Страница 67, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.182 Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение:

В четырёхугольнике DABС длина стороны DA равна 10 см, а длина стороны АВ — 11 см. Сторона ВС короче стороны АВ на 5 см, а длина стороны DC меньше суммы длин сторон АВ и ВС на 9 см. Найдите периметр четырёхугольника DABС.

1) 11 - 5 = 6 (см) — длина ВС;

2) 11 + 6 = 17 (см) — сумма длин АВ и АС;

3) 17 - 9 = 8 (см) — длина DC;

4) 10 + 11 + 6 + 8 = 35 (см) — периметр.

Ответ: 35 см.

Составьте выражение для решения задачи

Периметр четырёхугольника $P_{DABC}$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{DABC} = DA + AB + BC + DC$.
Для того чтобы составить выражение, подставим в эту формулу известные и вычисляемые значения:
Длина стороны $DA = 10$ см.
Длина стороны $AB = 11$ см.
Длина стороны $BC$ короче стороны $AB$ на 5 см, что можно записать как $(11 - 5)$ см.
Длина стороны $DC$ меньше суммы длин сторон $AB$ и $BC$ на 9 см. Сумма длин сторон $AB$ и $BC$ равна $11 + (11 - 5)$. Значит, длину стороны $DC$ можно записать как $(11 + (11 - 5)) - 9$ см.
Теперь составим общее выражение для периметра, сложив все стороны:
$P_{DABC} = 10 + 11 + (11 - 5) + ((11 + (11 - 5)) - 9)$.

Ответ: $10 + 11 + (11 - 5) + ((11 + (11 - 5)) - 9)$.

Найдите его значение

Решим задачу по действиям, чтобы найти значение выражения.
1. Найдём длину стороны $BC$:
$BC = 11 - 5 = 6$ (см).
2. Найдём длину стороны $DC$:
$DC = (AB + BC) - 9 = (11 + 6) - 9 = 17 - 9 = 8$ (см).
3. Найдём периметр четырёхугольника $DABC$, сложив длины всех его сторон:
$P_{DABC} = DA + AB + BC + DC = 10 + 11 + 6 + 8 = 35$ (см).
Также можно вычислить значение составленного ранее выражения, соблюдая порядок действий:
$10 + 11 + (11 - 5) + ((11 + (11 - 5)) - 9) = 10 + 11 + 6 + (17 - 9) = 21 + 6 + 8 = 27 + 8 = 35$ (см).

Ответ: 35 см.

2.183 Запишите сумму:

а) 324 - 16 и 201 + 14;

б) c + 32 и 109;

в) m + 41 и n - 17;

г) y - 21 и z + 73.

а) (324 - 16) + (201 + 14)

б) (c + 32) + 109

в) (m + 41) + (n - 17)

г) (y - 21) + (z + 73)

2.184 Запишите разность:

а) 106 + 68 и 23 + 59;

б) c - 86 и 111;

в) x - 23 и y - 45;

г) 273 + m и 104 - n

а) (106 + 68) - (23 + 59)

б) (c - 86) - 111

в) (x - 23) - (y - 45)

г) (273 + m) - (104 - n)

2.185 Составьте выражение для вычисления продолжительности дня, если продолжительность ночи а ч. Найдите его значение при a = 12; 14; 16.

1 сутки = 24 ч

(24 - а) ч - продолжительность дня при а = 12

24 - 12 = 12 (ч)

при а = 14

24 - 14 = 10 (ч)

при а = 16

24 - 16 = 8 (ч)

Ответ: (24 - а) ч; 12 ч; 10 ч; 8 ч.

Составьте выражение для вычисления продолжительности дня, если продолжительность ночи a ч

Полные сутки состоят из 24 часов и включают в себя день и ночь. Если продолжительность ночи задана переменной $a$ (в часах), то для того, чтобы найти продолжительность дня, необходимо из общей продолжительности суток (24 часа) вычесть продолжительность ночи.

Таким образом, искомое выражение для вычисления продолжительности дня имеет вид: $24 - a$.

Ответ: $24 - a$.

Найдите его значение при a = 12; 14; 16

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого из предложенных значений $a$, подставив их в формулу.

1. Если $a = 12$, то продолжительность дня равна $24 - 12 = 12$ часов.

2. Если $a = 14$, то продолжительность дня равна $24 - 14 = 10$ часов.

3. Если $a = 16$, то продолжительность дня равна $24 - 16 = 8$ часов.

Ответ: при $a = 12$ продолжительность дня составляет 12 часов; при $a = 14$ — 10 часов; при $a = 16$ — 8 часов.

2.186 Чему равна масса двух дынь, если масса первой дыни равна 6 кг, а масса второй дыни на n кг меньше? Составьте выражение и найдите его значение, если n = 1; 2; 3.

(6 - n) кг – масса 2-й дыни

6 + (6 - n) = (6 + 6) - n = (12 - n) кг – масса двух дынь

при n = 1; 12 - 1 = 11 (кг)

при n = 2; 12 - 2 = 10 (кг)

при n = 3; 12 - 3 = 9 (кг)

Ответ: (12 - n) кг; 11 кг; 10 кг; 9 кг.

Для решения задачи введем переменные. Пусть масса первой дыни равна $m_1$, а масса второй дыни — $m_2$. По условию задачи, $m_1 = 6$ кг. Масса второй дыни на $n$ кг меньше, значит, ее массу можно выразить как $m_2 = 6 - n$ кг.

Составим выражение для общей массы двух дынь.
Общая масса $M$ двух дынь — это сумма их масс: $M = m_1 + m_2$.
Подставим в эту формулу выражения для масс каждой дыни: $M = 6 + (6 - n)$.
Упростим полученное выражение: $M = 12 - n$.
Ответ: выражением для нахождения массы двух дынь является $12 - n$ кг.

Найдем значение выражения, если n = 1.
Подставляем значение $n=1$ в выражение $12 - n$: $12 - 1 = 11$ (кг).
Ответ: 11 кг.

