Страница 83, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.31 Составьте выражение по условию задачи:

а) Для отправки детей в лагерь заказали 7 автобусов. В каждом автобусе было x детей. Сколько детей отправилось в лагерь, если x = 25; x = 42?

б) Сколько овощей перевезёт грузовик за 15 рейсов, если за один рейс он перевозит k т овощей? Найдите значение выражения при k = 4; k = 25.

а) 7х (детей)

при х = 25

7 · 25 = 7 · (20 + 5) = 7 · 20 + 7 · 5 = 140 + 35 = 175 (д.);

при х = 42

7 · 42 = 7 · ( 40 + 2) = 7 · 40 + 7 · 2 = 280 + 14 = 294 (д.).

б) (15k)m

при k = 4

15 · 4 = (10 + 5) · 4 = 10 · 4 + 5 · 4 = 40 + 20 = 60 (m);

при k = 25

15 · 25 = 375 (m).

а) Чтобы найти общее количество детей, необходимо умножить количество автобусов на количество детей в каждом автобусе. По условию, автобусов 7, а детей в каждом автобусе $x$. Таким образом, выражение для общего числа детей будет $7 \times x$ или просто $7x$.
Теперь найдем значение этого выражения для заданных значений $x$:
При $x = 25$: $7 \times 25 = 175$ (детей).
При $x = 42$: $7 \times 42 = 294$ (ребенка).
Ответ: выражение $7x$; 175 детей при $x=25$; 294 ребенка при $x=42$.

б) Чтобы найти общее количество овощей, которое перевезет грузовик, нужно умножить количество рейсов на массу овощей, перевозимую за один рейс. По условию, грузовик совершит 15 рейсов, перевозя за каждый рейс $k$ тонн овощей. Следовательно, искомое выражение: $15 \times k$ или $15k$.
Теперь найдем значения этого выражения для заданных значений $k$:
При $k = 4$: $15 \times 4 = 60$ (тонн овощей).
При $k = 25$: $15 \times 25 = 375$ (тонн овощей).
Ответ: выражение $15k$; 60 т при $k=4$; 375 т при $k=25$.

3.32 Цена одного арбуза n р., а дыни m р. Что означает выражение:

а) 4n;

б) 5m;

в) 6n + 3m;

г) 14n - 3m;

д) 5(n + m)?

а) (4n) р. – стоимость 4-х арбузов;

б) (5m) р. – стоимость 5-ти дынь;

в) (6n + 3m) р. – стоимость 6-ти арбузов;

г) (14n - 3m) р. – на сколько больше рублей стоят 14 арбузов, чем 3 дыни;

д) 5(n + m) р. – стоимость 5 арбузов и 5 дынь.

а) 4n
Поскольку $n$ — это цена одного арбуза в рублях, то произведение $4 \cdot n$ представляет собой общую стоимость четырёх арбузов.

Ответ: стоимость 4 арбузов.

б) 5m
Поскольку $m$ — это цена одной дыни в рублях, то произведение $5 \cdot m$ представляет собой общую стоимость пяти дынь.

Ответ: стоимость 5 дынь.

в) 6n + 3m
Выражение состоит из двух слагаемых: $6n$ — это стоимость 6 арбузов, а $3m$ — это стоимость 3 дынь. Их сумма $6n + 3m$ представляет собой общую стоимость покупки, состоящей из 6 арбузов и 3 дынь.

Ответ: стоимость 6 арбузов и 3 дынь.

г) 14n - 3m
Выражение представляет собой разность двух величин: $14n$ — стоимость 14 арбузов, и $3m$ — стоимость 3 дынь. Разность этих стоимостей показывает, на сколько рублей 14 арбузов дороже, чем 3 дыни.

Ответ: на сколько 14 арбузов дороже, чем 3 дыни.

д) 5(n + m)
Сначала рассмотрим выражение в скобках: $n + m$ — это стоимость одного арбуза и одной дыни вместе, то есть стоимость одного набора из этих фруктов. Умножение этой суммы на 5 означает, что мы находим стоимость пяти таких наборов. Это то же самое, что и стоимость 5 арбузов и 5 дынь ($5n + 5m$).

Ответ: стоимость 5 арбузов и 5 дынь.

