) - 63 = 189 + c - 63 = (189 - 63) + c$. Выполним вычитание чисел: $189 - 63 = 126$. Таким образом, упрощенное выражение равно $126 + c$.
Ответ: $126 + c$

Рассмотрим выражение $(z - 27) + 74$. Так как перед скобками стоит знак плюс, мы можем просто убрать их, не меняя знаки внутри. Получим: $z - 27 + 74$. Теперь сгруппируем числа и выполним операцию: $z + (-27 + 74) = z + (74 - 27)$. Вычисляем сумму чисел: $74 - 27 = 47$. Итоговое выражение: $z + 47$.
Ответ: $z + 47$

Чтобы упростить выражение $(t - 39) + 118$, мы также убираем скобки, поскольку за ними следует операция сложения. Это дает нам $t - 39 + 118$. Далее, сгруппируем числовые значения и выполним вычисления: $t + (-39 + 118) = t + (118 - 39)$. Вычисляем разность: $118 - 39 = 79$. Следовательно, упрощенное выражение — это $t + 79$.
Ответ: $t + 79$

3.54 Вычислите:

1) 3540 - 6270 : 110 + 140;

2) 2130 + 9010 : 170 - 270.

$1) 3540 \stackrel{2}{-} 6270 \stackrel{1}{:} 110 \stackrel{3}{+} 140 = 3623$

1)

2)

3)

$2) 2130 \stackrel{2}{+} 9010 \stackrel{1}{:} 170 \stackrel{3}{-} 270 = 1913$

1)

2)

3)

1) $3540 - 6270 : 110 + 140$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняется деление, а затем вычитание и сложение в порядке их следования слева направо.

1. Первое действие — деление:

$6270 : 110 = 57$

2. Теперь выражение выглядит так:

$3540 - 57 + 140$

3. Второе действие — вычитание, так как оно идет первым слева:

$3540 - 57 = 3483$

4. Третье действие — сложение:

$3483 + 140 = 3623$

Ответ: 3623

2) $2130 + 9010 : 170 - 270$

Здесь также сначала выполняем деление, а затем остальные операции по порядку слева направо.

1. Первое действие — деление:

$9010 : 170 = 53$

2. Подставляем полученное значение в выражение:

$2130 + 53 - 270$

3. Второе действие — сложение:

$2130 + 53 = 2183$

4. Третье действие — вычитание:

$2183 - 270 = 1913$

Ответ: 1913

3.55 Найдите значение выражения:

а) 407 + 407 + 407 + 407 + 407;

б) 331 + 331 + 331 + 728 + 728.

а) 407 + 407 + 407 + 407 + 407 = 407 · 5 = 2035

б) 331 + 331 + 331 + 728 + 728 = $331 \stackrel{1}{·} 3 \stackrel{3}{+} 728 \stackrel{2}{·} 2 = 2449$

1)

2)

3)

а) Чтобы найти значение выражения $407 + 407 + 407 + 407 + 407$, мы замечаем, что слагаемое 407 повторяется 5 раз. Такую сумму одинаковых слагаемых можно заменить произведением.

Запишем сумму в виде произведения:

$407 + 407 + 407 + 407 + 407 = 407 \cdot 5$

Теперь вычислим это произведение. Это можно сделать, умножая в столбик или разложив число 407 на разрядные слагаемые:

$407 \cdot 5 = (400 + 7) \cdot 5 = 400 \cdot 5 + 7 \cdot 5 = 2000 + 35 = 2035$.

Ответ: 2035.

б) В выражении $331 + 331 + 331 + 728 + 728$ есть две группы одинаковых слагаемых. Сгруппируем их и заменим сложение в каждой группе на умножение.

Число 331 складывается 3 раза, а число 728 складывается 2 раза. Исходное выражение можно переписать следующим образом:

$(331 + 331 + 331) + (728 + 728) = (331 \cdot 3) + (728 \cdot 2)$

Теперь вычислим значение каждого произведения по отдельности:

$331 \cdot 3 = 993$

$728 \cdot 2 = 1456$

Осталось сложить полученные результаты:

$993 + 1456 = 2449$

Ответ: 2449.

3.56 Представьте в виде суммы произведение:

а) 75 - 6;

б) k • 7;

в) (a + b) • 3;

г) (c - 2d) • 5.

