Страница 64, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.146 Используя свойства сложения, можно упрощать выражения так:

Образец: 176 + a + 24 = a + 176 + 24 = a + (176 + 24) = a + 200.

По этому образцу упростите выражение:

а) 35 + 56 + c;

б) 47 + k + 38;

в) z + 64 + 17;

г) 203 + p + 97.

а) 35 + 56 + с = с + 35 + 56 = с + (35 + 56) = с + 91;

(35 + 56 = 30 + 5 + 50 + 6 = 80 + 11 = 91)

б) 47 + k + 38 = k + 47 + 38 = k + (47 + 38) = k + 85;

(47 + 38 = 40 + 7 + 30 + 8 = (40 + 30) + (7 + 8) = 70 + 15 = 85)

в) z + 64 + 17 = z + (64 + 17) = z + 81;

(64 + 17 = 60 + 4 + 10 + 7 = (60 + 10) + (4 + 7) = 70 + 11 = 81)

г) 203 + p + 97 = p + (203 + 97) = p + 300;

(203 + 97 = 200 + 3 + 90 + 7 = (200 + 90) + (3 + 7) = 290 + 10 = 300)

Для упрощения выражений используются свойства сложения: переместительное ($a + b = b + a$) и сочетательное ($a + (b + c) = (a + b) + c$). Они позволяют менять слагаемые местами и группировать их для удобства вычислений.

а) В выражении $35 + 56 + c$ числовые слагаемые уже стоят рядом, поэтому можно сразу применить сочетательное свойство, чтобы сгруппировать их и вычислить сумму.
$35 + 56 + c = (35 + 56) + c = 91 + c$
Ответ: $91 + c$

б) В выражении $47 + k + 38$ сначала используем переместительное свойство, чтобы поменять местами $k$ и $47$. Затем, используя сочетательное свойство, сгруппируем числовые слагаемые и сложим их.
$47 + k + 38 = k + 47 + 38 = k + (47 + 38) = k + 85$
Ответ: $k + 85$

в) В выражении $z + 64 + 17$ переменная уже стоит на первом месте. Применим сочетательное свойство, чтобы сгруппировать и сложить числа.
$z + 64 + 17 = z + (64 + 17) = z + 81$
Ответ: $z + 81$

г) В выражении $203 + p + 97$ действуем по аналогии с пунктом б). Сначала применяем переместительное свойство, чтобы поставить переменную $p$ в начало, а затем группируем числа с помощью сочетательного свойства.
$203 + p + 97 = p + 203 + 97 = p + (203 + 97) = p + 300$
Ответ: $p + 300$

2.147 Упростите выражение и найдите его значение:

а) c + 61 + 139 при c = 110;

б) 32 + a + 68 при a = 71;

в) 318 + x + 182 при x = 59;

г) 451 + s + 359 при s = 113.

а) c + 61 + 139 = c + (61 + 139) = c + 200;

61 + 139 = 60 + 1 +130 + 9 = (60 + 130) + (1 + 9) = 190 + 10 = 200;

при с = 110

с + 200 = 110 + 200 = 310

б) 32 + а + 68 = а + (32 + 68) = а + 100

при а = 71

а + 100 = 71 + 100 = 171

в) 318 + х + 182 = х (318 + 182) = х + 500;

при х = 59

х + 500 = 59 + 500 = 559

г) 451 + s + 359 = s + (451 + 359) = s + 810;

при s = 113

s + 810 = 113 + 810 = 923

а) Сначала упростим выражение, сложив числовые слагаемые, используя сочетательное свойство сложения: $c + 61 + 139 = c + (61 + 139) = c + 200$.

Теперь подставим заданное значение $c = 110$ в упрощенное выражение: $110 + 200 = 310$.

Ответ: 310

б) Для упрощения выражения $32 + a + 68$ воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать числа: $(32 + 68) + a = 100 + a$.

Подставим значение $a = 71$ в полученное выражение: $100 + 71 = 171$.

Ответ: 171

в) Упростим выражение $318 + x + 182$, сгруппировав и сложив числовые слагаемые: $(318 + 182) + x = 500 + x$.

Найдем значение выражения при $x = 59$: $500 + 59 = 559$.

Ответ: 559

г) Сначала упростим выражение $451 + s + 359$, сложив числа: $451 + 359 = 810$. Таким образом, выражение принимает вид $810 + s$.

Теперь подставим значение $s = 113$ в упрощенное выражение: $810 + 113 = 923$.

Ответ: 923

2.148 Используя свойства вычитания, можно упрощать выражения так:

Назовите свойство вычитания, которое применили в этих примерах. Упростите выражение:

а) 104 - (17 + a);

б) a - 233 - 577.

В данных примерах применили свойство вычитания суммы из числа

а) 104 - (17 + а) = 104 - 17 - а = 87 - а

б) а - 233 - 577 = а - (233 + 577) = а - 810

В примерах, представленных в задаче, было применено свойство вычитания суммы из числа и обратное ему правило.