3.33 Составьте задачу по выражению:

а) (85 + 65) • 4;

б) (75 - 50) • 3;

в) 31 • 5 + 39 • 5;

г) 93 • 6 - 71 • 5.

а) (85 + 64) · 4

Школьники одной из школ в новом парке сажали по 85 деревьев ежедневно, а школьники другой - по 65 деревьев в день. Сколько всего деревьев посадят школьники двух школ за 4 дня?

б) (75 - 50) · 3

Бабушка купила внукам 3 шоколадных конфеты по 75 р. за штуку и 3 вафельных батончика по 50 р. за штуку. На сколько больше бабушка заплатила за конфеты, чем за батончики?

в) 31 · 5 + 39 · 5

Собранные в своём саду яблоки фермер разложил в 5 ящиков по 31 кг и в 5 ящиков по 39 кг. Сколько всего калаграммов яблок собрал фермер?

г) 93 · 6 - 71 · 5

На рынок привезли 6 ящиков по 93 кг помидоров и 5 контейнеров по 71 кг огурцов. На сколько килограммов помидоров привезли больше, чем огурцов?

а) (85 + 65) · 4

Условие задачи: На одной полке в библиотеке стоит 85 книг, а на другой — 65 книг. Сколько всего книг стоит на четырех таких двухъярусных стеллажах?

Решение:

1. Сначала найдем общее количество книг на двух полках одного стеллажа. Для этого сложим количество книг на первой и второй полках:

$85 + 65 = 150$ (книг)

2. Затем, чтобы найти общее количество книг на четырех таких стеллажах, умножим количество книг на одном стеллаже на 4:

$150 \cdot 4 = 600$ (книг)

Таким образом, общее количество книг можно найти с помощью выражения $(85 + 65) \cdot 4$.

Ответ: 600 книг.

б) (75 – 50) · 3

Условие задачи: Скорость легкового автомобиля 75 км/ч, а скорость грузовика — 50 км/ч. Они одновременно выехали из одного пункта в одном направлении. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение:

1. Сначала найдем скорость удаления, то есть на сколько километров легковой автомобиль обгоняет грузовик за один час. Для этого вычтем из скорости автомобиля скорость грузовика:

$75 - 50 = 25$ (км/ч)

2. Теперь найдем, какое расстояние будет между ними через 3 часа. Для этого умножим скорость удаления на время:

$25 \cdot 3 = 75$ (км)

Выражение для решения задачи: $(75 - 50) \cdot 3$.

Ответ: 75 км.

в) 31 · 5 + 39 · 5

Условие задачи: В магазин привезли 31 ящик с яблоками по 5 кг в каждом и 39 ящиков с грушами, также по 5 кг в каждом. Сколько всего килограммов фруктов привезли в магазин?

Решение:

1. Найдем общую массу яблок, умножив количество ящиков на массу одного ящика:

$31 \cdot 5 = 155$ (кг)

2. Найдем общую массу груш:

$39 \cdot 5 = 195$ (кг)

3. Сложим массу яблок и груш, чтобы найти общую массу всех фруктов:

$155 + 195 = 350$ (кг)

Эту задачу можно решить и другим способом, используя распределительный закон умножения: $(31 + 39) \cdot 5 = 70 \cdot 5 = 350$ кг.

Ответ: 350 кг.

г) 93 · 6 – 71 · 5

Условие задачи: В ателье привезли 6 рулонов ткани, по 93 метра в каждом. На пошив платьев израсходовали 5 кусков ткани по 71 метру. Сколько метров ткани осталось?

Решение:

1. Сначала определим, сколько всего метров ткани привезли в ателье. Для этого умножим количество рулонов на длину ткани в одном рулоне:

$93 \cdot 6 = 558$ (м)

2. Теперь определим, сколько всего метров ткани израсходовали. Для этого умножим количество кусков на их длину:

$71 \cdot 5 = 355$ (м)

3. Чтобы найти, сколько метров ткани осталось, вычтем из общего количества привезенной ткани количество израсходованной:

$558 - 355 = 203$ (м)

Выражение для решения задачи: $93 \cdot 6 - 71 \cdot 5$.

Ответ: 203 м.

