Страница 59, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Какое число на 19 меньше числа 1001?

Ответ: 982.

1. Чтобы найти число, которое на 19 меньше числа 1001, необходимо выполнить операцию вычитания. В данном случае, 1001 является уменьшаемым, а 19 — вычитаемым. Мы должны вычесть 19 из 1001.
Запишем это в виде математического выражения:
$1001 - 19$
Выполним вычисление:
$1001 - 19 = 982$
Таким образом, число, которое на 19 меньше числа 1001, — это 982.
Ответ: 982

2 Найдите разность 254 и 178.

Ответ: 76.

3 Вычислите:

а) 114 - (87 - 14);

б) 254 - (154 - 87);

в) (404 + 47) - 17.

$\mathrm{а}) 114 \stackrel{2}{-} (87 \stackrel{1}{-} 14) = 41$

1)

2)

$б) 254 \stackrel{2}{-} (154 \stackrel{1}{-} 87) =187$

1)

2)

в) (404 + 47) - 17 = 404 + (47 - 17) = 404 + 30 = 434

а) $114 - (87 - 14)$

Для вычисления значения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. В первую очередь выполняются действия в скобках.

1. Вычислим разность в скобках:

$87 - 14 = 73$

2. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$114 - 73 = 41$

Ответ: $41$.

б) $254 - (154 - 87)$

Данное выражение можно решить двумя способами. Первый — по порядку действий, как в пункте а). Второй, более удобный — используя правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть разность из числа, можно вычесть из этого числа уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое. Формула: $a - (b - c) = a - b + c$.

Применим это правило:

$254 - (154 - 87) = 254 - 154 + 87$

Теперь выполним действия последовательно слева направо:

1. $254 - 154 = 100$

2. $100 + 87 = 187$

Ответ: $187$.

в) $(404 + 47) - 17$

Для этого выражения также можно применить более рациональный способ вычисления. Воспользуемся свойством вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить другое слагаемое. Формула: $(a + b) - c = a + (b - c)$. Удобнее вычитать 17 из 47.

Сгруппируем числа по-новому:

$(404 + 47) - 17 = 404 + (47 - 17)$

Теперь выполним действия в удобном порядке:

1. Вычислим разность в скобках:

$47 - 17 = 30$

2. Прибавим результат к оставшемуся числу:

$404 + 30 = 434$

Ответ: $434$.

4 Решите задачи по схеме на рисунке 2.12.

а) 5 ч - 3 ч 20 мин = 4 ч 60 мин - 3 ч 20 мин = 1 ч 40 мин;

б) 1 ц 75 кг - 80 кг = 175 кг - 80 кг = 95 кг;

в) 1 кг 320 м - 832 м = 1320 м - 832 м = 488 м.

а Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. В данном случае, из общего времени вычитаем известное время. Для удобства вычислений представим 5 часов как 4 часа и 60 минут.

Выполним вычитание: $4 \text{ ч } 60 \text{ мин} - 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = (4-3) \text{ ч } + (60-20) \text{ мин} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Ответ: 1 час 40 минут.

б Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. В данном случае, из общей массы вычитаем известную массу. Переведем центнеры в килограммы, зная, что 1 центнер (ц) равен 100 килограммам (кг).

$1 \text{ ц } 75 \text{ кг} = 100 \text{ кг} + 75 \text{ кг} = 175 \text{ кг}$.

Теперь выполним вычитание: $175 \text{ кг} - 80 \text{ кг} = 95 \text{ кг}$.

Ответ: 95 кг.

в Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть. В данном случае, из общего расстояния вычитаем известное расстояние. Переведем километры в метры, зная, что 1 километр (км) равен 1000 метрам (м).

$1 \text{ км } 320 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 320 \text{ м} = 1320 \text{ м}$.

Теперь выполним вычитание: $1320 \text{ м} - 832 \text{ м} = 488 \text{ м}$.

Ответ: 488 м.

5 Может ли уменьшаемое быть равным вычитаемому?

Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю. Например: 12 - 12 = 0.

Ответ: может.

Да, уменьшаемое может быть равным вычитаемому. Давайте разберемся, почему это возможно.

Операция вычитания состоит из трех компонентов: уменьшаемого (число, из которого вычитают), вычитаемого (число, которое вычитают) и разности (результат вычитания). Это можно записать в виде формулы:

$Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность$

Если мы обозначим уменьшаемое буквой $a$, а вычитаемое буквой $b$, то формула будет выглядеть так:

$a - b = c$

Вопрос заключается в том, может ли быть так, что $a = b$. Подставим это условие в нашу формулу. Если $a = b$, то мы можем заменить $b$ на $a$:

$a - a = c$

Любое число, вычтенное само из себя, дает в результате ноль. Следовательно, $c = 0$.

Это означает, что уменьшаемое может быть равным вычитаемому, и в этом случае разность всегда будет равна нулю. Это справедливо для любых чисел: положительных, отрицательных или нуля.