а) 75 · 6 = 75 + 75 + 75 + 75 + 75 +75

б) k · 7 = k + k + k + k + k + k

в) (а + в) · 3 = (а + в) + (а + в) + (а + в)

г) (c - 2d) · 5 = (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d)

Чтобы представить произведение в виде суммы, необходимо воспользоваться основным определением умножения. Умножение некоторого числа или выражения $A$ на натуральное число $n$ эквивалентно сумме $n$ слагаемых, каждое из которых равно $A$. Общая формула: $A \cdot n = \underbrace{A + A + \dots + A}_{n \text{ слагаемых}}$.

а) В произведении $75 \cdot 6$ число 75 умножается на 6. Это означает, что мы должны сложить число 75 само с собой 6 раз.
$75 \cdot 6 = 75 + 75 + 75 + 75 + 75 + 75$.
Ответ: $75 + 75 + 75 + 75 + 75 + 75$.

б) В произведении $k \cdot 7$ переменная $k$ умножается на 7. Это значит, что мы должны сложить $k$ 7 раз.
$k \cdot 7 = k + k + k + k + k + k + k$.
Ответ: $k + k + k + k + k + k + k$.

в) В этом случае множимым является выражение в скобках, то есть $(a + b)$. Умножение этого выражения на 3 означает, что его нужно сложить само с собой 3 раза.
$(a + b) \cdot 3 = (a + b) + (a + b) + (a + b)$.
Ответ: $(a + b) + (a + b) + (a + b)$.

г) Аналогично предыдущему примеру, множимое — это выражение $(c - 2d)$. Чтобы умножить его на 5, нужно сложить это выражение само с собой 5 раз.
$(c - 2d) \cdot 5 = (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d)$.
Ответ: $(c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d) + (c - 2d)$.

3.57 В одной коробке 24 банки зелёного горошка, по 350 г в каждой банке. В гипермаркет привезли 150 таких коробок. Какова масса зелёного горошка во всех коробках вместе?

1) 24 · 350 = 8400 (г) – масса горошка в одной коробке

2) 150 8400 = 1260000 (г) = 1260 (кг)

Ответ: 1260 кг.

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить два действия: сначала найти общую массу зелёного горошка в одной коробке, а затем умножить эту массу на количество привезённых коробок.

1. Найдём массу зелёного горошка в одной коробке.

Известно, что в одной коробке 24 банки, а масса горошка в каждой банке — 350 г. Чтобы найти общую массу в одной коробке, нужно умножить количество банок на массу одной банки:

$24 \times 350 = 8400 \text{ г}$

Таким образом, масса зелёного горошка в одной коробке составляет 8400 граммов.

2. Найдём общую массу зелёного горошка во всех коробках.

В гипермаркет привезли 150 коробок. Чтобы найти общую массу горошка, умножим массу одной коробки на общее количество коробок:

$8400 \text{ г} \times 150 = 1\,260\,000 \text{ г}$

Полученное значение можно перевести в более крупные единицы измерения для удобства. Поскольку в 1 килограмме (кг) 1000 граммов (г), разделим результат на 1000:

$1\,260\,000 \text{ г} \div 1000 = 1260 \text{ кг}$

Ответ: масса зелёного горошка во всех коробках вместе составляет 1260 кг (или 1 260 000 г).

3.58 Периметр треугольника MNP равен 103 см. Сторона MN равна 24 см, и она меньше стороны NP в 2 раза. Найдите длину стороны МР.

1) 24 · 2 = 48 (см) –длина NP

2) 102 - (24 + 48) = 103 - 72 = 31 (см)

Ответ: 31 см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника MNP периметр $P$ определяется формулой: $P = MN + NP + MP$.

Из условия задачи нам известны: периметр $P = 103$ см и длина стороны $MN = 24$ см. Также дано, что сторона $MN$ в 2 раза меньше стороны $NP$.

1. Найдём длину стороны NP.
Поскольку сторона $MN$ в 2 раза меньше стороны $NP$, то сторона $NP$ в 2 раза больше стороны $MN$. Вычислим длину $NP$:
$NP = MN \cdot 2 = 24 \text{ см} \cdot 2 = 48 \text{ см}$.

