Страница 63, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.134 Отец старше сына на b лет. Сколько лет отцу, если сыну х лет? Составьте выражение и найдите его значение при:

а) x = 11, b = 33;

б) x = 15, b = 40.

Ответ: (х + в) лет; а) 44 год; б) 55 лет.

Для решения задачи сначала составим общее выражение для нахождения возраста отца.

Пусть возраст сына равен $x$ лет. По условию, отец старше сына на $b$ лет. Это означает, что возраст отца можно найти, прибавив к возрасту сына разницу в возрасте.

Таким образом, выражение для возраста отца имеет вид: $x + b$.

Теперь подставим в это выражение конкретные значения из каждого подпункта и найдем возраст отца.

а) При $x = 11$ и $b = 33$:
Подставляем значения в выражение: $11 + 33 = 44$.
Ответ: отцу 44 года.

б) При $x = 15$ и $b = 40$:
Подставляем значения в выражение: $15 + 40 = 55$.
Ответ: отцу 55 лет.

2.135 В 6 утра термометр показал температуру t °C, а к полудню температура поднялась на р °C. Какую температуру показывал термометр в полдень? Составьте выражение и найдите его значение при:

a) t = 19, p = 7;

б) t = 15, p = 11.

Ответ: (t + р) °С; а) 26 °С; б) 26 °С.

Чтобы найти температуру, которую показывал термометр в полдень, нужно к температуре в 6 утра прибавить значение, на которое она поднялась.

Пусть $t$ — температура в 6 утра, а $p$ — значение, на которое температура поднялась. Тогда температура в полдень $T$ будет вычисляться по формуле:

$T = t + p$

Теперь найдем значения для каждого случая.

а) При $t = 19$ и $p = 7$:

Подставим данные значения в выражение:

$T = 19 + 7 = 26$ (°C)

Ответ: 26 °C.

б) При $t = 15$ и $p = 11$:

Подставим данные значения в выражение:

$T = 15 + 11 = 26$ (°C)

Ответ: 26 °C.

2.136 Дочери с лет, а её мама на m лет старше. Сколько лет маме? При любых ли значениях c и m задача имеет смысл? Составьте выражение и найдите его значение при:

а) c = 3, m = 21;

б) c = 10, m = 25?

Задача имеет смысл не при любых значениях с и m, так как возраст мамы должен быть больше на минимальный возраст материнства.

Слишком большие значения с и m также быть не могут, так как средняя продолжительность жизни меньше, чем 100 лет.

Ответ: (с + m) лет; а) 24 года; б) 35 лет.

Для того чтобы найти, сколько лет маме, нужно к возрасту дочери прибавить разницу в возрасте. Пусть возраст дочери — $c$ лет, а мама старше ее на $m$ лет. Тогда возраст мамы можно выразить формулой: $c + m$.

Задача имеет смысл не при любых значениях $c$ и $m$. Возраст не может быть отрицательным, поэтому возраст дочери $c$ должен быть неотрицательным числом ($c \ge 0$). Так как по условию мама старше дочери, то разница в возрасте $m$ должна быть положительным числом ($m > 0$). С точки зрения реальной жизни, разница в возрасте $m$ должна быть не менее минимального возраста материнства (например, $m > 15$).

а) Подставим значения $c = 8$ и $m = 21$ в составленное выражение:
$8 + 21 = 29$ (лет).
Ответ: 29 лет.

б) Подставим значения $c = 10$ и $m = 25$ в составленное выражение:
$10 + 25 = 35$ (лет).
Ответ: 35 лет.

2.137 Цена куртки n р., а цена джинсов m р. Какой смысл имеет выражение:

а) n - m;

б) n + m;

в) 25 000 - (n + m)?

Куртка — n р.
Джинсы — m р.

а) n - m;

На сколько рублей куртка дороже, чем джинсы.

б) n + m;

Сколько рублей нужно заплатить за всю посуду, если купим куртку и джинсы.

в) Сколько рублей сдачи должны получить покупатель, если он внёс в кассу 25000 р. за покупку куртки и джинсов.

а) n – m;

По условию задачи, цена куртки составляет $n$ рублей, а цена джинсов — $m$ рублей. Выражение $n - m$ представляет собой разность цен куртки и джинсов. Эта разность показывает, на сколько рублей цена куртки больше цены джинсов (или на сколько джинсы дешевле куртки).

Ответ: Выражение $n - m$ показывает, на сколько рублей куртка дороже джинсов.

б) n + m;

Цена куртки — $n$ рублей, цена джинсов — $m$ рублей. Выражение $n + m$ представляет собой сумму цен куртки и джинсов. Эта сумма показывает общую стоимость покупки одной куртки и одних джинсов.

Ответ: Выражение $n + m$ показывает суммарную стоимость куртки и джинсов.

в) 25 000 – (n + m)?

Как мы выяснили в пункте б), выражение $n + m$ — это общая стоимость куртки и джинсов. Выражение $25 000 - (n + m)$ представляет собой разность между суммой в $25 000$ рублей и общей стоимостью покупки. Это можно интерпретировать как сдачу, которую получит покупатель, если он расплатится за куртку и джинсы, имея $25 000$ рублей.

Ответ: Выражение $25 000 - (n + m)$ показывает, какую сдачу получит покупатель с $25 000$ рублей при покупке куртки и джинсов.

2.138 На отрезке CD лежит точка М, как показано па рисунке 2.13. Найдите отрезок MD, составив выражение, и вычислите его значение при n=23; n=8; n=5.