Примеры:

• $7 - 7 = 0$
• $158 - 158 = 0$
• $0 - 0 = 0$
• $-5 - (-5) = -5 + 5 = 0$

Таким образом, условие, при котором уменьшаемое равно вычитаемому, является математически корректным и приводит к нулевому результату.

Ответ: Да, уменьшаемое может быть равным вычитаемому. В таком случае разность всегда будет равна нулю.

6 Уменьшаемое и вычитаемое уменьшили на 25. Изменилась ли разность?

Рассмотрим пример.

Уменьшаемое – 125;
Вычитаемое – 75;
Разность – 125 - 75 = 50;

Уменьшим уменьшаемое и вычитаемое на 25:

$(125 \stackrel{100}{-} 25) - (75 \stackrel{50}{-} 25) =$ 100 - 50 = 50.

Ответ: разность не изменилась.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим операцию вычитания в общем виде, а затем проверим вывод на конкретном примере.

Обозначим исходное уменьшаемое буквой $a$, а исходное вычитаемое — буквой $b$. В этом случае первоначальная разность будет равна выражению $a - b$.

Согласно условию задачи, и уменьшаемое, и вычитаемое уменьшили на 25. Новое уменьшаемое можно записать как $(a - 25)$, а новое вычитаемое — как $(b - 25)$.

Теперь найдем новую разность, вычтя из нового уменьшаемого новое вычитаемое. Для этого раскроем скобки в выражении. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
Новая разность = $(a - 25) - (b - 25) = a - 25 - b + 25$.

Упростим полученное выражение. Слагаемые $-25$ и $+25$ в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются:
$a - b - 25 + 25 = a - b$.

Как мы видим, итоговое выражение $a - b$ в точности совпадает с первоначальной разностью. Это доказывает, что разность не изменилась.

Проверка на примере:
Пусть исходное уменьшаемое равно 100, а вычитаемое — 30.
Исходная разность: $100 - 30 = 70$.
Теперь уменьшим оба числа на 25.
Новое уменьшаемое: $100 - 25 = 75$.
Новое вычитаемое: $30 - 25 = 5$.
Новая разность: $75 - 5 = 70$.
Результаты совпадают (70 = 70), что подтверждает наш вывод.

Это общее свойство вычитания: если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить или уменьшить на одно и то же число, то их разность останется неизменной.

Ответ: Разность не изменилась.

7 а) К сумме чисел 36 и 14 прибавьте их разность.

б) Из суммы чисел 36 и 14 вычтите их разность.

в) Найдите разность суммы чисел 36 и 14 и их разности.

$\mathrm{а}) (36 \stackrel{1}{+} 14) \stackrel{3}{+} (36 \stackrel{2}{-} 14) =$50 + 22 = 72;

$\mathrm{б}) (36 \stackrel{1}{+} 14) \stackrel{3}{-} (36 \stackrel{2}{-} 14) =$50 - 22 = 28;

в) (36 + 14) - (36 - 14) = 50 - 22 = 28.

а) К сумме чисел 36 и 14 прибавьте их разность.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько действий:

1. Находим сумму чисел 36 и 14:

$36 + 14 = 50$

2. Находим разность этих же чисел:

$36 - 14 = 22$

3. К полученной сумме (50) прибавляем полученную разность (22):

$50 + 22 = 72$

Это можно записать одним выражением: $(36 + 14) + (36 - 14) = 50 + 22 = 72$.

Ответ: 72

б) Из суммы чисел 36 и 14 вычтите их разность.

Действуем аналогично предыдущему пункту, но в конце выполняем вычитание.

1. Сумма чисел 36 и 14 равна 50.

2. Разность чисел 36 и 14 равна 22.

3. Из суммы (50) вычитаем разность (22):

$50 - 22 = 28$

Запись в виде одного выражения: $(36 + 14) - (36 - 14) = 50 - 22 = 28$.

Ответ: 28

в) Найдите разность суммы чисел 36 и 14 и их разности.

Формулировка этого задания отличается от пункта б), но математическая операция та же самая. "Разность суммы и разности" означает, что из суммы нужно вычесть разность.

1. Находим сумму: $36 + 14 = 50$

2. Находим разность: $36 - 14 = 22$

3. Находим разность между полученной суммой и разностью:

$50 - 22 = 28$

Ответ: 28

В таблице представлена информация о продажах по некоторым позициям на плодоовощной базе.

Заполните таблицу и определите по ней:

1 Какого овоща больше всего осталось?

1. Больше всего осталось картофеля.

Для решения задачи сначала необходимо заполнить все пустые ячейки в таблице. Значения в столбцах связаны следующими соотношениями:
Осталось (кг) = Доставили (кг) - Продали (кг)
Продали (кг) = Доставили (кг) - Осталось (кг)

Выполним вычисления для каждой позиции:

• Яблоки: В наличии 170 кг, продали 158 кг. Находим остаток:
  $170 - 158 = 12$ кг.
• Чеснок: В наличии 25 кг, продали 11 кг. Находим остаток:
  $25 - 11 = 14$ кг.
• Картофель: В наличии 350 кг, осталось 96 кг. Находим, сколько продали:
  $350 - 96 = 254$ кг.
• Помидоры: В наличии 154 кг, осталось 46 кг. Находим, сколько продали:
  $154 - 46 = 108$ кг.
• Морковь: В наличии 192 кг, продали 106 кг. Находим остаток:
  $192 - 106 = 86$ кг.
• Капуста: В наличии 224 кг, продали 137 кг. Находим остаток:
  $224 - 137 = 87$ кг.

