Номер 3.37, страница 83, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

12. Действие умножения. Свойства умножения. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.37, страница 83.

3.37 Докажите, что:

а) 30 • 40 < 33 • 45 < 40 • 50;

б) 400 • 700 < 404 • 732 < 500 • 800;

в) 1500 < 36 • 53 < 2400;

г) 45 000 < 91 • 552 < 59 001.

$\mathrm{а}) 3 · 40 < 33 · 45 < 40 · 50,$ так как 30 < 33 < 40 и 40 < 45 < 50;

$\mathrm{б}) 400 · 700<404 · 732<500 · 800,$ так как 400 < 404 < 500 и 700 < 732 < 800;

$\mathrm{в}) 1500<36 · 53<2400,$ $30 · 50<36 · 53<40 · 60$ и $30<36<40$ и $50<53<60.$

$\mathrm{г}) 45000<91 · 552<59001$

В учебнике опечатка. Должно быть так $45000<91 · 552<59000,$ $90 · 500<91 · 552<100 · 590,$ тогда $90<91<100$ и $500<552<590.$

а)

Для доказательства двойного неравенства $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$ рассмотрим каждую его часть отдельно.
1. Докажем, что $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45$.
Сравним множители в левой и правой частях. Так как $30 < 33$ и $40 < 45$, а все числа являются положительными, то произведение меньших чисел будет меньше произведения бoльших чисел. Следовательно, $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45$.
Для проверки вычислим значения: $30 \cdot 40 = 1200$, а $33 \cdot 45 = 1485$. Неравенство $1200 < 1485$ верно.
2. Докажем, что $33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$.
Аналогично, сравним множители: $33 < 40$ и $45 < 50$. Следовательно, $33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$.
Для проверки вычислим значение правой части: $40 \cdot 50 = 2000$. Неравенство $1485 < 2000$ верно.
Поскольку оба неравенства верны ($1200 < 1485$ и $1485 < 2000$), то исходное двойное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство $30 \cdot 40 < 33 \cdot 45 < 40 \cdot 50$ доказано.

б)

Докажем двойное неравенство $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
1. Докажем, что $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732$.
Множители в левой части ($400$ и $700$) меньше соответствующих множителей в правой части ($404$ и $732$). Так как все числа положительные, то $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732$.
Проверка вычислением: $400 \cdot 700 = 280 000$, а $404 \cdot 732 = 295 728$. Неравенство $280 000 < 295 728$ верно.
2. Докажем, что $404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
Множители $404$ и $732$ меньше соответствующих множителей $500$ и $800$. Следовательно, $404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$.
Проверка вычислением: $500 \cdot 800 = 400 000$. Неравенство $295 728 < 400 000$ верно.
Таким образом, исходное двойное неравенство верно.
Ответ: Неравенство $400 \cdot 700 < 404 \cdot 732 < 500 \cdot 800$ доказано.

в)

Докажем двойное неравенство $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$.
1. Докажем, что $1500 < 36 \cdot 53$.
Для оценки произведения $36 \cdot 53$ воспользуемся округлением множителей в меньшую сторону. Мы знаем, что $30 < 36$ и $50 < 53$.
Тогда $30 \cdot 50 < 36 \cdot 53$. Вычисляем левую часть: $30 \cdot 50 = 1500$.
Следовательно, $1500 < 36 \cdot 53$.
2. Докажем, что $36 \cdot 53 < 2400$.
Для оценки произведения $36 \cdot 53$ воспользуемся округлением множителей в большую сторону. Мы знаем, что $36 < 40$ и $53 < 60$.
Тогда $36 \cdot 53 < 40 \cdot 60$. Вычисляем правую часть: $40 \cdot 60 = 2400$.
Следовательно, $36 \cdot 53 < 2400$.
Объединив результаты, получаем, что $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$. Для проверки можно вычислить точное значение: $36 \cdot 53 = 1908$, и действительно $1500 < 1908 < 2400$.
Ответ: Неравенство $1500 < 36 \cdot 53 < 2400$ доказано.

г)

Докажем двойное неравенство $45 000 < 91 \cdot 552 < 59 001$.
1. Докажем, что $45 000 < 91 \cdot 552$.
Оценим произведение $91 \cdot 552$ снизу. Поскольку $90 < 91$ и $500 < 552$, то $90 \cdot 500 < 91 \cdot 552$.
Вычисляем левую часть: $90 \cdot 500 = 45 000$. Таким образом, $45 000 < 91 \cdot 552$.
2. Докажем, что $91 \cdot 552 < 59 001$.
Оценим произведение $91 \cdot 552$ сверху. Поскольку $91 < 100$, то $91 \cdot 552 < 100 \cdot 552 = 55 200$.
Так как $55 200 < 59 001$, то по свойству транзитивности неравенств $91 \cdot 552 < 59 001$.
Для проверки можно вычислить точное значение: $91 \cdot 552 = 50 232$. Неравенство $45 000 < 50 232 < 59 001$ является верным.
Ответ: Неравенство $45 000 < 91 \cdot 552 < 59 001$ доказано.