Страница 80, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Каким выражением можно заменить сумму 3 + 3 + 3 + 3 + 3?
Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. В данном случае число 3 складывается само с собой 5 раз. Следовательно, эту сумму можно представить в виде произведения числа 3 на число 5.
Ответ: $3 \cdot 5$.

Что значит умножить число m на число n, отличное от 1?
Умножить число $m$ на натуральное число $n$, которое не равно 1, означает найти сумму, состоящую из $n$ слагаемых, где каждое слагаемое равно $m$. Математически это записывается так: $m \cdot n = \underbrace{m + m + \dots + m}_{n \text{ слагаемых}}$.
Ответ: Это значит найти сумму $n$ слагаемых, каждое из которых равно $m$.

Как в записи m · n называют числа m и n? Как называют результат умножения?
В математической записи произведения $m \cdot n$, числа $m$ и $n$, которые перемножаются, называются множителями. Конечный результат этой операции называется произведением.
Ответ: Числа $m$ и $n$ — множители, результат — произведение.

Чему равно произведение, если один из множителей равен 1; 0?
Существуют два особых случая в умножении:
1. Если один из множителей равен 1, то произведение будет равно второму множителю. Для любого числа $a$ верно: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.
2. Если один из множителей равен 0, то произведение всегда будет равно 0. Для любого числа $a$ верно: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.
Ответ: Если один из множителей равен 1, произведение равно другому множителю. Если один из множителей равен 0, произведение равно 0.

Сформулируйте и запишите переместительное и сочетательное свойства умножения.
Переместительное свойство умножения гласит, что от перестановки мест множителей произведение не изменяется.
Формула: $a \cdot b = b \cdot a$.
Сочетательное свойство умножения гласит, что для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: Переместительное свойство: $a \cdot b = b \cdot a$ (от перестановки множителей произведение не меняется). Сочетательное свойство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (результат умножения не зависит от расстановки скобок).

В каких случаях не пишут знак умножения перед буквенными множителями?
В алгебраических выражениях для краткости записи знак умножения (точка "$\cdot$") часто опускается. Это происходит в следующих случаях:
1. Между числовым и буквенным множителем (например, пишут $5x$ вместо $5 \cdot x$).
2. Между двумя буквенными множителями (например, пишут $ab$ вместо $a \cdot b$).
3. Между множителем (числовым или буквенным) и выражением в скобках (например, пишут $4(a+b)$ вместо $4 \cdot (a+b)$).
4. Между двумя выражениями в скобках (например, пишут $(x-y)(x+y)$ вместо $(x-y) \cdot (x+y)$).
Во всех этих случаях операция умножения подразумевается.
Ответ: Знак умножения не пишут между числовым и буквенным множителями, между двумя буквенными множителями, а также между множителем и скобкой или между двумя скобками.

3.1 а) 608 + 608 + 608;

б) 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45;

в) b + b + b + b + b + b + b;

г) (a - 1) + (a - 1) + (a - 1) + (a - 1).

а) 608 + 608 + 608 = 608 · 3;

б) 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 = 45 · 6;

в) в + в + в + в + в + в + в = 7в;

г) (а - 1) + (а - 1) + (а - 1) + (а - 1) = 4(а - 1).

а) Данное выражение представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 608. По определению умножения, сложение одинаковых слагаемых можно заменить произведением этого слагаемого на их количество.
$608 + 608 + 608 = 3 \cdot 608$
Вычислим произведение:
$3 \cdot 608 = 1824$
Ответ: $1824$.

б) Здесь мы имеем сумму шести одинаковых слагаемых, равных 45. Заменим сложение умножением слагаемого на их количество.
$45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 = 6 \cdot 45$
Выполним вычисление:
$6 \cdot 45 = 270$
Ответ: $270$.

в) В этом выражении переменная $b$ складывается сама с собой 7 раз. Это сумма семи одинаковых слагаемых. Представим эту сумму в виде произведения.
$b + b + b + b + b + b + b = 7 \cdot b$
В алгебре принято опускать знак умножения между числовым коэффициентом и переменной, поэтому выражение записывается как $7b$.
Ответ: $7b$.