Далее вычислим итоговые значения, просуммировав данные в каждом столбце:

• Итого доставили: $170 + 25 + 350 + 154 + 192 + 224 = 1115$ кг.
• Итого продали: $158 + 11 + 254 + 108 + 106 + 137 = 774$ кг.
• Итого осталось: $12 + 14 + 96 + 46 + 86 + 87 = 341$ кг.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Теперь ответим на вопрос.

1. Какого овоща больше всего осталось?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить массу оставшихся овощей (значения в столбце "Осталось, кг"). Яблоки являются фруктами, поэтому мы их не рассматриваем.

• Остаток чеснока: 14 кг
• Остаток картофеля: 96 кг
• Остаток помидоров: 46 кг
• Остаток моркови: 86 кг
• Остаток капусты: 87 кг

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшая масса в остатке у картофеля: $96 > 87 > 86 > 46 > 14$.

Ответ: Больше всего осталось картофеля (96 кг).

2 Какого овоща больше всего продано?

Проверочная работа №2

170 - 158 = 12 (кг) - осталось яблок

25 - 11 = 14 (кг) - осталось чеснока

350 - 96 = 254 (кг) - продал картофеля

154 - 46 = 108 (кг) - продали помидоров

192 - 106 = 86 (кг) - осталось моркови

224 - 137 = 87 (кг) - осталось капусты

170 + 25 + 350 + 154 + 192 + 224 =$(170 \stackrel{520}{+} 350) +$ $\left(\right(154 \stackrel{378}{+} 224) \stackrel{570}{+} 192)$ + 25 = 1115 (кг) - доставили овощей

158 + 11 + 254 + 108 + 106 + 137 = $(254 \stackrel{360}{+} 106)$ + $(158 \stackrel{295}{+} 137)$ + $(108 \stackrel{119}{+} 11)$ = 774 (кг) - продали овощей

12 + 14 + 96 + 46 + 86 + 87 = $(14 \stackrel{100}{+} 86)$ + $(12 \stackrel{99}{+} 87)$ + $(96 \stackrel{142}{+} 46)$ = 100 + 99 + 142 = 199 + 142 = 341 (кг) - осталось овощей

2. Больше всего продано картофеля.

3 На сколько больше яблок продали, чем осталось продать?

3. 158 - 12 = 146 (кг)

Ответ: на 146 кг.

4 На сколько больше продали картофеля, чем капусты?

4. 254 - 137 = 117 (кг)

Ответ: на 117 кг.

5 Сколько всего овощей:

а) доставили;

б) продали;

в) осталось?

5.339 Выполните действие и сократите результат:

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{3}{20} + \frac{7}{20} = \frac{3+7}{20} = \frac{10}{20}$
Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) для числителя 10 и знаменателя 20 равен 10. Разделим числитель и знаменатель на НОД:
$\frac{10 : 10}{20 : 10} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{13}{15} - \frac{8}{15} = \frac{13-8}{15} = \frac{5}{15}$
Сократим полученную дробь. НОД для 5 и 15 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5 : 5}{15 : 5} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями, складывая их числители.
$\frac{9}{22} + \frac{2}{22} = \frac{9+2}{22} = \frac{11}{22}$
Сократим результат. НОД для 11 и 22 равен 11. Разделим числитель и знаменатель на 11:
$\frac{11 : 11}{22 : 11} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители.
$\frac{29}{36} - \frac{21}{36} = \frac{29-21}{36} = \frac{8}{36}$
Сократим полученную дробь. НОД для 8 и 36 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{8 : 4}{36 : 4} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

5.340 Выполните действие и сократите дробную часть полученного результата:

а) $7\frac{8}{9} - 3\frac{5}{9} = 7 + \frac{8}{9} - \left(3 + \frac{5}{9}\right) = 7 + \frac{8}{9} - 3 - \frac{5}{9}$

$= 7 - 3 + \frac{8}{9} - \frac{5}{9} = 4 + \frac{3}{9} = 4 + \frac{3}{3 · 3} = 4 + \frac{1}{3}$

$= 4\frac{1}{3}$

б) $5\frac{5}{12} + 2\frac{1}{12} = 5 + \frac{5}{12} + 2 + \frac{1}{12} = 5 + 2 + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = 7 + \frac{6}{12} = 7 + \frac{6}{6 · 2} = 7 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2}$

б) $29\frac{11}{21} - 29\frac{5}{21} = 29 + \frac{11}{21} - \left(29 + \frac{5}{21}\right)$