3.34 Сколько существует способов подняться в крепость и спуститься из неё, если подниматься и спускаться надо по разным лестницам, а лестниц шесть?

Подниматься в крепость можно по любой из одной из 6-ти лестниц, то есть шестью способами. Так как подниматься и спускаться необходимо по разным лестницам, то спуститься можно только по пяти лестниц. Построим дерево вариантов

6 · 5 = 30

Ответ: 30 способов.

Для решения этой задачи необходимо использовать основное правило комбинаторики — правило умножения. Задача состоит из двух последовательных действий: подъем в крепость и спуск из нее.

Шаг 1: Выбор лестницы для подъема.

По условию, в крепость ведут 6 лестниц. Следовательно, для того чтобы подняться, можно выбрать любую из этих 6 лестниц. Таким образом, существует 6 способов для подъема.

Шаг 2: Выбор лестницы для спуска.

Условие гласит, что подниматься и спускаться нужно по разным лестницам. Это означает, что лестница, которую мы выбрали для подъема, не может быть использована для спуска. Если для подъема была выбрана одна из 6 лестниц, то для спуска остается $6 - 1 = 5$ возможных вариантов.

Шаг 3: Расчет общего числа способов.

Согласно правилу умножения, если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, а после него второе действие можно выполнить $n_2$ способами, то общее число способов выполнить оба действия последовательно равно произведению $n_1 \times n_2$.

В нашем случае:

Количество способов = (Количество способов подняться) $\times$ (Количество способов спуститься)

Количество способов = $6 \times 5 = 30$

Также эту задачу можно рассматривать как нахождение числа размещений без повторений из 6 элементов по 2, так как порядок выбора лестниц важен (лестница для подъема и лестница для спуска). Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$.

Ответ: 30.

3.35 а) Какое из произведений меньше: 43 • 3 или 43 • 4? Объясните почему.

б) Объясните, почему 185 • 13 > 180 • 9. Сделайте вывод.

а) 43 · 3 < 43 · 4

43 + 43 + 43 < 43 + 43 + 43 + 43

б) 185 · 13 > 180 · 9

$185 · 13 = \underset{13 \mathrm{раз}}{\underbrace{185+185+...+185}}$

$180 · 9 = \underset{9 \mathrm{раз}}{\underbrace{180+180+...+180}}$

Так как 185 > 180 и13 > 9 то185 · 13 > 180 · 9.

Вывод: чем больше множители, тем больше произведение.

а) Какое из произведений меньше: 43 · 3 или 43 · 4? Объясните почему.

Чтобы сравнить два произведения, $43 \cdot 3$ и $43 \cdot 4$, не обязательно их вычислять. В обоих выражениях есть общий множитель — 43. Это означает, что мы сравниваем результат умножения числа 43 на 3 и на 4.
Согласно свойству умножения, если один из множителей в двух произведениях одинаковый (и положительный), то меньше будет то произведение, у которого второй множитель меньше.
Сравниваем вторые множители: $3 < 4$.
Следовательно, произведение $43 \cdot 3$ будет меньше, чем произведение $43 \cdot 4$.

Для проверки можно выполнить вычисления:
$43 \cdot 3 = 129$
$43 \cdot 4 = 172$
Поскольку $129 < 172$, наше рассуждение верно.

Ответ: произведение $43 \cdot 3$ меньше, так как при одинаковом первом множителе второй множитель (3) меньше, чем во втором произведении (4).

б) Объясните, почему 185 · 13 > 180 · 9. Сделайте вывод.

Чтобы объяснить, почему неравенство $185 \cdot 13 > 180 \cdot 9$ верно, сравним множители в левой и правой частях.
Сравним первые множители: $185 > 180$.
Сравним вторые множители: $13 > 9$.
Так как оба множителя в левой части ($185$ и $13$) больше соответствующих множителей в правой части ($180$ и $9$), то и произведение в левой части будет больше произведения в правой.

Проверим вычислением:
$185 \cdot 13 = 2405$
$180 \cdot 9 = 1620$
Так как $2405 > 1620$, неравенство является верным.

Вывод: значение произведения напрямую зависит от величины его множителей. Если каждый из множителей одного произведения больше соответствующего множителя другого произведения (при условии, что все множители положительны), то первое произведение будет больше второго.