Найдем значение выражения, если n = 2.
Подставляем значение $n=2$ в выражение $12 - n$: $12 - 2 = 10$ (кг).
Ответ: 10 кг.

Найдем значение выражения, если n = 3.
Подставляем значение $n=3$ в выражение $12 - n$: $12 - 3 = 9$ (кг).
Ответ: 9 кг.

2.187 У Максима было m конфет, у Даши — а конфет, а у Маруси — n конфет. Они сложили все конфеты вместе и поделили их поровну. Сколько конфет досталось каждому? Составьте выражение и найдите его значение, если m = 11, a = 9, n = 19.

Максим – m к.

Даша – a к.

Марусся – n к.

(m + a + n) : 3 — конфет досталось каждому.

Если m = 11, а = 9, n = 19, то (11 + 9 + 19) : 3 = 39 : 3 = 13 (к.)

Ответ: (m + a + n) : 3; 13 конфет.

Составьте выражение

1. Сначала найдем общее количество конфет. Для этого сложим количество конфет, которое было у каждого из троих человек: $m$ конфет у Максима, $a$ конфет у Даши и $n$ конфет у Маруси.
Общее количество конфет: $m + a + n$.

2. Затем, чтобы разделить все конфеты поровну между тремя людьми, нужно полученную сумму разделить на 3.
Таким образом, выражение для нахождения количества конфет, которое досталось каждому, будет: $(m + a + n) \div 3$.

Найдите его значение, если $m = 11$, $a = 9$, $n = 19$

Подставим в составленное выражение числовые значения $m=11$, $a=9$ и $n=19$:
$(11 + 9 + 19) \div 3$

Выполним действия по порядку:
1. Сложение в скобках: $11 + 9 + 19 = 20 + 19 = 39$.
2. Деление: $39 \div 3 = 13$.

Ответ: выражение для нахождения количества конфет у каждого — $(m + a + n) \div 3$; значение выражения при заданных условиях равно 13.

2.188 Составьте выражение для нахождения периметра прямоугольного участка земли, если:

а) его длина 94 м, а ширина 58 м;

б) его ширина 58 м, а длина x м;

в) его длина 94 м, а ширина y м;

г) его длина y м, а ширина x м.

а) Р = (94 + 58) · 2 (м)

б) Р = (58 + х) · 2 (м)

в) Р = (94 + у) · 2 (м)

г) Р = (х + у) · 2 (м)

Для нахождения периметра прямоугольного участка земли используется формула $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ — это длина, а $b$ — ширина участка.

а)

Дано: длина $a = 94$ м и ширина $b = 58$ м. Подставим эти значения в формулу периметра:

$P = 2 \cdot (94 + 58)$

Это и есть искомое выражение. Если его вычислить, то периметр будет равен:

$P = 2 \cdot 152 = 304$ м.

Ответ: $2 \cdot (94 + 58)$.

б)

Дано: ширина $b = 58$ м и длина $a = x$ м. Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (x + 58)$

Ответ: $2 \cdot (x + 58)$.

в)

Дано: длина $a = 94$ м и ширина $b = y$ м. Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (94 + y)$

Ответ: $2 \cdot (94 + y)$.

г)

Дано: длина $a = y$ м и ширина $b = x$ м. Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (y + x)$

Ответ: $2 \cdot (y + x)$.

2.189 Найдите значение выражения:

а) n + 6775 при n = 657; 4315;

б) 41 942 - z при z = 39 761; 21 942;

в) (c + d) - 763 при c = 720, d = 382; c = 7112, d = 905.

а)

Чтобы найти значение выражения $n + 6775$, нужно подставить в него указанные значения переменной $n$.

1. При $n = 657$:

$n + 6775 = 657 + 6775 = 7432$.

2. При $n = 4315$:

$n + 6775 = 4315 + 6775 = 11090$.

Ответ: 7432; 11090.

б)

Чтобы найти значение выражения $41 942 - z$, нужно подставить в него указанные значения переменной $z$.

1. При $z = 39 761$:

$41 942 - z = 41 942 - 39 761 = 2181$.

2. При $z = 21 942$:

$41 942 - z = 41 942 - 21 942 = 20000$.

Ответ: 2181; 20000.

в)

Чтобы найти значение выражения $(c + d) - 763$, нужно подставить в него указанные значения переменных $c$ и $d$.

1. При $c = 720$ и $d = 382$:

$(c + d) - 763 = (720 + 382) - 763 = 1102 - 763 = 339$.

2. При $c = 7112$ и $d = 905$:

$(c + d) - 763 = (7112 + 905) - 763 = 8017 - 763 = 7254$.

Ответ: 339; 7254.

2.190 Упростите выражение:

а) 26 + x + 67;

б) a - 55 - 28;

в) 79 - 21 - p;

г) 64 - z - 23.

а) 26 + х 67 = х + (26 + 67) = х + 93

б) а - 55 - 28 = а - (55 + 28) = а - 83

в) 79 - 21 - р = (79 - 21) - р = 58 - р

г) 64 - z - 23 = (64 - 23) - z = 41 - z

а) Чтобы упростить выражение $26 + x + 67$, нужно сгруппировать и сложить числовые слагаемые. Согласно переместительному свойству сложения, мы можем менять слагаемые местами.
$26 + x + 67 = (26 + 67) + x$
Выполним сложение чисел в скобках:
$26 + 67 = 93$
Следовательно, упрощенное выражение выглядит так: $93 + x$.
Ответ: $93 + x$

б) В выражении $a - 55 - 28$ мы должны последовательно вычесть числа из переменной $a$. Это эквивалентно вычитанию их суммы из $a$.
$a - 55 - 28 = a - (55 + 28)$
Найдем сумму чисел в скобках:
$55 + 28 = 83$
Таким образом, итоговое выражение: $a - 83$.
Ответ: $a - 83$

в) Чтобы упростить выражение $79 - 21 - p$, сначала выполним вычитание чисел.
$79 - 21 = 58$
Подставим полученный результат обратно в выражение. Упрощенное выражение будет: $58 - p$.
Ответ: $58 - p$

г) В выражении $64 - z - 23$ мы можем перегруппировать члены, чтобы сначала выполнить вычитание между числами.
$64 - z - 23 = 64 - 23 - z$
Выполним вычитание чисел:
$64 - 23 = 41$
Следовательно, упрощенное выражение имеет вид: $41 - z$.
Ответ: $41 - z$

2.191 Упростите выражение и найдите его значение:

а) 255 - c + 245 = (255 + 245) - c = 500 - c

при c = 184

500 - 184 = 316

при c = 123

500 - 123 = 377

б) 506 - s - 246 = (506 - 246) - s = 260 - s

при s = 95,

260 - 95 = 165

при s = 260,

260 - 260 = 0.