$= 29 + \frac{11}{21} - 29 - \frac{5}{21} = 29 - 29 + \frac{11}{21} - \frac{5}{21}$

$= \frac{6}{21} = \frac{3 · 2}{3 · 7} = \frac{2}{7}$

г) $6\frac{3}{10} + 7\frac{5}{10} = 6 + \frac{3}{10} + 7 + \frac{5}{10} = 6 + 7 + \frac{3}{10} + \frac{5}{10}$

$= 13 + \frac{8}{10} = 13 + \frac{2 · 4}{2 · 5} = 13 + \frac{4}{5}$

$= 13\frac{4}{5}$

а) Чтобы вычесть одно смешанное число из другого, когда знаменатели дробных частей одинаковы, мы вычитаем целые части и дробные части по отдельности.
$7\frac{8}{9} - 3\frac{5}{9} = (7 - 3) + (\frac{8}{9} - \frac{5}{9}) = 4 + \frac{8-5}{9} = 4 + \frac{3}{9} = 4\frac{3}{9}$.
Далее, согласно условию, сократим дробную часть полученного результата. Находим наибольший общий делитель для числителя (3) и знаменателя (9), который равен 3.
$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, окончательный результат: $4\frac{1}{3}$.
Ответ: $4\frac{1}{3}$.

б) Для сложения смешанных чисел с одинаковыми знаменателями мы складываем отдельно целые части и отдельно дробные части.
$5\frac{5}{12} + 2\frac{1}{12} = (5 + 2) + (\frac{5}{12} + \frac{1}{12}) = 7 + \frac{5+1}{12} = 7 + \frac{6}{12} = 7\frac{6}{12}$.
Теперь сократим дробную часть $\frac{6}{12}$. Наибольший общий делитель для 6 и 12 равен 6.
$\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$.
Окончательный результат: $7\frac{1}{2}$.
Ответ: $7\frac{1}{2}$.

в) Выполним вычитание. Целые части у чисел одинаковые, поэтому их разность равна 0. Вычитаем дробные части:
$29\frac{11}{21} - 29\frac{5}{21} = (29 - 29) + (\frac{11}{21} - \frac{5}{21}) = 0 + \frac{11-5}{21} = \frac{6}{21}$.
Сократим полученную дробь $\frac{6}{21}$. Наибольший общий делитель для 6 и 21 равен 3.
$\frac{6}{21} = \frac{6 \div 3}{21 \div 3} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

г) Выполним сложение смешанных чисел, складывая целые и дробные части по отдельности.
$6\frac{3}{10} + 7\frac{5}{10} = (6 + 7) + (\frac{3}{10} + \frac{5}{10}) = 13 + \frac{3+5}{10} = 13 + \frac{8}{10} = 13\frac{8}{10}$.
Сократим дробную часть $\frac{8}{10}$. Наибольший общий делитель для 8 и 10 равен 2.
$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$.
Окончательный результат: $13\frac{4}{5}$.
Ответ: $13\frac{4}{5}$.

5.341 Один станок-автомат за 12 ч изготавливает 40 высокоточных деталей, а другой за 9 ч — 30 таких же деталей. Сравните производительность обоих станков.

Чтобы сравнить производительность двух станков, необходимо вычислить, какое количество деталей каждый из них изготавливает за единицу времени, например, за 1 час. Производительность (П) — это отношение количества изготовленных деталей ко времени, затраченному на их производство.

Рассчитаем производительность первого станка ($П_1$), который изготавливает 40 деталей за 12 часов:$П_1 = \frac{40}{12}$ деталей/часСократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:$П_1 = \frac{40 \div 4}{12 \div 4} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ деталей/час.

Теперь рассчитаем производительность второго станка ($П_2$), который изготавливает 30 деталей за 9 часов:$П_2 = \frac{30}{9}$ деталей/часСократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:$П_2 = \frac{30 \div 3}{9 \div 3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ деталей/час.

Сравнивая полученные значения производительности, видим, что $П_1 = \frac{10}{3}$ и $П_2 = \frac{10}{3}$. Таким образом, производительности обоих станков равны.

Ответ: производительность обоих станков одинакова.

5.342 Из 17 кг муки выпекли 9 одинаковых тортов, а из 11 кг муки — 8 одинаковых кексов. Сколько муки пошло на выпечку одного торта; одного кекса?

Для того чтобы найти, сколько муки пошло на выпечку одного изделия, нужно общее количество использованной муки разделить на количество испеченных изделий.

одного торта:

Согласно условию задачи, из 17 кг муки выпекли 9 одинаковых тортов. Чтобы рассчитать количество муки на один торт, выполним деление:

$17 \div 9 = \frac{17}{9}$ кг

Полученная дробь является неправильной. Для наглядности преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть. Разделим 17 на 9 с остатком: $17 = 9 \cdot 1 + 8$.

Таким образом, $\frac{17}{9} = 1\frac{8}{9}$ кг.

Ответ: на выпечку одного торта пошло $1\frac{8}{9}$ кг муки.