1. В первом образце $35 - (18 + l) = 35 - 18 - l = 17 - l$ применено правило вычитания суммы из числа. Его формула: $a - (b + c) = a - b - c$. Чтобы вычесть сумму из числа, можно поочередно вычесть из этого числа каждое слагаемое.

2. Во втором образце $y - 128 - 472 = y - (128 + 472) = y - 600$ применено правило группировки вычитаемых. Его формула: $a - b - c = a - (b + c)$. Чтобы из числа вычесть несколько чисел, можно из этого числа вычесть их сумму.

Теперь упростим выражения, используя эти свойства.

а) 104 – (17 + a)

Используем свойство вычитания суммы из числа $a - (b + c) = a - b - c$.

$104 - (17 + a) = 104 - 17 - a$

Выполним вычитание чисел:

$104 - 17 = 87$

Получаем упрощенное выражение:

$87 - a$

Ответ: $87 - a$

б) a – 233 – 577

Используем свойство группировки вычитаемых $a - b - c = a - (b + c)$.

$a - 233 - 577 = a - (233 + 577)$

Выполним сложение чисел в скобках:

$233 + 577 = 810$

Получаем упрощенное выражение:

$a - 810$

Ответ: $a - 810$

2.149 Упростите выражение, используя свойства сложения и вычитания:

а) 267 - (x + 88);

б) 423 - m - 245.

Образец:

Какие свойства сложения и вычитания применены в этом примере?

В этом примере применены переместительное свойство сложения (с + 137 = 137 + с) и свойство вычитания суммы из числа.

а) 267 - (х + 88) = 267 - (88 + х) = 267 - 88 - х = 179 - х

б) 423 - m - 245 = 423 - (m + 245) = 423 - (245 + m) = 423 - 245 - m = 178 - m

а) Для упрощения выражения $267 - (x + 88)$ применяется свойство вычитания суммы из числа. Формула этого свойства: $a - (b + c) = a - b - c$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$267 - (x + 88) = 267 - x - 88$
Теперь сгруппируем числа и выполним вычитание. Для этого поменяем местами вычитаемые:
$267 - 88 - x$
Вычислим разность чисел:
$267 - 88 = 179$
В результате получаем упрощенное выражение:
$179 - x$
Ответ: $179 - x$.

б) Для упрощения выражения $423 - m - 245$ удобно сначала выполнить вычитание чисел. Мы можем изменить порядок вычитания, используя сочетательное свойство:
$423 - m - 245 = 423 - 245 - m$
Вычислим разность чисел:
$423 - 245 = 178$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:
$178 - m$
Ответ: $178 - m$.

Какие свойства сложения и вычитания применены в этом примере? В образце $384 - c - 137 = 384 - (c + 137) = 384 - (137 + c) = 384 - 137 - c = 247 - c$ применены следующие свойства:
1. Правило вычитания суммы из числа: $a - b - c = a - (b + c)$. Это свойство было использовано для группировки вычитаемых $c$ и $137$ в скобки.
2. Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$. Это свойство позволило поменять местами слагаемые внутри скобок: $(c + 137) = (137 + c)$.
После этих преобразований снова используется правило вычитания суммы из числа для раскрытия скобок и выполняется вычисление.
Ответ: Правило вычитания суммы из числа и переместительное свойство сложения.

2.150 Упростите выражение:

а) (101 + m)- 26;

б) 199 + n - 26;

в) b + 211 - 39;

г) a - 40 + 160;

д) (41 - k) + 39;

е) x - 23 + 42.

Какое свойство вычитания применяется в этих примерах?

В данных примерах применяется свойство вычитания числа из суммы:

а) (101 + m) - 26 = (101 - 26) + m = 75 + m;

б) 199 + n - 26 = (199 + n) - 26 = (199 - 26) + n = 173 + n;

в) в + 211 - 39 = (в + 211) - 39 = в + (211 - 39) = в + 172;

г) а - 40 + 160 = (а - 40) + 160 = (а + 160) - 40 = а + (160 - 40) = а + 120;

д) (41 - k) + 39 = (41 + 39) - k = 80 - k;

е) x - 23 + 42 = (x - 23) + 42 = (x + 42) - 23 = x + (42 - 23) = x + 19.

а) $(101 + m) - 26 = (101 - 26) + m = 75 + m$.
Ответ: $75 + m$.

б) $199 + n - 26 = (199 - 26) + n = 173 + n$.
Ответ: $173 + n$.

в) $b + 211 - 39 = b + (211 - 39) = b + 172$.
Ответ: $b + 172$.

г) $a - 40 + 160 = a + (160 - 40) = a + 120$.
Ответ: $a + 120$.

д) $(41 - k) + 39 = (41 + 39) - k = 80 - k$.
Ответ: $80 - k$.

е) $x - 23 + 42 = x + (42 - 23) = x + 19$.
Ответ: $x + 19$.

Какое свойство вычитания применяется в этих примерах?