г) Выражение представляет собой сумму четырех одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $(a - 1)$. Заменим сложение умножением.
$(a - 1) + (a - 1) + (a - 1) + (a - 1) = 4 \cdot (a - 1)$
Применив распределительный закон умножения, можно раскрыть скобки:
$4(a - 1) = 4 \cdot a - 4 \cdot 1 = 4a - 4$.
Ответ: $4(a - 1)$ (или в упрощенном виде $4a - 4$).

3.2

$\mathrm{а}) \underset{100 \mathrm{слагаемых}}{\underbrace{10 + 10 +...+ 10 }} = 10 · 100;$

$\mathrm{б}) \underset{\mathrm{n}}{\underbrace{5 + 5 +...+ 5 }} = 5\mathrm{n};$

$\mathrm{в}) \underset{20 \mathrm{слагаемых}}{\underbrace{\mathrm{у} + \mathrm{у} +...+ \mathrm{у} }} = 20\mathrm{у};$

$\mathrm{г}) \underset{\mathrm{n} \mathrm{слагаемых}}{\underbrace{\mathrm{k} + \mathrm{k} +...+ \mathrm{k} }} = \mathrm{kn}.$

а) В данном выражении требуется найти сумму ста одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 10. По определению умножения, сумма одинаковых слагаемых равна произведению этого слагаемого на их количество.
Таким образом, мы можем заменить сумму произведением:
$ \underbrace{10 + 10 + \dots + 10}_{100 \text{ слагаемых}} = 100 \cdot 10 = 1000 $
Ответ: 1000.

б) В данном выражении требуется найти сумму n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 5. Аналогично предыдущему пункту, мы можем заменить эту сумму на произведение.
Выражение примет вид:
$ \underbrace{5 + 5 + \dots + 5}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot 5 = 5n $
Ответ: $5n$.

в) В данном выражении требуется найти сумму двадцати одинаковых слагаемых, каждое из которых равно переменной y. Заменим сумму произведением слагаемого на их количество.
Выражение можно упростить следующим образом:
$ \underbrace{y + y + \dots + y}_{20 \text{ слагаемых}} = 20 \cdot y = 20y $
Ответ: $20y$.

г) В данном выражении требуется найти сумму n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно переменной k. Заменим сумму произведением числа слагаемых n на слагаемое k.
Выражение можно упростить следующим образом:
$ \underbrace{k + k + \dots + k}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot k = nk $
Ответ: $nk$.

5.493 Вычислите:

а) Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить число на эту дробь. В данном случае, мы вычисляем $\frac{2}{5}$ от $10$.
$\frac{2}{5} \times 10 = \frac{2 \times 10}{5} = \frac{20}{5}$
Разделив числитель на знаменатель, получаем:
$\frac{20}{5} = 4$.
Также можно было сначала сократить $10$ и $5$ на $5$:
$\frac{2}{\cancel{5}^1} \times \cancel{10}^2 = 2 \times 2 = 4$.
Ответ: $4$

б) Аналогично, чтобы найти $\frac{5}{9}$ от $36$, умножаем число на дробь.
$\frac{5}{9} \times 36 = \frac{5 \times 36}{9}$
Сократим $36$ и $9$ на $9$ ($36 \div 9 = 4$):
$5 \times \frac{36}{9} = 5 \times 4 = 20$.
Ответ: $20$

в) Чтобы найти дробь от дроби, нужно перемножить эти дроби. Вычислим $\frac{1}{4}$ от $\frac{8}{27}$.
$\frac{1}{4} \times \frac{8}{27} = \frac{1 \times 8}{4 \times 27}$
Сократим $8$ и $4$ на $4$:
$\frac{1 \times \cancel{8}^2}{\cancel{4}^1 \times 27} = \frac{1 \times 2}{1 \times 27} = \frac{2}{27}$.
Ответ: $\frac{2}{27}$

г) Нам нужно найти $\frac{5}{6}$ от $\frac{3}{15}$. Для этого перемножим дроби.
$\frac{5}{6} \times \frac{3}{15} = \frac{5 \times 3}{6 \times 15} = \frac{15}{90}$
Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен $15$:
$\frac{15 \div 15}{90 \div 15} = \frac{1}{6}$.
Можно было также провести сокращение до умножения:
$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}^2} \times \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{15}^3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

5.494 В бочке 130 л воды. Израсходовали 35 этой воды. Сколько литров воды израсходовали?

Сколько литров воды израсходовали?

