Страница 74, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.221 Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

Согласно истории, школьный учитель математики предложил ученикам сложить все числа от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных концов одинаковы:

1 + 100 = 101;
2 + 99 = 101; ...

Так как чисел 100, то таких сумм (пар) будет в 2 раза меньше, то есть 100 : 2 = 500

1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) = 101 · 20 = 5050

Согласно известной математической легенде, Карл Фридрих Гаусс, будучи еще школьником, мгновенно решил задачу по сложению всех целых чисел от 1 до 100. Учитель дал это задание всему классу, чтобы занять их на долгое время, но Гаусс нашел ответ за считанные минуты, используя следующий элегантный метод.

Шаг 1: Понимание закономерности

Гаусс заметил, что если складывать числа с противоположных концов последовательности, то их сумма всегда будет одинаковой. Он записал ряд чисел $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$.

Он начал формировать пары:
• первое и последнее число: $1 + 100 = 101$
• второе и предпоследнее число: $2 + 99 = 101$
• третье и третье с конца число: $3 + 98 = 101$

Эта закономерность сохраняется для всех пар чисел.

Шаг 2: Подсчет количества пар

В последовательности от 1 до 100 всего 100 чисел. Так как для создания одной пары мы используем два числа, общее количество таких пар будет равно половине от общего количества чисел:

Количество пар = $100 / 2 = 50$

Последней такой парой будут числа в середине ряда: $50 + 51 = 101$.

Шаг 3: Вычисление общей суммы

Раз у нас есть 50 пар, и сумма каждой из них равна 101, то для нахождения общей суммы всех чисел от 1 до 100 нужно просто умножить количество пар на сумму одной пары:

Общая сумма = $50 \times 101 = 5050$

2.222 На пошив юбки уходит 2 м ткани. На сколько юбок хватит 17 м ткани? Можно ли из этой ткани сшить 6 юбок? 9 юбок?

17 : 2 = 8 (ост. 1)

2 · 6 = 12 (м), 12 м > 17 м

2 · 9 = 18 (м), 18 м > 17 м

Ответ: 17 м ткани хватит на 8 юбок, 1 м ткани останется; на 6 юбок уйдёт 12 м ткани, значит, 6 юбок можно сшить; на 9 юбок нужно 18 м ткани, значит, 9 юбок сшить нельзя.

На сколько юбок хватит 17 м ткани?

По условию, на пошив одной юбки уходит 2 метра ткани. Чтобы узнать, сколько юбок можно сшить из 17 метров ткани, нужно разделить общее количество ткани на расход ткани на одну юбку и взять целую часть от полученного результата, так как сшить можно только целое количество юбок.

Выполним деление с остатком: $17 \div 2 = 8$ (остаток $1$).

Это значит, что из 17 метров ткани можно сшить 8 юбок, и еще 1 метр ткани останется.

Ответ: 17 м ткани хватит на 8 юбок.

Можно ли из этой ткани сшить 6 юбок?

Чтобы определить, хватит ли ткани на 6 юбок, нужно рассчитать, сколько всего ткани потребуется.

Расчет необходимой ткани: $6 \text{ юбок} \times 2 \frac{\text{м}}{\text{юбка}} = 12$ м.

У нас есть 17 м ткани. Сравниваем необходимое количество с имеющимся: $12 \text{ м} < 17 \text{ м}$.

Поскольку ткани требуется меньше, чем есть в наличии, сшить 6 юбок возможно.

Ответ: да, можно.

Можно ли из этой ткани сшить 9 юбок?

Теперь рассчитаем, сколько ткани потребуется для пошива 9 юбок.

Расчет необходимой ткани: $9 \text{ юбок} \times 2 \frac{\text{м}}{\text{юбка}} = 18$ м.

У нас в наличии только 17 м ткани. Сравниваем необходимое количество с имеющимся: $18 \text{ м} > 17 \text{ м}$.

Поскольку ткани требуется больше, чем есть в наличии, сшить 9 юбок невозможно. Для пошива 9 юбок не хватит 1 метра ткани ($18 - 17 = 1$ м).

Ответ: нет, нельзя.

2.223 Вычислите удобным способом:

а) 1058 - (258 + 292);

б) (645 + 407) - 245;

в) 493 + (711 - 193);

г) (747 + 1027) - 367;

д) (384 + 216) - 399;

е) (372 + 285) - (172 + 185).

