Страница 62, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.123 Прочитайте задачу:

Шершень может летать со скоростью х км/ч. Скорость стрекозы на 4 км/ч больше, чем скорость шершня, а скорость пчелы на 4 км/ч меньше, чем скорость шершня.

Объясните, что означает выражение:

а) х + 4;

б) х - 4;

в) (х + 4) - (х - 4).

а) (х + 4) км/ч – скорость стрекозы;

б) (х - 4) км/ч – скорость пчелы;

в) (х + 4) - (х - 4) км/ч – на сколько скорость стрекозы больше, чем скорость пчелы.

Для того чтобы объяснить значение каждого выражения, сначала определим, какой величине из условия задачи соответствует каждая его часть.

• Скорость шершня по условию равна $x$ км/ч.
• Скорость стрекозы на 4 км/ч больше, чем скорость шершня, следовательно, ее скорость равна $(x + 4)$ км/ч.
• Скорость пчелы на 4 км/ч меньше, чем скорость шершня, следовательно, ее скорость равна $(x - 4)$ км/ч.

а) $x + 4$

Выражение $x + 4$ представляет собой скорость шершня ($x$), увеличенную на 4 км/ч. Согласно условию задачи, именно на столько скорость стрекозы больше скорости шершня.

Ответ: Выражение $x + 4$ означает скорость стрекозы в км/ч.

б) $x - 4$

Выражение $x - 4$ представляет собой скорость шершня ($x$), уменьшенную на 4 км/ч. Согласно условию задачи, именно на столько скорость пчелы меньше скорости шершня.

Ответ: Выражение $x - 4$ означает скорость пчелы в км/ч.

в) $(x + 4) - (x - 4)$

Это выражение является разностью двух других выражений: $(x + 4)$ и $(x - 4)$. Как мы установили ранее, $(x + 4)$ — это скорость стрекозы, а $(x - 4)$ — это скорость пчелы. Разность двух скоростей показывает, на сколько одна скорость больше другой. Таким образом, данное выражение показывает, на сколько километров в час скорость стрекозы больше, чем скорость пчелы.

Можно также упростить это выражение, чтобы найти конкретное значение этой разницы: $(x + 4) - (x - 4) = x + 4 - x + 4 = 8$

Это означает, что скорость стрекозы всегда на 8 км/ч больше скорости пчелы, независимо от скорости шершня.

Ответ: Выражение $(x + 4) - (x - 4)$ означает, на сколько километров в час скорость стрекозы больше скорости пчелы.

2.124 Найдите значение выражения:

а) (19 + 7) + (44 + 32);

б) (56 + 38) - (33 - 25);

в) 48 : 12 + 14 • 3;

г) 47 • 3 - 144 : 12;

д) (546 - 468) • 5;

е) (319 + 206) : 7.

$\mathrm{а}) (19 \stackrel{1}{+} 7) \stackrel{3}{+} (44 \stackrel{2}{+} 32)=$26 + 76 = 102

$\mathrm{б}) (56 \stackrel{1}{+} 38) \stackrel{3}{-} (33 \stackrel{2}{-} 25) =$94 - 8 = 86

$\mathrm{в}) 48 \stackrel{1}{:} 12 \stackrel{3}{+} 14 \stackrel{2}{·} 3 =$4 + 42 = 46

$\mathrm{г}) 47 \stackrel{1}{·} 3 \stackrel{3}{-} 144 \stackrel{2}{:} 12 = 129$

д) (546 - 468) · 5 = 390

е) (319 + 206) : 7 = 75

а) Чтобы найти значение выражения $(19 + 7) + (44 + 32)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем сложить полученные результаты.
1. Вычислим сумму в первой скобке: $19 + 7 = 26$.
2. Вычислим сумму во второй скобке: $44 + 32 = 76$.
3. Сложим результаты: $26 + 76 = 102$.
Полное решение: $(19 + 7) + (44 + 32) = 26 + 76 = 102$.
Ответ: 102

б) Чтобы найти значение выражения $(56 + 38) - (83 - 25)$, необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем вычесть второй результат из первого.
1. Вычислим сумму в первой скобке: $56 + 38 = 94$.
2. Вычислим разность во второй скобке: $83 - 25 = 58$.
3. Вычтем из первого результата второй: $94 - 58 = 36$.
Полное решение: $(56 + 38) - (83 - 25) = 94 - 58 = 36$.
Ответ: 36

в) В выражении $48 : 12 + 14 \cdot 3$ согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение.
1. Выполним деление: $48 : 12 = 4$.
2. Выполним умножение: $14 \cdot 3 = 42$.
3. Сложим полученные значения: $4 + 42 = 46$.
Полное решение: $48 : 12 + 14 \cdot 3 = 4 + 42 = 46$.
Ответ: 46

г) В выражении $47 \cdot 3 - 144 : 12$ сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Выполним умножение: $47 \cdot 3 = 141$.
2. Выполним деление: $144 : 12 = 12$.
3. Вычтем из первого результата второй: $141 - 12 = 129$.
Полное решение: $47 \cdot 3 - 144 : 12 = 141 - 12 = 129$.
Ответ: 129

д) Чтобы найти значение выражения $(546 - 468) \cdot 5$, сначала выполним действие в скобках, а затем умножение.
1. Вычислим разность в скобках: $546 - 468 = 78$.
2. Умножим результат на 5: $78 \cdot 5 = 390$.
Полное решение: $(546 - 468) \cdot 5 = 78 \cdot 5 = 390$.
Ответ: 390

е) Чтобы найти значение выражения $(319 + 206) : 7$, сначала выполним действие в скобках, а затем деление.
1. Вычислим сумму в скобках: $319 + 206 = 525$.
2. Разделим результат на 7: $525 : 7 = 75$.
Полное решение: $(319 + 206) : 7 = 525 : 7 = 75$.
Ответ: 75

2.125 Запишите выражение:

а) сумма 13 и b;

б) сумма х и 14;

в) разность n и m - 11;

г) разность 27 и 3 + z.

а) 13 + b;
б) x + 14;
в) n - (m - 11);
г) 27 - (3 + z).

а) Сумма — это результат сложения. Чтобы записать выражение для суммы числа 13 и переменной $b$, нужно поставить между ними знак плюс.

Ответ: $13 + b$.

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы записать сумму переменной $x$ и числа 14, нужно сложить их.

Ответ: $x + 14$.

в) Разность — это результат вычитания. В данном выражении уменьшаемым является $n$, а вычитаемым является выражение $m - 11$. Чтобы показать, что мы вычитаем всё выражение $m - 11$, а не только $m$, его необходимо взять в скобки.