СМ = 4 см; CD = n см;

MD = CD - CM = (n - 4) см

при n = 23
MD = 23 - 4 = 19 (см)

при n = 8
MD = 8 - 4 = 4 (см)

при n = 5
MD = 5 - 4 = 1 (см)

Для решения задачи воспользуемся свойством измерения отрезков. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $CD$, то длина всего отрезка $CD$ равна сумме длин его частей, отрезков $CM$ и $MD$. Это можно записать в виде формулы:

$CD = CM + MD$

По условию задачи, нам известны длины отрезков: $CD = n$ см и $CM = 4$ см. Чтобы найти длину отрезка $MD$, выразим ее из формулы, вычитая из длины всего отрезка длину его известной части:

$MD = CD - CM$

Подставив данные из условия, мы получим искомое выражение для длины отрезка $MD$:

$MD = n - 4$ (см)

Теперь, используя это выражение, вычислим длину отрезка $MD$ для каждого заданного значения $n$.

при n = 23
$MD = 23 - 4 = 19$ (см)
Ответ: 19 см

при n = 8
$MD = 8 - 4 = 4$ (см)
Ответ: 4 см

при n = 5
$MD = 5 - 4 = 1$ (см)
Ответ: 1 см

2.139 Периметр треугольника АВС равен p см. Найдите сторону АВ треугольника, если ВС = c см и АС = 10 см. Составьте выражение и вычислите его значение при:

а) c = 8, p = 24;

б) c = 9, p = 26.

Р = р см

ВС = с см

АС = 10 см

АВ = Р - (ВС + АС)

АВ = р - (с + 10) см

а) при с = 8; р = 24;

$\mathrm{АВ} = 24 - (8 \stackrel{18}{+} 10)$ = 24 - 18 = 6 (см)

б) при с = 9; р = 26;

$\mathrm{АВ} = 26 - (9 \stackrel{19}{+} 10)$ = 26 - 19 = 7 (см)

Ответ: р - (с + 10); а ) 6 см; б) 7 см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

По условию задачи, периметр $P_{ABC} = p$ см, сторона $BC = c$ см и сторона $AC = 10$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:

$p = AB + c + 10$

Чтобы найти длину стороны $AB$, выразим ее из этого уравнения. Для этого вычтем из периметра $p$ длины двух других известных сторон ($c$ и $10$):

$AB = p - c - 10$

Это и есть искомое выражение для нахождения стороны $AB$. Теперь вычислим его значение для каждого из случаев.

а)

При $c = 8$ и $p = 24$ подставляем эти значения в полученное выражение:

$AB = 24 - 8 - 10 = 16 - 10 = 6$ (см).

Ответ: $6$ см.

б)

При $c = 9$ и $p = 26$ подставляем эти значения в выражение:

$AB = 26 - 9 - 10 = 17 - 10 = 7$ (см).

Ответ: $7$ см.

2.140 Проведите координатную прямую и отметьте точки, как на рисунке 2.14. Отметьте на прямой точку М(b + 4) и точку N(b - 3).

В задаче дана координатная прямая с отмеченными на ней точками: $O$ с координатой 0 (начало отсчета), $E$ с координатой 1 (задает единичный отрезок) и $B$ с координатой $b$. Необходимо на этой прямой отметить еще две точки: $M$ с координатой $b+4$ и $N$ с координатой $b-3$.

Построение точки $M(b+4)$

Координата точки $M$ равна $b+4$. Это означает, что точка $M$ удалена от точки $B(b)$ на 4 единицы в положительном направлении (вправо). Чтобы отметить точку $M$, нужно от точки $B$ отложить вправо расстояние, равное четырем единичным отрезкам (то есть, четырем длинам отрезка $OE$). Таким образом, точка $M$ будет расположена на прямой правее точки $B$.

Построение точки $N(b-3)$

Координата точки $N$ равна $b-3$. Это означает, что точка $N$ удалена от точки $B(b)$ на 3 единицы в отрицательном направлении (влево). Чтобы отметить точку $N$, нужно от точки $B$ отложить влево расстояние, равное трем единичным отрезкам (трем длинам отрезка $OE$).

Положение точки $N$ относительно других точек на прямой зависит от конкретного значения $b$. На исходном рисунке видно, что расстояние от $O$ до $B$ больше, чем три единичных отрезка ($b > 3$). Исходя из этого, координата $b-3$ будет положительным числом, то есть точка $N$ будет лежать правее начала отсчета, точки $O$. Также можно заметить, что $b$ не намного больше 3 (визуально $b \approx 3.5$), поэтому значение $b-3$ будет меньше 1. Следовательно, точка $N$ будет расположена на отрезке $OE$, то есть между точками $O$ и $E$.

Собрав все точки на одной прямой, мы получим следующую последовательность (при движении слева направо): $O$, $N$, $E$, $B$, $M$.

Ответ: Для того чтобы отметить точку $M(b+4)$, необходимо отступить от точки $B(b)$ на 4 единичных отрезка вправо. Для того чтобы отметить точку $N(b-3)$, необходимо отступить от точки $B(b)$ на 3 единичных отрезка влево. Исходя из расположения точек на исходном рисунке, где $b > 3$, итоговый порядок точек на координатной прямой слева направо будет: $O(0)$, $N(b-3)$, $E(1)$, $B(b)$, $M(b+4)$.

2.141 Проведите координатную прямую и отметьте точки, как на рисунке 2.15. Отметьте на прямой точку М(х+5) и точку К(х-5).

Для решения задачи проведем координатную прямую и отметим на ней точки так, как это сделано на рисунке 2.15. У нас есть:

• Точка O (начало отсчета) с координатой 0.
• Точка N с координатой 5.
• Точка A с координатой $x$.

Из рисунка видно, что точка A находится правее точки N, следовательно, координата $x$ больше 5 ($x > 5$).

Теперь нам нужно отметить на этой прямой две новые точки: $M(x + 5)$ и $K(x - 5)$.

1. Нахождение точки M(x + 5)

Координата точки M равна $x + 5$. Это означает, что она на 5 единиц больше, чем координата точки A. Следовательно, точка M будет расположена на 5 единиц правее точки A. Расстояние между точками O(0) и N(5) равно $5 - 0 = 5$. Значит, чтобы найти точку M, нужно от точки A отложить вправо (в направлении увеличения координат) отрезок, равный по длине отрезку ON.

2. Нахождение точки K(x - 5)

Координата точки K равна $x - 5$. Это означает, что она на 5 единиц меньше, чем координата точки A. Следовательно, точка K будет расположена на 5 единиц левее точки A. Чтобы найти точку K, нужно от точки A отложить влево (в направлении уменьшения координат) отрезок, равный по длине отрезку ON.

В итоге точка A будет являться серединой отрезка KM, так как расстояния AK и AM равны 5. Изобразим получившуюся координатную прямую:

Ответ: Чтобы отметить точку $M(x+5)$, нужно от точки $A(x)$ отступить на 5 единиц вправо. Чтобы отметить точку $K(x-5)$, нужно от точки $A(x)$ отступить на 5 единиц влево. Расстояние в 5 единиц, на которое нужно отступить, равно длине отрезка ON.

2.142 С помощью букв m, n и k запишите свойство 2. Подставьте значения букв: m = 8946, n = 9637, k = 10 308 - и проверьте получившееся числовое равенство. Как называется это свойство сложения?

m + (n +k) = (m +n) + k = m + n + k

m = 8946, n = 9637, k = 10308

$8946 \stackrel{2}{+} (9637 \stackrel{1}{+} 10308) = 28891$

(8946 + 9637) + 10308 = 28891

8946 + 9637 + 10308 = 28891

Сочетательное свойство сложения.

1. Запись свойства и его проверка

Свойство 2, о котором идет речь в задаче, — это сочетательное свойство сложения. С помощью букв $m$, $n$ и $k$ оно записывается в виде следующего равенства:

$ (m + n) + k = m + (n + k) $

Теперь подставим в это равенство заданные числовые значения: $m = 8946$, $n = 9637$, $k = 10308$ и проверим, будет ли оно верным.

Проверим левую часть равенства:

$ (m + n) + k = (8946 + 9637) + 10308 $

1) Сначала выполним сложение в скобках: $ 8946 + 9637 = 18583 $

2) Затем к полученному результату прибавим $k$: $ 18583 + 10308 = 28891 $

Проверим правую часть равенства:

$ m + (n + k) = 8946 + (9637 + 10308) $

1) Сначала выполним сложение в скобках: $ 9637 + 10308 = 19945 $

2) Затем к $m$ прибавим полученный результат: $ 8946 + 19945 = 28891 $

Сравним результаты: левая часть равна 28891 и правая часть равна 28891. Так как $ 28891 = 28891 $, числовое равенство верно.

Ответ: свойство в буквенном виде: $(m + n) + k = m + (n + k)$. Получившееся числовое равенство $(8946 + 9637) + 10308 = 8946 + (9637 + 10308)$ является верным, так как обе его части равны 28891.

2. Название свойства сложения

Данное свойство сложения, которое позволяет группировать слагаемые в любом порядке, не изменяя при этом их сумму, называется сочетательным свойством сложения (или ассоциативностью сложения).

Ответ: сочетательное свойство сложения.

2.143 С помощью букв m, n и k запишите свойство 4. Подставьте значения букв: m = 423, n = 254, k = 71 - и проверьте получившееся числовое равенство. Как называется это свойство?

m - (n +k) = m - n - k

m = 423, n = 254, k = 71

$423 \stackrel{2}{-} (254 \stackrel{1}{+} 71) = 98$

423 - 254 - 71 = 98

Свойство вычитания суммы из числа.

2.144 С помощью букв m, n и k запишите свойство 5 двумя способами. Подставьте значения букв: a) m = 76, n = 19, k = 46; б) m = 103, n = 108, k = 105. Проверьте получившиеся числовые равенства.

(m + n) - k = m + (n - k), если n > n или n = k;

(m + n) - k = (m - k) + n, если m > k или m = k.

а) m = 76 ; n = 19; k = 46;

(76 + 19) - 46 = (76 - 46) + 19

76 - 46 = 30
30 + 19 = 49

б) m = 103 ; n = 108; k = 105;

(103 + 108) - 105 = 103 + (108 - 105)

108 - 105 = 3
103 + 3 = 106

Свойство 5, о котором идет речь в задаче, — это свойство вычитания числа из суммы. Его можно записать двумя способами, используя буквы $m$, $n$ и $k$. Мы будем вычитать число $k$ из суммы $(m+n)$.

Первый способ: $(m+n)-k = (m-k)+n$

Второй способ: $(m+n)-k = m+(n-k)$

Теперь подставим числовые значения и проверим, выполняются ли эти равенства.

а)

Подставляем значения $m = 76$, $n = 19$, $k = 46$.

Проверяем первый способ:

$(76+19)-46 = (76-46)+19$

$95-46 = 30+19$

$49 = 49$

Равенство верное.

Проверяем второй способ:

$(76+19)-46 = 76+(19-46)$

$95-46 = 76+(-27)$

$49 = 49$

Равенство верное.

Ответ: Для $m = 76, n = 19, k = 46$ оба равенства верны. Первый способ: $(76+19)-46 = (76-46)+19 \implies 49 = 49$. Второй способ: $(76+19)-46 = 76+(19-46) \implies 49 = 49$.

б)

Подставляем значения $m = 103$, $n = 108$, $k = 105$.

Проверяем первый способ:

$(103+108)-105 = (103-105)+108$

$211-105 = -2+108$

$106 = 106$

Равенство верное.

Проверяем второй способ:

$(103+108)-105 = 103+(108-105)$

$211-105 = 103+3$

$106 = 106$

Равенство верное.

Ответ: Для $m = 103, n = 108, k = 105$ оба равенства верны. Первый способ: $(103+108)-105 = (103-105)+108 \implies 106 = 106$. Второй способ: $(103+108)-105 = 103+(108-105) \implies 106 = 106$.

2.145 а) Используя циркуль, отметьте точки N(n+m) и B(n-m) (рис. 2.16, а).

б) Объясните смысл сочетательного свойства сложения, используя рисунок 2.16, б.

в) Объясните остальные свойства сложения и вычитания, используя рисунки.

A(n + m), B(n - m)

O + m = m

Ставим ножку циркуля в точку О(o), а вторую ножку - в точку M(m). Раствор циркуля равен длине отрезка OM=m. Далее ставили ножку циркуля в точку N(n) и раствором циркуля, равным m, в право отмечаем точку A(n + m), а влево - точку B(n - m).

б) (m + k) + r = m + (k + r)

Если к m прибавит k, то мы из точки М придем в точку K(m + k). Если к m + k прибавит r, то мы из точки К придём в точку R (m + k + r), то есть (m + k) + r = m + k + r.

Если к m прибавить k + r, то мы из точки M придём в точку R (m + k + r), то есть m + (k + r) = m + k + r.

Следовательно, (m + k) + r = m + (k + r) = m + k + r.

в) 1) Переместительное свойство сложения

o + a = a; А(а)
o + в = в; B(в)

Если к а прибавить в, то мы из точки А(а) придём в точку С(а + в).

Если к в прибавить а, то мы из точки В(в) придём в точку С(а + в).

Следовательно, а + в = в + а.

2) Свойство вычитания суммы из числа

Если из а вычесть сумму чисел в и с, то мы из точки А(а) придём в точку С(а - в - с), то есть а - (в + с) = а - в - с.

Если из а вычесть в, то мы из точки А(а) придём в точку В(а - в).

Если из а - в вычесть с, то мы из точки В(а - в) придём в точку С(а - в - с), то есть (а - в) - с = а - в - с.

Следовательно, а - (в + с) = (а - в) - с = а - в - с.

3) Свойство вычитания числа из суммы (а + в) - с = а + (в - с), если в > c или в = с

АВ > BC; АС = АВ - ВС = в - с
в > c

Если к а прибавить в, то мы из точки А(а) придём в точку В(а +в).

Если из а + в вычесть с, то мы из точки В(а + в) придём в точку С((а + в) - с).

Если к а прибавить в - с, то мы из точки А(а) придём в точку С(а + (в - с)).

Следовательно, (а + в) - с = (а - с) + в, если а > c или а = с

АВ > АC; ВС = АВ - АС = а - с
а > c

Если к в прибавить а, то мы из точки В(в) придём в точку А(а + в). Если из а + в вычесть с, то мы из точки А(а +в) придём в точкуС((а + в) - с).

Если к в прибавить а - с, то мы из точки В(в) придём в точку С(в + (а - с)).

Следовательно, (а + в) - с = в + (а - с)

а)

Чтобы отметить на координатном луче точку $A$ с координатой $n + m$, необходимо к длине отрезка $ON$, равной $n$, прибавить длину отрезка $OM$, равную $m$. Для этого:

1. С помощью циркуля измеряем расстояние от точки $O$ (начало координат) до точки $M$. Это расстояние равно $m$.
2. Не меняя раствора циркуля, ставим его иголку в точку $N$ (координата $n$).
3. Проводим дугу, пересекающую луч справа от точки $N$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A(n + m)$.

Чтобы отметить точку $B$ с координатой $n - m$, необходимо из длины отрезка $ON$ вычесть длину отрезка $OM$. Для этого:

1. С помощью циркуля измеряем расстояние от точки $O$ до точки $M$ (длина $m$).
2. Не меняя раствора циркуля, ставим его иголку в точку $N$.
3. Проводим дугу, пересекающую луч слева от точки $N$ (в направлении к началу координат). Точка пересечения и будет искомой точкой $B(n - m)$.

Ответ: Построение точек $A$ и $B$ выполняется путем откладывания отрезка длиной $m$ (измеренного циркулем как расстояние $OM$) от точки $N$ вправо для сложения и влево для вычитания.

б)

Сочетательное свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, то есть $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Рисунок 2.16, б наглядно иллюстрирует это свойство:

• Верхний путь (розовые дуги) показывает последовательное сложение. Сначала к числу $m$ (координата точки $M$) прибавляют число $k$. В результате перемещаемся в точку $K$. Ее координата равна $(m + k)$. Затем к полученному результату прибавляют число $r$, перемещаясь в точку $R$. Координата точки $R$ получается равной $(m + k) + r$.
• Нижний путь (длинная розовая дуга) показывает другой порядок действий. К числу $m$ (координата точки $M$) сразу прибавляют сумму чисел $k$ и $r$, то есть величину $(k + r)$. В результате мы попадаем в ту же самую точку $R$. В этом случае ее координата записывается как $m + (k + r)$.

Поскольку оба способа приводят в одну и ту же конечную точку $R$, результаты этих вычислений равны. Таким образом, рисунок показывает, что $(m + k) + r = m + (k + r)$. Это и есть геометрический смысл сочетательного свойства сложения: результат сложения не зависит от группировки слагаемых.

Ответ: Рисунок показывает, что результат сложения чисел $m$, $k$ и $r$ не зависит от того, в каком порядке производятся сложения: можно сначала сложить $m$ и $k$, а потом прибавить $r$, а можно к $m$ прибавить сумму $k$ и $r$. В обоих случаях итоговая точка на луче будет одна и та же.

в)

Используя данные рисунки, можно объяснить и другие свойства сложения и вычитания.

1. Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$.
На рисунке 2.16, а, чтобы найти $n + m$, мы откладываем от точки $N$ вправо отрезок, равный $OM$. Чтобы найти $m + n$, мы бы отложили от точки $M$ вправо отрезок, равный $ON$. В обоих случаях мы получим одну и ту же точку, так как итоговое расстояние от начала координат $O$ будет равно сумме длин отрезков $OM$ и $ON$. Значит, $n + m = m + n$.

2. Свойства нуля:
- Сложение с нулем: $a + 0 = a$. Если к координате точки $M$, равной $m$, прибавить 0, это означает, что мы не сдвигаемся с места. Таким образом, $m + 0 = m$.
- Вычитание нуля: $a - 0 = a$. Аналогично, если из координаты $m$ вычесть 0, мы остаемся в точке $M$. Таким образом, $m - 0 = m$.

3. Вычитание числа из самого себя: $a - a = 0$.
Если из координаты точки $M$, равной $m$, вычесть число $m$, это означает, что от точки $M$ нужно переместиться влево на расстояние $m$. Расстояние от $M$ до начала координат $O$ как раз равно $m$. Значит, мы попадем в точку $O$, координата которой равна 0. Таким образом, $m - m = 0$.

4. Связь сложения и вычитания.
На рисунке 2.16, б показано, что если к $m$ прибавить $k$, получится координата точки $K$: $m + k = \text{коорд}(K)$. Если же из координаты точки $K$ вычесть $k$, то есть выполнить действие $(\text{коорд}(K)) - k$, мы вернемся в точку $M$. Это означает, что $(m + k) - k = m$. Это показывает, что вычитание является действием, обратным сложению.

Ответ: Переместительное свойство сложения можно показать, меняя порядок откладывания отрезков на луче. Свойства нуля означают, что мы остаемся в той же точке. Вычитание числа из самого себя означает возврат в начало координат. Связь сложения и вычитания демонстрируется как прямое и обратное перемещение между точками на луче.

5.371 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) Даны дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{12}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели данных дробей — 6 и 12.

Поскольку 12 делится на 6 без остатка ($12 \div 6 = 2$), то НОК(6, 12) = 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.

Дробь $\frac{7}{12}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для дроби $\frac{5}{6}$ найдем дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на ее знаменатель: $12 \div 6 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{6}$ на дополнительный множитель 2:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

В результате мы привели дроби к наименьшему общему знаменателю.

Ответ: $\frac{10}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

б) Даны дроби $\frac{8}{15}$ и $\frac{3}{5}$.

Знаменатели дробей — 15 и 5.

Наименьшее общее кратное для 15 и 5 это 15, так как $15 \div 5 = 3$. Значит, наименьший общий знаменатель равен 15.

Дробь $\frac{8}{15}$ уже имеет знаменатель 15.

Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель равен $15 \div 5 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{5}$ на 3:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Получили дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю.

Ответ: $\frac{8}{15}$ и $\frac{9}{15}$.

в) Даны дроби $\frac{7}{16}$ и $\frac{3}{8}$.

Знаменатели дробей — 16 и 8.

Наименьшее общее кратное для 16 и 8 это 16, так как $16 \div 8 = 2$. Наименьший общий знаменатель равен 16.

Дробь $\frac{7}{16}$ уже приведена к нужному знаменателю.

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель равен $16 \div 8 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{8}$ на 2:

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{6}{16}$

Получили дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю.

Ответ: $\frac{7}{16}$ и $\frac{6}{16}$.

г) Даны дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{21}{40}$.

Знаменатели дробей — 10 и 40.

Наименьшее общее кратное для 10 и 40 это 40, так как $40 \div 10 = 4$. Наименьший общий знаменатель равен 40.

Дробь $\frac{21}{40}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для дроби $\frac{7}{10}$ дополнительный множитель равен $40 \div 10 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{10}$ на 4:

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{28}{40}$

Получили дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю.

Ответ: $\frac{28}{40}$ и $\frac{21}{40}$.

5.372 Выполните задание согласно алгоритму:

1) Приведите дроби 38 и 512 к общему знаменателю 24.

2) Сравните полученные дроби.

Аналогично сравните дроби 1115 и 710.

1) Приведите дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$ к общему знаменателю 24.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый, а затем умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Для дроби $\frac{3}{8}$ найдем дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.
Умножим числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.

Для дроби $\frac{5}{12}$ найдем дополнительный множитель: $24 \div 12 = 2$.
Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.

Ответ: $\frac{9}{24}$ и $\frac{10}{24}$.

2) Сравните полученные дроби.

Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{9}{24}$ и $\frac{10}{24}$.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{24} < \frac{10}{24}$.
Следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{9}{24} < \frac{10}{24}$.

Аналогично сравните дроби $\frac{11}{15}$ и $\frac{7}{10}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{15}$ и $\frac{7}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 15 и 10.

НОК(15, 10) = 30.

Приведем дробь $\frac{11}{15}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель: $30 \div 15 = 2$.
$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{22}{30}$.

Приведем дробь $\frac{7}{10}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель: $30 \div 10 = 3$.
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{22}{30}$ и $\frac{21}{30}$.
Так как $22 > 21$, то $\frac{22}{30} > \frac{21}{30}$.
Следовательно, $\frac{11}{15} > \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{11}{15} > \frac{7}{10}$.

5.373 Выполните действия по алгоритму:

1) Приведите дроби 56 и 38 к общему знаменателю.

2) Сложите полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

3) Выделите целую часть дроби.

1) Приведите дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$ к общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 6 и 8. Наименьшее число, которое делится и на 6, и на 8, — это 24. Следовательно, общий знаменатель равен 24.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.

Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель: $24 \div 6 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{6}$ на 4:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$

Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{8}$ на 3:

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

Ответ: $\frac{20}{24}$ и $\frac{9}{24}$.

2) Сложите полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Сложим дроби, полученные в первом шаге: $\frac{20}{24}$ и $\frac{9}{24}$. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями их числители складываются, а знаменатель остается без изменений.

$\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20 + 9}{24} = \frac{29}{24}$

Ответ: $\frac{29}{24}$.

3) Выделите целую часть дроби.

Дробь $\frac{29}{24}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Чтобы выделить целую часть, разделим числитель на знаменатель с остатком.

$29 \div 24 = 1$ и остаток $5$ ($29 = 1 \cdot 24 + 5$).

Неполное частное от деления (1) становится целой частью, остаток (5) — числителем дробной части, а знаменатель (24) остается прежним.

$\frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$

Ответ: $1\frac{5}{24}$.

5.374 Выполните действия по алгоритму:

1) Приведите дробные части смешанных чисел 312 и 1118 к общему знаменателю.

2) Выполните вычитание полученных чисел.

3) Сократите дробную часть полученного результата.

1) Приведите дробные части смешанных чисел $3\frac{1}{2}$ и $1\frac{1}{18}$ к общему знаменателю.

Дробные части данных смешанных чисел — это $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{18}$. Их знаменатели равны 2 и 18. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 18 делится на 2 ($18 \div 2 = 9$), наименьшим общим знаменателем будет 18.

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 18. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 9:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$

Дробная часть второго числа, $\frac{1}{18}$, уже имеет знаменатель 18, поэтому ее изменять не нужно.

В результате мы получаем смешанные числа $3\frac{9}{18}$ и $1\frac{1}{18}$.

Ответ: $3\frac{9}{18}$ и $1\frac{1}{18}$.

2) Выполните вычитание полученных чисел.

Теперь выполним вычитание чисел, полученных в первом пункте: $3\frac{9}{18}$ и $1\frac{1}{18}$. При вычитании смешанных чисел мы отдельно вычитаем их целые части и отдельно — дробные.

$3\frac{9}{18} - 1\frac{1}{18} = (3 - 1) + (\frac{9}{18} - \frac{1}{18})$

Вычитаем целые части:

$3 - 1 = 2$

Вычитаем дробные части:

$\frac{9}{18} - \frac{1}{18} = \frac{9-1}{18} = \frac{8}{18}$

Соединяем целую и дробную части:

$2 + \frac{8}{18} = 2\frac{8}{18}$

Ответ: $2\frac{8}{18}$.

3) Сократите дробную часть полученного результата.

Результат, полученный во втором пункте, — это смешанное число $2\frac{8}{18}$. Его дробная часть равна $\frac{8}{18}$. Эту дробь можно сократить.

Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель (НОД) ее числителя (8) и знаменателя (18).

НОД(8, 18) = 2.

Разделим числитель и знаменатель дроби на 2:

$\frac{8}{18} = \frac{8 \div 2}{18 \div 2} = \frac{4}{9}$

Таким образом, итоговый результат после сокращения дробной части: $2\frac{4}{9}$.

Ответ: $2\frac{4}{9}$.

5.375 Вычислите.

а)
Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий с результатом предыдущего действия.
1) $60 - 36 = 24$
2) $24 : 3 = 8$
3) $8 : 4 = 2$
4) $2 + 27 = 29$
5) $29 : 3 = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$
Ответ: $9\frac{2}{3}$

б)
Выполним вычисления по порядку:
1) $55 + 25 = 80$
2) $80 : 5 = 16$
3) $16 + 7 = 23$
4) $23 \cdot 3 = 69$
5) $69 + 31 = 100$
Ответ: 100

в)
Выполним вычисления по порядку:
1) $75 : 25 = 3$
2) $3 \cdot 15 = 45$
3) $45 : 9 = 5$
4) $5 \cdot 12 = 60$
5) $60 + 240 = 300$
Ответ: 300

г)
Выполним вычисления по порядку:
1) $15 \cdot 6 = 90$
2) $90 - 39 = 51$
3) $51 : 17 = 3$
4) $3 \cdot 18 = 54$
5) $54 + 46 = 100$
Ответ: 100

д)
Выполним вычисления по порядку:
1) $45 + 30 = 75$
2) $75 : 15 = 5$
3) $5 \cdot 20 = 100$
4) $100 - 34 = 66$
5) $66 : 11 = 6$
Ответ: 6

5.376 Найдите число по схеме алгоритма при:

а) х = 4;

б) х = 3;

в) х = 8;

г) х = 9.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить действия, указанные в схеме алгоритма, для каждого заданного значения $x$.

а) Для $x = 4$:

1. Вычисляем результат первых двух операций: $4 : 2 - 1 = 2 - 1 = 1$.

2. Полученное число `1` является натуральным, поэтому следуем по ветке "да".

3. Выполняем последовательность операций на ветке "да":

Сначала делим на 2: $1 : 2 = 0.5$.

Затем прибавляем $3 \frac{1}{2}$: $0.5 + 3 \frac{1}{2} = 0.5 + 3.5 = 4$.

Наконец, умножаем на 10: $4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 40.

б) Для $x = 3$:

1. Вычисляем результат первых двух операций: $3 : 2 - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$.

2. Полученное число `0.5` не является натуральным, поэтому следуем по ветке "нет".

3. Выполняем последовательность операций на ветке "нет":

Сначала вычитаем $\frac{1}{2}$: $0.5 - \frac{1}{2} = 0.5 - 0.5 = 0$.

Затем умножаем на 25: $0 \cdot 25 = 0$.

Наконец, делим на 4: $0 : 4 = 0$.

Ответ: 0.

в) Для $x = 8$:

1. Вычисляем результат первых двух операций: $8 : 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

2. Полученное число `3` является натуральным, поэтому следуем по ветке "да".

3. Выполняем последовательность операций на ветке "да":

Сначала делим на 2: $3 : 2 = 1.5$.

Затем прибавляем $3 \frac{1}{2}$: $1.5 + 3 \frac{1}{2} = 1.5 + 3.5 = 5$.

Наконец, умножаем на 10: $5 \cdot 10 = 50$.

Ответ: 50.

г) Для $x = 9$:

1. Вычисляем результат первых двух операций: $9 : 2 - 1 = 4.5 - 1 = 3.5$.

2. Полученное число `3.5` не является натуральным, поэтому следуем по ветке "нет".

3. Выполняем последовательность операций на ветке "нет":

Сначала вычитаем $\frac{1}{2}$: $3.5 - \frac{1}{2} = 3.5 - 0.5 = 3$.

Затем умножаем на 25: $3 \cdot 25 = 75$.

Наконец, делим на 4: $75 : 4 = 18.75$.

Ответ: 18.75.

5.377 Чтобы получить 72, на какое число надо умножить 36, 4, 9, 6 и 18?

Чтобы найти, на какое число нужно умножить каждое из предложенных чисел для получения 72, необходимо выполнить операцию деления: разделить 72 на каждое из этих чисел.

36
Для нахождения неизвестного множителя разделим 72 на 36:
$72 \div 36 = 2$
Проверка: $36 \times 2 = 72$.
Ответ: чтобы получить 72, число 36 надо умножить на 2.

4
Для нахождения неизвестного множителя разделим 72 на 4:
$72 \div 4 = 18$
Проверка: $4 \times 18 = 72$.
Ответ: чтобы получить 72, число 4 надо умножить на 18.

9
Для нахождения неизвестного множителя разделим 72 на 9:
$72 \div 9 = 8$
Проверка: $9 \times 8 = 72$.
Ответ: чтобы получить 72, число 9 надо умножить на 8.

6
Для нахождения неизвестного множителя разделим 72 на 6:
$72 \div 6 = 12$
Проверка: $6 \times 12 = 72$.
Ответ: чтобы получить 72, число 6 надо умножить на 12.

18
Для нахождения неизвестного множителя разделим 72 на 18:
$72 \div 18 = 4$
Проверка: $18 \times 4 = 72$.
Ответ: чтобы получить 72, число 18 надо умножить на 4.

5.378 Представьте в виде несократимой дроби дробь:

a) $\frac{30}{36} = \frac{6 · 5}{6 · 6} = \frac{5}{6}$,

б) $\frac{250}{200} = \frac{5 · 50}{4 · 50} = \frac{5}{4}$,

в) $\frac{180}{270} = \frac{2 · 90}{3 · 90} = \frac{2}{3}$)

г) $\frac{165}{330} = \frac{165 · 1}{165 · 2} = \frac{1}{2}$

а) Чтобы представить дробь $\frac{30}{36}$ в виде несократимой, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Сначала разложим числа 30 и 36 на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$36 = 2^2 \cdot 3^2$

Наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей в наименьшей степени, в которой они входят в разложения чисел.

НОД(30, 36) = $2 \cdot 3 = 6$.

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:
$\frac{30}{36} = \frac{30 \div 6}{36 \div 6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Чтобы представить дробь $\frac{250}{200}$ в виде несократимой, найдем НОД числителя 250 и знаменателя 200.

Так как оба числа оканчиваются на 0, мы можем сразу сократить дробь на 10:
$\frac{250}{200} = \frac{25}{20}$

Теперь найдем НОД для 25 и 20.
$25 = 5^2$
$20 = 2^2 \cdot 5$

НОД(25, 20) = 5.

Сократим дробь $\frac{25}{20}$, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{25}{20} = \frac{25 \div 5}{20 \div 5} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$

в) Чтобы представить дробь $\frac{180}{270}$ в виде несократимой, найдем НОД для 180 и 270.

Оба числа оканчиваются на 0, поэтому сократим дробь на 10:
$\frac{180}{270} = \frac{18}{27}$

Теперь найдем НОД для 18 и 27.
$18 = 2 \cdot 3^2$
$27 = 3^3$

НОД(18, 27) = $3^2 = 9$.

Сократим дробь $\frac{18}{27}$, разделив числитель и знаменатель на 9:
$\frac{18}{27} = \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Чтобы представить дробь $\frac{165}{330}$ в виде несократимой, нужно найти общий делитель.

Можно заметить, что знаменатель 330 ровно в два раза больше числителя 165, так как $165 \cdot 2 = 330$.

Поэтому можно сразу разделить числитель и знаменатель на 165:
$\frac{165}{330} = \frac{165 \div 165}{330 \div 165} = \frac{1}{2}$

Также можно найти НОД(165, 330) через разложение на простые множители:
$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$
$330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$
НОД(165, 330) = $3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

5.379 Сократите дробь и выделите целую часть:

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{18}{15} $ и выделить целую часть, выполним следующие шаги:

1. Сокращение дроби. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 18 и знаменателя 15.

Разложим числа на простые множители:
$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $

Общим множителем является 3, следовательно, НОД(18, 15) = 3.

Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:

$ \frac{18}{15} = \frac{18 \div 3}{15 \div 3} = \frac{6}{5} $

2. Выделение целой части. Полученная дробь $ \frac{6}{5} $ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Чтобы выделить целую часть, разделим числитель на знаменатель с остатком:

$ 6 \div 5 = 1 $ (остаток 1)

Целая часть равна 1, остаток (1) становится новым числителем, а знаменатель (5) остается без изменений.

$ \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{5} $

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{21}{14} $.

1. Сокращение дроби. Найдем НОД(21, 14).

Разложим на простые множители:
$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 14 = 2 \cdot 7 $

НОД(21, 14) = 7.

Сократим дробь:

$ \frac{21}{14} = \frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2} $

2. Выделение целой части. Разделим числитель 3 на знаменатель 2 с остатком:

$ 3 \div 2 = 1 $ (остаток 1)

Получаем смешанное число:

$ \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{2} $

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{55}{33} $.

1. Сокращение дроби. Найдем НОД(55, 33).

Разложим на простые множители:
$ 55 = 5 \cdot 11 $
$ 33 = 3 \cdot 11 $

НОД(55, 33) = 11.

Сократим дробь:

$ \frac{55}{33} = \frac{55 \div 11}{33 \div 11} = \frac{5}{3} $

2. Выделение целой части. Разделим 5 на 3 с остатком:

$ 5 \div 3 = 1 $ (остаток 2)

Получаем смешанное число:

$ \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} $

Ответ: $ 1 \frac{2}{3} $

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{168}{40} $.

1. Сокращение дроби. Найдем НОД(168, 40).

Разложим на простые множители:
$ 168 = 2 \cdot 84 = 2 \cdot 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 $
$ 40 = 2 \cdot 20 = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 $

НОД(168, 40) = $ 2^3 = 8 $.

Сократим дробь:

$ \frac{168}{40} = \frac{168 \div 8}{40 \div 8} = \frac{21}{5} $

2. Выделение целой части. Разделим 21 на 5 с остатком:

$ 21 \div 5 = 4 $ (остаток 1)

Получаем смешанное число:

$ \frac{21}{5} = 4 \frac{1}{5} $

Ответ: $ 4 \frac{1}{5} $

5.380 Найдите, при каком значении z верно равенство:

Чтобы найти значение z в каждом равенстве, мы будем использовать основное свойство пропорции или метод упрощения дробей. Равенство двух отношений (дробей) называется пропорцией.

а) $\frac{25}{45} = \frac{z}{9}$

Сначала упростим дробь в левой части равенства. Наибольший общий делитель для 25 и 45 — это 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9}$

Теперь наше равенство выглядит так:

$\frac{5}{9} = \frac{z}{9}$

Поскольку знаменатели дробей равны, для того чтобы равенство было верным, числители также должны быть равны. Следовательно, $z = 5$.

Ответ: 5.

б) $\frac{z}{7} = \frac{36}{42}$

Упростим дробь в правой части равенства. Наибольший общий делитель для 36 и 42 — это 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{36 \div 6}{42 \div 6} = \frac{6}{7}$

Теперь равенство имеет вид:

$\frac{z}{7} = \frac{6}{7}$

Так как знаменатели дробей равны, числители также должны быть равны. Отсюда $z = 6$.

Ответ: 6.

в) $\frac{39}{78} = \frac{3}{z}$

Упростим дробь в левой части. Мы видим, что $78 = 39 \cdot 2$. Значит, дробь можно сократить на 39:

$\frac{39 \div 39}{78 \div 39} = \frac{1}{2}$

Равенство принимает вид:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{z}$

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):

$1 \cdot z = 2 \cdot 3$

$z = 6$

Ответ: 6.

г) $\frac{7}{z} = \frac{35}{40}$

Упростим дробь в правой части равенства. Наибольший общий делитель для 35 и 40 — это 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{35 \div 5}{40 \div 5} = \frac{7}{8}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{7}{z} = \frac{7}{8}$

Поскольку числители дробей равны, для верности равенства знаменатели также должны быть равны. Следовательно, $z = 8$.

Ответ: 8.