2. Найдём длину стороны MP.
Зная периметр и длины двух сторон ($MN$ и $NP$), мы можем найти длину третьей стороны $MP$. Для этого вычтем из периметра длины двух известных сторон:
$MP = P - MN - NP$
Подставим числовые значения:
$MP = 103 - 24 - 48$
$MP = 79 - 48$
$MP = 31 \text{ см}$.

Ответ: 31 см.

3.59 Один конвейер упаковывает 62 пачки печенья в минуту, а другой - 65 таких пачек. Сколько пачек печенья будет упаковано за 10 мин работы первого конвейера и 8 мин работы второго конвейера?

1) 62 · 10 = 620 (n.) – упаковал I конв.

2) 65 · 8 = (60 + 5) · 8 = 60 · 8 + 5 · 8 = 480 + 40 = 520 (n.) – упокавал II конв.

3) 620 + 520 = 1140 (n.) – упокавали вместе

Ответ: 1140 пачек.

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько действий.

1. Найдем, сколько пачек печенья упакует первый конвейер за 10 минут.
Для этого умножим производительность первого конвейера (количество пачек в минуту) на время его работы.

$62 \text{ пачки/мин} \times 10 \text{ мин} = 620 \text{ пачек}$

2. Найдем, сколько пачек печенья упакует второй конвейер за 8 минут.
Аналогично, умножим производительность второго конвейера на время его работы.

$65 \text{ пачек/мин} \times 8 \text{ мин} = 520 \text{ пачек}$

3. Найдем общее количество упакованных пачек печенья.
Для этого сложим количество пачек, упакованных первым конвейером, и количество пачек, упакованных вторым.

$620 \text{ пачек} + 520 \text{ пачек} = 1140 \text{ пачек}$

Задачу также можно решить одним выражением:

$62 \times 10 + 65 \times 8 = 620 + 520 = 1140 \text{ пачек}$

Ответ: за 10 мин работы первого конвейера и 8 мин работы второго конвейера будет упаковано 1140 пачек печенья.

5.516 Найдите произведение:

а) Чтобы найти произведение целого числа и дроби, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1, а затем выполнить умножение дробей: перемножить их числители и знаменатели.

$10 \cdot \frac{1}{10} = \frac{10}{1} \cdot \frac{1}{10} = \frac{10 \cdot 1}{1 \cdot 10} = \frac{10}{10} = 1$.

Числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. В данном случае 10 и $\frac{1}{10}$ — взаимно обратные числа.
Ответ: 1

б) Выполним умножение аналогично предыдущему примеру, представив целое число 6 в виде дроби $\frac{6}{1}$.

$\frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 1} = \frac{6}{6} = 1$.

Здесь $\frac{1}{6}$ и 6 также являются взаимно обратными числами.
Ответ: 1

в) Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Перед умножением удобно выполнить сокращение: разделить числитель и знаменатель на их общие делители.

$\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{9}^1}{\cancel{9}_1 \cdot \cancel{5}_1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$.

Дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{9}{5}$ — взаимно обратные, так как их произведение равно 1.
Ответ: 1

г) Выполним умножение двух взаимно обратных дробей, как в предыдущем примере, выполняя сокращение.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{8}^1}{\cancel{8}_1 \cdot \cancel{3}_1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$.

Дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{8}{3}$ также являются взаимно обратными.
Ответ: 1

5.517 Являются ли числа взаимно обратными:

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно 1.

а) $6\frac{1}{7} · \frac{7}{43} = \frac{43}{7} · \frac{7}{43} = \frac{43 · 7}{7 · 43} = 1$

Ответ: являются.

б) $45 · \frac{1}{40} = \frac{45 · 1}{40} = \frac{45}{40} = \frac{5 · 9}{5 · 8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ответ: не являются.

в) $1\frac{1}{5} · \frac{5}{6} = \frac{6}{5} · \frac{5}{6} = \frac{6 · 5}{5 · 6} = 1$

Ответ: являются.

г) $0 · 1 = 0$

Ответ: не являются.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы определить, являются ли данные пары чисел взаимно обратными, необходимо найти их произведение и проверить, равно ли оно единице.

