Страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.221 Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

Согласно истории, школьный учитель математики предложил ученикам сложить все числа от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных концов одинаковы:

1 + 100 = 101;
2 + 99 = 101; ...

Так как чисел 100, то таких сумм (пар) будет в 2 раза меньше, то есть 100 : 2 = 500

1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) = 101 · 20 = 5050

Согласно известной математической легенде, Карл Фридрих Гаусс, будучи еще школьником, мгновенно решил задачу по сложению всех целых чисел от 1 до 100. Учитель дал это задание всему классу, чтобы занять их на долгое время, но Гаусс нашел ответ за считанные минуты, используя следующий элегантный метод.

Шаг 1: Понимание закономерности

Гаусс заметил, что если складывать числа с противоположных концов последовательности, то их сумма всегда будет одинаковой. Он записал ряд чисел $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$.

Он начал формировать пары:
• первое и последнее число: $1 + 100 = 101$
• второе и предпоследнее число: $2 + 99 = 101$
• третье и третье с конца число: $3 + 98 = 101$

Эта закономерность сохраняется для всех пар чисел.

Шаг 2: Подсчет количества пар

В последовательности от 1 до 100 всего 100 чисел. Так как для создания одной пары мы используем два числа, общее количество таких пар будет равно половине от общего количества чисел:

Количество пар = $100 / 2 = 50$

Последней такой парой будут числа в середине ряда: $50 + 51 = 101$.

Шаг 3: Вычисление общей суммы

Раз у нас есть 50 пар, и сумма каждой из них равна 101, то для нахождения общей суммы всех чисел от 1 до 100 нужно просто умножить количество пар на сумму одной пары:

Общая сумма = $50 \times 101 = 5050$

Математическое обобщение

Этот метод является наглядной демонстрацией формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$

где $n$ — количество членов в прогрессии, $a_1$ — первый член, а $a_n$ — последний. В нашем случае: $n=100$, $a_1=1$, $a_n=100$.

Подставляя значения в формулу, получаем тот же результат:

$S_{100} = \frac{100 \cdot (1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$

Ответ: Карл Гаусс сгруппировал числа парами: первое с последним ($1+100=101$), второе с предпоследним ($2+99=101$) и так далее. Он обнаружил, что таких пар получается 50, и сумма каждой из них равна 101. Умножив 101 на 50, он получил итоговую сумму 5050.

2.222 На пошив юбки уходит 2 м ткани. На сколько юбок хватит 17 м ткани? Можно ли из этой ткани сшить 6 юбок? 9 юбок?

17 : 2 = 8 (ост. 1)

2 · 6 = 12 (м), 12 м > 17 м

2 · 9 = 18 (м), 18 м > 17 м

Ответ: 17 м ткани хватит на 8 юбок, 1 м ткани останется; на 6 юбок уйдёт 12 м ткани, значит, 6 юбок можно сшить; на 9 юбок нужно 18 м ткани, значит, 9 юбок сшить нельзя.

На сколько юбок хватит 17 м ткани?

По условию, на пошив одной юбки уходит 2 метра ткани. Чтобы узнать, сколько юбок можно сшить из 17 метров ткани, нужно разделить общее количество ткани на расход ткани на одну юбку и взять целую часть от полученного результата, так как сшить можно только целое количество юбок.

Выполним деление с остатком: $17 \div 2 = 8$ (остаток $1$).

Это значит, что из 17 метров ткани можно сшить 8 юбок, и еще 1 метр ткани останется.

Ответ: 17 м ткани хватит на 8 юбок.

Можно ли из этой ткани сшить 6 юбок?

Чтобы определить, хватит ли ткани на 6 юбок, нужно рассчитать, сколько всего ткани потребуется.

Расчет необходимой ткани: $6 \text{ юбок} \times 2 \frac{\text{м}}{\text{юбка}} = 12$ м.

У нас есть 17 м ткани. Сравниваем необходимое количество с имеющимся: $12 \text{ м} < 17 \text{ м}$.

Поскольку ткани требуется меньше, чем есть в наличии, сшить 6 юбок возможно.

Ответ: да, можно.

Можно ли из этой ткани сшить 9 юбок?

Теперь рассчитаем, сколько ткани потребуется для пошива 9 юбок.

Расчет необходимой ткани: $9 \text{ юбок} \times 2 \frac{\text{м}}{\text{юбка}} = 18$ м.

У нас в наличии только 17 м ткани. Сравниваем необходимое количество с имеющимся: $18 \text{ м} > 17 \text{ м}$.

Поскольку ткани требуется больше, чем есть в наличии, сшить 9 юбок невозможно. Для пошива 9 юбок не хватит 1 метра ткани ($18 - 17 = 1$ м).