Ответ: $n - (m - 11)$.

г) В этом выражении уменьшаемое равно 27, а вычитаемое — это сумма $3 + z$. Так как вычитаемое является составным выражением, его также следует заключить в скобки.

Ответ: $27 - (3 + z)$.

2.126 Запишите выражение:

а) сумма 17 + 3 и 24 - 9;

б) сумма с + 14 и 28;

в) сумма 107 и z - d + 14;

г) разность 777 + 33 и 196 - 145;

д) разность а + 12 и у - 7;

е) разность 31 и а + b - 28.

а) (17 + 3) + (24 - 9);
б) (с + 14) + 28;
в) 107 + (z - d + 14);
г) (777 + 33) - (196 - 145);
д) (a + 12) - (y - 7);
е) 31 - (a + b - 28).

а) Чтобы записать сумму выражений $17 + 3$ и $24 - 9$, необходимо сложить результаты этих выражений. Для этого каждое из них заключается в скобки, чтобы сохранить правильный порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, а затем их результаты складываются. Получается выражение $(17 + 3) + (24 - 9)$.

Ответ: $(17 + 3) + (24 - 9)$.

б) Сумма выражения $c + 14$ и числа $28$ записывается как их сложение. Выражение $c + 14$ является первым слагаемым, а $28$ — вторым. Чтобы показать, что $c + 14$ является единым слагаемым, его заключают в скобки: $(c + 14) + 28$.

Ответ: $(c + 14) + 28$.

в) Сумма числа $107$ и выражения $z - d + 14$ записывается как сложение числа и выражения. Второе слагаемое, являющееся выражением, заключается в скобки, чтобы показать, что прибавляется всё выражение целиком: $107 + (z - d + 14)$.

Ответ: $107 + (z - d + 14)$.

г) Разность выражений $777 + 33$ и $196 - 145$ означает, что из результата первого выражения нужно вычесть результат второго. Для этого оба выражения заключаются в скобки. Первое выражение $(777 + 33)$ является уменьшаемым, а второе $(196 - 145)$ — вычитаемым. Итоговое выражение: $(777 + 33) - (196 - 145)$.

Ответ: $(777 + 33) - (196 - 145)$.

д) Разность выражений $a + 12$ и $y - 7$ записывается как вычитание второго выражения из первого. Использование скобок здесь обязательно, чтобы показать, что вычитается всё выражение $y - 7$, а не только его часть. Уменьшаемое — $(a + 12)$, вычитаемое — $(y - 7)$. Выражение имеет вид: $(a + 12) - (y - 7)$.

Ответ: $(a + 12) - (y - 7)$.

е) Разность числа $31$ и выражения $a + b - 28$ означает, что из числа $31$ вычитается всё выражение $a + b - 28$. Поэтому вычитаемое необходимо заключить в скобки. Получается выражение: $31 - (a + b - 28)$.

Ответ: $31 - (a + b - 28)$.

2.127 Назовите слагаемые в сумме:

а) (17 - 8) + 15;

б) (а - 64) + 19;

в) (n - 12) + (m + 74);

г) (а + с) + (z - k)

а) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Первым слагаемым является значение выражения в скобках, то есть разность чисел $17$ и $8$. Вторым слагаемым является число $15$.
Ответ: слагаемые — это $(17 - 8)$ и $15$.

б) В этом выражении первое слагаемое — это разность переменной $a$ и числа $64$, записанная в скобках. Второе слагаемое — это число $19$.
Ответ: слагаемые — это $(a - 64)$ и $19$.

в) Это выражение является суммой двух слагаемых, каждое из которых заключено в скобки. Первое слагаемое — это выражение $(n - 12)$, а второе слагаемое — это выражение $(m + 74)$.
Ответ: слагаемые — это $(n - 12)$ и $(m + 74)$.

г) В данном выражении складываются два выражения в скобках. Первое слагаемое — это сумма $(a + c)$, а второе слагаемое — это разность $(z - k)$.
Ответ: слагаемые — это $(a + c)$ и $(z - k)$.

2.128 Назовите уменьшаемое и вычитаемое в разности:

а) (x + 44) - 47;

б) (x + 21) - (31 - 5);

в) (93 + 48) - (p - 5);

г) (a + 12) - (k - b).

а) В разности $(x + 44) - 47$ компонент, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а компонент, который вычитают, — вычитаемым. Уменьшаемое стоит до знака минус, а вычитаемое — после.
Уменьшаемое: $(x + 44)$.
Вычитаемое: $47$.
Ответ: уменьшаемое — $(x + 44)$, вычитаемое — $47$.

б) В разности $(x + 21) - (31 - 5)$ уменьшаемым является выражение, стоящее до знака минус, а вычитаемым — выражение, стоящее после знака минус.
Уменьшаемое: $(x + 21)$.
Вычитаемое: $(31 - 5)$.
Ответ: уменьшаемое — $(x + 21)$, вычитаемое — $(31 - 5)$.

в) В разности $(93 + 48) - (p - 5)$ уменьшаемое — это выражение, из которого вычитают, то есть $(93 + 48)$. Вычитаемое — это выражение, которое вычитают, то есть $(p - 5)$.
Уменьшаемое: $(93 + 48)$.
Вычитаемое: $(p - 5)$.
Ответ: уменьшаемое — $(93 + 48)$, вычитаемое — $(p - 5)$.

г) В разности $(a + 12) - (k - b)$ уменьшаемое — это выражение, стоящее перед знаком вычитания, а вычитаемое — выражение, стоящее после него.
Уменьшаемое: $(a + 12)$.
Вычитаемое: $(k - b)$.
Ответ: уменьшаемое — $(a + 12)$, вычитаемое — $(k - b)$.

2.129 Прочитайте выражение:

а) (x + 3) - 9;

б) (x - y) + 2;

в) 5 - (n + 4);

г) (c + 8) + (k - 4).

а) (х + 3) - 9 — разность выражения х + 3 и числа 9;

б) (х - у) + 2 — сумма выражения х - у и числа 2;

в) 5 - (n + 4) — разность числа 5 и выражения n + 4;

г) (c + 8) + (k - 4) — сумма суммы с и 8 и разности k и 4.

a) Чтобы прочитать выражение $(x + 3) - 9$, определим порядок действий. Первое действие выполняется в скобках — это сложение. Второе действие — вычитание. Так как последнее действие — вычитание, то всё выражение является разностью. Уменьшаемое в этой разности — это выражение в скобках $(x + 3)$, которое является суммой чисел $x$ и 3. Вычитаемое — число 9. Таким образом, выражение читается как разность суммы и числа.