Ответ: неравенство $185 \cdot 13 > 180 \cdot 9$ верно, потому что множитель 185 больше 180, и множитель 13 больше 9.

3.36 Не выполняя умножения, расставьте в порядке убывания произведения:

а) 59 • 23;

б) 59 • 51;

в) 13 • 23;

г) 13 • 12;

д) 73 • 51;

е) 9 • 12.

Расставить в порядке убывания произведения, значит, расположить их от самого большего к самому меньшему. Если в двух произведениях есть одинаковые множители, то больше будет, то произведение, в котором второй множитель больше.

д) 73 · 51;

б) 59 · 51;

а) 59 · 23;

в) 23 · 13;

г) 13 · 12;

е) 9 · 12.

Ответ: д), б), а), в), г), е).

Для того чтобы расставить произведения в порядке убывания без выполнения умножения, необходимо сравнивать их множители. Мы будем использовать следующее правило: при сравнении двух произведений, у которых один из множителей одинаков, большим будет то произведение, у которого второй множитель больше.

Данные произведения:

а) $59 \cdot 23$

б) $59 \cdot 51$

в) $13 \cdot 23$

г) $13 \cdot 12$

д) $73 \cdot 51$

е) $9 \cdot 12$

Проведем последовательное сравнение произведений:

1. Сравним произведения д) $73 \cdot 51$ и б) $59 \cdot 51$. У них общий множитель $51$. Поскольку $73 > 59$, то $73 \cdot 51 > 59 \cdot 51$.

2. Сравним произведения б) $59 \cdot 51$ и а) $59 \cdot 23$. У них общий множитель $59$. Поскольку $51 > 23$, то $59 \cdot 51 > 59 \cdot 23$.

3. Сравним произведения а) $59 \cdot 23$ и в) $13 \cdot 23$. У них общий множитель $23$. Поскольку $59 > 13$, то $59 \cdot 23 > 13 \cdot 23$.

4. Сравним произведения в) $13 \cdot 23$ и г) $13 \cdot 12$. У них общий множитель $13$. Поскольку $23 > 12$, то $13 \cdot 23 > 13 \cdot 12$.

5. Сравним произведения г) $13 \cdot 12$ и е) $9 \cdot 12$. У них общий множитель $12$. Поскольку $13 > 9$, то $13 \cdot 12 > 9 \cdot 12$.

Объединив все полученные неравенства, мы можем выстроить единую цепочку, которая и будет являться порядком убывания произведений:

$73 \cdot 51 > 59 \cdot 51 > 59 \cdot 23 > 13 \cdot 23 > 13 \cdot 12 > 9 \cdot 12$

Эта последовательность соответствует пунктам: д, б, а, в, г, е.

Ответ: $73 \cdot 51$, $59 \cdot 51$, $59 \cdot 23$, $13 \cdot 23$, $13 \cdot 12$, $9 \cdot 12$.

3.37 Докажите, что:

$\mathrm{а}) 3 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50,$ так как 30 < 33 < 40 и 40 < 45 < 50;

$\mathrm{б}) 400 · 700<404 · 732<500 · 800,$ так как 400 < 404 < 500 и 700 < 732 < 800;

$\mathrm{в}) 1500<36 · 53<2400,$ $30 · 50<36 · 53<40 · 60$ и $30<36<40$ и $50<53<60.$

$\mathrm{г}) 45000<91 · 552<59001$

В учебнике опечатка. Должно быть так $45000<91 · 552<59000,$ $90 · 500<91 · 552<100 · 590,$ тогда $90<91<100$ и $500<552<590.$

а)

Для доказательства двойного неравенства $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$ рассмотрим каждую его часть отдельно.
1. Докажем, что $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45$.
Сравним множители в левой и правой частях. Так как $30 < 33$ и $40 < 45$, а все числа являются положительными, то произведение меньших чисел будет меньше произведения бoльших чисел. Следовательно, $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45$.
Для проверки вычислим значения: $30 \cdot 40 = 1200$, а $33 \cdot 45 = 1485$. Неравенство $1200 < 1485$ верно.
2. Докажем, что $33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$.
Аналогично, сравним множители: $33 < 40$ и $45 < 50$. Следовательно, $33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$.
Для проверки вычислим значение правой части: $40 \cdot 50 = 2000$. Неравенство $1485 < 2000$ верно.
Поскольку оба неравенства верны ($1200 < 1485$ и $1485 < 2000$), то исходное двойное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$ доказано.