В этих примерах для упрощения выражений применяются следующие свойства:

• Свойство вычитания числа из суммы. Оно гласит: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из одного из слагаемых (если слагаемое больше или равно вычитаемому) и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
  Формулы: $(a + b) - c = (a - c) + b$ или $(a + b) - c = a + (b - c)$.
  Это свойство используется в примерах а), б), в).
• Свойство прибавления числа к разности. Оно гласит: чтобы к разности прибавить число, можно прибавить его к уменьшаемому, а из полученной суммы вычесть вычитаемое.
  Формулы: $(a - b) + c = (a + c) - b$ или $a - b + c = a + (c - b)$.
  Это свойство используется в примерах г), д), е).

2.151 Упростите выражение и найдите его значение:

а) x - 47 - 38 при x = 625;

б) 168 + y - 68 при y = 77;

в) 137 + a + 263 при a = 194; 381;

г) z - 135 + 215 при z = 329; 918.

а) x - 47 - 38 = x - (47 + 38) = x - 85;

47 + 38 = 40 + 7 + 30 + 8 = (40 + 30) + (7 + 8) = 70 + 15 = 85

при х = 625

х - 85 = 625 - 85 = 540.

б) 168 + у - 68 = (168 + у) - 68 = (168 - 68) + у = 100 + у

при у = 77

100 + у = 100 + 77 = 177.

в) 137 + а + 263 = а + (137 + 263) = а + 400

при а = 194

а + 400 = 194 + 400 = 594;

при а = 381

а + 400 = 381 + 400 = 781.

г) z - 135 + 215 = (z - 135) + 215 = (z + 215) - 135 = z + (215 - 135) = z + 80

при z = 329

z + 80 = 329 + 80 = 409;

при z = 918

z + 80 = 918 + 80 = 998.

а)

Сначала упростим выражение $x - 47 - 38$. Для этого выполним вычитание чисел:

$x - (47 + 38) = x - 85$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $x - 85$.

Теперь подставим значение $x = 625$ в упрощенное выражение:

$625 - 85 = 540$

Ответ: 540

б)

Сначала упростим выражение $168 + y - 68$. Для удобства воспользуемся переместительным свойством сложения и сгруппируем числа:

$(168 - 68) + y$

Выполним вычитание в скобках:

$168 - 68 = 100$

Упрощенное выражение принимает вид: $100 + y$.

Теперь подставим значение $y = 77$ в упрощенное выражение:

$100 + 77 = 177$

Ответ: 177

в)

Сначала упростим выражение $137 + a + 263$. Сгруппируем числа:

$(137 + 263) + a$

Выполним сложение в скобках:

$137 + 263 = 400$

Упрощенное выражение принимает вид: $400 + a$.

Теперь найдем значения выражения для каждого значения $a$.

При $a = 194$:

$400 + 194 = 594$

При $a = 381$:

$400 + 381 = 781$

Ответ: 594; 781

г)

Сначала упростим выражение $z - 135 + 215$. Сгруппируем числа:

$z + (215 - 135)$

Выполним вычитание в скобках:

$215 - 135 = 80$

Упрощенное выражение принимает вид: $z + 80$.

Теперь найдем значения выражения для каждого значения $z$.

При $z = 329$:

$329 + 80 = 409$

При $z = 918$:

$918 + 80 = 998$

Ответ: 409; 998

2.152 Точки М и N отмечены на отрезке PQ так, что точка N лежит между точками М и Q. Составьте выражение для нахождения длины отрезка:

a) PQ, если РМ = 373 мм, MN = z мм и NQ = 75 мм. Найдите значение получившегося выражения при z = 225; 384;

б) PM, если PQ = 226 мм, MN = 74 мм и NQ = z мм. Найдите значение получившегося выражения при z = 47; 105.

а) PQ = PM + MN + NQ

PM = 373, MN = z мм, NQ = 75 мм.

373 + z + 75 = z + (373 + 75) = (z + 448) мм;

при z = 225

z + 448 = 225 + 448 = 673 (мм);

при z = 384

z + 448 = 384 + 448 = 832 (мм).

б) PM = PQ - (MN + NQ)

РQ = 226 мм, MN = 74 мм, NQ = z мм.

226 - (74 + z) = 226 - 74 - z = (152 - z) мм

при z = 47

152 - z = 152 - 47 = 105 (мм)

при z = 105

152 - z = 152 - 105 = 47 (мм)

Согласно условию, точки $M$ и $N$ отмечены на отрезке $PQ$ так, что точка $N$ лежит между точками $M$ и $Q$. Это означает, что точки на отрезке расположены в следующем порядке: P, M, N, Q. Следовательно, длина всего отрезка $PQ$ равна сумме длин его составных частей: $PQ = PM + MN + NQ$.

a)

Требуется составить выражение для нахождения длины отрезка $PQ$. Используем основное свойство длины отрезка:
$PQ = PM + MN + NQ$
Подставим в эту формулу известные значения из условия: $PM = 373$ мм, $MN = z$ мм и $NQ = 75$ мм.
$PQ = 373 + z + 75$
Упростим полученное выражение, сложив числовые слагаемые:
$PQ = (373 + 75) + z = 448 + z$
Это и есть искомое выражение для длины отрезка $PQ$.
Теперь найдем значения этого выражения при заданных значениях $z$.
Если $z = 225$, то:
$PQ = 448 + 225 = 673$ мм.
Если $z = 384$, то:
$PQ = 448 + 384 = 832$ мм.
Ответ: выражение для длины $PQ$ равно $448 + z$ мм; при $z = 225$ длина $PQ$ равна $673$ мм; при $z = 384$ длина $PQ$ равна $832$ мм.