Ответ: разность суммы чисел $x$ и 3 и числа 9.

б) Чтобы прочитать выражение $(x - y) + 2$, определим порядок действий. Первое действие — вычитание в скобках. Второе действие — сложение. Так как последнее действие — сложение, то всё выражение является суммой. Первое слагаемое — это выражение в скобках $(x - y)$, которое является разностью чисел $x$ и $y$. Второе слагаемое — число 2. Таким образом, выражение читается как сумма разности и числа.

Ответ: сумма разности чисел $x$ и $y$ и числа 2.

в) Чтобы прочитать выражение $5 - (n + 4)$, определим порядок действий. Первое действие — сложение в скобках. Второе действие — вычитание. Так как последнее действие — вычитание, то всё выражение является разностью. Уменьшаемое — число 5. Вычитаемое — это выражение в скобках $(n + 4)$, которое является суммой чисел $n$ и 4. Таким образом, выражение читается как разность числа и суммы.

Ответ: разность числа 5 и суммы чисел $n$ и 4.

г) Чтобы прочитать выражение $(c + 8) + (k - 4)$, определим порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках: сложение в первых скобках и вычитание во вторых. Последнее действие — сложение результатов. Следовательно, всё выражение является суммой. Первое слагаемое — это выражение $(c + 8)$, которое является суммой чисел $c$ и 8. Второе слагаемое — это выражение $(k - 4)$, которое является разностью чисел $k$ и 4. Таким образом, выражение читается как сумма суммы и разности.

Ответ: сумма суммы чисел $c$ и 8 и разности чисел $k$ и 4.

2.130 Найдите значение выражения:

а) (125 + x) - 19 при x = 78; 69; 0;

б) y - (c + 8) при y = 170, c = 68.

а) (125 + х) - 19

при х = 78; (125 + 78) - 19 = 184;

при х = 69; (125 + 69) - 19 = 125 + (69 - 19) = 125 + 50 = 175;

при х = 0; (125 + 0) - 19 = 125 - 19 = 106.

б) у - (с + 8) при у = 170, с = 68

170 - (68 + 8) = 170 - 76 = 170 - (70 + 6) = (170 - 70) - 6 = 100 - 6 = 94

а) Чтобы найти значение выражения $(125 + x) - 19$, необходимо подставить в него поочередно каждое из заданных значений $x$.

1. Если $x = 78$, то:

$(125 + 78) - 19 = 203 - 19 = 184$.

2. Если $x = 69$, то:

$(125 + 69) - 19 = 194 - 19 = 175$.

3. Если $x = 0$, то:

$(125 + 0) - 19 = 125 - 19 = 106$.

Ответ: 184; 175; 106.

б) Чтобы найти значение выражения $y - (c + 8)$, подставим в него заданные значения $y = 170$ и $c = 68$.

Получаем выражение: $170 - (68 + 8)$.

Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем сумму в скобках:

$68 + 8 = 76$.

Затем выполняем вычитание:

$170 - 76 = 94$.

Ответ: 94.

2.131 Заполните таблицу.

При каких значениях n:

а) 22 — n > n + 16;

б) 22 — n < n + 16;

в) 22 - n = n + 16?

а) 22 - n > n + 16

Согласно таблице при n = 10, 11, ..., 16, значение выражения 22 - n, начиная с 12, убывают, а значения выражения n + 16, начиная с 26, возражают. Таким образом, в таблице таких значений n нет, при которых 22 - n > n + 16.

Значит, что значение n в таблице возражают. Возьмём n <10 и составим новую таблицу.

22 - n > n + 16 при n = 2; n = 1; n = 0.

Ответ: таких значений n нет или при n = 2; n = 1; n = 0.

б) 22 - n < n + 16

Согласно таблице в условиях задачи при n = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Согласно таблице построенной нами (n. а)), при n = 9, 8, 7, 6, 5, 4.

Ответ: при n = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 или n = 9, 8, 7, 6, 5, 4.

в) 22 - n = n + 16

Согласно таблице в условиях задачи, таких значений n нет. Согласно таблице, составленной нами (n. а)), при n = 3.

Ответ: таких значений n нет или при n = 3.

Сначала заполним таблицу, вычисляя значения выражений $n + 16$ и $22 - n$ для каждого заданного значения $n$.

• При $n = 10$: $n + 16 = 10 + 16 = 26$; $22 - n = 22 - 10 = 12$.
• При $n = 11$: $n + 16 = 11 + 16 = 27$; $22 - n = 22 - 11 = 11$.
• При $n = 12$: $n + 16 = 12 + 16 = 28$; $22 - n = 22 - 12 = 10$.
• При $n = 13$: $n + 16 = 13 + 16 = 29$; $22 - n = 22 - 13 = 9$.
• При $n = 14$: $n + 16 = 14 + 16 = 30$; $22 - n = 22 - 14 = 8$.
• При $n = 15$: $n + 16 = 15 + 16 = 31$; $22 - n = 22 - 15 = 7$.
• При $n = 16$: $n + 16 = 16 + 16 = 32$; $22 - n = 22 - 16 = 6$.

Заполненная таблица выглядит так:

Теперь ответим на вопросы, решив соответствующие неравенства и уравнение.

а) При каких значениях n: $22 - n > n + 16$

Для решения неравенства перенесем члены с переменной $n$ в одну сторону, а постоянные члены в другую:
$22 - 16 > n + n$
$6 > 2n$
$3 > n$, что равносильно $n < 3$.
Неравенство выполняется для всех значений $n$, которые меньше 3. Если посмотреть на таблицу, то ни одно из предложенных значений $n$ (от 10 до 16) не удовлетворяет этому условию.
Ответ: $n < 3$.

б) При каких значениях n: $22 - n < n + 16$

Решим это неравенство аналогичным образом:
$22 - 16 < n + n$
$6 < 2n$
$3 < n$, что равносильно $n > 3$.
Неравенство выполняется для всех значений $n$, которые больше 3. Все значения $n$ из таблицы (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16) удовлетворяют этому условию.
Ответ: $n > 3$.

в) При каких значениях n: $22 - n = n + 16$?

Решим данное уравнение:
$22 - 16 = n + n$
$6 = 2n$
$n = 6 / 2$
$n = 3$.
Равенство выполняется только при $n=3$. Данного значения нет среди предложенных в таблице.
Ответ: $n = 3$.

2.132 Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение:

1) Длина одного железнодорожного перегона равна 142 км, что на 107 км меньше длины другого перегона. Чему равна длина двух перегонов вместе?