а) 1058 - (258 + 292) = $(1058 \stackrel{800}{-} 258)$ - 292 = 800 - 292 = 800 - (200 + 92) = (800 - 200) - 92 = 600 - 92 = (500 + 100) - 9 = 500 + (100 - 92) = 500 + 8 = 508;

б) (645 + 407) - 245 = (645 - 245) + 407 = 400 + 407 = 807;

в) 493 + (711 - 193) = (493 - 193) + 711 = 300 + 711 = 300 + (700 + 11) = (300 + 700) + 11 = 1000 + 11 = 1011;

г) (747 + 1027) - 367 = (747 + (1020 + 7)) - 367 = ((747 + 1020) + 7) - 367 = (1767 + 7) - 367 = (1767 - 367) + 7 = 1400 + 7 = 1407;

д) (384 + 216) - 399 = 600 - 399 = 600 - (300 + 99) = (600 - 300) - 99 = 300 - 99 = 201;

е) (372 + 285) - (112 + 185) = (372 - 172) + (285 - 185) = 200 + 100 = 300.

а) $1058 - (258 + 292)$

Чтобы вычислить это выражение удобным способом, воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.

$1058 - (258 + 292) = 1058 - 258 - 292$

Сначала вычтем 258 из 1058, так как у этих чисел совпадают последние две цифры, что упрощает вычитание.

$1058 - 258 = 800$

Теперь из полученного результата вычтем 292.

$800 - 292 = 508$

Ответ: 508

б) $(645 + 407) - 245$

Здесь удобно применить сочетательное и переместительное свойства. Раскроем скобки и изменим порядок действий: $645 + 407 - 245$.

Сначала вычтем 245 из 645, так как у них одинаковые последние две цифры.

$(645 - 245) + 407$

Выполняем вычитание:

$645 - 245 = 400$

Теперь к результату прибавим 407.

$400 + 407 = 807$

Ответ: 807

в) $493 + (711 - 193)$

В этом примере можно раскрыть скобки: $493 + 711 - 193$.

Далее, используя переместительное свойство, сгруппируем числа для удобства вычислений. Вычтем 193 из 493.

$(493 - 193) + 711$

Сначала выполним вычитание:

$493 - 193 = 300$

Затем выполним сложение:

$300 + 711 = 1011$

Ответ: 1011

г) $(747 + 1027) - 367$

Как и в пункте б), раскроем скобки и используем переместительное свойство, чтобы упростить вычисления. Выражение примет вид: $747 + 1027 - 367$.

Перегруппируем числа так, чтобы сначала выполнить вычитание.

$(747 - 367) + 1027$

Выполняем вычитание:

$747 - 367 = 380$

Теперь к результату прибавим 1027.

$380 + 1027 = 1407$

Ответ: 1407

д) $(384 + 216) - 399$

В данном случае удобнее всего сначала выполнить сложение в скобках, так как числа 384 и 216 в сумме дают "круглое" число.

$384 + 216 = 600$

Теперь вычисление становится очень простым:

$600 - 399 = 201$

Ответ: 201

е) $(372 + 285) - (172 + 185)$

Для удобства вычислений раскроем скобки. При вычитании суммы знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные: $(a + b) - (c + d) = a + b - c - d$.

$(372 + 285) - (172 + 185) = 372 + 285 - 172 - 185$

Теперь перегруппируем числа, используя переместительное и сочетательное свойства, чтобы вычисления были проще.

$(372 - 172) + (285 - 185)$

Выполним вычитание в каждой паре скобок:

$372 - 172 = 200$

$285 - 185 = 100$

Теперь сложим полученные результаты:

$200 + 100 = 300$

Ответ: 300

2.224 Весной посадили 12 семян кабачков сорта «грибовский» и z семян кабачков сорта «ранний». Из всех посаженных семян взошло только 25 штук. Сколько семян не взошло? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если z = 18; z = 13; z = 10. При каком значении z задача не имеет решения?

Посадили:

"грибовский" – 12 штук;
"ранний" – z штук.

Взошло – 25 шт.

Не взошло – ?

(12 + z) - 25 – семян не взошло,

если z = 18, то

(12 + 18) - 25 = 30 - 25 = 5 (шт.),

если z = 13, то

(12 + 13) - 25 = 25 - 25 = 0 (шт.) – все семена взошли,

если z = 10, то

(12 + 10) - 25 = 22 - 25 – решений нет.

2.225 Упростите выражение и найдите его значение:

a) (z + 279) - 99 при z = 56; 75;

б) (981 + c) - 439 при c = 45; 87;

в) (465 - x) - 265 при x = 34; 98;

г) 1038 - (38 + n) при n = 78; 0.