Ответ: нет, нельзя.

2.223 Вычислите удобным способом:

а) 1058 - (258 + 292);

б) (645 + 407) - 245;

в) 493 + (711 - 193);

г) (747 + 1027) - 367;

д) (384 + 216) - 399;

е) (372 + 285) - (172 + 185).

а) 1058 - (258 + 292) = $(1058 \stackrel{800}{-} 258)$ - 292 = 800 - 292 = 800 - (200 + 92) = (800 - 200) - 92 = 600 - 92 = (500 + 100) - 9 = 500 + (100 - 92) = 500 + 8 = 508;

б) (645 + 407) - 245 = (645 - 245) + 407 = 400 + 407 = 807;

в) 493 + (711 - 193) = (493 - 193) + 711 = 300 + 711 = 300 + (700 + 11) = (300 + 700) + 11 = 1000 + 11 = 1011;

г) (747 + 1027) - 367 = (747 + (1020 + 7)) - 367 = ((747 + 1020) + 7) - 367 = (1767 + 7) - 367 = (1767 - 367) + 7 = 1400 + 7 = 1407;

д) (384 + 216) - 399 = 600 - 399 = 600 - (300 + 99) = (600 - 300) - 99 = 300 - 99 = 201;

е) (372 + 285) - (112 + 185) = (372 - 172) + (285 - 185) = 200 + 100 = 300.

а) $1058 - (258 + 292)$

Чтобы вычислить это выражение удобным способом, воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.

$1058 - (258 + 292) = 1058 - 258 - 292$

Сначала вычтем 258 из 1058, так как у этих чисел совпадают последние две цифры, что упрощает вычитание.

$1058 - 258 = 800$

Теперь из полученного результата вычтем 292.

$800 - 292 = 508$

Ответ: 508

б) $(645 + 407) - 245$

Здесь удобно применить сочетательное и переместительное свойства. Раскроем скобки и изменим порядок действий: $645 + 407 - 245$.

Сначала вычтем 245 из 645, так как у них одинаковые последние две цифры.

$(645 - 245) + 407$

Выполняем вычитание:

$645 - 245 = 400$

Теперь к результату прибавим 407.

$400 + 407 = 807$

Ответ: 807

в) $493 + (711 - 193)$

В этом примере можно раскрыть скобки: $493 + 711 - 193$.

Далее, используя переместительное свойство, сгруппируем числа для удобства вычислений. Вычтем 193 из 493.

$(493 - 193) + 711$

Сначала выполним вычитание:

$493 - 193 = 300$

Затем выполним сложение:

$300 + 711 = 1011$

Ответ: 1011

г) $(747 + 1027) - 367$

Как и в пункте б), раскроем скобки и используем переместительное свойство, чтобы упростить вычисления. Выражение примет вид: $747 + 1027 - 367$.

Перегруппируем числа так, чтобы сначала выполнить вычитание.

$(747 - 367) + 1027$

Выполняем вычитание:

$747 - 367 = 380$

Теперь к результату прибавим 1027.

$380 + 1027 = 1407$

Ответ: 1407

д) $(384 + 216) - 399$

В данном случае удобнее всего сначала выполнить сложение в скобках, так как числа 384 и 216 в сумме дают "круглое" число.

$384 + 216 = 600$

Теперь вычисление становится очень простым:

$600 - 399 = 201$

Ответ: 201

е) $(372 + 285) - (172 + 185)$

Для удобства вычислений раскроем скобки. При вычитании суммы знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные: $(a + b) - (c + d) = a + b - c - d$.

$(372 + 285) - (172 + 185) = 372 + 285 - 172 - 185$

Теперь перегруппируем числа, используя переместительное и сочетательное свойства, чтобы вычисления были проще.

$(372 - 172) + (285 - 185)$

Выполним вычитание в каждой паре скобок:

$372 - 172 = 200$

$285 - 185 = 100$

Теперь сложим полученные результаты:

$200 + 100 = 300$

Ответ: 300

2.224 Весной посадили 12 семян кабачков сорта «грибовский» и z семян кабачков сорта «ранний». Из всех посаженных семян взошло только 25 штук. Сколько семян не взошло? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если z = 18; z = 13; z = 10. При каком значении z задача не имеет решения?

Посадили:

"грибовский" – 12 штук;
"ранний" – z штук.

Взошло – 25 шт.

Не взошло – ?

(12 + z) - 25 – семян не взошло,

если z = 18, то

(12 + 18) - 25 = 30 - 25 = 5 (шт.),

если z = 13, то

(12 + 13) - 25 = 25 - 25 = 0 (шт.) – все семена взошли,

если z = 10, то

(12 + 10) - 25 = 22 - 25 – решений нет.