б)

Требуется составить выражение для нахождения длины отрезка $PM$. Снова воспользуемся основным свойством длины отрезка $PQ = PM + MN + NQ$. Выразим из этой формулы искомую длину $PM$:
$PM = PQ - MN - NQ$
Подставим в полученную формулу известные значения: $PQ = 226$ мм, $MN = 74$ мм и $NQ = z$ мм.
$PM = 226 - 74 - z$
Упростим выражение, выполнив вычитание:
$PM = (226 - 74) - z = 152 - z$
Это и есть искомое выражение для длины отрезка $PM$.
Теперь найдем значения этого выражения при заданных значениях $z$.
Если $z = 47$, то:
$PM = 152 - 47 = 105$ мм.
Если $z = 105$, то:
$PM = 152 - 105 = 47$ мм.
Ответ: выражение для длины $PM$ равно $152 - z$ мм; при $z = 47$ длина $PM$ равна $105$ мм; при $z = 105$ длина $PM$ равна $47$ мм.

2.153 Тракторист засеял поле за три дня. В первый день он засеял 18 га, что на а га больше, чем во второй день, и на 3 га меньше, чем в третий. Сколько гектаров засеял тракторист за три дня? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если а = 4; а = 6.

(18 - а) га засеял во II день

(18 + 3) га засеял во III день

18 + (18 - а) + (18 + 3) = 18 + (18 - а) + 21 = (18 + 21) + (18 - а) = 39 + (18 - а) = (18 + 39) - а = (57 - а) га

при а = 4

57 - а = 57 - 4 = 53 (га)

при а = 6

57 - а = 57 - 6 = 51 (га)

Для решения задачи сначала составим буквенное выражение. Обозначим площадь, засеянную в каждый из трех дней.

Площадь, засеянная в первый день: 18 га.

В первый день тракторист засеял на $a$ га больше, чем во второй. Следовательно, во второй день он засеял на $a$ га меньше, чем в первый. Площадь, засеянная во второй день, составляет $18 - a$ га.

В первый день он засеял на 3 га меньше, чем в третий. Следовательно, в третий день он засеял на 3 га больше, чем в первый. Площадь, засеянная в третий день, составляет $18 + 3 = 21$ га.

Чтобы найти, сколько всего гектаров засеял тракторист за три дня, нужно сложить площади, засеянные в каждый из дней. Составим выражение:

$18 + (18 - a) + (18 + 3)$

Упростим это выражение:

$18 + 18 - a + 21 = 57 - a$

Итак, общее выражение для решения задачи: $57 - a$.

Теперь найдем значения этого выражения при заданных значениях $a$.

если a = 4

Подставим $a = 4$ в выражение $57 - a$:

$57 - 4 = 53$ (га).

Ответ: 53 га.

если a = 6

Подставим $a = 6$ в выражение $57 - a$:

$57 - 6 = 51$ (га).

Ответ: 51 га.

2.154 Вычислите.

а) 50 · 2 = 100;

100 - 58 = 100 - (50 + 8) = (100 - 50) - 8 = 50 - 8 = 42;

52 : 14 = 3;

3 + 21 = 24;

25 : 12 = 2.

б) 32 + 58 = (30 + 2 + 50 + 8) = (30 +50) + (2 + 8) = 80 + 10 = 90;

90 : 6 = (60 + 30) : 6 = 60 : 6 + 30 : 6 = 10 + 5 = 15;

15 - 2 = 13;

13 · 5 = (10 + 3) · 5 = 10 · 5 + 3 · 5 = 50 + 15 = 65;

65 + 35 = (60 + 5) + (30 + 5) = (60 + 30) + (5 + 5) = 90 + 10 = 100.

в) 32 - 27 = (30 + 2) - 27 = (30 - 27) + 2 = 3 + 2 = 5;

5 : 5 = 1:

1 + 9 = 10:

10 · 16 = 160;

160 - 12 = (140 + 20) - 12 = 140 + (20 - 120 = 140 + 8 = 148.

г) 6 · 12 = 6 · (10 + 2) = 6 · 10 + 6 · 2 = 60 + 12 = 72;

72 + 28 = (70 + 2) + (20 + 8) = (70 + 20) + (2 + 8) = 90 + 10 = 100;

100 : 10 = 10;

10 - 6 = 4

4 · 15 = 4 · (10 + 5) = 4 · 10 + 4 · 5 = 40 + 20 = 60.

д) 32 : 16 = 2;

2 · 25 = 2 · (20 + 5) = 2 · 20 + 2 · 5 = 40 + 10 = 50;

50 + 34 = 50 + (30 + 4) = (50 + 30) + 4 = 84;

84 : 12 = 7;

7 · 10 = 70.