а) Сначала упростим выражение $255 - c + 245$. Для удобства вычислений мы можем поменять местами слагаемые, используя переместительное свойство сложения, и сгруппировать числа:

$(255 + 245) - c$

Выполним сложение в скобках:

$255 + 245 = 500$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $500 - c$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого из заданных значений $c$.

1. При $c = 184$:

$500 - 184 = 316$

2. При $c = 123$:

$500 - 123 = 377$

Ответ: упрощенное выражение $500 - c$; при $c = 184$ значение равно 316; при $c = 123$ значение равно 377.

б) Сначала упростим выражение $506 - s - 246$. Мы можем сначала выполнить вычитание между числами:

$(506 - 246) - s$

Выполним вычитание в скобках:

$506 - 246 = 260$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так: $260 - s$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого из заданных значений $s$.

1. При $s = 95$:

$260 - 95 = 165$

2. При $s = 260$:

$260 - 260 = 0$

Ответ: упрощенное выражение $260 - s$; при $s = 95$ значение равно 165; при $s = 260$ значение равно 0.

2.192 Для участия в эстафете учащихся класса разбили на команды, по 3 человека в каждой. В команду № 3 вошли Слава, Толя и Лена. Слава преодолел свой участок дистанции за 55 с, Толя - за 47 с, а Лена - на t с быстрее, чем Слава.

а) Составьте выражение для вычисления времени, затраченного командой № 3 на прохождение эстафеты.

б) Найдите значение полученного выражения при t = 4; t = 8; t = 10.

(55 - t) c – Лена преодолела свой участок

а) 55 + 47 + (55 - t) = (55 + 47 + 55) - t = ((55 + 55) + 47) - t = (110 + 47) - t = (157 - t) c;

Ответ: а) (157 - t) c; б) 153 с; 149 с;147 с.

а) Общее время, затраченное командой № 3 на прохождение эстафеты, вычисляется как сумма времени каждого из ее участников. Найдем время для каждого участника:

Время Славы: 55 с.
Время Толи: 47 с.

По условию, Лена пробежала свой участок на $t$ секунд быстрее, чем Слава. Слово «быстрее» означает, что времени было затрачено меньше. Следовательно, чтобы найти время Лены, нужно из времени Славы вычесть $t$:
Время Лены = $55 - t$ с.

Теперь составим выражение для общего времени команды, сложив время всех участников:
Общее время = (Время Славы) + (Время Толи) + (Время Лены) = $55 + 47 + (55 - t)$.

Упростим полученное выражение:
$55 + 47 + 55 - t = 102 + 55 - t = 157 - t$.

Ответ: $157 - t$.

б) Найдем значение полученного выражения $157 - t$ при заданных значениях $t$.

При $t = 4$:
$157 - 4 = 153$ с.

При $t = 8$:
$157 - 8 = 149$ с.

При $t = 10$:
$157 - 10 = 147$ с.

Ответ: при $t = 4$ значение выражения равно 153 с; при $t = 8$ — 149 с; при $t = 10$ — 147 с.

2.193 Одна сторона треугольника равна 63 см, другая на 4 см больше, а третья на a см меньше второй стороны. Составьте выражение для нахождения периметра треугольника и найдите его значение при a = 8; a = 17.

(63 + 4) см – длина второй стороны

((63 + 4) - а) см – длина третьей стороны

(63 + (63 + 4) + ((63 + 4) - а)) см – периметр треугольника

(63 + (63 + 4) + ((63 + 4) - а)) = 63 + 67 + (67 - а) = (130 + 67) - а = (197 - а) см

при а = 8

197 - 8 = 189 (см)

при а = 17

197 - 17 = 180 (см)

Ответ: (197 - а) см; 189 см; 180 см.

Для решения задачи сначала найдем выражения для длин каждой из трех сторон треугольника.

Первая сторона по условию равна 63 см.

Вторая сторона на 4 см больше первой, следовательно, ее длина составляет: $63 + 4 = 67$ см.

Третья сторона на $a$ см меньше второй, следовательно, ее длина равна: $67 - a$ см.

Составьте выражение для нахождения периметра треугольника

Периметр треугольника, обозначим его $P$, равен сумме длин всех его сторон. Сложим полученные длины сторон:

$P = 63 + 67 + (67 - a)$

Теперь упростим это выражение, выполнив сложение:

$P = 130 + 67 - a$

$P = 197 - a$

Ответ: выражение для нахождения периметра треугольника: $197 - a$ см.

Найдите его значение при a = 8

Чтобы найти значение периметра при $a = 8$, подставим это значение в полученное выражение:

$P = 197 - 8 = 189$

Таким образом, при $a = 8$ периметр треугольника равен 189 см.

Ответ: 189 см.

Найдите его значение при a = 17

Чтобы найти значение периметра при $a = 17$, подставим это значение в выражение для периметра:

$P = 197 - 17 = 180$

Таким образом, при $a = 17$ периметр треугольника равен 180 см.

Ответ: 180 см.

2.194 За сутки с фермы на молокозавод было отправлено 180 л молока, что в 6 раз больше того количества, которое было продано на месте. Сколько всего литров молока было реализовано фермой за сутки?