а) Проверим пару чисел $6 \frac{1}{7}$ и $\frac{7}{43}$.
Сначала преобразуем смешанное число $6 \frac{1}{7}$ в неправильную дробь:
$6 \frac{1}{7} = \frac{6 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{42 + 1}{7} = \frac{43}{7}$.
Теперь умножим полученную дробь на второе число:
$\frac{43}{7} \cdot \frac{7}{43} = \frac{43 \cdot 7}{7 \cdot 43} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

б) Проверим пару чисел $45$ и $\frac{1}{40}$.
Найдем произведение этих чисел:
$45 \cdot \frac{1}{40} = \frac{45}{40}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:
$\frac{45}{40} = \frac{45 \div 5}{40 \div 5} = \frac{9}{8}$.
Произведение $\frac{9}{8}$ не равно 1, значит, эти числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет, не являются.

в) Проверим пару чисел $1 \frac{1}{5}$ и $\frac{5}{6}$.
Преобразуем смешанное число $1 \frac{1}{5}$ в неправильную дробь:
$1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
Теперь найдем произведение чисел:
$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} = 1$.
Поскольку произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да, являются.

г) Проверим пару чисел $0$ и $1$.
Найдем произведение этих чисел:
$0 \cdot 1 = 0$.
Произведение равно 0, а не 1. Таким образом, эти числа не являются взаимно обратными. Важно также отметить, что для числа 0 не существует обратного числа, так как деление на ноль является неопределенной операцией.
Ответ: нет, не являются.

5.518 Какое число обратно числу: $\frac{9}{10};$7;$\frac{14}{3};$$\frac{7}{11};$$\frac{1}{5};$$8\frac{13}{15}?$

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Чтобы найти число, обратное данному, нужно 1 разделить на это число.
- Для обыкновенной дроби вида $\frac{a}{b}$, обратным числом будет дробь $\frac{b}{a}$.
- Для натурального числа $n$, которое можно представить как дробь $\frac{n}{1}$, обратным числом будет $\frac{1}{n}$.
- Для смешанного числа, его сначала нужно представить в виде неправильной дроби, а затем найти обратную дробь, поменяв местами числитель и знаменатель.

$\frac{9}{10}$
Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{9}{10}$, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.
В результате получаем дробь $\frac{10}{9}$. Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{10}{9}$.

$7$
Натуральное число $7$ можно представить в виде дроби $\frac{7}{1}$.
Обратным для этой дроби будет число, у которого числитель и знаменатель поменялись местами, то есть $\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

$\frac{14}{3}$
Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{14}{3}$, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.
В результате получаем дробь $\frac{3}{14}$.
Ответ: $\frac{3}{14}$.

$\frac{7}{11}$
Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{7}{11}$, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.
В результате получаем дробь $\frac{11}{7}$. Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $1\frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{11}{7}$.

$\frac{1}{5}$
Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{1}{5}$, необходимо поменять местами ее числитель и знаменатель.
В результате получаем дробь $\frac{5}{1}$, что равно натуральному числу $5$.
Ответ: $5$.

$8\frac{13}{15}$
Сначала необходимо преобразовать смешанное число $8\frac{13}{15}$ в неправильную дробь.
$8\frac{13}{15} = \frac{8 \cdot 15 + 13}{15} = \frac{120 + 13}{15} = \frac{133}{15}$.
Теперь найдем число, обратное дроби $\frac{133}{15}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получаем дробь $\frac{15}{133}$.
Ответ: $\frac{15}{133}$.

5.519 Вычислите произведение:

а) Чтобы вычислить произведение, можно перемножить все числители и все знаменатели, а затем сократить. Однако, в данном выражении есть две взаимно обратные дроби ($ \frac{5}{7} $ и $ \frac{7}{5} $), произведение которых равно 1. Это можно использовать для упрощения вычислений.

Исходное выражение: $ \frac{63}{95} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} $

Сгруппируем взаимно обратные дроби, используя сочетательное свойство умножения:

$ \frac{63}{95} \cdot \left(\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}\right) $

Вычислим произведение в скобках:

$ \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{35}{35} = 1 $

Теперь подставим результат в выражение:

$ \frac{63}{95} \cdot 1 = \frac{63}{95} $

Дробь $ \frac{63}{95} $ является несократимой, так как числитель ($63 = 3^2 \cdot 7$) и знаменатель ($95 = 5 \cdot 19$) не имеют общих простых делителей.

Ответ: $ \frac{63}{95} $

б) В этом примере также есть две взаимно обратные дроби: $ \frac{9}{11} $ и $ \frac{11}{9} $. Их произведение равно 1.