2) С одного дерева собрали 65 кг абрикосов, что на 15 кг больше, чем с другого дерева. Сколько килограммов абрикосов собрали с двух деревьев вместе?

(142 + 107) км - длина второго перегона

$142 \stackrel{2}{+} (142 \stackrel{1}{+} 107) = 391 \left(\mathrm{км}\right)$

Ответ: 391 км.

(65 - 15) кг собрали абрикосов с другого дерева

$65 +(65 \stackrel{50}{-} 15)$ = 65 + 50 = 115 (кг)

Ответ: 115 кг.

1) По условию задачи, длина одного железнодорожного перегона равна 142 км. Это на 107 км меньше, чем длина второго перегона. Следовательно, второй перегон длиннее первого на 107 км. Чтобы найти длину второго перегона, нужно к длине первого прибавить 107 км.
Длина второго перегона: $142 + 107$ км.
Чтобы найти общую длину двух перегонов, нужно сложить длину первого перегона и найденную длину второго перегона.
Составим выражение для решения задачи: $142 + (142 + 107)$.
Теперь найдем его значение:
$142 + (142 + 107) = 142 + 249 = 391$ (км).
Ответ: 391 км.

2) По условию, с одного дерева собрали 65 кг абрикосов, что на 15 кг больше, чем с другого. Это значит, что со второго дерева собрали на 15 кг меньше, чем с первого. Чтобы найти, сколько килограммов абрикосов собрали со второго дерева, нужно из количества, собранного с первого дерева, вычесть 15 кг.
Количество абрикосов со второго дерева: $65 - 15$ кг.
Чтобы найти, сколько всего килограммов абрикосов собрали с двух деревьев, нужно сложить количество, собранное с первого дерева, и найденное количество со второго дерева.
Составим выражение для решения задачи: $65 + (65 - 15)$.
Теперь найдем его значение:
$65 + (65 - 15) = 65 + 50 = 115$ (кг).
Ответ: 115 кг.

2.133 Сестра старше брата на 7 лет. Сколько лет сестре, если брату х лет? Составьте выражение и найдите его значение при:

а) х = 1;

б) х = 5;

в) х = 10.

Ответ: х + 7; а) 8 лет; б) 12 лет; в) 17 лет.

Для начала составим математическое выражение. Пусть возраст брата равен $x$ лет. По условию, сестра старше его на 7 лет. Это означает, что к возрасту брата нужно прибавить 7, чтобы получить возраст сестры.

Выражение для возраста сестры: $x + 7$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого заданного значения $x$.

а) при $x = 1$:
$1 + 7 = 8$ (лет)
Ответ: 8 лет.

б) при $x = 5$:
$5 + 7 = 12$ (лет)
Ответ: 12 лет.

в) при $x = 10$:
$10 + 7 = 17$ (лет)
Ответ: 17 лет.

?

Можно ли привести дробь $\frac{4}{9}$ к знаменателю 36; к знаменателю 46?

Приведение дроби к новому знаменателю выполняется на основе основного свойства дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число (дополнительный множитель), то получится равная ей дробь. Чтобы выяснить, можно ли привести дробь к новому знаменателю, нужно проверить, делится ли новый знаменатель на старый без остатка.

1. Приведение дроби $\frac{4}{9}$ к знаменателю 36.
Проверим, делится ли новый знаменатель (36) на старый (9):
$36 \div 9 = 4$.
Деление выполняется нацело. Значит, мы можем привести дробь к знаменателю 36, используя дополнительный множитель 4. Умножим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$.
Таким образом, привести дробь к знаменателю 36 можно.

2. Приведение дроби $\frac{4}{9}$ к знаменателю 46.
Проверим, делится ли новый знаменатель (46) на старый (9):
$46 \div 9 = 5$ (остаток 1).
Поскольку 46 не делится на 9 нацело, не существует такого целого числа, на которое можно умножить знаменатель 9, чтобы получить 46. Следовательно, привести дробь $\frac{4}{9}$ к знаменателю 46 (с целым числителем) невозможно.

Ответ: дробь $\frac{4}{9}$ можно привести к знаменателю 36, но нельзя привести к знаменателю 46.

Что такое дополнительный множитель? Как его найти?

Дополнительный множитель — это натуральное число, на которое умножают одновременно и числитель, и знаменатель дроби для того, чтобы привести ее к новому знаменателю. Использование дополнительного множителя позволяет получить новую дробь, равную исходной.

Чтобы найти дополнительный множитель, необходимо новый (требуемый) знаменатель разделить на старый (исходный) знаменатель. Пусть нужно привести дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $c$. Дополнительный множитель $k$ находится по формуле:
$k = c \div b$.
Найти целочисленный дополнительный множитель можно только в том случае, если новый знаменатель $c$ является кратным старому знаменателю $b$.

Например, при приведении дроби $\frac{4}{9}$ к знаменателю $36$ дополнительный множитель равен $36 \div 9 = 4$.

Ответ: Дополнительный множитель — это число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби для приведения ее к новому знаменателю. Его находят путем деления нового знаменателя на старый.

Какое число может служить общим знаменателем двух дробей?

Общим знаменателем для двух или более дробей может служить любое число, которое делится без остатка на знаменатель каждой из этих дробей. Иными словами, это любое общее кратное их знаменателей.

Например, для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ их общий знаменатель $m$ должен удовлетворять условиям: $m$ делится на $b$ и $m$ делится на $d$. Самый простой, но не всегда самый удобный способ найти общий знаменатель — это перемножить знаменатели: $m = b \cdot d$.

На практике для упрощения вычислений стараются использовать наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей исходных дробей. Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждый из знаменателей.

Пример: Найти общий знаменатель для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{8}$.
Знаменатели — 6 и 8.
Найдем их НОК. Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Кратные 8: 8, 16, 24, 32, ...
Наименьшее общее кратное — 24. Значит, наименьшим общим знаменателем будет 24. Другими общими знаменателями могут быть 48, 72 и так далее (любое число, кратное 24).

Ответ: Общим знаменателем двух дробей может служить любое их общее кратное. Чаще всего используют наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

5.364 Приведите дробь:

а) 57 к знаменателю 35;

б) 617 к знаменателю 34;

в) 1114 к знаменателю 70;

г) 1519 к знаменателю 57.