1) 180 : 6 = 30 (л) — продано на месте

2) 180 + 30 = 210 (л)

Ответ: 210 л.

Для того чтобы решить задачу, нужно сначала найти, сколько молока было продано на месте, а затем сложить это количество с количеством молока, отправленного на молокозавод.

1. Вычислим количество молока, проданного на месте.

В условии сказано, что 180 литров, отправленных на молокозавод, — это в 6 раз больше, чем количество, проданное на месте. Значит, чтобы найти количество молока, проданного на месте, нужно 180 разделить на 6.

$180 \text{ л} : 6 = 30 \text{ л}$

Таким образом, на месте было продано 30 литров молока.

2. Вычислим общее количество реализованного молока.

Чтобы узнать, сколько всего литров молока было реализовано фермой за сутки, необходимо сложить количество молока, отправленного на молокозавод, и количество, проданное на месте.

$180 \text{ л} + 30 \text{ л} = 210 \text{ л}$

Ответ: всего фермой за сутки было реализовано 210 литров молока.

5.397 Расположите дроби в порядке убывания:

а)

Чтобы расположить дроби $\frac{7}{8}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{17}{40}$ в порядке убывания, их необходимо сравнить. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Знаменатели данных дробей: 8, 4, 5, 40. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Поскольку 40 делится на 8, 4 и 5, то НОК(8, 4, 5, 40) = 40. Общий знаменатель – 40.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 40, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

Для дроби $\frac{7}{8}$ дополнительный множитель равен $40 \div 8 = 5$:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 5}{8 \times 5} = \frac{35}{40}$

Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $40 \div 4 = 10$:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 10}{4 \times 10} = \frac{30}{40}$

Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель равен $40 \div 5 = 8$:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 8}{5 \times 8} = \frac{24}{40}$

Дробь $\frac{17}{40}$ уже имеет знаменатель 40.

Теперь у нас есть дроби: $\frac{35}{40}$, $\frac{30}{40}$, $\frac{24}{40}$, $\frac{17}{40}$.

Чтобы расположить их в порядке убывания, сравним их числители. Чем больше числитель, тем больше дробь (при одинаковых знаменателях).

Сравниваем числители: $35 > 30 > 24 > 17$.

Следовательно, порядок дробей будет таким: $\frac{35}{40} > \frac{30}{40} > \frac{24}{40} > \frac{17}{40}$.

Теперь заменим эти дроби на исходные:

Ответ: $\frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{17}{40}$.

б)

Чтобы расположить дроби $\frac{11}{12}$, $\frac{5}{24}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{3}$ в порядке убывания, приведем их к общему знаменателю.

Знаменатели данных дробей: 12, 24, 6, 3. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Поскольку 24 делится на 12, 6 и 3, то НОК(12, 24, 6, 3) = 24. Общий знаменатель – 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24:

Для дроби $\frac{11}{12}$ дополнительный множитель равен $24 \div 12 = 2$:
$\frac{11}{12} = \frac{11 \times 2}{12 \times 2} = \frac{22}{24}$

Дробь $\frac{5}{24}$ уже имеет знаменатель 24.

Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель равен $24 \div 6 = 4$:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$

Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $24 \div 3 = 8$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$

Теперь у нас есть дроби: $\frac{22}{24}$, $\frac{5}{24}$, $\frac{20}{24}$, $\frac{16}{24}$.

Расположим их в порядке убывания, сравнив числители.

Сравниваем числители: $22 > 20 > 16 > 5$.

Следовательно, порядок дробей будет таким: $\frac{22}{24} > \frac{20}{24} > \frac{16}{24} > \frac{5}{24}$.

Теперь заменим эти дроби на исходные:

Ответ: $\frac{11}{12}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}, \frac{5}{24}$.

5.398 Докажите неравенство:

а) Чтобы доказать неравенство $ \frac{133}{900} > \frac{1}{9} $, сравним две дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 900 и 9 является 900.
Преобразуем правую часть неравенства: $ \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 100}{9 \cdot 100} = \frac{100}{900} $.
Теперь неравенство выглядит так: $ \frac{133}{900} > \frac{100}{900} $.
Поскольку знаменатели дробей равны, для сравнения достаточно сравнить их числители. Так как $ 133 > 100 $, то и исходное неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $ \frac{289}{45000} < \frac{1}{15} $. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45000 и 15 — это 45000, поскольку $ 45000 = 15 \cdot 3000 $.
Приведем дробь $ \frac{1}{15} $ к знаменателю 45000: $ \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 3000}{15 \cdot 3000} = \frac{3000}{45000} $.
Сравниваем дроби $ \frac{289}{45000} $ и $ \frac{3000}{45000} $.
Так как их знаменатели равны, сравниваем числители: $ 289 < 3000 $.
Следовательно, неравенство $ \frac{289}{45000} < \frac{1}{15} $ справедливо.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $ \frac{73}{1080} > \frac{15}{540} $. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 1080 = 540 \cdot 2 $, поэтому наименьший общий знаменатель равен 1080.
Преобразуем правую часть неравенства: $ \frac{15}{540} = \frac{15 \cdot 2}{540 \cdot 2} = \frac{30}{1080} $.
Теперь неравенство принимает вид: $ \frac{73}{1080} > \frac{30}{1080} $.
Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители: $ 73 > 30 $.
Это верное утверждение, значит, и исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

5.399 а) Объясните, почему 17 > 19, 27 > 29, 57 > 59, не приводя дроби к общему знаменателю.

б) Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями.

в) Используя это правило, сравните: 47 и 413; 916 и 910; 2133 и 2131.

а) Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое (это знаменатель) и сколько таких частей взяли (это числитель). Рассмотрим дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{9}$. В обоих случаях мы берем одну часть (числитель равен 1). Однако в первом случае целое (например, пирог) разделили на 7 равных частей, а во втором — на 9. Когда мы делим пирог на большее количество частей, каждая отдельная часть становится меньше. Следовательно, одна часть из семи ($\frac{1}{7}$) будет больше, чем одна часть из девяти ($\frac{1}{9}$).
Этот же принцип работает и для остальных пар дробей: $\frac{2}{7}$ и $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{9}$. Мы сравниваем одинаковое количество частей (2 и 5 соответственно). Поскольку каждая часть в $\frac{1}{7}$ больше каждой части в $\frac{1}{9}$, то и 2 части из 7 будут больше, чем 2 части из 9, а 5 частей из 7 будут больше, чем 5 частей из 9.
Таким образом, для сравнения дробей с одинаковыми числителями не нужно приводить их к общему знаменателю. Достаточно сравнить их знаменатели: чем меньше знаменатель, тем на меньшее число частей поделено целое, а значит, каждая часть крупнее.
Ответ: Неравенства верны, потому что из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

б) Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. И наоборот, та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше.
Ответ: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.

в) Применим сформулированное правило для сравнения предложенных пар дробей.
1. Сравним $\frac{4}{7}$ и $\frac{4}{13}$.
Числители одинаковы (4). Сравниваем знаменатели: $7 < 13$. Так как знаменатель 7 меньше, чем 13, то дробь $\frac{4}{7}$ больше, чем $\frac{4}{13}$.
$\frac{4}{7} > \frac{4}{13}$.
2. Сравним $\frac{9}{16}$ и $\frac{9}{10}$.
Числители одинаковы (9). Сравниваем знаменатели: $16 > 10$. Так как знаменатель 16 больше, чем 10, то дробь $\frac{9}{16}$ меньше, чем $\frac{9}{10}$.
$\frac{9}{16} < \frac{9}{10}$.
3. Сравним $\frac{21}{33}$ и $\frac{21}{31}$.
Числители одинаковы (21). Сравниваем знаменатели: $33 > 31$. Так как знаменатель 33 больше, чем 31, то дробь $\frac{21}{33}$ меньше, чем $\frac{21}{31}$.
$\frac{21}{33} < \frac{21}{31}$.
Ответ: $\frac{4}{7} > \frac{4}{13}$; $\frac{9}{16} < \frac{9}{10}$; $\frac{21}{33} < \frac{21}{31}$.

5.400 Запишите все правильные дроби с числителем 3, большие 311.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{3}{n}$, где $n$ — натуральное число, являющееся знаменателем.

По условию задачи, дробь является правильной. Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае это означает, что должно выполняться неравенство:
$3 < n$.

Также, согласно условию, дробь должна быть больше, чем $\frac{3}{11}$. Запишем это в виде неравенства:
$\frac{3}{n} > \frac{3}{11}$

Для сравнения двух дробей с одинаковыми положительными числителями используется правило: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Следовательно, для выполнения неравенства $\frac{3}{n} > \frac{3}{11}$ знаменатель $n$ должен быть меньше 11:
$n < 11$.

Теперь нам нужно объединить оба условия для знаменателя $n$. Он должен быть одновременно больше 3 и меньше 11. Запишем это в виде двойного неравенства:
$3 < n < 11$.

Найдём все натуральные (целые положительные) числа $n$, которые удовлетворяют этому неравенству. Это числа: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Подставим найденные значения $n$ в качестве знаменателей, чтобы получить все искомые дроби.

Ответ: $\frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{3}{6}, \frac{3}{7}, \frac{3}{8}, \frac{3}{9}, \frac{3}{10}$.

5.401 Сравните промежутки времени двумя способами: 1) выразив их в секундах; 2) приведя дроби к общему знаменателю:

а) Сравним промежутки времени $\frac{5}{6}$ мин и $\frac{11}{12}$ мин.

1) Выразив их в секундах:
Поскольку в одной минуте 60 секунд, переведем значения в секунды.
$\frac{5}{6}$ мин $= \frac{5}{6} \times 60$ с $= 5 \times 10$ с $= 50$ с.
$\frac{11}{12}$ мин $= \frac{11}{12} \times 60$ с $= 11 \times 5$ с $= 55$ с.
Сравниваем полученные значения: $50$ с $ < 55$ с. Следовательно, $\frac{5}{6}$ мин $ < \frac{11}{12}$ мин.

2) Приведя дроби к общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{11}{12}$ равен 12.
Приведем дробь $\frac{5}{6}$ к знаменателю 12: $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$.
Теперь сравним дроби $\frac{10}{12}$ и $\frac{11}{12}$. Так как $10 < 11$, то $\frac{10}{12} < \frac{11}{12}$.
Следовательно, $\frac{5}{6}$ мин $ < \frac{11}{12}$ мин.

Ответ: $\frac{5}{6}$ мин $ < \frac{11}{12}$ мин.

б) Сравним промежутки времени $\frac{7}{12}$ мин и $\frac{2}{3}$ мин.

1) Выразив их в секундах:
Переведем значения в секунды.
$\frac{7}{12}$ мин $= \frac{7}{12} \times 60$ с $= 7 \times 5$ с $= 35$ с.
$\frac{2}{3}$ мин $= \frac{2}{3} \times 60$ с $= 2 \times 20$ с $= 40$ с.
Сравниваем полученные значения: $35$ с $ < 40$ с. Следовательно, $\frac{7}{12}$ мин $ < \frac{2}{3}$ мин.

2) Приведя дроби к общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{2}{3}$ равен 12.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$.
Теперь сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{8}{12}$. Так как $7 < 8$, то $\frac{7}{12} < \frac{8}{12}$.
Следовательно, $\frac{7}{12}$ мин $ < \frac{2}{3}$ мин.

Ответ: $\frac{7}{12}$ мин $ < \frac{2}{3}$ мин.

в) Сравним промежутки времени $\frac{7}{10}$ мин и $\frac{9}{20}$ мин.

1) Выразив их в секундах:
Переведем значения в секунды.
$\frac{7}{10}$ мин $= \frac{7}{10} \times 60$ с $= 7 \times 6$ с $= 42$ с.
$\frac{9}{20}$ мин $= \frac{9}{20} \times 60$ с $= 9 \times 3$ с $= 27$ с.
Сравниваем полученные значения: $42$ с $ > 27$ с. Следовательно, $\frac{7}{10}$ мин $ > \frac{9}{20}$ мин.

2) Приведя дроби к общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{7}{10}$ и $\frac{9}{20}$ равен 20.
Приведем дробь $\frac{7}{10}$ к знаменателю 20: $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 2}{10 \times 2} = \frac{14}{20}$.
Теперь сравним дроби $\frac{14}{20}$ и $\frac{9}{20}$. Так как $14 > 9$, то $\frac{14}{20} > \frac{9}{20}$.
Следовательно, $\frac{7}{10}$ мин $ > \frac{9}{20}$ мин.

Ответ: $\frac{7}{10}$ мин $ > \frac{9}{20}$ мин.

г) Сравним промежутки времени $\frac{4}{5}$ мин и $\frac{3}{4}$ мин.

1) Выразив их в секундах:
Переведем значения в секунды.
$\frac{4}{5}$ мин $= \frac{4}{5} \times 60$ с $= 4 \times 12$ с $= 48$ с.
$\frac{3}{4}$ мин $= \frac{3}{4} \times 60$ с $= 3 \times 15$ с $= 45$ с.
Сравниваем полученные значения: $48$ с $ > 45$ с. Следовательно, $\frac{4}{5}$ мин $ > \frac{3}{4}$ мин.

2) Приведя дроби к общему знаменателю:
Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$ равен 20.
Приведем дробь $\frac{4}{5}$ к знаменателю 20: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20}$.
Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 20: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$.
Теперь сравним дроби $\frac{16}{20}$ и $\frac{15}{20}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$.
Следовательно, $\frac{4}{5}$ мин $ > \frac{3}{4}$ мин.

Ответ: $\frac{4}{5}$ мин $ > \frac{3}{4}$ мин.

5.402 Отметьте на координатной прямой все дроби со знаменателем 7, меньшие 87 и большие 17.

Для решения этой задачи нам необходимо найти все дроби со знаменателем 7, которые находятся в интервале между $\frac{1}{7}$ и $\frac{8}{7}$. Обозначим искомую дробь как $\frac{n}{7}$, где $n$ — натуральное число. Условие можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{1}{7} < \frac{n}{7} < \frac{8}{7}$

Так как знаменатели всех дробей в неравенстве одинаковы и положительны, мы можем перейти к сравнению их числителей. Таким образом, неравенство для числителей $n$ будет выглядеть следующим образом:

$1 < n < 8$

Теперь нам нужно найти все целые числа $n$, которые строго больше 1 и строго меньше 8. Такими числами являются: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Подставив эти значения $n$ обратно в дробь $\frac{n}{7}$, мы получаем список всех искомых дробей: $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, \frac{7}{7}$.

Далее, отметим эти дроби на координатной прямой. Для этого сначала отметим на прямой целые числа 0 и 1. Отрезок от 0 до 1 разделим на 7 равных частей. Каждая часть будет соответствовать $\frac{1}{7}$. Дробь $\frac{7}{7}$ совпадет с точкой 1. Дроби $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ будут расположены между 0 и 1.

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными точками. Граничные точки $\frac{1}{7}$ и $\frac{8}{7}$ показаны для наглядности, но не выделены, так как неравенство строгое.

Ответ: Искомые дроби: $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, \frac{7}{7}$. Расположение этих дробей на координатной прямой показано на рисунке выше.

5.403 В лесопитомнике 920 всех деревьев занимают саженцы ели, а 715 всех деревьев — саженцы сосны. Каких саженцев в лесопитомнике больше: ели или сосны?

Чтобы ответить на вопрос, каких саженцев в лесопитомнике больше, необходимо сравнить доли, которые они занимают от общего числа деревьев. Доля саженцев ели составляет $ \frac{9}{20} $, а доля саженцев сосны — $ \frac{7}{15} $. Для сравнения этих двух дробей приведем их к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 20 и 15.

Разложим числа 20 и 15 на простые множители:
$ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $

Наименьший общий знаменатель будет равен произведению всех уникальных множителей в наибольшей степени: НОК(20, 15) = $ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60.
Для дроби $ \frac{9}{20} $ (ели) найдем дополнительный множитель: $ 60 \div 20 = 3 $.
$ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60} $

Для дроби $ \frac{7}{15} $ (сосны) найдем дополнительный множитель: $ 60 \div 15 = 4 $.
$ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60} $

Теперь сравним полученные дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{27}{60} $ и $ \frac{28}{60} $.
Так как числитель 27 меньше числителя 28, то и дробь $ \frac{27}{60} $ меньше дроби $ \frac{28}{60} $.
$ \frac{27}{60} < \frac{28}{60} $, следовательно, $ \frac{9}{20} < \frac{7}{15} $.

Поскольку доля саженцев сосны ($ \frac{7}{15} $) больше, чем доля саженцев ели ($ \frac{9}{20} $), то и количество саженцев сосны больше.
Ответ: саженцев сосны в лесопитомнике больше, чем саженцев ели.

5.404 Папа за 30 шагов проходит 24 м, а сын за 20 шагов — 14 м. Чей шаг длиннее?

Чтобы определить, чей шаг длиннее, необходимо вычислить длину одного шага для папы и для сына, а затем сравнить полученные значения. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Вычисление длины одного шага в метрах

1. Чтобы найти длину одного шага папы, разделим расстояние, которое он прошел, на количество сделанных шагов.

Длина шага папы = $24 \text{ м} \div 30 \text{ шагов} = \frac{24}{30} \text{ м}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 0,8 \text{ м}$

2. Аналогично вычислим длину одного шага сына.

Длина шага сына = $14 \text{ м} \div 20 \text{ шагов} = \frac{14}{20} \text{ м}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0,7 \text{ м}$

3. Теперь сравним длину шага папы и сына.