одного кекса:

По условию, из 11 кг муки выпекли 8 одинаковых кексов. Чтобы рассчитать количество муки на один кекс, также выполним деление:

$11 \div 8 = \frac{11}{8}$ кг

Это также неправильная дробь. Преобразуем ее в смешанное число. Разделим 11 на 8 с остатком: $11 = 8 \cdot 1 + 3$.

Таким образом, $\frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$ кг.

Ответ: на выпечку одного кекса пошло $1\frac{3}{8}$ кг муки.

5.343 Представьте числитель дроби в виде произведения, применив распределительный закон, затем выполните сокращение и найдите значение выражения:

а) В выражении $\frac{9 \cdot 7 - 8 \cdot 7}{7 \cdot 5}$ представим числитель в виде произведения, применив распределительный закон. Общий множитель в числителе — это 7. Вынесем его за скобки: $9 \cdot 7 - 8 \cdot 7 = (9-8) \cdot 7$. Выполним вычитание в скобках: $9-8=1$. Таким образом, числитель равен $1 \cdot 7$. Подставим полученное произведение в дробь: $\frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 5}$. Теперь выполним сокращение. Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 7: $\frac{1 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) В выражении $\frac{13 \cdot 7 + 13 \cdot 9}{13 \cdot 32}$ представим числитель в виде произведения, применив распределительный закон. Общий множитель в числителе — это 13. Вынесем его за скобки: $13 \cdot 7 + 13 \cdot 9 = 13 \cdot (7+9)$. Выполним сложение в скобках: $7+9=16$. Таким образом, числитель равен $13 \cdot 16$. Подставим полученное произведение в дробь: $\frac{13 \cdot 16}{13 \cdot 32}$. Теперь выполним сокращение. Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 13: $\frac{\cancel{13} \cdot 16}{\cancel{13} \cdot 32} = \frac{16}{32}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 16: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) В выражении $\frac{16 \cdot 3 - 16 \cdot 2}{32}$ представим числитель в виде произведения, применив распределительный закон. Общий множитель в числителе — это 16. Вынесем его за скобки: $16 \cdot 3 - 16 \cdot 2 = 16 \cdot (3-2)$. Выполним вычитание в скобках: $3-2=1$. Таким образом, числитель равен $16 \cdot 1 = 16$. Подставим полученное значение в дробь: $\frac{16}{32}$. Теперь выполним сокращение. Разделим числитель и знаменатель на 16: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) В выражении $\frac{23 \cdot 6 - 23 \cdot 4}{46}$ представим числитель в виде произведения, применив распределительный закон. Общий множитель в числителе — это 23. Вынесем его за скобки: $23 \cdot 6 - 23 \cdot 4 = 23 \cdot (6-4)$. Выполним вычитание в скобках: $6-4=2$. Таким образом, числитель равен $23 \cdot 2$. Подставим полученное произведение в дробь: $\frac{23 \cdot 2}{46}$. Вычислим произведение в числителе: $23 \cdot 2 = 46$. Получим дробь $\frac{46}{46}$. Значение этой дроби равно 1. Можно было также заметить, что знаменатель $46 = 2 \cdot 23$, и сократить дробь: $\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 23} = 1$.
Ответ: 1.

5.344 Вычислите.

а) Выполним вычисления по действиям:

1. $9^2 = 81$
2. $81 : 27 = 3$
3. $3 \cdot 32 = 96$
4. $96 + 14 = 110$
5. $110 : 10 = 11$
6. $11 - 11 = 0$

Ответ: 0.

б) Выполним вычисления по действиям:

1. $5^3 \cdot 8 = 125 \cdot 8 = 1000$
2. $1000 : 20 = 50$
3. $50 - 49 = 1$
4. $1 \cdot 80 = 80$
5. $80 : 5 = 16$

Ответ: 16.

в) Для решения этого примера будем выполнять действия с величинами. Сначала переведем часы в минуты, а в конце — минуты в секунды.В 1 часе 60 минут.

1. $1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 80 \text{ мин}$
2. $80 \text{ мин} : 4 = 20 \text{ мин}$
3. $20 \text{ мин} - 15 \text{ мин} = 5 \text{ мин}$
4. Чтобы выполнить следующие действия, переведем минуты в секунды. В 1 минуте 60 секунд. $5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$
5. $300 \text{ с} : 100 = 3 \text{ с}$
6. $3 \text{ с} + 7 \text{ с} = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 с.

г) Для решения этого примера переведем все величины в одну единицу измерения. Удобнее всего сначала считать в арах (а), а затем перевести их в квадратные метры (м?).В 1 гектаре (га) 100 ар (а). В 1 аре 100 квадратных метров (м?).

1. $2 \text{ га } 10 \text{ а} = 2 \cdot 100 \text{ а} + 10 \text{ а} = 210 \text{ а}$
2. $210 \text{ а} : 7 = 30 \text{ а}$
3. $30 \text{ а} + 15 \text{ а} = 45 \text{ а}$
4. Для выполнения следующих действий переведем ары в квадратные метры. $45 \text{ а} = 45 \cdot 100 \text{ м}^2 = 4500 \text{ м}^2$
5. $4500 \text{ м}^2 : 500 = 9 \text{ м}^2$
6. $9 \text{ м}^2 - 9 \text{ м}^2 = 0 \text{ м}^2$

Ответ: 0 м?.