а) 35 : 7 = 5 - дополнительный множитель

б) 34 : 17 = 2 - дополнительный множитель

в) 70 : 14 = 5 - дополнительный множитель

г) 57 : 19 = 3 - дополнительный множитель

а) Чтобы привести дробь $\frac{5}{7}$ к знаменателю 35, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $35 \div 7 = 5$. Теперь, используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}$

Ответ: $\frac{25}{35}$

б) Чтобы привести дробь $\frac{6}{17}$ к знаменателю 34, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $34 \div 17 = 2$. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{6}{17}$ на 2:

$\frac{6}{17} = \frac{6 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{12}{34}$

Ответ: $\frac{12}{34}$

в) Чтобы привести дробь $\frac{11}{14}$ к знаменателю 70, найдем дополнительный множитель: $70 \div 14 = 5$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 5:

$\frac{11}{14} = \frac{11 \cdot 5}{14 \cdot 5} = \frac{55}{70}$

Ответ: $\frac{55}{70}$

г) Чтобы привести дробь $\frac{15}{19}$ к знаменателю 57, найдем дополнительный множитель: $57 \div 19 = 3$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 3:

$\frac{15}{19} = \frac{15 \cdot 3}{19 \cdot 3} = \frac{45}{57}$

Ответ: $\frac{45}{57}$

5.365 Выразите в секундах, а потом в шестидесятых долях минуты:

$1\text{мин} = 60\text{с}$

а) Знаменатель дроби $\frac{1}{4}$ показывает, что 1 мин = 60с нужно разделить на 4 равное части, а числитель - взять 1 такую часть

$60 : 4 = 15\text{с}$ - в 1 части

$\frac{1}{4}\text{мин} = 15\text{с} = \frac{1 · 15}{4 · 15}\text{мин} = \frac{15}{60}\text{мин}$

Знаменатель дроби $\frac{5}{12}$ показывает, что 1 мин = 60с нужно разделить на 12 равных частей, а числитель - взять 5 таких частей.

$60 : 12 = 5\text{с}$ - в 1 части

$5 · 5 = 25\text{с}$ - в 5 частях

$\frac{5}{12}\text{мин} = 25\text{с} = \frac{5 · 5}{12 · 5}\text{мин} = \frac{25}{60}\text{мин}$

б) $\frac{5}{6}\text{мин} = 50\text{с} = \frac{5 · 10}{6 · 10}\text{мин} = \frac{50}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 6 · 5 = 50\text{с}$

$\frac{9}{15}\text{мин} = 36\text{с} = \frac{9 · 4}{15 · 4}\text{мин} = \frac{36}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 15 · 9 = 36\text{с}$

в) $\frac{6}{10}\text{мин} = 36\text{с} = \frac{6 · 6}{10 · 6}\text{мин} = \frac{36}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 10 · 6 = 36\text{с}$

$\frac{4}{12}\text{мин} = 20\text{с} = \frac{4 · 5}{12 · 5}\text{мин} = \frac{20}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 12 · 4 = 20\text{с}$

г) $\frac{17}{30}\text{мин} = 34\text{с} = \frac{17 · 2}{30 · 2}\text{мин} = \frac{34}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 30 · 17 = 34\text{с}$

$\frac{13}{20}\text{мин} = 39\text{с} = \frac{13 · 3}{20 · 3}\text{мин} = \frac{39}{60}\text{мин}$,

так как $60 : 20 · 13 = 39\text{с}$

Для того чтобы выразить указанные доли минуты в секундах, необходимо умножить дробь на 60, поскольку в одной минуте содержится 60 секунд.
"Шестидесятая доля минуты" — это $\frac{1}{60}$ минуты, что эквивалентно 1 секунде. Следовательно, числовое значение в секундах будет совпадать с количеством шестидесятых долей минуты. Чтобы найти это значение, мы можем либо умножить дробь на 60, либо привести ее к знаменателю 60; числитель полученной дроби и будет искомым значением.

а)

Для $\frac{1}{4}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{1}{4} \text{ мин} = \frac{1}{4} \times 60 \text{ с} = 15 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 15 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{1}{4} = \frac{15}{60}$.

Для $\frac{5}{12}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{5}{12} \text{ мин} = \frac{5}{12} \times 60 \text{ с} = 5 \times 5 \text{ с} = 25 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 25 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$ мин - это 15 секунд или 15 шестидесятых долей минуты; $\frac{5}{12}$ мин - это 25 секунд или 25 шестидесятых долей минуты.

б)

Для $\frac{5}{6}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{5}{6} \text{ мин} = \frac{5}{6} \times 60 \text{ с} = 5 \times 10 \text{ с} = 50 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 50 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{5}{6} = \frac{50}{60}$.

Для $\frac{9}{15}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{9}{15} \text{ мин} = \frac{9}{15} \times 60 \text{ с} = 9 \times 4 \text{ с} = 36 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 36 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{9}{15} = \frac{36}{60}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$ мин - это 50 секунд или 50 шестидесятых долей минуты; $\frac{9}{15}$ мин - это 36 секунд или 36 шестидесятых долей минуты.

в)

Для $\frac{6}{10}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{6}{10} \text{ мин} = \frac{6}{10} \times 60 \text{ с} = 6 \times 6 \text{ с} = 36 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 36 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{6}{10} = \frac{36}{60}$.

Для $\frac{4}{12}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{4}{12} \text{ мин} = \frac{4}{12} \times 60 \text{ с} = 4 \times 5 \text{ с} = 20 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 20 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{4}{12} = \frac{20}{60}$.
Ответ: $\frac{6}{10}$ мин - это 36 секунд или 36 шестидесятых долей минуты; $\frac{4}{12}$ мин - это 20 секунд или 20 шестидесятых долей минуты.

г)

Для $\frac{17}{30}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{17}{30} \text{ мин} = \frac{17}{30} \times 60 \text{ с} = 17 \times 2 \text{ с} = 34 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 34 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{17}{30} = \frac{34}{60}$.

Для $\frac{13}{20}$ минуты:
Перевод в секунды: $\frac{13}{20} \text{ мин} = \frac{13}{20} \times 60 \text{ с} = 13 \times 3 \text{ с} = 39 \text{ с}$.
Это же значение соответствует 39 шестидесятым долям минуты, так как $\frac{13}{20} = \frac{39}{60}$.
Ответ: $\frac{17}{30}$ мин - это 34 секунды или 34 шестидесятых долей минуты; $\frac{13}{20}$ мин - это 39 секунд или 39 шестидесятых долей минуты.

5.366 Сколько содержится:

а) четвертых в 32;

б) десятых в 65;

в) двенадцатых в 76;

г) сотых в 15;

д) тридцатых в 45;

е) тысячных в 750.