Исходное выражение: $ 347 \cdot \frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9} $

Сгруппируем дроби, используя сочетательное свойство умножения:

$ 347 \cdot \left(\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}\right) $

Произведение дробей в скобках равно 1:

$ \frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9} = 1 $

Подставим результат в исходное выражение:

$ 347 \cdot 1 = 347 $

Ответ: $ 347 $

в) В этом произведении также есть взаимно обратные дроби: $ \frac{42}{47} $ и $ \frac{47}{42} $. Воспользуемся переместительным свойством умножения, чтобы поставить их рядом и упростить вычисление.

Исходное выражение: $ \frac{42}{47} \cdot \frac{5}{431} \cdot \frac{47}{42} $

Поменяем местами второй и третий множители:

$ \frac{42}{47} \cdot \frac{47}{42} \cdot \frac{5}{431} $

Сгруппируем взаимно обратные дроби:

$ \left(\frac{42}{47} \cdot \frac{47}{42}\right) \cdot \frac{5}{431} $

Произведение в скобках равно 1:

$ 1 \cdot \frac{5}{431} = \frac{5}{431} $

Дробь $ \frac{5}{431} $ является несократимой, так как числитель 5 — простое число, а знаменатель 431 на 5 не делится.

Ответ: $ \frac{5}{431} $

5.520 Решите уравнение:

а) Дано уравнение $\frac{2}{3}x = 1$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (1) разделить на известный множитель ($\frac{2}{3}$).

$x = 1 : \frac{2}{3}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 1 \cdot \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) Дано уравнение $\frac{51}{62}y = 1$. Чтобы найти $y$, разделим произведение (1) на известный множитель ($\frac{51}{62}$).

$y = 1 : \frac{51}{62}$

$y = 1 \cdot \frac{62}{51}$

$y = \frac{62}{51}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$y = 1\frac{11}{51}$

Ответ: $1\frac{11}{51}$.

в) Дано уравнение $\frac{3}{10}a = 1$. Чтобы найти $a$, разделим 1 на коэффициент $\frac{3}{10}$.

$a = 1 : \frac{3}{10}$

$a = 1 \cdot \frac{10}{3}$

$a = \frac{10}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$a = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

г) Дано уравнение $\frac{104}{183}b = 1$. Чтобы найти $b$, разделим 1 на коэффициент $\frac{104}{183}$.

$b = 1 : \frac{104}{183}$

$b = 1 \cdot \frac{183}{104}$

$b = \frac{183}{104}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$b = 1\frac{79}{104}$

Ответ: $1\frac{79}{104}$.

д) Дано уравнение $\frac{7}{25}x = \frac{7}{25}$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{7}{25}$) разделить на известный множитель ($\frac{7}{25}$).

$x = \frac{7}{25} : \frac{7}{25}$

Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1.

$x = 1$

Ответ: $1$.

е) Дано уравнение $\frac{13}{6}y = \frac{13}{6}$. Чтобы найти $y$, нужно произведение ($\frac{13}{6}$) разделить на известный множитель ($\frac{13}{6}$).

$y = \frac{13}{6} : \frac{13}{6}$

$y = 1$

Ответ: $1$.

5.521 Найдите:

а) Чтобы найти часть от числа, необходимо умножить это число на дробь, которая выражает эту часть. В данном случае, нам нужно найти $\frac{1}{15}$ от числа 15.

Выполним умножение:

$\frac{1}{15} \times 15 = \frac{1 \times 15}{15} = \frac{15}{15} = 1$

Ответ: 1

б) Чтобы найти $\frac{2}{3}$ от числа 75, необходимо умножить 75 на дробь $\frac{2}{3}$.

Выполним вычисление:

$75 \times \frac{2}{3} = \frac{75 \times 2}{3}$

Можно сократить 75 и 3, так как 75 делится на 3 ($75 \div 3 = 25$).

$\frac{25 \times 3 \times 2}{3} = 25 \times 2 = 50$

Ответ: 50

в) В этом случае нужно найти часть от дроби. Правило остается тем же: умножаем дробь $\frac{3}{2}$ на дробь $\frac{2}{3}$.

Выполним умножение дробей:

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{2 \times 3}{3 \times 2} = \frac{6}{6} = 1$

Можно также заметить, что мы умножаем взаимообратные дроби, произведение которых всегда равно единице.

Ответ: 1

5.522 Фермеру надо вспахать участок земли размером 1710 га. До обеда он вспахал 1017 этого участка. Сколько гектаров земли вспахал фермер до обеда?

Для того чтобы найти, какую площадь земли вспахал фермер до обеда, необходимо умножить общую площадь участка на ту его часть, которая была вспахана.

Общая площадь участка равна $ \frac{17}{10} $ гектара.

Часть участка, вспаханная до обеда, составляет $ \frac{10}{17} $ от общей площади.

Найдем площадь вспаханной земли, умножив общую площадь на вспаханную часть:

$ \frac{17}{10} \times \frac{10}{17} $

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Также можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{17 \times 10}{10 \times 17} = \frac{\cancel{17} \times \cancel{10}}{\cancel{10} \times \cancel{17}} = \frac{1}{1} = 1 $

Следовательно, до обеда фермер вспахал 1 гектар земли.

Ответ: 1 га.

5.523 Найдите частное:

a) $\frac{4}{5}:\frac{9}{11} = \frac{4}{5} · \frac{11}{9} = \frac{4 · 11}{5 · 9} = \frac{44}{45}$

б) $\frac{1}{7}:\frac{5}{8} = \frac{1}{7} · \frac{8}{5} = \frac{1 · 8}{7 · 5} = \frac{8}{35}$

в) $\frac{2}{7}:\frac{2}{9} = \frac{2}{7} · \frac{9}{2} = \frac{2 · 9}{7 · 2} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

г) $\frac{5}{8}:\frac{7}{12} = \frac{5}{8} · \frac{12}{7} = \frac{5 · 12}{8 · 7} = \frac{5 · 4 · 3}{4 · 2 · 7} = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$

д) $\frac{4}{7}:\frac{16}{49} = \frac{4}{7} · \frac{49}{16} = \frac{4 · 49}{7 · 16} = \frac{4 · 7 · 7}{7 · 4 · 4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

е) $\frac{5}{9}:\frac{1}{2} = \frac{5}{9} · \frac{2}{1} = \frac{5 · 2}{9 · 1} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

ж) $\frac{12}{25}:\frac{8}{15} = \frac{12}{25} · \frac{15}{8} = \frac{12 · 15}{25 · 8} = \frac{4 · 3 · 5 · 3}{5 · 5 · 4 · 2} = 3 · 35 · 2 = \frac{9}{10}$

з) $\frac{9}{14}:\frac{18}{35} = \frac{9}{14} · \frac{35}{18} = \frac{9 · 35}{14 · 18} = \frac{3 · 3 · 5 · 7}{2 · 7 · 3 · 3 · 2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Для того чтобы найти частное двух дробей, необходимо делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (вторую дробь). Правило деления дробей выглядит так: $ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $.

а) Выполним деление дробей, умножив первую дробь на перевернутую вторую:

$ \frac{4}{5} \div \frac{9}{11} = \frac{4}{5} \times \frac{11}{9} = \frac{4 \times 11}{5 \times 9} = \frac{44}{45} $

Ответ: $ \frac{44}{45} $

б) Умножим делимое на дробь, обратную делителю:

$ \frac{1}{7} \div \frac{5}{8} = \frac{1}{7} \times \frac{8}{5} = \frac{1 \times 8}{7 \times 5} = \frac{8}{35} $

Ответ: $ \frac{8}{35} $

в) Выполним деление, умножив первую дробь на перевернутую вторую, и сократим одинаковые множители:

$ \frac{2}{7} \div \frac{2}{9} = \frac{2}{7} \times \frac{9}{2} = \frac{\cancel{2} \times 9}{7 \times \cancel{2}} = \frac{9}{7} $

Ответ: $ \frac{9}{7} $

г) Умножим делимое на дробь, обратную делителю, и выполним сокращение:

$ \frac{5}{8} \div \frac{7}{12} = \frac{5}{8} \times \frac{12}{7} = \frac{5 \times 12}{8 \times 7} = \frac{5 \times (3 \times \cancel{4})}{(2 \times \cancel{4}) \times 7} = \frac{5 \times 3}{2 \times 7} = \frac{15}{14} $

Ответ: $ \frac{15}{14} $

д) Выполним деление, предварительно сократив дроби:

$ \frac{4}{7} \div \frac{16}{49} = \frac{4}{7} \times \frac{49}{16} = \frac{\cancel{4}^1 \times \cancel{49}^7}{\cancel{7}^1 \times \cancel{16}^4} = \frac{1 \times 7}{1 \times 4} = \frac{7}{4} $

Ответ: $ \frac{7}{4} $

е) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$ \frac{5}{9} \div \frac{1}{2} = \frac{5}{9} \times \frac{2}{1} = \frac{5 \times 2}{9 \times 1} = \frac{10}{9} $

Ответ: $ \frac{10}{9} $

ж) Выполним деление, умножив на обратную дробь и сократив числитель и знаменатель:

$ \frac{12}{25} \div \frac{8}{15} = \frac{12}{25} \times \frac{15}{8} = \frac{\cancel{12}^3 \times \cancel{15}^3}{\cancel{25}^5 \times \cancel{8}^2} = \frac{3 \times 3}{5 \times 2} = \frac{9}{10} $

Ответ: $ \frac{9}{10} $

з) Умножим делимое на дробь, обратную делителю, и сократим:

$ \frac{9}{14} \div \frac{18}{35} = \frac{9}{14} \times \frac{35}{18} = \frac{\cancel{9}^1 \times \cancel{35}^5}{\cancel{14}^2 \times \cancel{18}^2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 2} = \frac{5}{4} $

Ответ: $ \frac{5}{4} $

5.524 Выполните деление:

а) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно заменить деление умножением на число, обратное делителю. Целое число 5 можно представить в виде дроби $\frac{5}{1}$, тогда обратное ему число — это $\frac{1}{5}$.

$\frac{5}{9} : 5 = \frac{5}{9} : \frac{5}{1} = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{5}$

Теперь умножим дроби. Для этого перемножим их числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить числитель первой дроби (5) и знаменатель второй дроби (5).

$\frac{5 \cdot 1}{9 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{1}{9}$

Другой способ — умножить знаменатель дроби на целое число, оставив числитель без изменений, а затем сократить:

$\frac{5}{9} : 5 = \frac{5}{9 \cdot 5} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Данный пример решается аналогично предыдущему. Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить прежним.

$\frac{4}{7} : 4 = \frac{4}{7 \cdot 4}$

Сократим 4 в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{7 \cdot 4} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь). Обратной для дроби $\frac{5}{13}$ является дробь $\frac{13}{5}$.

$1 : \frac{5}{13} = 1 \cdot \frac{13}{5} = \frac{13}{5}$

Получилась неправильная дробь. Выделим из нее целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $13 : 5 = 2$ и $3$ в остатке. Целая часть равна 2, остаток 3 становится новым числителем, а знаменатель остается прежним.

$\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$

Ответ: $2\frac{3}{5}$

г) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной. Обратной для дроби $\frac{4}{7}$ является дробь $\frac{7}{4}$.

$7 : \frac{4}{7} = 7 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{4} = \frac{49}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число. Разделим 49 на 4 с остатком: $49 : 4 = 12$ и $1$ в остатке.

$\frac{49}{4} = 12\frac{1}{4}$

Ответ: $12\frac{1}{4}$

д) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю. Обратной для дроби $\frac{8}{9}$ является дробь $\frac{9}{8}$.

$4 : \frac{8}{9} = 4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{8}$

Перед тем как перемножить, сократим дробь. Можно сократить 4 и 8 на их общий делитель 4.

$\frac{4 \cdot 9}{8} = \frac{1 \cdot 9}{2} = \frac{9}{2}$

Выделим целую часть из неправильной дроби. Разделим 9 на 2 с остатком: $9 : 2 = 4$ и $1$ в остатке.

$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$

Ответ: $4\frac{1}{2}$

5.525 Представьте в виде дроби частное:

а) Чтобы представить частное двух дробей в виде одной дроби, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратной дробью для $\frac{m}{n}$ является $\frac{n}{m}$.

Выполним умножение:

$\frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} = \frac{an}{bm}$

Ответ: $\frac{an}{bm}$

б) Чтобы разделить дробь на число, можно представить это число как дробь со знаменателем 1. Затем выполнить деление дробей по правилу из пункта а), то есть умножить первую дробь на обратную ко второй.

Представим $c$ как $\frac{c}{1}$:

$\frac{8}{t} : c = \frac{8}{t} : \frac{c}{1}$

Теперь умножим делимое на дробь, обратную делителю:

$\frac{8}{t} \cdot \frac{1}{c} = \frac{8 \cdot 1}{t \cdot c} = \frac{8}{tc}$

Ответ: $\frac{8}{tc}$

в) Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной. Представим число $d$ как дробь $\frac{d}{1}$.

$d : \frac{a}{m} = \frac{d}{1} : \frac{a}{m}$

Умножим делимое на дробь, обратную делителю (обратная к $\frac{a}{m}$ есть $\frac{m}{a}$):

$\frac{d}{1} \cdot \frac{m}{a} = \frac{d \cdot m}{1 \cdot a} = \frac{dm}{a}$

Ответ: $\frac{dm}{a}$

5.526 Масса 35 л воды Мёртвого моря равна 1825 кг. Чему равна масса 1 л такой воды? Чему равен объём 1 кг воды?

Чему равна масса 1 л такой воды?

По условию задачи, масса $\frac{3}{5}$ литра воды Мёртвого моря равна $\frac{18}{25}$ кг. Чтобы найти массу 1 литра такой воды (её плотность), необходимо разделить массу на объём.

Выполним деление дробей:

$\frac{18}{25} \div \frac{3}{5}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевёрнутую):

$\frac{18}{25} \times \frac{5}{3} = \frac{18 \times 5}{25 \times 3}$

Для удобства вычислений сократим дроби перед умножением. Сократим 18 и 3 на 3, а 25 и 5 на 5:

$\frac{\cancel{18}^6}{\cancel{25}_5} \times \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{6 \times 1}{5 \times 1} = \frac{6}{5}$ кг.

Получилась неправильная дробь. Преобразуем её в смешанное число:

$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ кг.

Ответ: масса 1 л такой воды равна $1\frac{1}{5}$ кг.

Чему равен объём 1 кг воды?

Чтобы найти, какой объём занимает 1 кг воды, нужно, наоборот, объём разделить на массу.

$\frac{3}{5} \div \frac{18}{25} = \frac{3}{5} \times \frac{25}{18} = \frac{3 \times 25}{5 \times 18}$

Снова сократим дроби для упрощения: 3 и 18 на 3, а 25 и 5 на 5.

$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} \times \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{18}_6} = \frac{1 \times 5}{1 \times 6} = \frac{5}{6}$ л.

Этот же результат можно было получить, зная массу 1 литра. Если масса 1 л равна $\frac{6}{5}$ кг, то объём 1 кг — это обратная величина: $1 \div \frac{6}{5} = 1 \times \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$ л.

Ответ: объём 1 кг воды равен $\frac{5}{6}$ л.

5.527 Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 35 дм, а площадь равна 2475 дм³.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию задачи, одна из сторон, назовем ее $a$, равна $\frac{3}{5}$ дм, а площадь $S$ равна $\frac{24}{75}$ дм?.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$. Чтобы найти вторую сторону $b$, нужно площадь разделить на известную сторону $a$:

$b = S \div a = \frac{24}{75} \div \frac{3}{5}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$b = \frac{24}{75} \cdot \frac{5}{3}$

Для удобства вычислений, сократим дроби перед умножением: $24$ и $3$ сокращаются на $3$ (получаем $8$ и $1$), а $75$ и $5$ сокращаются на $5$ (получаем $15$ и $1$).

$b = \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{1} = \frac{8}{15}$ дм.

Итак, вторая сторона прямоугольника $b$ равна $\frac{8}{15}$ дм.

Теперь найдем периметр прямоугольника $P$. Формула периметра: $P = 2 \cdot (a + b)$.

Подставим известные значения сторон $a$ и $b$:

$P = 2 \cdot (\frac{3}{5} + \frac{8}{15})$

Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $5$ и $15$ — это $15$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 5 = 3$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{9}{15} + \frac{8}{15} = \frac{9 + 8}{15} = \frac{17}{15}$

Подставим полученную сумму обратно в формулу периметра:

$P = 2 \cdot \frac{17}{15} = \frac{34}{15}$ дм.

Ответ: $\frac{34}{15}$ дм.