По условию задачи в бочке находится 130 литров воды. Было израсходовано $\frac{3}{5}$ этого количества. Чтобы найти, сколько именно литров воды израсходовали, необходимо вычислить значение дроби $\frac{3}{5}$ от общего объема 130 литров.

Для нахождения части от целого числа можно сначала найти величину одной части, а затем умножить ее на количество взятых частей.

1. Найдем, сколько литров составляет одна пятая часть ($\frac{1}{5}$) от 130 литров. Для этого разделим общее количество воды на знаменатель дроби:
$130 \div 5 = 26$ (литров).

2. Теперь, зная, что одна часть равна 26 литрам, найдем, сколько составляют три таких части ($\frac{3}{5}$). Для этого умножим полученное значение на числитель дроби:
$26 \times 3 = 78$ (литров).

Также можно решить задачу одним действием, умножив общее количество воды на дробь:
$130 \times \frac{3}{5} = \frac{130 \times 3}{5} = \frac{390}{5} = 78$ (литров).

Оба способа показывают, что было израсходовано 78 литров воды.

Ответ: 78 литров.

5.495 Дачный участок имеет площадь 15 соток. Из них 25 занимает огород, а 310 — сад. Какую площадь занимают сад и огород вместе?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Вычисление площадей по отдельности

Сначала найдем площадь, которую занимает огород, а затем площадь, которую занимает сад. После этого сложим полученные значения.

1. Площадь огорода составляет $\frac{2}{5}$ от общей площади участка в 15 соток. Вычислим эту площадь:

$15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{5} = \frac{30}{5} = 6$ (соток).

2. Площадь сада составляет $\frac{3}{10}$ от общей площади. Вычислим эту площадь:

$15 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15 \cdot 3}{10} = \frac{45}{10} = 4,5$ (соток).

3. Теперь сложим площади огорода и сада, чтобы найти, какую площадь они занимают вместе:

$6 + 4,5 = 10,5$ (соток).

Ответ: 10,5 соток.

Способ 2. Сложение долей

Сначала найдем, какую общую долю от всего участка занимают сад и огород вместе, а затем вычислим, сколько это составляет в сотках.

1. Сложим доли, которые занимают огород и сад:

$\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 10:

$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

2. Теперь, когда мы знаем, что сад и огород вместе занимают $\frac{7}{10}$ от всего участка, найдем эту площадь от 15 соток:

$15 \cdot \frac{7}{10} = \frac{15 \cdot 7}{10} = \frac{105}{10} = 10,5$ (соток).

Ответ: 10,5 соток.

5.496 В художественной школе организовали выставку детских рисунков, на которой было представлено 144 работы. При этом графические рисунки составляли 518 всех работ, рисунки акварелью — 34 остальных работ. Сколько рисунков акварелью было представлено на выставке?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество графических рисунков.
Согласно условию, графические рисунки составляют $ \frac{5}{18} $ от всех работ. Общее количество работ — 144. Чтобы найти количество графических рисунков, нужно общее количество работ умножить на эту дробь.
$144 \cdot \frac{5}{18} = \frac{144 \cdot 5}{18} = 8 \cdot 5 = 40$ (графических рисунков).

2. Найдем количество остальных работ.
После того как мы определили количество графических рисунков, найдем, сколько работ осталось. Для этого вычтем количество графических рисунков из общего числа работ.
$144 - 40 = 104$ (остальные работы).

3. Найдем количество рисунков акварелью.
В условии сказано, что рисунки акварелью составляют $ \frac{3}{4} $ от остальных работ. Мы уже знаем, что остальных работ — 104. Теперь найдем количество рисунков акварелью.
$104 \cdot \frac{3}{4} = \frac{104 \cdot 3}{4} = 26 \cdot 3 = 78$ (рисунков акварелью).

Ответ: 78.

5.497 В первом квартале после сдачи дома было заселено 23 квартир, во втором квартале — 14 оставшихся квартир. Какая часть квартир осталась не заселена?

Для решения задачи примем общее количество квартир в доме за единицу (1).

1. Сначала определим, какая часть квартир осталась не заселена после первого квартала. Если было заселено $ \frac{2}{3} $ всех квартир, то незаселенная часть составляет:

$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ всех квартир.

2. Далее найдем, какая часть квартир от общего количества была заселена во втором квартале. По условию, это $ \frac{1}{4} $ от оставшихся квартир. Оставшаяся после первого квартала часть равна $ \frac{1}{3} $. Следовательно, во втором квартале заселили:

$ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} $ всех квартир.