Выполним вычисления по порядку:

1. Первое действие — умножение: $50 \cdot 2 = 100$.

2. Второе действие — вычитание: $100 - 58 = 42$.

3. Третье действие — деление: $42 : 14 = 3$.

4. Четвертое действие — сложение: $3 + 21 = 24$.

5. Пятое действие — деление: $24 : 12 = 2$.

Ответ: 2

Выполним вычисления по порядку:

1. Сначала выполним сложение: $32 + 58 = 90$.

2. Затем разделим результат на 6: $90 : 6 = 15$.

3. Вычтем 2: $15 - 2 = 13$.

4. Умножим на 5: $13 \cdot 5 = 65$.

5. Прибавим 35: $65 + 35 = 100$.

Ответ: 100

Выполним вычисления по порядку:

1. Первое действие — вычитание: $32 - 27 = 5$.

2. Второе действие — деление: $5 : 5 = 1$.

3. Третье действие — сложение: $1 + 9 = 10$.

4. Четвертое действие — умножение: $10 \cdot 16 = 160$.

5. Пятое действие — вычитание: $160 - 12 = 148$.

Ответ: 148

Выполним вычисления по порядку:

1. Сначала выполним умножение: $6 \cdot 12 = 72$.

2. Затем прибавим 28: $72 + 28 = 100$.

3. Разделим результат на 10: $100 : 10 = 10$.

4. Вычтем 6: $10 - 6 = 4$.

5. Умножим на 15: $4 \cdot 15 = 60$.

Ответ: 60

Выполним вычисления по порядку:

1. Первое действие — деление: $32 : 16 = 2$.

2. Второе действие — умножение: $2 \cdot 25 = 50$.

3. Третье действие — сложение: $50 + 34 = 84$.

4. Четвертое действие — деление: $84 : 12 = 7$.

5. Пятое действие — умножение: $7 \cdot 10 = 70$.

Ответ: 70

5.381 Космический корабль «Вега-1» приближался к комете Галлея для её исследования. На каком расстоянии они находились за полчаса до предполагаемой встречи, если скорость корабля составляет 34 км/с, а скорость кометы — 46 км/с?

Для решения этой задачи необходимо найти расстояние, которое космический корабль и комета преодолевают вместе, двигаясь навстречу друг другу. Это расстояние равно произведению их скорости сближения на время.

1. Находим скорость сближения

Поскольку объекты движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их индивидуальных скоростей. Скорость корабля $v_{к} = 34$ км/с, а скорость кометы $v_{ком} = 46$ км/с.

$v_{сбл} = v_{к} + v_{ком} = 34 \text{ км/с} + 46 \text{ км/с} = 80$ км/с

Это значит, что каждую секунду расстояние между кораблем и кометой сокращается на 80 километров.

2. Переводим время в секунды

В условии дано время $t$ равное полчаса. Для согласованности единиц измерения, переведем это время в секунды.

$t = 0.5 \text{ часа}$

В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд, поэтому:

$1 \text{ час} = 60 \times 60 = 3600 \text{ секунд}$

Следовательно, полчаса это:

$t = 0.5 \times 3600 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

3. Вычисляем расстояние

Теперь, зная скорость сближения и время, мы можем найти расстояние $S$, на котором находились объекты друг от друга. Расстояние — это скорость, умноженная на время.

$S = v_{сбл} \times t$

Подставляем наши значения:

$S = 80 \text{ км/с} \times 1800 \text{ с} = 144000 \text{ км}$

Таким образом, за полчаса до предполагаемой встречи расстояние между космическим кораблем «Вега-1» и кометой Галлея составляло 144 000 км.

Ответ: 144 000 км.

5.382 Плот оторвался от берега, и его унесло за 12 мин на 600 м. В этот момент вслед за ним отправилась моторная лодка. На каком расстоянии от места стоянки лодка догонит плот, если её собственная скорость равна 200 м/мин?

250 м/мин

Лодка

600м

50 м/мин

Плот

1) $600 : 12 = 50\left(\text{м}/\text{мин}\right)$ - скорость плота или скорость течения

2) $200 + 50 = 250\left(\text{м}/\text{мин}\right)$ - скорость лодки по течению

3) $250 - 50 = 200\left(\text{м}/\text{мин}\right)$ - скорость сближения лодки и плота

4) $600 : 200 = 3\left(\text{мин}\right)$ - лодка догонит плот

5) $250·3 = 750\left(\text{м}\right)$

Ответ: лодка догонит плот на расстоянии 750м от места стоянки.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость течения реки (равную скорости плота)

Плот движется со скоростью течения. Нам известно, что он прошел расстояние $S = 600$ м за время $t = 12$ мин. Скорость плота (и течения) можно найти по формуле: $V_{плота} = S / t$ $V_{плота} = 600 \text{ м} / 12 \text{ мин} = 50 \text{ м/мин}$. Таким образом, скорость течения реки составляет 50 м/мин.