Составьте выражение для решения задачи

Чтобы найти количество семян, которые не взошли, необходимо из общего числа посаженных семян вычесть число взошедших семян.

1. Найдем общее количество посаженных семян. Оно складывается из 12 семян сорта «грибовский» и $z$ семян сорта «ранний»:
Общее количество семян = $12 + z$.

2. По условию, взошло 25 семян.

3. Составим выражение для количества невзошедших семян, вычитая из общего количества посаженных семян количество взошедших:
Количество невзошедших семян = $(12 + z) - 25$.

Упростим полученное выражение:
$(12 + z) - 25 = 12 + z - 25 = z - 13$.

Ответ: Выражение для решения задачи: $z - 13$.

Найдите его значение, если z = 18; z = 13; z = 10

Подставим указанные значения $z$ в полученное выражение $z - 13$:

- Если $z = 18$, то количество невзошедших семян равно:
$18 - 13 = 5$ (семян).

- Если $z = 13$, то количество невзошедших семян равно:
$13 - 13 = 0$ (семян).

- Если $z = 10$, то значение выражения равно:
$10 - 13 = -3$.

Ответ: При $z = 18$ не взошло 5 семян; при $z = 13$ не взошло 0 семян; при $z = 10$ значение выражения равно -3.

При каком значении z задача не имеет решения?

Задача имеет физический смысл только в том случае, если общее количество посаженных семян не меньше, чем количество взошедших семян. В противном случае, взойти больше семян, чем было посажено, не может.

Составим неравенство:
Общее количество семян $\ge$ Количество взошедших семян
$12 + z \ge 25$

Решим это неравенство относительно $z$:
$z \ge 25 - 12$
$z \ge 13$

Таким образом, задача имеет решение только при $z \ge 13$. Если значение $z$ будет меньше 13, то общее количество посаженных семян ($12+z$) будет меньше 25, что противоречит условию о 25 взошедших семенах.

Ответ: Задача не имеет решения при $z < 13$.

2.225 Упростите выражение и найдите его значение:

a) (z + 279) - 99 при z = 56; 75;

б) (981 + c) - 439 при c = 45; 87;

в) (465 - x) - 265 при x = 34; 98;

г) 1038 - (38 + n) при n = 78; 0.

а) (z + 279) - 99 = z + (279 - 99) = z + (279 - (79 + 20)) = z + ((279 - 79) - 20) = z + (200 - 20) = z + 180

при z = 56; 180 + 56 = 180 + (20 + 36) = (180 + 20) + 36 = 200 + 36 = 236.

при z = 75; 180 + 75 = 180 + (20 + 55) = (180 + 20) + 55 = 200 + 55 = 255.

б) (981 + c) - 439 = (981 - 439) + c = 542 + c

при c = 45; 542 + 45 = 587

при c = 87; 542 + 87 = 629

в) (465 - x) - 265 = (465 - 265) - x = 200 - x

при x = 34; 200 - 34 = (100 + 100) - 34 = 100 + (100 - 34) = 100 + 66 = 166;

при x = 98; 200 - 98 = (100 + 100) - 98 = 100 + (100 - 98) = 100 + 2 = 102.

г) 1038 - (38 + n) = (1038 - 38) - n = 1000 - n

при n = 78; 1000 - 78 = (900 + 100) - 78 = 900 + (100 - 78) = 900 + 22 = 922.

при n = 0; 1000 - 0 = 1000.

а) Сначала упростим выражение. Для этого используем сочетательное свойство сложения, чтобы изменить порядок действий:

$(z + 279) - 99 = z + (279 - 99) = z + 180$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $z$ и найдем результат.

При $z = 56$: $56 + 180 = 236$.

При $z = 75$: $75 + 180 = 255$.

Ответ: 236; 255.

б) Сначала упростим выражение, применив сочетательное свойство сложения и вычитания:

$(981 + c) - 439 = (981 - 439) + c = 542 + c$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $c$ и найдем результат.

При $c = 45$: $542 + 45 = 587$.

При $c = 87$: $542 + 87 = 629$.

Ответ: 587; 629.

в) Сначала упростим выражение, используя свойство вычитания числа из разности:

$(465 - x) - 265 = (465 - 265) - x = 200 - x$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $x$ и найдем результат.

При $x = 34$: $200 - 34 = 166$.

При $x = 98$: $200 - 98 = 102$.

Ответ: 166; 102.

г) Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$1038 - (38 + n) = 1038 - 38 - n = 1000 - n$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $n$ и найдем результат.