б)

Докажем двойное неравенство $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
1. Докажем, что $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732$.
Множители в левой части ($400$ и $700$) меньше соответствующих множителей в правой части ($404$ и $732$). Так как все числа положительные, то $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732$.
Проверка вычислением: $400 \cdot 700 = 280 000$, а $404 \cdot 732 = 295 728$. Неравенство $280 000 < 295 728$ верно.
2. Докажем, что $404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
Множители $404$ и $732$ меньше соответствующих множителей $500$ и $800$. Следовательно, $404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
Проверка вычислением: $500 \cdot 800 = 400 000$. Неравенство $295 728 < 400 000$ верно.
Таким образом, исходное двойное неравенство верно.
Ответ: Неравенство $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$ доказано.

в)

Докажем двойное неравенство $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$.
1. Докажем, что $1500 < 36 \cdot 53$.
Для оценки произведения $36 \cdot 53$ воспользуемся округлением множителей в меньшую сторону. Мы знаем, что $30 < 36$ и $50 < 53$.
Тогда $30 \cdot 50 < 36 \cdot 53$. Вычисляем левую часть: $30 \cdot 50 = 1500$.
Следовательно, $1500 < 36 \cdot 53$.
2. Докажем, что $36 \cdot 53 < 2400$.
Для оценки произведения $36 \cdot 53$ воспользуемся округлением множителей в большую сторону. Мы знаем, что $36 < 40$ и $53 < 60$.
Тогда $36 \cdot 53 < 40 \cdot 60$. Вычисляем правую часть: $40 \cdot 60 = 2400$.
Следовательно, $36 \cdot 53 < 2400$.
Объединив результаты, получаем, что $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$. Для проверки можно вычислить точное значение: $36 \cdot 53 = 1908$, и действительно $1500 < 1908 < 2400$.
Ответ: Неравенство $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$ доказано.

г)

Докажем двойное неравенство $45 000 < 91 \cdot 552 < 59 001$.
1. Докажем, что $45 000 < 91 \cdot 552$.
Оценим произведение $91 \cdot 552$ снизу. Поскольку $90 < 91$ и $500 < 552$, то $90 \cdot 500 < 91 \cdot 552$.
Вычисляем левую часть: $90 \cdot 500 = 45 000$. Таким образом, $45 000 < 91 \cdot 552$.
2. Докажем, что $91 \cdot 552 < 59 001$.
Оценим произведение $91 \cdot 552$ сверху. Поскольку $91 < 100$, то $91 \cdot 552 < 100 \cdot 552 = 55 200$.
Так как $55 200 < 59 001$, то по свойству транзитивности неравенств $91 \cdot 552 < 59 001$.
Для проверки можно вычислить точное значение: $91 \cdot 552 = 50 232$. Неравенство $45 000 < 50 232 < 59 001$ является верным.
Ответ: Неравенство $45 000 < 91 \cdot 552 < 59 001$ доказано.

3.38 Длина прямоугольника 18 см, а ширина 12 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

18 · 12 = 18 · (10 + 2) = 18 · 10 + 18 · 2 = 180 + 36 = 216 (кв. см) – площадь;

(18 + 12) · 2 = 30 · 2 = 60 (см) – периметр.

Ответ: 216 кв. см, 60 см.

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить площадь и периметр прямоугольника с известными длиной и шириной.

Дано:

Длина прямоугольника $a = 18$ см.

Ширина прямоугольника $b = 12$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле, которая представляет собой произведение его длины ($a$) на ширину ($b$):

$S = a \cdot b$

Подставим в формулу данные значения:

$S = 18 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 216 \text{ см}^2$

Ответ: площадь прямоугольника равна $216 \text{ см}^2$.