2. Найдём скорость моторной лодки по течению

Моторная лодка отправляется вслед за плотом, то есть движется по течению реки. Её скорость будет суммой её собственной скорости и скорости течения: $V_{лодки} = V_{собственная} + V_{течения}$ $V_{лодки} = 200 \text{ м/мин} + 50 \text{ м/мин} = 250 \text{ м/мин}$.

3. Найдём скорость сближения лодки и плота

Скорость сближения — это разница между скоростью лодки и скоростью плота, так как они движутся в одном направлении. $V_{сближения} = V_{лодки} - V_{плота}$ $V_{сближения} = 250 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 200 \text{ м/мин}$. (Обратите внимание, что скорость сближения в данном случае равна собственной скорости лодки).

4. Найдём время, через которое лодка догонит плот

В момент, когда лодка отправилась в путь, плот уже уплыл на 600 м. Это начальное расстояние между ними. Чтобы найти время, за которое лодка покроет это расстояние, нужно разделить его на скорость сближения: $t_{встречи} = S_{начальное} / V_{сближения}$ $t_{встречи} = 600 \text{ м} / 200 \text{ м/мин} = 3 \text{ мин}$.

5. Найдём расстояние от места стоянки, на котором произойдёт встреча

Теперь, зная время, которое лодка была в пути до встречи (3 мин), и её скорость (250 м/мин), мы можем найти расстояние от места стоянки: $S_{встречи} = V_{лодки} \times t_{встречи}$ $S_{встречи} = 250 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 750 \text{ м}$.

Ответ: лодка догонит плот на расстоянии 750 м от места стоянки.

5.383 Найдите количество чётных пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 4, 7, 8, 9. Есть ли среди них числа, кратные пяти; девяти?

В условии задачи не сказано повторяются цифры при составлении чисел или не повторяются. Поэтому рассмотрим три два случая: без повторения и с повторением.

I. Без повторения.

Так как число на 0 начинаться не может, то первую цифру выбираем из цифр 1, 4, 7, 8, 9, т.е. 5 способами. Вторую цифру так же выбираем 5 способами так как осталось 4 способа выбрать из цифр 1, 4, 7, 8, 9 и пятым способом можно выбрать цифру 0.

Так как число должно быть чётным, то последнюю цифру выбираем 3 способами из цифр 0, 4 и 8. Третью и четвёртую цифры выбираем четырьмя и двумя способами соответственно.

чётных пятизначных чисел можно составить, у которых цифры не повторяются.

Среди них есть числа, кратные пяти, так как они могут оканчиваться на цифру 0.

Среди них нет чисел, кратных девяти, так как никакая сумма из пяти цифр не делится на 9.

II. С повторением.

1 цифру - выбираем 5 способами (1, 4, 7, 8, 9)

2 цифру - 6 способами (0, 1, 4, 7, 8, 9)

3 цифру - 6 способами (0, 1, 4, 7, 8, 9)

4 цифру - 6 способами (0, 1, 4, 7, 8, 9)

5 цифру - 3 способами (0, 4, 8)

Среди них есть числа кратные 5 (оканчиваются на цифру 0) и кратные 9 (например, 18909)

Ответ: 3240 чисел

Количество чётных пятизначных чисел

Для составления пятизначных чисел нам дан набор цифр: $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$. Будем считать, что цифры в числе могут повторяться, так как в условии не указано иное.

Пятизначное число состоит из пяти цифр. Чтобы число было пятизначным, его первая цифра не может быть нулём. Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной.

Рассмотрим количество вариантов для каждой позиции в числе:

Первая цифра: на этом месте может стоять любая цифра из данного набора, кроме 0. Доступные цифры: $\{1, 4, 7, 8, 9\}$. Таким образом, есть 5 вариантов для первой цифры.

Вторая, третья и четвёртая цифры: на этих местах может стоять любая из 6 данных цифр $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$. Это даёт по 6 вариантов для каждой из этих трёх позиций.

Пятая цифра: для того чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Из нашего набора чётными являются $\{0, 4, 8\}$. Следовательно, для последней цифры есть 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чётных пятизначных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции: $N = 5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 5 \times 6^3 \times 3 = 15 \times 216 = 3240$.

Ответ: можно составить 3240 чётных пятизначных чисел.

Есть ли среди них числа, кратные пяти

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Мы ищем числа, которые являются одновременно чётными и кратными пяти.

Условие чётности для нашего набора цифр требует, чтобы последняя цифра была из множества $\{0, 4, 8\}$. Условие кратности пяти требует, чтобы последняя цифра была из множества $\{0, 5\}$.

Для выполнения обоих условий одновременно последняя цифра числа должна принадлежать пересечению этих множеств, то есть должна быть $\{0\}$.

Следовательно, нам нужно проверить, существуют ли чётные пятизначные числа, составленные из данных цифр, которые оканчиваются на 0. Для ответа на вопрос "есть ли" достаточно найти хотя бы один пример или посчитать их общее количество.

Найдём количество таких чисел. Первая цифра не может быть 0 (5 вариантов), вторая, третья и четвёртая могут быть любыми из 6 данных цифр, а последняя цифра должна быть 0 (1 вариант). Количество таких чисел равно: $5 \times 6 \times 6 \times 6 \times 1 = 1080$.