3. Теперь вычислим, какая часть квартир была заселена всего за два квартала. Для этого сложим части квартир, заселенные в первом и во втором кварталах:

$ \frac{2}{3} + \frac{1}{12} $

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю 12:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} $

Эту дробь можно сократить на 3:

$ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $

Таким образом, за два квартала было заселено $ \frac{3}{4} $ всех квартир.

4. Наконец, найдем искомую часть квартир, которая осталась не заселена. Для этого из общего количества квартир (1) вычтем общую заселенную часть ($ \frac{3}{4} $):

$ 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $

Ответ: осталась не заселена $ \frac{1}{4} $ часть квартир.

5.498 В таксомоторном парке автомобили марки «Лада» были представлены тремя моделями: «Лада-Калина», «Лада-Приора» и «Лада-Веста». Известно, что автомобили «Лада-Веста» составляли 58 всех автомобилей, а «Лада-Приора» — 23 оставшихся. Какую часть всех автомобилей составляли автомобили модели «Лада-Калина»?

Примем общее количество автомобилей в таксомоторном парке за 1.

1. Найдем, какую часть составляют автомобили, не являющиеся моделью «Лада-Веста». Поскольку автомобили «Лада-Веста» составляют $\frac{5}{8}$ всех автомобилей, то оставшаяся часть равна:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Эта часть ($\frac{3}{8}$) включает в себя автомобили моделей «Лада-Приора» и «Лада-Калина».

2. По условию, автомобили «Лада-Приора» составляют $\frac{2}{3}$ от оставшихся автомобилей. Найдем, какую часть от всех автомобилей составляют «Лада-Приора», умножив долю оставшихся на $\frac{2}{3}$:

$\frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Итак, автомобили «Лада-Приора» составляют $\frac{1}{4}$ всех автомобилей в парке.

3. Автомобили «Лада-Калина» составляют ту часть оставшихся автомобилей, которая не является «Лада-Приора». Если «Приора» — это $\frac{2}{3}$ от остатка, то на «Калину» приходится $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ этого остатка. Остаток, как мы выяснили в первом шаге, составляет $\frac{3}{8}$ от всех автомобилей. Найдем $\frac{1}{3}$ от $\frac{3}{8}$:

$\frac{3}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Таким образом, автомобили модели «Лада-Калина» составляют $\frac{1}{8}$ всех автомобилей в парке.

Проверка: Сложим доли всех трех моделей: $\frac{5}{8}$ (Веста) + $\frac{1}{4}$ (Приора) + $\frac{1}{8}$ (Калина) = $\frac{5}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Расчеты верны.

Ответ: $\frac{1}{8}$

5.499 Для выставки антикварного фарфора на реставрацию отправили 3 экспоната. Реставрация первого экспоната заняла 21 день, второго — 57 времени, затраченного на реставрацию первого, а реставрация третьего экспоната заняла на 6 дней меньше, чем реставрация второго. На сколько дней меньше заняла реставрация третьего экспоната по сравнению с реставрацией первого?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём, сколько дней заняла реставрация второго экспоната.

По условию, реставрация первого экспоната заняла 21 день, а реставрация второго — $ \frac{5}{7} $ от этого времени. Чтобы найти, сколько дней реставрировали второй экспонат, умножим время реставрации первого на дробь:

$ 21 \cdot \frac{5}{7} = \frac{21 \cdot 5}{7} = 3 \cdot 5 = 15 $ (дней).

Таким образом, реставрация второго экспоната заняла 15 дней.

2. Найдём, сколько дней заняла реставрация третьего экспоната.

Реставрация третьего экспоната, согласно условию, заняла на 6 дней меньше, чем реставрация второго. Вычтем 6 дней из времени, затраченного на второй экспонат:

$ 15 - 6 = 9 $ (дней).

Следовательно, реставрация третьего экспоната заняла 9 дней.

3. Найдём, на сколько дней реставрация третьего экспоната заняла меньше, чем реставрация первого.

Для ответа на главный вопрос задачи необходимо найти разницу во времени реставрации первого и третьего экспонатов. Вычтем из времени реставрации первого экспоната (21 день) время реставрации третьего (9 дней):

$ 21 - 9 = 12 $ (дней).