$0,8 \text{ м} > 0,7 \text{ м}$

Следовательно, шаг папы длиннее.

Способ 2: Сравнение расстояний за одинаковое количество шагов

1. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для количества шагов папы (30) и сына (20), чтобы сравнить, какое расстояние они пройдут за одинаковое число шагов. НОК(30, 20) = 60.

2. Вычислим, какое расстояние пройдет папа за 60 шагов. Так как 60 шагов в два раза больше, чем 30, то и расстояние он пройдет в два раза больше.

$24 \text{ м} \times (60 \div 30) = 24 \text{ м} \times 2 = 48 \text{ м}$

3. Вычислим, какое расстояние пройдет сын за 60 шагов. Так как 60 шагов в три раза больше, чем 20, то и расстояние он пройдет в три раза больше.

$14 \text{ м} \times (60 \div 20) = 14 \text{ м} \times 3 = 42 \text{ м}$

4. Сравним расстояния, пройденные за одинаковые 60 шагов.

$48 \text{ м} > 42 \text{ м}$

Так как за одинаковое количество шагов папа проходит большее расстояние, его шаг длиннее.

Ответ: шаг папы длиннее.

5.405 Найдите, какая труба подаёт в бассейн больше воды: широкая за 2 ч или узкая за 3 ч, если узкая труба наполняет бассейн за 11 ч, а широкая — за 9 ч.

Чтобы решить задачу, необходимо сравнить, какую долю бассейна наполнит каждая труба за указанное время. Для этого примем весь объём бассейна за 1.

1. Найдём производительность каждой трубы.

Производительность — это часть бассейна, которую труба наполняет за один час.

Узкая труба наполняет весь бассейн за 11 часов, значит, её производительность равна $\frac{1}{11}$ бассейна в час.

Широкая труба наполняет весь бассейн за 9 часов, значит, её производительность равна $\frac{1}{9}$ бассейна в час.

2. Вычислим, какую часть бассейна наполнит каждая труба.

Узкая труба будет работать 3 часа и за это время наполнит: $3 \times \frac{1}{11} = \frac{3}{11}$ часть бассейна.

Широкая труба будет работать 2 часа и за это время наполнит: $2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ часть бассейна.

3. Сравним полученные доли.

Теперь нужно сравнить дроби $\frac{3}{11}$ и $\frac{2}{9}$. Для этого приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 11 и 9 равен их произведению: $11 \times 9 = 99$.

Приведём дробь для узкой трубы к новому знаменателю: $\frac{3}{11} = \frac{3 \times 9}{11 \times 9} = \frac{27}{99}$.

Приведём дробь для широкой трубы к новому знаменателю: $\frac{2}{9} = \frac{2 \times 11}{9 \times 11} = \frac{22}{99}$.

Сравниваем числители полученных дробей: $27 > 22$.

Следовательно, $\frac{27}{99} > \frac{22}{99}$, что означает $\frac{3}{11} > \frac{2}{9}$.

Таким образом, узкая труба за 3 часа подаст в бассейн больше воды, чем широкая за 2 часа.

Ответ: узкая труба за 3 часа подаёт больше воды.

5.406 Для оформления национального костюма двухметровую синюю ленту разрезали на 7 равных частей, а трёхметровую красную ленту — на 8. Части какой ленты длиннее?

Чтобы выяснить, части какой ленты длиннее, необходимо вычислить длину одной части для каждой ленты, а затем сравнить эти длины.

Длина синей ленты составляет 2 метра, и ее разделили на 7 равных частей. Таким образом, длина одной части синей ленты равна дроби $ \frac{2}{7} $ метра.

Длина красной ленты — 3 метра, и ее разделили на 8 равных частей. Соответственно, длина одной части красной ленты составляет $ \frac{3}{8} $ метра.

Теперь перед нами стоит задача сравнить две дроби: $ \frac{2}{7} $ (длина синей части) и $ \frac{3}{8} $ (длина красной части). Для сравнения дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 8 является их произведение, так как они взаимно простые: $ 7 \times 8 = 56 $.

Приведем дробь $ \frac{2}{7} $ к знаменателю 56, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель 8: $ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 8}{7 \times 8} = \frac{16}{56} $.

Приведем дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 56, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель 7: $ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 7}{8 \times 7} = \frac{21}{56} $.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сравнить их числители. Так как $ 21 > 16 $, то и дробь $ \frac{21}{56} $ больше, чем $ \frac{16}{56} $. Из этого следует, что $ \frac{3}{8} > \frac{2}{7} $. Таким образом, части красной ленты длиннее, чем части синей.

Ответ: части красной ленты длиннее.

5.407 Три брата — Андрей, Матвей и Тимофей — вскапывали три одинаковые грядки. За одно и то же время один вскопал 23 грядки, другой — 59 грядки, а третий — 35 грядки. Какую часть грядки осталось вскопать каждому, если известно, что Андрей вскопал больше Тимофея, а Матвей — больше Андрея?

Сравним дроби $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{5}$

Наименьший общий знаменатель -45

$\frac{2}{3} = \frac{2·15}{3·15} = \frac{30}{45}$

$\frac{5}{9} = \frac{5·5}{9·5} = \frac{25}{45}$

$\frac{3}{5} = \frac{3·9}{5·9} = \frac{27}{45}$

Так как $\frac{25}{45}<\frac{27}{45}<\frac{30}{45}$, то

$\frac{5}{9}<\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$

Известно, что Андрей вскопал больше

Тимофея, а Матвей - больше Андрея.

Значит, больше всех вскопал Матвей,

а меньше всех - Тимофей, т.е.

Тимофей - $\frac{5}{9}$ грядки,

Андрей - $\frac{3}{5}$ грядки,

Матвей - $\frac{2}{3}$ грядки.

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ - осталось Тимофею

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ - осталось Андрею

$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ - осталось Матвею

Ответ: $\frac{4}{9}$ грядки - Тимофею, $\frac{2}{5}$ грядки - Андрею и $\frac{1}{3}$ грядки - Матвею.

Для решения задачи сначала определим, какую часть грядки вскопал каждый из братьев. Для этого сравним дроби из условия: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 3, 9 и 5 равно 45.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{30}{45}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{25}{45}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{27}{45}$

Сравнивая числители, получаем: $30 > 27 > 25$. Следовательно, и сами дроби располагаются в таком же порядке: $\frac{2}{3} > \frac{3}{5} > \frac{5}{9}$.

По условию, Матвей вскопал больше Андрея, а Андрей — больше Тимофея (Матвей > Андрей > Тимофей). Сопоставив это с полученным порядком дробей, определяем, кто сколько вскопал:
- Матвей вскопал $\frac{2}{3}$ грядки.
- Андрей вскопал $\frac{3}{5}$ грядки.
- Тимофей вскопал $\frac{5}{9}$ грядки.

Теперь, зная, какую часть грядки вскопал каждый брат, найдем оставшуюся для каждого часть. Целая грядка принимается за 1.

Андрей

Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из 1 вычесть вскопанную часть: $1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

Матвей

Оставшаяся для Матвея часть грядки: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Тимофей

Оставшаяся для Тимофея часть грядки: $1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

5.408 Выполните построения по алгоритму:

1) Приняв за единичный отрезок 24 клетки, начертите координатную прямую.

2) Отметьте точку M 14, отложите влево от неё отрезок МК, равный 524 единичного отрезка, и найдите координату точки К.

3) Отложите от точки К вправо отрезок КР, равный 924 единичного отрезка, и найдите координату точки Р.

Как можно по-другому найти координаты точек К и Р?

1)

0 K M P 1
 $\frac{1}{24}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

2) K($\frac{1}{24}$). Чтобы отметить точку M($\frac{1}{4}$) нужно $24:4 · 1 = 6$ клеток отложить от нуля вправо. Чтобы отметить точку K, нужно отложить от точки M влево 5 клеток.

3) P($\frac{5}{12}$). Чтобы отметить точку P, нужно от точки K вправо отложить 9 клеток.

Координаты точек K и P можно найти, выполнив следующие действия:

$\frac{1}{4} - \frac{5}{24} = \frac{1 · 6}{4 · 6} - \frac{5}{24} = \frac{6}{24} - \frac{5}{24} = \frac{1}{24}$
координата точки K

$\frac{1}{24} + \frac{9}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5 · 2}{12 · 2} = \frac{5}{12}$
координата точки P.

1) Приняв за единичный отрезок 24 клетки, начертите координатную прямую.

Начертим горизонтальную прямую, выберем на ней начало отсчета — точку О с координатой 0. Отложим вправо от точки О 24 клетки и поставим точку с координатой 1. Отрезок между 0 и 1 является единичным отрезком.

2) Отметьте точку $M\left(\frac{1}{4}\right)$, отложите влево от неё отрезок MK, равный $\frac{5}{24}$ единичного отрезка, и найдите координату точки K.

Координата точки М равна $\frac{1}{4}$. Чтобы найти ее положение на прямой в клетках, умножим ее координату на длину единичного отрезка в клетках:

$\frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ клеток.

Значит, точка М находится на расстоянии 6 клеток вправо от начала отсчета.

От точки М нужно отложить влево отрезок MK, равный $\frac{5}{24}$ единичного отрезка. "Влево" означает движение в сторону уменьшения координат, поэтому для нахождения координаты точки K нужно из координаты точки M вычесть длину отрезка MK.

Координата К = (Координата М) - (длина MK)

$k = \frac{1}{4} - \frac{5}{24}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 24:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$

Теперь выполним вычитание:

$k = \frac{6}{24} - \frac{5}{24} = \frac{6 - 5}{24} = \frac{1}{24}$

Ответ: координата точки K равна $\frac{1}{24}$.

3) Отложите от точки К вправо отрезок КР, равный $\frac{9}{24}$ единичного отрезка, и найдите координату точки Р.

Координата точки K равна $\frac{1}{24}$. От нее нужно отложить вправо отрезок КР, равный $\frac{9}{24}$ единичного отрезка. "Вправо" означает движение в сторону увеличения координат, поэтому для нахождения координаты точки P нужно к координате точки K прибавить длину отрезка KP.

Координата P = (Координата K) + (длина KP)

$p = \frac{1}{24} + \frac{9}{24}$

Выполним сложение:

$p = \frac{1 + 9}{24} = \frac{10}{24}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{10 \div 2}{24 \div 2} = \frac{5}{12}$

Ответ: координата точки P равна $\frac{10}{24}$ (или $\frac{5}{12}$).

Как можно по-другому найти координаты точек K и P?

Альтернативный способ заключается в том, чтобы все вычисления проводить в клетках, а затем перевести итоговый результат обратно в координату (долю единичного отрезка).

1. Найдем положение точки M в клетках от начала отсчета: $\frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ клеток.

2. Найдем длину отрезка MK в клетках: $\frac{5}{24} \cdot 24 = 5$ клеток.

3. Найдем положение точки K в клетках. Так как отрезок откладывается влево от М, вычитаем: $6 - 5 = 1$ клетка от начала отсчета.

4. Найдем длину отрезка KP в клетках: $\frac{9}{24} \cdot 24 = 9$ клеток.

5. Найдем положение точки P в клетках. Так как отрезок откладывается вправо от K, прибавляем: $1 + 9 = 10$ клеток от начала отсчета.

6. Теперь переведем положения точек K и P из клеток в координаты, разделив их положение в клетках на величину единичного отрезка (24 клетки):

Координата K: $\frac{1}{24}$.

Координата P: $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.

Результаты совпадают с первым способом.

Ответ: Координаты можно найти, сначала вычислив положение точек в клетках на координатной прямой, а затем переведя это расстояние в доли единичного отрезка.