Поскольку можно составить 1080 таких чисел, они существуют. Например, число 11100. Оно пятизначное, чётное, кратное пяти, и все его цифры $\{1, 0\}$ есть в исходном наборе.

Ответ: Да, есть.

Есть ли среди них числа, кратные девяти

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Нам нужно определить, существует ли хотя бы одно чётное пятизначное число, составленное из цифр $\{0, 1, 4, 7, 8, 9\}$, сумма цифр которого кратна 9.

Для доказательства существования достаточно привести один пример.

Рассмотрим число 10008.

• Оно пятизначное.
• Оно чётное, так как оканчивается на 8.
• Все его цифры (1, 0, 8) принадлежат заданному набору.
• Сумма его цифр равна $1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9$. Поскольку 9 делится на 9, число 10008 кратно 9.

Другой пример: число 90000. Оно чётное (оканчивается на 0), состоит из цифр 9 и 0 из набора, а сумма цифр $9+0+0+0+0=9$ кратна 9.

Так как мы смогли найти примеры чисел, удовлетворяющих всем условиям, то такие числа существуют.

Ответ: Да, есть.

5.384 Представьте в виде несократимой дроби:

1) $\frac{25 \cdot 18 - 25 \cdot 6}{25 \cdot 18 + 25 \cdot 6}$

Для решения воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель за скобки в числителе и в знаменателе дроби. Общим множителем является число 25.

В числителе: $25 \cdot 18 - 25 \cdot 6 = 25 \cdot (18 - 6)$.

В знаменателе: $25 \cdot 18 + 25 \cdot 6 = 25 \cdot (18 + 6)$.

Теперь наша дробь выглядит следующим образом:

$\frac{25 \cdot (18 - 6)}{25 \cdot (18 + 6)}$

Мы можем сократить общий множитель 25 в числителе и знаменателе:

$\frac{18 - 6}{18 + 6}$

Теперь выполним арифметические действия в скобках:

$18 - 6 = 12$

$18 + 6 = 24$

Получаем дробь:

$\frac{12}{24}$

Чтобы получить несократимую дробь, разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 12:

$\frac{12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $\frac{91 \cdot 18 - 15 \cdot 91}{91 \cdot 18 + 91 \cdot 4}$

Действуем аналогично первому примеру. В числителе и знаменателе есть общий множитель 91, который мы вынесем за скобки.

В числителе: $91 \cdot 18 - 15 \cdot 91 = 91 \cdot (18 - 15)$.

В знаменателе: $91 \cdot 18 + 91 \cdot 4 = 91 \cdot (18 + 4)$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{91 \cdot (18 - 15)}{91 \cdot (18 + 4)}$

Сократим общий множитель 91:

$\frac{18 - 15}{18 + 4}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$18 - 15 = 3$

$18 + 4 = 22$

В результате получаем дробь:

$\frac{3}{22}$

Эта дробь является несократимой, так как числа 3 и 22 не имеют общих делителей, кроме единицы (3 - простое число, а 22 не делится на 3).

Ответ: $\frac{3}{22}$.

5.385 Выполните действия:

1) Для сложения смешанных чисел $7\frac{6}{22}$ и $5\frac{5}{22}$ с одинаковыми знаменателями, сложим отдельно их целые и дробные части.

Сложение целых частей: $7 + 5 = 12$.

Сложение дробных частей: $\frac{6}{22} + \frac{5}{22} = \frac{6+5}{22} = \frac{11}{22}$.

Сократим полученную дробь $\frac{11}{22}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 11: $\frac{11 \div 11}{22 \div 11} = \frac{1}{2}$.

Сложим результат целой и дробной части: $12 + \frac{1}{2} = 12\frac{1}{2}$.

Ответ: $12\frac{1}{2}$.

2) Для вычитания смешанных чисел $6\frac{14}{15}$ и $3\frac{4}{15}$ с одинаковыми знаменателями, вычтем отдельно их целые и дробные части.

Вычитание целых частей: $6 - 3 = 3$.

Вычитание дробных частей: $\frac{14}{15} - \frac{4}{15} = \frac{14-4}{15} = \frac{10}{15}$.

Сократим полученную дробь $\frac{10}{15}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5: $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.

Сложим результат целой и дробной части: $3 + \frac{2}{3} = 3\frac{2}{3}$.

Ответ: $3\frac{2}{3}$.

3) В данном выражении все дроби имеют одинаковый знаменатель 36. Выполним действия с числителями в порядке их следования.

$\frac{22}{36} - \frac{11}{36} + \frac{4}{36} = \frac{22 - 11 + 4}{36}$.

Сначала выполним вычитание: $22 - 11 = 11$.

Затем сложение: $11 + 4 = 15$.

Получаем дробь: $\frac{15}{36}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 3: $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

4) В данном выражении все дроби имеют одинаковый знаменатель 75. Выполним действия с числителями в порядке их следования.

$\frac{12}{75} + \frac{14}{75} - \frac{1}{75} = \frac{12 + 14 - 1}{75}$.