5.345 Найдите недостающие числа.

а)

В этом задании все операции связаны с центральным числом 30. Чтобы найти недостающие числа в кругах, нужно выполнить указанные действия. Стрелка от числа означает, что действие применяется к этому числу. Стрелка к числу означает, что это число является результатом действия.

1. Верхний левый круг: Стрелка указывает на число 30 с действием ": 2". Это означает, что неизвестное число, разделенное на 2, равно 30. Чтобы найти это число, нужно выполнить обратное действие — умножение: $30 \times 2 = 60$.

2. Верхний правый круг: Стрелка идет от числа 30 к кругу с действием ": 10". Выполняем деление: $30 : 10 = 3$.

3. Нижний правый круг: Стрелка идет от числа 30 к кругу с действием "· 21". Выполняем умножение: $30 \times 21 = 630$.

4. Нижний средний круг: Стрелка идет от числа 30 к кругу с действием "· 4". Выполняем умножение: $30 \times 4 = 120$.

5. Нижний левый круг: Стрелка идет от числа 30 к кругу с действием ": 6". Выполняем деление: $30 : 6 = 5$.

Ответ: недостающие числа по часовой стрелке, начиная с верхнего левого: 60, 3, 630, 120, 5.

б)

В этом задании числа соединены в цепочку. Чтобы найти недостающие числа, будем двигаться по цепочке в направлении, обратном стрелкам, выполняя обратные математические операции. Обратной операцией для деления является умножение.

1. Начнем с известного числа 1. Стрелка к нему идет от круга слева с действием ": 10". Значит, число в этом круге было разделено на 10, чтобы получить 1. Находим это число, выполняя умножение: $1 \times 10 = 10$.

2. Двигаемся дальше против часовой стрелки. К числу 10 стрелка идет от круга снизу с действием ": 5". Находим число в этом круге: $10 \times 5 = 50$.

3. Следующий круг. К числу 50 стрелка идет от круга справа с действием ": 4". Находим число: $50 \times 4 = 200$.

4. Следующий круг. К числу 200 стрелка идет от круга сверху с действием ": 3". Находим число: $200 \times 3 = 600$.

5. Наконец, находим число в начальном квадрате. К числу 600 стрелка идет от этого квадрата с действием ": 2". Находим исходное число: $600 \times 2 = 1200$.

Для проверки выполним действия в прямом порядке, по часовой стрелке: $1200 : 2 = 600$; $600 : 3 = 200$; $200 : 4 = 50$; $50 : 5 = 10$; $10 : 10 = 1$. Все верно.

Ответ: недостающие числа по часовой стрелке, начиная с верхнего левого квадрата: 1200, 600, 200, 50, 10.

5.346 Найдите равные дроби среди чисел

Чтобы найти равные дроби, необходимо привести каждую из них к несократимому виду. Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Также следует помнить, что любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.

Проанализируем все числа из списка: $\frac{1}{5}, \frac{2}{4}, 1, \frac{3}{15}, \frac{10}{35}, \frac{1}{2}, \frac{6}{8}, \frac{9}{9}, \frac{113}{113}, \frac{4}{5}, \frac{2}{10}$.

Выполним сокращение дробей:

1. Дроби, равные $\frac{1}{5}$:

• $\frac{1}{5}$ — уже несократимая.
• $\frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5}$
• $\frac{2}{10} = \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$

Таким образом, первая группа равных дробей: $\frac{1}{5} = \frac{3}{15} = \frac{2}{10}$.

2. Дроби, равные $\frac{1}{2}$:

• $\frac{1}{2}$ — уже несократимая.
• $\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, вторая группа равных дробей: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Числа, равные 1:

• $1$ — целое число.
• $\frac{9}{9} = 1$
• $\frac{113}{113} = 1$

Таким образом, третья группа равных чисел: $1 = \frac{9}{9} = \frac{113}{113}$.

4. Проверим оставшиеся дроби:

• $\frac{10}{35} = \frac{10 \div 5}{35 \div 5} = \frac{2}{7}$
• $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$
• $\frac{4}{5}$ — уже несократимая.

Эти дроби не имеют равных себе среди чисел в заданном списке.

Ответ: Равными являются следующие группы чисел: 1) $\frac{1}{5} = \frac{3}{15} = \frac{2}{10}$; 2) $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; 3) $1 = \frac{9}{9} = \frac{113}{113}$.