а) (z + 279) - 99 = z + (279 - 99) = z + (279 - (79 + 20)) = z + ((279 - 79) - 20) = z + (200 - 20) = z + 180

при z = 56; 180 + 56 = 180 + (20 + 36) = (180 + 20) + 36 = 200 + 36 = 236.

при z = 75; 180 + 75 = 180 + (20 + 55) = (180 + 20) + 55 = 200 + 55 = 255.

б) (981 + c) - 439 = (981 - 439) + c = 542 + c

при c = 45; 542 + 45 = 587

при c = 87; 542 + 87 = 629

в) (465 - x) - 265 = (465 - 265) - x = 200 - x

при x = 34; 200 - 34 = (100 + 100) - 34 = 100 + (100 - 34) = 100 + 66 = 166;

при x = 98; 200 - 98 = (100 + 100) - 98 = 100 + (100 - 98) = 100 + 2 = 102.

г) 1038 - (38 + n) = (1038 - 38) - n = 1000 - n

при n = 78; 1000 - 78 = (900 + 100) - 78 = 900 + (100 - 78) = 900 + 22 = 922.

при n = 0; 1000 - 0 = 1000.

а) Сначала упростим выражение. Для этого используем сочетательное свойство сложения, чтобы изменить порядок действий:

$(z + 279) - 99 = z + (279 - 99) = z + 180$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $z$ и найдем результат.

При $z = 56$: $56 + 180 = 236$.

При $z = 75$: $75 + 180 = 255$.

Ответ: 236; 255.

б) Сначала упростим выражение, применив сочетательное свойство сложения и вычитания:

$(981 + c) - 439 = (981 - 439) + c = 542 + c$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $c$ и найдем результат.

При $c = 45$: $542 + 45 = 587$.

При $c = 87$: $542 + 87 = 629$.

Ответ: 587; 629.

в) Сначала упростим выражение, используя свойство вычитания числа из разности:

$(465 - x) - 265 = (465 - 265) - x = 200 - x$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $x$ и найдем результат.

При $x = 34$: $200 - 34 = 166$.

При $x = 98$: $200 - 98 = 102$.

Ответ: 166; 102.

г) Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$1038 - (38 + n) = 1038 - 38 - n = 1000 - n$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения переменной $n$ и найдем результат.

При $n = 78$: $1000 - 78 = 922$.

При $n = 0$: $1000 - 0 = 1000$.

Ответ: 922; 1000.

2.226 Вычислите:

$1) 675019\stackrel{2}{+}88892\stackrel{1}{:}284 \stackrel{3}{-}98603=576729$

1)

2)

3)

$2) 308803 \stackrel{2}{-} 75152 \stackrel{1}{:} 176 \stackrel{3}{+} 79008 = 387384$

1)

2)

3)

$3) 709907 \stackrel{2}{-} 2480065 \stackrel{1}{:} 413 = 703902$

1)

2)

$4) 4789368 \stackrel{1}{:} 228 \stackrel{2}{-} 2466 = 18540$

1)

2)

2.227 Найдите корень уравнения:

а) 287 + x = 756;

б) z + 228 = 599;

в) 400 - y = 206;

г) t - 209 = 406;

д) 152 = m - 48;

е) 79 = 101 - k.

а) В уравнении $287 + x = 756$ неизвестное $x$ является одним из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 756 - 287$
$x = 469$
Проверка: $287 + 469 = 756$.
Ответ: 469

б) В уравнении $z + 228 = 599$ неизвестное $z$ является одним из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$z = 599 - 228$
$z = 371$
Проверка: $371 + 228 = 599$.
Ответ: 371

в) В уравнении $400 - y = 206$ неизвестное $y$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 400 - 206$
$y = 194$
Проверка: $400 - 194 = 206$.
Ответ: 194

г) В уравнении $t - 209 = 406$ неизвестное $t$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$t = 406 + 209$
$t = 615$
Проверка: $615 - 209 = 406$.
Ответ: 615

д) Уравнение $152 = m - 48$ можно записать как $m - 48 = 152$. Здесь неизвестное $m$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$m = 152 + 48$
$m = 200$
Проверка: $152 = 200 - 48$.
Ответ: 200

е) Уравнение $79 = 101 - k$ можно записать как $101 - k = 79$. Здесь неизвестное $k$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$k = 101 - 79$
$k = 22$
Проверка: $79 = 101 - 22$.
Ответ: 22

2.228 Решите уравнение и выполните проверку:

а) (x + 155) - 35 = 145;

б) 168 - (98 + z) = 65.