а) четвёртых в $\frac{3}{2}$

Чтобы определить, сколько четвёртых долей (то есть дробей $\frac{1}{4}$) содержится в дроби $\frac{3}{2}$, необходимо выполнить деление:

$\frac{3}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Другой способ — привести дробь $\frac{3}{2}$ к знаменателю 4: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4}$. Это означает, что в дроби $\frac{3}{2}$ содержится 6 четвёртых долей.

Ответ: 6

б) десятых в $\frac{6}{5}$

Чтобы определить, сколько десятых долей ($\frac{1}{10}$) содержится в дроби $\frac{6}{5}$, выполним деление:

$\frac{6}{5} : \frac{1}{10} = \frac{6}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{6 \cdot 10}{5} = 6 \cdot 2 = 12$

Приведя дробь $\frac{6}{5}$ к знаменателю 10, получим: $\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10}$. Это означает, что в дроби $\frac{6}{5}$ содержится 12 десятых долей.

Ответ: 12

в) двенадцатых в $\frac{7}{6}$

Чтобы определить, сколько двенадцатых долей ($\frac{1}{12}$) содержится в дроби $\frac{7}{6}$, выполним деление:

$\frac{7}{6} : \frac{1}{12} = \frac{7}{6} \cdot \frac{12}{1} = \frac{7 \cdot 12}{6} = 7 \cdot 2 = 14$

Приведя дробь $\frac{7}{6}$ к знаменателю 12, получим: $\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{14}{12}$. Это означает, что в дроби $\frac{7}{6}$ содержится 14 двенадцатых долей.

Ответ: 14

г) сотых в $\frac{1}{5}$

Чтобы определить, сколько сотых долей ($\frac{1}{100}$) содержится в дроби $\frac{1}{5}$, выполним деление:

$\frac{1}{5} : \frac{1}{100} = \frac{1}{5} \cdot \frac{100}{1} = \frac{100}{5} = 20$

Приведя дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 100, получим: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{20}{100}$. Это означает, что в дроби $\frac{1}{5}$ содержится 20 сотых долей.

Ответ: 20

д) тридцатых в $\frac{4}{5}$

Чтобы определить, сколько тридцатых долей ($\frac{1}{30}$) содержится в дроби $\frac{4}{5}$, выполним деление:

$\frac{4}{5} : \frac{1}{30} = \frac{4}{5} \cdot \frac{30}{1} = \frac{4 \cdot 30}{5} = 4 \cdot 6 = 24$

Приведя дробь $\frac{4}{5}$ к знаменателю 30, получим: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$. Это означает, что в дроби $\frac{4}{5}$ содержится 24 тридцатых долей.

Ответ: 24

е) тысячных в $\frac{7}{50}$

Чтобы определить, сколько тысячных долей ($\frac{1}{1000}$) содержится в дроби $\frac{7}{50}$, выполним деление:

$\frac{7}{50} : \frac{1}{1000} = \frac{7}{50} \cdot \frac{1000}{1} = \frac{7 \cdot 1000}{50} = 7 \cdot 20 = 140$

Приведя дробь $\frac{7}{50}$ к знаменателю 1000, получим: $\frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 20}{50 \cdot 20} = \frac{140}{1000}$. Это означает, что в дроби $\frac{7}{50}$ содержится 140 тысячных долей.

Ответ: 140

5.367 Сократите дроби 312, 1224, 2156, 2736, а потом приведите их к знаменателю 16.

Задача состоит из двух шагов для каждой дроби: сначала сокращение, а затем приведение к знаменателю 16.

$\frac{3}{12}$

Сначала сократим дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 3 и знаменателя 12. НОД(3, 12) = 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$

Теперь приведем полученную дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 16. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на текущий: $16 \div 4 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1 \times 4}{4 \times 4} = \frac{4}{16}$

Ответ: $\frac{4}{16}$

$\frac{12}{24}$

Сократим дробь. НОД(12, 24) = 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{1}{2}$

Теперь приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 16. Дополнительный множитель: $16 \div 2 = 8$. Умножим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{1 \times 8}{2 \times 8} = \frac{8}{16}$

Ответ: $\frac{8}{16}$

$\frac{21}{56}$

Сократим дробь. НОД(21, 56) = 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$

Теперь приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 16. Дополнительный множитель: $16 \div 8 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3 \times 2}{8 \times 2} = \frac{6}{16}$

Ответ: $\frac{6}{16}$

$\frac{27}{36}$

Сократим дробь. НОД(27, 36) = 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$

Теперь приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 16. Дополнительный множитель: $16 \div 4 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$

Ответ: $\frac{12}{16}$

5.368 Можно ли привести к знаменателю 24 дроби 13, 38, 512, 49, 711 и 2436?

Чтобы определить, можно ли привести дробь к новому знаменателю, необходимо проверить, является ли новый знаменатель (в данном случае 24) кратным знаменателю исходной дроби. Если дробь сократимая, то проверять нужно для ее несократимого вида. Другими словами, новый знаменатель должен делиться нацело на знаменатель несократимой дроби.

$\frac{1}{3}$

Знаменатель дроби равен 3. Дробь несократимая. Проверим, делится ли 24 на 3 без остатка: $24 \div 3 = 8$. Поскольку деление выполняется нацело, дробь можно привести к знаменателю 24. Для этого умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель 8: $\frac{1 \times 8}{3 \times 8} = \frac{8}{24}$.

Ответ: да, можно.

$\frac{3}{8}$

Знаменатель дроби равен 8. Дробь несократимая. Проверим, делится ли 24 на 8 без остатка: $24 \div 8 = 3$. Деление выполняется нацело, значит, дробь можно привести к знаменателю 24. Дополнительный множитель равен 3: $\frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}$.

Ответ: да, можно.

$\frac{5}{12}$

Знаменатель дроби равен 12. Дробь несократимая. Проверим, делится ли 24 на 12 без остатка: $24 \div 12 = 2$. Деление выполняется нацело, поэтому дробь можно привести к знаменателю 24. Дополнительный множитель равен 2: $\frac{5 \times 2}{12 \times 2} = \frac{10}{24}$.

Ответ: да, можно.

$\frac{4}{9}$

Знаменатель дроби равен 9. Дробь несократимая. Проверим, делится ли 24 на 9 без остатка: $24 \div 9 = 2$ и остаток 6. Деление не выполняется нацело, следовательно, эту дробь нельзя привести к знаменателю 24.

Ответ: нет, нельзя.

$\frac{7}{11}$

Знаменатель дроби равен 11. Дробь несократимая. Проверим, делится ли 24 на 11 без остатка: $24 \div 11 = 2$ и остаток 2. Деление не выполняется нацело, следовательно, эту дробь нельзя привести к знаменателю 24.

Ответ: нет, нельзя.

$\frac{24}{36}$

Данная дробь является сократимой. Сначала сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 12: $\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$. Теперь у нас есть несократимая дробь $\frac{2}{3}$ со знаменателем 3. Проверим, делится ли 24 на 3 без остатка: $24 \div 3 = 8$. Деление выполняется нацело. Значит, исходную дробь можно привести к знаменателю 24. Для этого приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24, умножив на дополнительный множитель 8: $\frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$.

Ответ: да, можно.

5.369 Приведите к общему знаменателю дроби:

а)

Даны дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{3} $. Чтобы привести их к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 4 и 3.

Поскольку числа 4 и 3 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению:

НОК(4, 3) = $4 \times 3 = 12$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 12. Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $ \frac{3}{4} $ дополнительный множитель равен $12 \div 4 = 3$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 3:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $.

Для дроби $ \frac{2}{3} $ дополнительный множитель равен $12 \div 3 = 4$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $.

Таким образом, дроби, приведенные к общему знаменателю, равны $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{8}{12} $.

Ответ: $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{8}{12} $.

б)

Даны дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{7} $. Знаменатели дробей: 5 и 7.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей. Числа 5 и 7 — простые, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению:

НОК(5, 7) = $5 \times 7 = 35$.

Приведем дроби к знаменателю 35.

Для дроби $ \frac{4}{5} $ дополнительный множитель: $35 \div 5 = 7$.

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 7}{5 \times 7} = \frac{28}{35} $.

Для дроби $ \frac{3}{7} $ дополнительный множитель: $35 \div 7 = 5$.

$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} $.

Ответ: $ \frac{28}{35} $ и $ \frac{15}{35} $.

в)

Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{7}{9} $. Знаменатели дробей: 10 и 9.

Найдем НОК(10, 9). Числа 10 и 9 взаимно простые, поэтому их НОК равно их произведению:

НОК(10, 9) = $10 \times 9 = 90$.

Приведем дроби к знаменателю 90.

Для дроби $ \frac{3}{10} $ дополнительный множитель: $90 \div 10 = 9$.

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 9}{10 \times 9} = \frac{27}{90} $.

Для дроби $ \frac{7}{9} $ дополнительный множитель: $90 \div 9 = 10$.

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \times 10}{9 \times 10} = \frac{70}{90} $.

Ответ: $ \frac{27}{90} $ и $ \frac{70}{90} $.

г)

Даны дроби $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{4}{9} $. Знаменатели дробей: 3 и 9.

Найдем НОК(3, 9). Поскольку 9 делится на 3 нацело ($9 \div 3 = 3$), то 9 является наименьшим общим кратным для этих чисел.

НОК(3, 9) = 9.

Приведем дроби к общему знаменателю 9.

Для дроби $ \frac{5}{3} $ дополнительный множитель: $9 \div 3 = 3$.

$ \frac{5}{3} = \frac{5 \times 3}{3 \times 3} = \frac{15}{9} $.

Дробь $ \frac{4}{9} $ уже имеет знаменатель 9, поэтому ее изменять не нужно.

Ответ: $ \frac{15}{9} $ и $ \frac{4}{9} $.

5.370 Приведите к общему знаменателю дроби:

N.5.370

a) Наименьший общий знаменатель-12

12 : 6 = 2- дополнительный множитель первой дроби

12 : 4 = 3- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{1}{6} = \frac{1 · 2}{6 · 2} = \frac{2}{12}$ и $\frac{1}{4} = \frac{1 · 3}{4 · 3} = \frac{3}{12}$

б) Наименьший общий знаменатель-36

36 : 9 = 4- дополнительный множитель первой дроби

36 : 12 = 3- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{7}{9} = \frac{7 · 4}{9 · 4} = \frac{28}{36}$ и $\frac{7}{12} = \frac{7 · 3}{12 · 3} = \frac{21}{36}$

в) Наименьший общий знаменатель-60

60 : 12 = 5- дополнительный множитель первой дроби

60 : 10 = 6- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{5}{12} = \frac{5 · 5}{12 · 5} = \frac{25}{60}$ и $\frac{3}{10} = \frac{3 · 6}{10 · 6} = \frac{18}{60}$

г) Наименьший общий знаменатель-54

54 : 18 = 3- дополнительный множитель первой дроби

54 : 27 = 2- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{7}{18} = \frac{7 · 3}{18 · 3} = \frac{21}{54}$ и $\frac{10}{27} = \frac{10 · 2}{27 · 2} = \frac{20}{54}$

д) Наименьший общий знаменатель-70

70 : 10 = 7- дополнительный множитель первой дроби

70 : 14 = 5- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{3}{10} = \frac{3 · 7}{10 · 7} = \frac{21}{70}$ и $\frac{3}{14} = \frac{3 · 5}{14 · 5} = \frac{15}{70}$

е) Наименьший общий знаменатель-30

30 : 10 = 3- дополнительный множитель первой дроби

30 : 15 = 2- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{11}{10} = \frac{11 · 3}{10 · 3} = \frac{33}{30}$ и $\frac{11}{15} = \frac{11 · 2}{15 · 2} = \frac{22}{30}$

ж) Наименьший общий знаменатель-72

72 : 24 = 3- дополнительный множитель первой дроби

72 : 36 = 2- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{13}{24} = \frac{13 · 3}{24 · 3} = \frac{39}{72}$ и $\frac{8}{36} = \frac{8 · 2}{36 · 2} = \frac{16}{72}$

з) Наименьший общий знаменатель-90

90 : 30 = 3- дополнительный множитель первой дроби

90 : 45 = 2- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{11}{30} = \frac{11 · 3}{30 · 3} = \frac{33}{90}$ и $\frac{7}{45} = \frac{7 · 2}{45 · 2} = \frac{14}{90}$

и) Наименьший общий знаменатель-220, так как

55 = 5 · 11

44 = 4 · 11

5 · 4 · 11 = 20 · 11 = 220

220 : 55 = 4- дополнительный множитель первой дроби

220 : 44 = 5- дополнительный множитель второй дроби

$\frac{7}{55} = \frac{7 · 4}{55 · 4} = \frac{28}{220}$ и $\frac{9}{44} = \frac{9 · 5}{44 · 5} = \frac{45}{220}$

к) Наименьший общий знаменатель-1000

1000 : 10 = 100- дополнительный множитель первой дроби

$\frac{7}{10} = \frac{7 · 100}{10 · 100} = \frac{700}{1000}$ и $\frac{777}{1000}$

л) 2500 = 25 · 100

7500 = 25 · 3 · 100

Наименьший общий знаменатель-7500

7500 : 2500 = 3- дополнительный множитель первой дроби

$\frac{43}{2500} = \frac{43 · 3}{2500 · 3} = \frac{129}{7500}$ и $\frac{411}{7500}$

м) 778 : 389 = 2- дополнительный множитель первой дроби

Наименьший общий знаменатель-778

$\frac{20}{389} = \frac{20 · 2}{389 · 2} = \frac{40}{778}$ и $\frac{41}{778}$

а) Чтобы привести дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{4} $ к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 6 и 4.
Разложим знаменатели на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $; $ 4 = 2^2 $.
НОК(6, 4) = $ 2^2 \cdot 3 = 12 $.
Для первой дроби дополнительный множитель равен $ 12 \div 6 = 2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Для второй дроби дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.
Ответ: $ \frac{2}{12} $ и $ \frac{3}{12} $.

б) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{7}{12} $.
Найдем НОК знаменателей 9 и 12.
Разложим на множители: $ 9 = 3^2 $; $ 12 = 2^2 \cdot 3 $.
НОК(9, 12) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 36 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{7}{9} $ это $ 36 \div 9 = 4 $. $ \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{7}{12} $ это $ 36 \div 12 = 3 $. $ \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36} $.
Ответ: $ \frac{28}{36} $ и $ \frac{21}{36} $.

в) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{3}{10} $.
Найдем НОК знаменателей 12 и 10.
Разложим на множители: $ 12 = 2^2 \cdot 3 $; $ 10 = 2 \cdot 5 $.
НОК(12, 10) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{5}{12} $ это $ 60 \div 12 = 5 $. $ \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{3}{10} $ это $ 60 \div 10 = 6 $. $ \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60} $.
Ответ: $ \frac{25}{60} $ и $ \frac{18}{60} $.

г) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{7}{18} $ и $ \frac{10}{27} $.
Найдем НОК знаменателей 18 и 27.
Разложим на множители: $ 18 = 2 \cdot 3^2 $; $ 27 = 3^3 $.
НОК(18, 27) = $ 2 \cdot 3^3 = 54 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{7}{18} $ это $ 54 \div 18 = 3 $. $ \frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{21}{54} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{10}{27} $ это $ 54 \div 27 = 2 $. $ \frac{10 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{20}{54} $.
Ответ: $ \frac{21}{54} $ и $ \frac{20}{54} $.

д) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{3}{14} $.
Найдем НОК знаменателей 10 и 14.
Разложим на множители: $ 10 = 2 \cdot 5 $; $ 14 = 2 \cdot 7 $.
НОК(10, 14) = $ 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{3}{10} $ это $ 70 \div 10 = 7 $. $ \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{21}{70} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{3}{14} $ это $ 70 \div 14 = 5 $. $ \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} = \frac{15}{70} $.
Ответ: $ \frac{21}{70} $ и $ \frac{15}{70} $.

е) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{11}{10} $ и $ \frac{11}{15} $.
Найдем НОК знаменателей 10 и 15.
Разложим на множители: $ 10 = 2 \cdot 5 $; $ 15 = 3 \cdot 5 $.
НОК(10, 15) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{11}{10} $ это $ 30 \div 10 = 3 $. $ \frac{11 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{33}{30} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{11}{15} $ это $ 30 \div 15 = 2 $. $ \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{22}{30} $.
Ответ: $ \frac{33}{30} $ и $ \frac{22}{30} $.

ж) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{13}{24} $ и $ \frac{8}{36} $.
Найдем НОК знаменателей 24 и 36.
Разложим на множители: $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $.
НОК(24, 36) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{13}{24} $ это $ 72 \div 24 = 3 $. $ \frac{13 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{39}{72} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{8}{36} $ это $ 72 \div 36 = 2 $. $ \frac{8 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{16}{72} $.
Ответ: $ \frac{39}{72} $ и $ \frac{16}{72} $.

з) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{11}{30} $ и $ \frac{7}{45} $.
Найдем НОК знаменателей 30 и 45.
Разложим на множители: $ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $; $ 45 = 3^2 \cdot 5 $.
НОК(30, 45) = $ 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{11}{30} $ это $ 90 \div 30 = 3 $. $ \frac{11 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \frac{33}{90} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{7}{45} $ это $ 90 \div 45 = 2 $. $ \frac{7 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{14}{90} $.
Ответ: $ \frac{33}{90} $ и $ \frac{14}{90} $.

и) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{7}{55} $ и $ \frac{9}{44} $.
Найдем НОК знаменателей 55 и 44.
Разложим на множители: $ 55 = 5 \cdot 11 $; $ 44 = 2^2 \cdot 11 $.
НОК(55, 44) = $ 2^2 \cdot 5 \cdot 11 = 220 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{7}{55} $ это $ 220 \div 55 = 4 $. $ \frac{7 \cdot 4}{55 \cdot 4} = \frac{28}{220} $.
Дополнительный множитель для $ \frac{9}{44} $ это $ 220 \div 44 = 5 $. $ \frac{9 \cdot 5}{44 \cdot 5} = \frac{45}{220} $.
Ответ: $ \frac{28}{220} $ и $ \frac{45}{220} $.

к) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{7}{10} $ и $ \frac{777}{1000} $.
Общий знаменатель - это НОК(10, 1000). Так как 1000 делится на 10, НОК(10, 1000) = 1000.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 1000 \div 10 = 100 $.
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 100}{10 \cdot 100} = \frac{700}{1000} $.
Вторая дробь $ \frac{777}{1000} $ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $ \frac{700}{1000} $ и $ \frac{777}{1000} $.

л) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{43}{2500} $ и $ \frac{411}{7500} $.
Общий знаменатель - это НОК(2500, 7500). Так как $ 7500 = 2500 \cdot 3 $, то НОК(2500, 7500) = 7500.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 7500 \div 2500 = 3 $.
$ \frac{43}{2500} = \frac{43 \cdot 3}{2500 \cdot 3} = \frac{129}{7500} $.
Вторая дробь $ \frac{411}{7500} $ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $ \frac{129}{7500} $ и $ \frac{411}{7500} $.

м) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{20}{389} $ и $ \frac{41}{778} $.
Общий знаменатель - это НОК(389, 778). Проверим, делится ли 778 на 389: $ 778 \div 389 = 2 $.
Следовательно, НОК(389, 778) = 778.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 778 \div 389 = 2 $.
$ \frac{20}{389} = \frac{20 \cdot 2}{389 \cdot 2} = \frac{40}{778} $.
Вторая дробь $ \frac{41}{778} $ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $ \frac{40}{778} $ и $ \frac{41}{778} $.