5.347 Замените буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным:

а) Для того чтобы найти неизвестное число $n$ в равенстве $\frac{5}{9} = \frac{n}{27}$, мы должны привести дроби к общему знаменателю или использовать свойство пропорции.
Заметим, что знаменатель второй дроби, 27, можно получить, умножив знаменатель первой дроби, 9, на 3 ($9 \times 3 = 27$). Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство сохранилось, мы должны умножить числитель первой дроби на то же число:
$n = 5 \times 3 = 15$
Таким образом, равенство принимает вид $\frac{5}{9} = \frac{15}{27}$.
Также можно воспользоваться правилом креста (основным свойством пропорции), согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:
$5 \times 27 = 9 \times n$
$135 = 9n$
$n = \frac{135}{9}$
$n = 15$
Ответ: $n=15$.

б) В равенстве $\frac{1}{3} = \frac{7}{c}$ нам нужно найти неизвестный знаменатель $c$.
Посмотрим, как изменился числитель: он был умножен на 7 ($1 \times 7 = 7$). Чтобы дробь осталась равной, знаменатель также нужно умножить на 7:
$c = 3 \times 7 = 21$
Проверим с помощью свойства пропорции:
$1 \times c = 3 \times 7$
$c = 21$
Равенство: $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$.
Ответ: $c=21$.

в) Рассмотрим равенство $\frac{r}{5} = \frac{5}{2}$.
Это пропорция, в которой неизвестен крайний член $r$. Чтобы его найти, нужно произведение средних членов (5 и 5) разделить на известный крайний член (2).
$r = \frac{5 \times 5}{2}$
$r = \frac{25}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$r = 12.5$
Ответ: $r=12.5$.

г) В равенстве $\frac{m}{12} = \frac{5}{c}$ два неизвестных. Однако, буква $c$ уже встречалась в пункте б), где мы определили, что $c=21$. Предполагая, что в рамках одного задания одинаковые буквы обозначают одинаковые числа, подставим значение $c=21$ в наше равенство:
$\frac{m}{12} = \frac{5}{21}$
Теперь это пропорция с одним неизвестным $m$. Найдем $m$, используя основное свойство пропорции:
$m \times 21 = 12 \times 5$
$21m = 60$
$m = \frac{60}{21}$
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 60 и 21 равен 3.
$m = \frac{60 \div 3}{21 \div 3} = \frac{20}{7}$
Ответ: $m=\frac{20}{7}$.

5.348 Из чисел 2, 3, 6, 8, 9, 12, 36 выпишите делители числа:

а) 6;

б) 24;

в) 48.

Делитель числа — это такое число, на которое данное число делится без остатка. Для решения задачи нужно последовательно проверить каждое число из предложенного списка {2, 3, 6, 8, 9, 12, 36} для каждого из заданных чисел (6, 24, 48).

а) Найдем делители числа 6 из заданного списка.
Проверяем:
$6 \div 2 = 3$ (2 является делителем)
$6 \div 3 = 2$ (3 является делителем)
$6 \div 6 = 1$ (6 является делителем)
Число 6 не делится на 8, 9, 12, 36 без остатка.
Делители числа 6 из списка: 2, 3, 6.

Ответ: 2, 3, 6.

б) Найдем делители числа 24 из заданного списка.
Проверяем:
$24 \div 2 = 12$ (2 является делителем)
$24 \div 3 = 8$ (3 является делителем)
$24 \div 6 = 4$ (6 является делителем)
$24 \div 8 = 3$ (8 является делителем)
$24 \div 9 = 2$ (остаток 6), поэтому 9 не является делителем.
$24 \div 12 = 2$ (12 является делителем)
Число 24 не делится на 36 без остатка.
Делители числа 24 из списка: 2, 3, 6, 8, 12.

Ответ: 2, 3, 6, 8, 12.

в) Найдем делители числа 48 из заданного списка.
Проверяем:
$48 \div 2 = 24$ (2 является делителем)
$48 \div 3 = 16$ (3 является делителем)
$48 \div 6 = 8$ (6 является делителем)
$48 \div 8 = 6$ (8 является делителем)
$48 \div 9 = 5$ (остаток 3), поэтому 9 не является делителем.
$48 \div 12 = 4$ (12 является делителем)
$48 \div 36 = 1$ (остаток 12), поэтому 36 не является делителем.
Делители числа 48 из списка: 2, 3, 6, 8, 12.

Ответ: 2, 3, 6, 8, 12.

5.349 Верно ли высказывание:

а) Проверим истинность высказывания, вычислив значение левой части неравенства: $600 - (25 \cdot 4 + 28 \cdot 5 - 120 : 2) : 6 - (36 : 18 + 510 : 170) \cdot 20 > 107$.

1. Вычисляем значения в скобках:
$25 \cdot 4 + 28 \cdot 5 - 120 : 2 = 100 + 140 - 60 = 180$
$36 : 18 + 510 : 170 = 2 + 3 = 5$

2. Подставляем результаты в выражение:
$600 - 180 : 6 - 5 \cdot 20$

3. Выполняем деление и умножение:
$600 - 30 - 100$

4. Выполняем вычитание:
$570 - 100 = 470$

5. Сравниваем результат с правой частью: $470 > 107$.
Неравенство является верным.

Ответ: да, высказывание верно.