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, формула для вычисления периметра имеет вид:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Подставим известные значения длины и ширины в формулу:

$P = 2 \cdot (18 \text{ см} + 12 \text{ см})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$18 \text{ см} + 12 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Теперь умножим полученную сумму на 2:

$P = 2 \cdot 30 \text{ см} = 60 \text{ см}$

Ответ: периметр прямоугольника равен $60 \text{ см}$.

3.39 а) В ящике 9 коробок по 8 упаковок мячей. В каждой упаковке 5 мячей. Сколько всего мячей в ящике? Запишите двумя способами выражение для решения задачи.

б) Подсолнухи посадили в 5 рядов. В каждом ряду по 3 лунки. В каждую лунку положили по два семечка. Сколько семечек использовали?

а) 9 · 8 – всего упаковок мячей;

(9 · 8) · 5 – мячей в ящике или

8 · 5 – мячей в 8 упаковках;

9 · (8 · 5) – мячей в ящике;

9 · (8 · 5) = 9 · 40 = 360 (м.)

Ответ: 360 мячей.

а)

Чтобы найти общее количество мячей в ящике, нужно перемножить количество коробок (9), количество упаковок в каждой коробке (8) и количество мячей в каждой упаковке (5). Записать решение двумя способами можно, применив сочетательное свойство умножения, которое позволяет менять порядок действий: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$.

Первый способ. Сначала найдем общее количество упаковок во всех коробках, а затем умножим полученное число на количество мячей в одной упаковке.
Выражение: $(9 \cdot 8) \cdot 5$.
Вычисление: $(9 \cdot 8) \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$ (мячей).

Второй способ. Сначала найдем количество мячей в одной коробке, а затем умножим это число на общее количество коробок.
Выражение: $9 \cdot (8 \cdot 5)$.
Вычисление: $9 \cdot (8 \cdot 5) = 9 \cdot 40 = 360$ (мячей).

Ответ: Выражения для решения задачи: $(9 \cdot 8) \cdot 5$ и $9 \cdot (8 \cdot 5)$. Всего в ящике 360 мячей.

б)

Чтобы узнать, сколько всего семечек использовали, необходимо перемножить количество рядов (5), количество лунок в каждом ряду (3) и количество семечек, положенных в каждую лунку (2).

Решение можно выполнить по действиям:
1) Сначала найдем общее количество лунок: $5 \cdot 3 = 15$ (лунок).
2) Затем найдем общее количество семечек: $15 \cdot 2 = 30$ (семечек).

Или можно записать решение одним выражением, перемножив все три числа:
$5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ (семечек).

Ответ: Использовали 30 семечек.

3.40 Автомобиль ехал 4 ч со скоростью 75 км/ч. Какое расстояние он проехал?

4 · 75 = 4 · (70 + 5) = 4 · 70 + 4 · 5 = 280 + 20 = 300 (км)

Ответ: 300 км.

Для нахождения расстояния, которое проехал автомобиль, необходимо воспользоваться формулой, связывающей расстояние, скорость и время. Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$).

Формула для расчета:
$S = v \times t$

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Скорость автомобиля $v = 75$ км/ч.
Время движения $t = 4$ ч.

Подставим эти значения в формулу и вычислим расстояние:
$S = 75 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

Таким образом, автомобиль проехал 300 километров.

Ответ: 300 км.

3.41 Вычислите.

а) 83 - 39 = 83 - (33 + 6) = (83 - 33) - 6 = 50 - 6 = 44;

44 : 4 = 11;

11 · 7 = 77;

77 + 23 = (70 + 7) + (20 + 3) = (70 + 20) + (7 + 3) = 90 + 10 = 100.

б) 94 - 19 = 94 - (14 + 5) = (94 - 14) - 5 = 80 - 5 = 75;

75 : 25 = 3;

3 · 15 = 3 · (10 + 5) = 3 · 10 + 3 · 5 = 30 + 15 = 45;

45 + 55 = (40 + 5) + (50 + 5) = (40 + 50) + (5 + 5) = 90 + 10 = 100.

в) 47 + 25 = (40 + 7) + (20 + 5) = (40 + 20) + (7 + 5) = 60 + 12 = 72;

72 : 18 = 4;

4 · 12 = 4 · (10 + 2) = 4 · 10 + 4 · 2 = 40 + 8 = 48;

48 - 19 = 48 - (18 + 1) = (48 - 18) - 1 = 30 - 1 = 29.