Ответ: реставрация третьего экспоната заняла на 12 дней меньше, чем реставрация первого.

5.500 Вычислите.

а) Данный пример решается последовательным выполнением арифметических операций сверху вниз:
1. Сначала выполним сложение: $27 + 36 = 63$.
2. Затем результат разделим на 7: $63 : 7 = 9$.
3. К полученному числу прибавим 51: $9 + 51 = 60$.
4. И в конце разделим результат на 30: $60 : 30 = 2$.
Ответ: 2

б) Выполним операции по порядку:
1. Первое действие — умножение: $25 \cdot 11 = 275$.
2. Далее делим результат на 25: $275 : 25 = 11$.
3. Из полученного числа вычитаем 36: $11 - 36 = -25$.
4. Финальное действие — деление на 8: $-25 : 8 = -3.125$.
Ответ: -3.125

в) Вычислим значение по шагам:
1. Умножаем 125 на 2: $125 \cdot 2 = 250$.
2. К результату прибавляем 17: $250 + 17 = 267$.
3. Из полученной суммы вычитаем 15: $267 - 15 = 252$.
4. Итоговый результат делим на 9: $252 : 9 = 28$.
Ответ: 28

г) Решим пример последовательно:
1. Делим 153 на 3: $153 : 3 = 51$.
2. Из результата вычитаем 12: $51 - 12 = 39$.
3. К полученному числу прибавляем 6: $39 + 6 = 45$.
4. Результат делим на 5: $45 : 5 = 9$.
Ответ: 9

5.501 Вычислите:

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

$\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$

б) Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$ равен 12.

$\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$\left(\frac{1}{12}\right)^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144}$

Ответ: $\frac{1}{144}$

в) Вычислим значения степеней по отдельности, а затем найдем их разность.

Вычисляем первое слагаемое: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Вычисляем второе слагаемое: $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь найдем разность полученных значений. Приведем дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

5.502 Какое число прибавили к $\frac{1}{4}$ и получили:

а) 1;

б) $\frac{3}{4};$

в) $\frac{1}{2};$

г) $\frac{1}{3}?$

Чтобы найти число, которое прибавили к $\frac{1}{4}$, нужно из полученного результата вычесть $\frac{1}{4}$. Обозначим искомое число за $x$. Тогда $x = \text{результат} - \frac{1}{4}$.

а) Получили 1. Найдем искомое число.

Для этого нужно из 1 вычесть $\frac{1}{4}$. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4:

$1 = \frac{4}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$x = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Получили $\frac{3}{4}$. Найдем искомое число.

Для этого нужно из $\frac{3}{4}$ вычесть $\frac{1}{4}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Получили $\frac{1}{2}$. Найдем искомое число.

Для этого нужно из $\frac{1}{2}$ вычесть $\frac{1}{4}$. Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 4. Дробь $\frac{1}{4}$ уже имеет нужный знаменатель. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, домножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$x = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Получили $\frac{1}{3}$. Найдем искомое число.

Для этого нужно из $\frac{1}{3}$ вычесть $\frac{1}{4}$. Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 4 это 12.

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 12 (дополнительный множитель 4):

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 12 (дополнительный множитель 3):

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$x = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

5.503 Найдите значение произведения:

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения вычислений можно сократить общие множители в числителе и знаменателе до умножения.

$ \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 15} $

Сократим множитель 4 в числителе и знаменателе:

$ \frac{3 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 15} = \frac{3}{15} $

Теперь сократим полученную дробь $ \frac{3}{15} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$ \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

б) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1 и затем выполнить умножение дробей.

$ 7 \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 7} $

Сократим множитель 7 в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{7} \cdot 3}{1 \cdot \cancel{7}} = \frac{3}{1} = 3 $

Ответ: 3

в) Перемножим числители дробей и их знаменатели.

$ \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3} $

Сократим общий множитель 3 в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{3} \cdot 1}{8 \cdot \cancel{3}} = \frac{1}{8} $

Ответ: $ \frac{1}{8} $

г) Согласно порядку действий, сначала выполним сложение в скобках. Так как у всех дробей в скобках одинаковый знаменатель, сложим их числители.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1+1}{6} = \frac{3}{6} $

Сократим полученную дробь $ \frac{3}{6} $, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Теперь выполним умножение результата на дробь $ \frac{2}{5} $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5} $

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:

$ \frac{1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $