Номер 2.145, страница 63, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

10. Числовые и буквенные выражения. § 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 2.145, страница 63.

2.145 а) Используя циркуль, отметьте точки N(n+m) и B(n-m) (рис. 2.16, а).

б) Объясните смысл сочетательного свойства сложения, используя рисунок 2.16, б.

в) Объясните остальные свойства сложения и вычитания, используя рисунки.

A(n + m), B(n - m)

O + m = m

Ставим ножку циркуля в точку О(o), а вторую ножку - в точку M(m). Раствор циркуля равен длине отрезка OM=m. Далее ставили ножку циркуля в точку N(n) и раствором циркуля, равным m, в право отмечаем точку A(n + m), а влево - точку B(n - m).

б) (m + k) + r = m + (k + r)

Если к m прибавит k, то мы из точки М придем в точку K(m + k). Если к m + k прибавит r, то мы из точки К придём в точку R (m + k + r), то есть (m + k) + r = m + k + r.

Если к m прибавить k + r, то мы из точки M придём в точку R (m + k + r), то есть m + (k + r) = m + k + r.

Следовательно, (m + k) + r = m + (k + r) = m + k + r.

в) 1) Переместительное свойство сложения

o + a = a; А(а)
o + в = в; B(в)

Если к а прибавить в, то мы из точки А(а) придём в точку С(а + в).

Если к в прибавить а, то мы из точки В(в) придём в точку С(а + в).

Следовательно, а + в = в + а.

2) Свойство вычитания суммы из числа

Если из а вычесть сумму чисел в и с, то мы из точки А(а) придём в точку С(а - в - с), то есть а - (в + с) = а - в - с.

Если из а вычесть в, то мы из точки А(а) придём в точку В(а - в).

Если из а - в вычесть с, то мы из точки В(а - в) придём в точку С(а - в - с), то есть (а - в) - с = а - в - с.

Следовательно, а - (в + с) = (а - в) - с = а - в - с.

3) Свойство вычитания числа из суммы (а + в) - с = а + (в - с), если в > c или в = с

АВ > BC; АС = АВ - ВС = в - с
в > c

Если к а прибавить в, то мы из точки А(а) придём в точку В(а +в).

Если из а + в вычесть с, то мы из точки В(а + в) придём в точку С((а + в) - с).

Если к а прибавить в - с, то мы из точки А(а) придём в точку С(а + (в - с)).

Следовательно, (а + в) - с = (а - с) + в, если а > c или а = с

АВ > АC; ВС = АВ - АС = а - с
а > c

Если к в прибавить а, то мы из точки В(в) придём в точку А(а + в). Если из а + в вычесть с, то мы из точки А(а +в) придём в точкуС((а + в) - с).

Если к в прибавить а - с, то мы из точки В(в) придём в точку С(в + (а - с)).

Следовательно, (а + в) - с = в + (а - с)

а)

Чтобы отметить на координатном луче точку $A$ с координатой $n + m$, необходимо к длине отрезка $ON$, равной $n$, прибавить длину отрезка $OM$, равную $m$. Для этого:

1. С помощью циркуля измеряем расстояние от точки $O$ (начало координат) до точки $M$. Это расстояние равно $m$.
2. Не меняя раствора циркуля, ставим его иголку в точку $N$ (координата $n$).
3. Проводим дугу, пересекающую луч справа от точки $N$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A(n + m)$.

Чтобы отметить точку $B$ с координатой $n - m$, необходимо из длины отрезка $ON$ вычесть длину отрезка $OM$. Для этого:

1. С помощью циркуля измеряем расстояние от точки $O$ до точки $M$ (длина $m$).
2. Не меняя раствора циркуля, ставим его иголку в точку $N$.
3. Проводим дугу, пересекающую луч слева от точки $N$ (в направлении к началу координат). Точка пересечения и будет искомой точкой $B(n - m)$.

Ответ: Построение точек $A$ и $B$ выполняется путем откладывания отрезка длиной $m$ (измеренного циркулем как расстояние $OM$) от точки $N$ вправо для сложения и влево для вычитания.

б)

Сочетательное свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, то есть $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Рисунок 2.16, б наглядно иллюстрирует это свойство:

• Верхний путь (розовые дуги) показывает последовательное сложение. Сначала к числу $m$ (координата точки $M$) прибавляют число $k$. В результате перемещаемся в точку $K$. Ее координата равна $(m + k)$. Затем к полученному результату прибавляют число $r$, перемещаясь в точку $R$. Координата точки $R$ получается равной $(m + k) + r$.
• Нижний путь (длинная розовая дуга) показывает другой порядок действий. К числу $m$ (координата точки $M$) сразу прибавляют сумму чисел $k$ и $r$, то есть величину $(k + r)$. В результате мы попадаем в ту же самую точку $R$. В этом случае ее координата записывается как $m + (k + r)$.

Поскольку оба способа приводят в одну и ту же конечную точку $R$, результаты этих вычислений равны. Таким образом, рисунок показывает, что $(m + k) + r = m + (k + r)$. Это и есть геометрический смысл сочетательного свойства сложения: результат сложения не зависит от группировки слагаемых.

Ответ: Рисунок показывает, что результат сложения чисел $m$, $k$ и $r$ не зависит от того, в каком порядке производятся сложения: можно сначала сложить $m$ и $k$, а потом прибавить $r$, а можно к $m$ прибавить сумму $k$ и $r$. В обоих случаях итоговая точка на луче будет одна и та же.

в)

Используя данные рисунки, можно объяснить и другие свойства сложения и вычитания.

1. Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$.
На рисунке 2.16, а, чтобы найти $n + m$, мы откладываем от точки $N$ вправо отрезок, равный $OM$. Чтобы найти $m + n$, мы бы отложили от точки $M$ вправо отрезок, равный $ON$. В обоих случаях мы получим одну и ту же точку, так как итоговое расстояние от начала координат $O$ будет равно сумме длин отрезков $OM$ и $ON$. Значит, $n + m = m + n$.

2. Свойства нуля:
- Сложение с нулем: $a + 0 = a$. Если к координате точки $M$, равной $m$, прибавить 0, это означает, что мы не сдвигаемся с места. Таким образом, $m + 0 = m$.
- Вычитание нуля: $a - 0 = a$. Аналогично, если из координаты $m$ вычесть 0, мы остаемся в точке $M$. Таким образом, $m - 0 = m$.

3. Вычитание числа из самого себя: $a - a = 0$.
Если из координаты точки $M$, равной $m$, вычесть число $m$, это означает, что от точки $M$ нужно переместиться влево на расстояние $m$. Расстояние от $M$ до начала координат $O$ как раз равно $m$. Значит, мы попадем в точку $O$, координата которой равна 0. Таким образом, $m - m = 0$.

4. Связь сложения и вычитания.
На рисунке 2.16, б показано, что если к $m$ прибавить $k$, получится координата точки $K$: $m + k = \text{коорд}(K)$. Если же из координаты точки $K$ вычесть $k$, то есть выполнить действие $(\text{коорд}(K)) - k$, мы вернемся в точку $M$. Это означает, что $(m + k) - k = m$. Это показывает, что вычитание является действием, обратным сложению.

Ответ: Переместительное свойство сложения можно показать, меняя порядок откладывания отрезков на луче. Свойства нуля означают, что мы остаемся в той же точке. Вычитание числа из самого себя означает возврат в начало координат. Связь сложения и вычитания демонстрируется как прямое и обратное перемещение между точками на луче.