При $n = 78$: $1000 - 78 = 922$.

При $n = 0$: $1000 - 0 = 1000$.

Ответ: 922; 1000.

2.226 Вычислите:

$1) 675019\stackrel{2}{+}88892\stackrel{1}{:}284 \stackrel{3}{-}98603=576729$

1)

2)

3)

$2) 308803 \stackrel{2}{-} 75152 \stackrel{1}{:} 176 \stackrel{3}{+} 79008 = 387384$

1)

2)

3)

$3) 709907 \stackrel{2}{-} 2480065 \stackrel{1}{:} 413 = 703902$

1)

2)

$4) 4789368 \stackrel{1}{:} 228 \stackrel{2}{-} 2466 = 18540$

1)

2)

1) Для вычисления значения выражения $675\;019 + 88\;892 : 284 - 98\;603$ необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняется деление, а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо).
1. Первое действие – деление: $88\;892 : 284 = 313$.
2. Второе действие – сложение: $675\;019 + 313 = 675\;332$.
3. Третье действие – вычитание: $675\;332 - 98\;603 = 576\;729$.
Ответ: 576 729.

2) Для вычисления значения выражения $308\;803 - 75\;152 : 176 + 79\;008$ сначала выполняем деление, а после этого – вычитание и сложение слева направо.
1. Первое действие – деление: $75\;152 : 176 = 427$.
2. Второе действие – вычитание: $308\;803 - 427 = 308\;376$.
3. Третье действие – сложение: $308\;376 + 79\;008 = 387\;384$.
Ответ: 387 384.

3) Для вычисления значения выражения $709\;907 - 2\;480\;065 : 413$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. Первое действие – деление: $2\;480\;065 : 413 = 6\;005$.
2. Второе действие – вычитание: $709\;907 - 6\;005 = 703\;902$.
Ответ: 703 902.

4) Для вычисления значения выражения $4\;789\;368 : 228 - 2466$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. Первое действие – деление: $4\;789\;368 : 228 = 21\;006$.
2. Второе действие – вычитание: $21\;006 - 2\;466 = 18\;540$.
Ответ: 18 540.

2.227 Найдите корень уравнения:

а) 287 + x = 756;

б) z + 228 = 599;

в) 400 - y = 206;

г) t - 209 = 406;

д) 152 = m - 48;

е) 79 = 101 - k.

а) В уравнении $287 + x = 756$ неизвестное $x$ является одним из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 756 - 287$
$x = 469$
Проверка: $287 + 469 = 756$.
Ответ: 469

б) В уравнении $z + 228 = 599$ неизвестное $z$ является одним из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$z = 599 - 228$
$z = 371$
Проверка: $371 + 228 = 599$.
Ответ: 371

в) В уравнении $400 - y = 206$ неизвестное $y$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 400 - 206$
$y = 194$
Проверка: $400 - 194 = 206$.
Ответ: 194

г) В уравнении $t - 209 = 406$ неизвестное $t$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$t = 406 + 209$
$t = 615$
Проверка: $615 - 209 = 406$.
Ответ: 615

д) Уравнение $152 = m - 48$ можно записать как $m - 48 = 152$. Здесь неизвестное $m$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$m = 152 + 48$
$m = 200$
Проверка: $152 = 200 - 48$.
Ответ: 200

е) Уравнение $79 = 101 - k$ можно записать как $101 - k = 79$. Здесь неизвестное $k$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$k = 101 - 79$
$k = 22$
Проверка: $79 = 101 - 22$.
Ответ: 22

2.228 Решите уравнение и выполните проверку:

а) (x + 155) - 35 = 145;

б) 168 - (98 + z) = 65.

Решим уравнение $(x + 155) - 85 = 145$.

В этом уравнении выражение в скобках $(x + 155)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (145) прибавить вычитаемое (85).

$x + 155 = 145 + 85$

$x + 155 = 230$

Теперь в уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (230) вычесть известное слагаемое (155).

$x = 230 - 155$

$x = 75$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x = 75$ в исходное уравнение:

$(75 + 155) - 85 = 145$

$230 - 85 = 145$

$145 = 145$

Так как равенство верное, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = 75$.

Решим уравнение $168 - (98 + z) = 65$.

В этом уравнении выражение в скобках $(98 + z)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (168) вычесть разность (65).

$98 + z = 168 - 65$

$98 + z = 103$

Теперь в уравнении $z$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (103) вычесть известное слагаемое (98).

$z = 103 - 98$

$z = 5$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $z = 5$ в исходное уравнение:

$168 - (98 + 5) = 65$

$168 - 103 = 65$

$65 = 65$

Так как равенство верное, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $z = 5$.