г) 71 + 19 = (70 + 1) + (10 + 9) = (70 + 10) + (1 + 9) = 80 + 10 = 90;

90 : 15 = 6;

6 · 13 = 6 · (10 + 3) = 6 · 10 + 6 · 3 = 60 + 18 = 78;

78 - 28 = 50.

д) 46 + 18 = (40 + 6) + (10 + 8) = (40 + 10) + (6 + 8) = 50 + 14 = 64;

64 : 16 = 4;

4 · 25 = 4 · (20 + 5) = 4 · 20 + 4 · 5 = 80 + 20 = 100;

100 - 50 = 50.

а)
Для решения данного примера необходимо выполнить действия последовательно сверху вниз:
1. Выполняем вычитание: $83 - 39 = 44$.
2. Результат делим на 4: $44 : 4 = 11$.
3. Полученное число умножаем на 7: $11 \cdot 7 = 77$.
4. К результату прибавляем 23: $77 + 23 = 100$.
Ответ: 100.

б)
Выполним вычисления по шагам в указанном порядке:
1. Первое действие — вычитание: $94 - 19 = 75$.
2. Второе действие — деление: $75 : 25 = 3$.
3. Третье действие — умножение: $3 \cdot 15 = 45$.
4. Четвертое действие — сложение: $45 + 55 = 100$.
Ответ: 100.

в)
Решим пример, следуя порядку действий:
1. Сначала выполним сложение: $47 + 25 = 72$.
2. Затем результат разделим на 18: $72 : 18 = 4$.
3. Далее умножим на 12: $4 \cdot 12 = 48$.
4. В конце выполним вычитание: $48 - 19 = 29$.
Ответ: 29.

г)
Произведем вычисления в указанном порядке:
1. Выполняем сложение: $71 + 19 = 90$.
2. Делим полученную сумму на 15: $90 : 15 = 6$.
3. Результат умножаем на 13: $6 \cdot 13 = 78$.
4. Из полученного числа вычитаем 28: $78 - 28 = 50$.
Ответ: 50.

д)
Решение примера по действиям:
1. Первое действие — сложение: $46 + 18 = 64$.
2. Второе действие — деление: $64 : 16 = 4$.
3. Третье действие — умножение: $4 \cdot 25 = 100$.
4. Четвертое действие — вычитание: $100 - 50 = 50$.
Ответ: 50.

3.42 Восстановите цепочку вычислений.

Чтобы восстановить цепочку вычислений, необходимо последовательно выполнять указанные арифметические действия, двигаясь по часовой стрелке от числа 57.
1. Первое действие — сложение:
$57 + 12 = 69$
2. Второе действие — деление:
$69 : 3 = 23$
3. Третье действие — вычитание:
$23 - 16 = 7$
4. Четвертое действие — умножение:
$7 \cdot 14 = 98$
5. Пятое действие — деление:
$98 : 2 = 49$
6. Проверим, выполнив последнее действие. Результат должен совпадать с начальным числом:
$49 + 8 = 57$
Вычисления верны. Числа в пустых кружках, по порядку выполнения действий: 69, 23, 7, 98, 49.
Ответ: 69, 23, 7, 98, 49.

Аналогично восстановим вторую цепочку, начав с числа 25 и двигаясь по часовой стрелке.
1. Первое действие — умножение:
$25 \cdot 4 = 100$
2. Второе действие — вычитание:
$100 - 79 = 21$
3. Третье действие — умножение:
$21 \cdot 3 = 63$
4. Четвертое действие — вычитание:
$63 - 31 = 32$
5. Пятое действие — деление:
$32 : 4 = 8$
6. Проверим, выполнив последнее действие. Результат должен совпадать с начальным числом:
$8 + 17 = 25$
Вычисления верны. Числа в пустых кружках, по порядку выполнения действий: 100, 21, 63, 32, 8.
Ответ: 100, 21, 63, 32, 8.

3.43 Подберите корни уравнения:

а) х + х = 48;

б) у + у + у + 64 = 64;

в) 2z - 1 = z + 3.

а) Для решения уравнения $x + x + x = 48$ сначала упростим его левую часть. Сумма трех одинаковых слагаемых $x$ равна их произведению на 3.
$3 \cdot x = 48$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение (48) разделить на известный множитель (3).
$x = 48 \div 3$
$x = 16$
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$16 + 16 + 16 = 48$
$48 = 48$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $x = 16$.

б) Рассмотрим уравнение $y + y + y + 64 = 64$.
Упростим левую часть, сложив одинаковые слагаемые $y$:
$3y + 64 = 64$
Чтобы найти значение $3y$, вычтем 64 из обеих частей уравнения:
$3y = 64 - 64$
$3y = 0$
Произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Так как $3 \neq 0$, то $y$ должен быть равен нулю.
$y = 0 \div 3$
$y = 0$
Проверим найденный корень:
$0 + 0 + 0 + 64 = 64$
$64 = 64$
Равенство верное.
Ответ: $y = 0$.

в) Решим уравнение $2z - 1 = z + 3$.
Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в левой части, а постоянные слагаемые — в правой. Для этого перенесем $z$ из правой части в левую (со знаком минус), а -1 из левой части в правую (со знаком плюс).
$2z - z = 3 + 1$
Упростим обе части уравнения:
$z = 4$
Проверим, подставив $z = 4$ в исходное уравнение.
Левая часть: $2z - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Правая часть: $z + 3 = 4 + 3 = 7$.
Так как левая и правая части равны ($7=7$), корень найден верно.
Ответ: $z = 4$.

?

Какие два числа называют взаимно обратными? Приведите примеры.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Иными словами, если число $a$ и число $b$ таковы, что $a \cdot b = 1$, то $a$ и $b$ — взаимно обратные числа. Важно отметить, что число 0 не имеет обратного, так как произведение любого числа на ноль равно нулю, а не единице.

Примеры взаимно обратных чисел: число 5 и дробь $\frac{1}{5}$, так как $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$; дробь $\frac{2}{3}$ и дробь $\frac{3}{2}$, так как $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$; десятичная дробь 0,2 и число 5, так как $0,2 = \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.

Ответ: Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Какое число обратно числу $\frac{a}{b}$?

Чтобы найти число, обратное дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \neq 0$ и $b \neq 0$), нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Таким образом, мы получим новую дробь $\frac{b}{a}$. Проверка показывает, что их произведение равно единице: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$.

Ответ: Число, обратное числу $\frac{a}{b}$, это $\frac{b}{a}$.

Какое число обратно натуральному числу $m$?

Любое натуральное число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $m = \frac{m}{1}$. Используя правило для нахождения обратной дроби, мы меняем числитель и знаменатель местами. Таким образом, число, обратное натуральному числу $m$, есть дробь $\frac{1}{m}$. Проверка: $m \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{1} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m}{m} = 1$.

Ответ: Число, обратное натуральному числу $m$, это $\frac{1}{m}$.

Как записать число, обратное смешанному числу?

Чтобы найти число, обратное смешанному числу, необходимо выполнить два шага. Сначала нужно представить смешанное число в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножают на знаменатель, к результату прибавляют числитель, а знаменатель оставляют прежним. Например, $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$. Затем нужно найти число, обратное полученной неправильной дроби, поменяв местами её числитель и знаменатель. Для нашего примера, число, обратное $\frac{11}{4}$, будет $\frac{4}{11}$.

Ответ: Чтобы записать число, обратное смешанному, нужно сначала превратить его в неправильную дробь, а затем "перевернуть" эту дробь.

Как разделить дробь на дробь?

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Формула деления дробей выглядит так: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$. Например, $\frac{2}{5} \div \frac{3}{7} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{14}{15}$.

Ответ: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Как разделить дробь на натуральное число?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, можно представить это число в виде дроби со знаменателем 1 и применить правило деления дробей. Тогда деление дроби $\frac{a}{b}$ на натуральное число $n$ выглядит так: $\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$. Это означает, что для деления дроби на натуральное число нужно её знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений. Например, $\frac{3}{8} \div 2 = \frac{3}{8 \cdot 2} = \frac{3}{16}$.

Ответ: Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно её знаменатель умножить на это число, а числитель оставить тем же.