б) Проверим истинность высказывания, вычислив значение левой части неравенства: $(900 : 15 - 54) \cdot 18 - (135 - 105) \cdot (39 : 13) + 121 : 11 \cdot 13 < 161$.

1. Вычисляем значения в скобках:
$900 : 15 - 54 = 60 - 54 = 6$
$135 - 105 = 30$
$39 : 13 = 3$

2. Подставляем результаты в выражение:
$6 \cdot 18 - 30 \cdot 3 + 121 : 11 \cdot 13$

3. Выполняем умножение и деление слева направо:
$108 - 90 + 143$

4. Выполняем вычитание и сложение:
$18 + 143 = 161$

5. Сравниваем результат с правой частью: $161 < 161$.
Неравенство является неверным, так как $161$ равно, а не меньше $161$.

Ответ: нет, высказывание неверно.

5.350 Из нечётных цифр составлены пятизначные числа. Сколько таких чисел составлено, если цифры в записи числа не повторяются?

Для решения этой задачи нужно использовать принципы комбинаторики. Нам необходимо составить пятизначные числа из нечётных цифр, причём цифры в числе не должны повторяться.

1. Определим набор доступных цифр. Нечётными цифрами являются: 1, 3, 5, 7, 9. Всего у нас есть 5 различных цифр для составления числа.

2. Определим количество мест в числе. Число должно быть пятизначным, значит, в нём 5 позиций (разрядов).

3. Применим правило перестановок. Поскольку нам нужно использовать все 5 цифр для заполнения 5 позиций, и все цифры должны быть различны, задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов.

Рассмотрим, сколько вариантов выбора есть для каждой позиции в числе:

- На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую из 5 нечётных цифр. Есть 5 вариантов.

- На вторую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр, так как одна цифра уже использована. Есть 4 варианта.

- На третью позицию (разряд сотен) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр. Есть 3 варианта.

- На четвертую позицию (разряд десятков) можно поставить любую из оставшихся 2 цифр. Есть 2 варианта.

- На пятую позицию (разряд единиц) остаётся только 1 последняя цифра. Есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу произведения):

$N = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!$

Это число перестановок из 5 элементов, или факториал числа 5. Вычислим его значение:

$5! = 120$

Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел из нечётных цифр без их повторения.

Ответ: 120

5.351 Скорость теплохода по течению реки равна 28 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч. Найдите скорость теплохода против течения реки.

Для решения задачи нам нужно выполнить два действия: сначала найти собственную скорость теплохода, а затем, используя это значение, вычислить его скорость против течения.

1. Нахождение собственной скорости теплохода.

Скорость объекта по течению реки ($V_{по\ теч}$) равна сумме его собственной скорости ($V_{собс}$) и скорости течения ($V_{теч}$).

Формула: $V_{по\ теч} = V_{собс} + V_{теч}$

По условию, $V_{по\ теч} = 28$ км/ч и $V_{теч} = 2$ км/ч. Подставим эти значения в формулу:

$28 = V_{собс} + 2$

Чтобы найти собственную скорость, вычтем скорость течения из скорости по течению:

$V_{собс} = 28 - 2 = 26$ км/ч.

Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 26 км/ч.

2. Нахождение скорости теплохода против течения.

Скорость объекта против течения реки ($V_{против\ теч}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения.

Формула: $V_{против\ теч} = V_{собс} - V_{теч}$

Мы уже знаем, что $V_{собс} = 26$ км/ч и $V_{теч} = 2$ км/ч. Подставим эти значения в формулу:

$V_{против\ теч} = 26 - 2 = 24$ км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

5.352 Скорость моторной лодки по течению реки 18 км/ч, а против течения — 14 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения: пусть $v_с$ — собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ — скорость течения реки. Обе скорости измеряются в км/ч.

Скорость лодки по течению реки представляет собой сумму ее собственной скорости и скорости течения. Согласно условию, она равна 18 км/ч. Это дает нам первое уравнение:

$v_с + v_т = 18$

Скорость лодки против течения представляет собой разность ее собственной скорости и скорости течения. По условию, она равна 14 км/ч. Это дает нам второе уравнение:

$v_с - v_т = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_с + v_т = 18 \\ v_с - v_т = 14 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость лодки $v_с$, мы можем сложить первое и второе уравнения. При сложении переменная $v_т$ сократится:

$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 18 + 14$

$2v_с = 32$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $v_с$:

$v_с = \frac{32}{2} = 16$ (км/ч)

Итак, собственная скорость лодки составляет 16 км/ч.

Чтобы найти скорость течения реки $v_т$, подставим найденное значение $v_с$ в любое из первоначальных уравнений. Используем первое уравнение $v_с + v_т = 18$:

$16 + v_т = 18$

Вычтем 16 из обеих частей уравнения:

$v_т = 18 - 16 = 2$ (км/ч)

Таким образом, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Для проверки можно подставить найденные значения во второе уравнение $v_с - v_т = 14$:

$16 - 2 = 14$

$14 = 14$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: собственная скорость лодки — 16 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.