Сначала выполним сложение: $12 + 14 = 26$.

Затем вычитание: $26 - 1 = 25$.

Получаем дробь: $\frac{25}{75}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 25: $\frac{25 \div 25}{75 \div 25} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5.386 Вычислите:

a) $(2616 : 6 + 26·14) : 4 - 196 = 4$

1) $2616 : 6 = 436$

2616 | 6

-24----|----

21 | 436

-18

---

36

-36

---

0

2) $26·14 = 364$

26

× 14

----

104

+ 26

----

364

3) $436 + 364 = 800$

4) $800 : 4 = 200$

5) $200 - 196 = 4$

б) $(867000 : 2125 - 396)·25 = 300$

1) $867000 : 2125 = 408$

867000 | 2125

-8500----|-----

17000 | 408

-17000

-----

0

2) $408 - 396 = 12$

3) $12·25 = 300$

12

× 25

----

60

+ 24

----

300

в) $30·29 - 29·28 + 28·27 - 27·26 =$

$= 29·(30 - 28) + 27·(28 - 26) =$

$= 29·2 + 27·2 = 2·(29 + 27) =$

$= 2·56 = 112$

2) $({39}^2 + 39) + ({40}^2 - 40) = (39·39 + 39) +$

$+ (40·40 - 40·1) = 39·(39 + 1) +$

$+ 40(40 - 1) = 39·40 + 40·39 =$

$= 39·(40 + 40) = 39·80 = 3120$

× 39

80

----

3120

а) $(2616 : 6 + 26 \cdot 14) : 4 - 196$

Решение по действиям:

1. Сначала выполняем действия в скобках (деление, умножение, затем сложение):

$2616 : 6 = 436$

$26 \cdot 14 = 364$

$436 + 364 = 800$

2. Теперь выполняем оставшиеся действия по порядку (деление, затем вычитание):

$800 : 4 = 200$

$200 - 196 = 4$

Ответ: 4

б) $(867 000 : 2125 - 396) \cdot 25$

Решение по действиям:

1. Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание):

$867 000 : 2125 = 408$

$408 - 396 = 12$

2. Выполняем умножение:

$12 \cdot 25 = 300$

Ответ: 300

в) $30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26$

Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

$(30 \cdot 29 - 29 \cdot 28) + (28 \cdot 27 - 27 \cdot 26) = 29 \cdot (30 - 28) + 27 \cdot (28 - 26)$

Вычисляем значения в скобках:

$30 - 28 = 2$

$28 - 26 = 2$

Подставляем результаты обратно в выражение:

$29 \cdot 2 + 27 \cdot 2 = 58 + 54 = 112$

Ответ: 112

г) $(39^2 + 39) + (40^2 - 40)$

Для упрощения вычислений вынесем общий множитель в каждой из скобок. Используем то, что $a^2 = a \cdot a$.

$(39 \cdot 39 + 39 \cdot 1) + (40 \cdot 40 - 40 \cdot 1) = 39 \cdot (39 + 1) + 40 \cdot (40 - 1)$

Вычисляем значения в скобках:

$39 + 1 = 40$

$40 - 1 = 39$

Подставляем результаты обратно в выражение:

$39 \cdot 40 + 40 \cdot 39 = 1560 + 1560 = 3120$

Ответ: 3120

5.387 Приведите дробь:

а) 57 к знаменателю 28;

б) 1115 к знаменателю 60;

в) 1319 к знаменателю 76;

г) 1115 к знаменателю 75.

а) Требуется привести дробь $\frac{5}{7}$ к знаменателю 28.

Для этого, согласно основному свойству дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, называемое дополнительным множителем. Чтобы найти этот множитель, нужно новый знаменатель разделить на старый.

1. Найдем дополнительный множитель: $28 \div 7 = 4$.

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби $\frac{5}{7}$ на 4: $\frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}$.

Ответ: $\frac{20}{28}$.

б) Требуется привести дробь $\frac{11}{15}$ к знаменателю 60.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $60 \div 15 = 4$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{11}{15}$ на 4: $\frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$.

Ответ: $\frac{44}{60}$.

в) Требуется привести дробь $\frac{13}{19}$ к знаменателю 76.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $76 \div 19 = 4$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{13}{19}$ на 4: $\frac{13 \cdot 4}{19 \cdot 4} = \frac{52}{76}$.

Ответ: $\frac{52}{76}$.

г) Требуется привести дробь $\frac{11}{15}$ к знаменателю 75.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $75 \div 15 = 5$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{11}{15}$ на 5: $\frac{11 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{55}{75}$.

Ответ: $\frac{55}{75}$.

5.388 Сократите дроби 1012, 3945, 75125, 2170, а потом приведите их к знаменателю 30.

Выполним поочередно требуемые действия для каждой дроби.

$\frac{10}{12}$

Сначала сократим дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. НОД(10, 12) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Теперь приведем полученную дробь $\frac{5}{6}$ к знаменателю 30. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $30 \div 6 = 5$. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{6}$ на этот множитель:

$\frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}$

Ответ: $\frac{25}{30}$

$\frac{39}{45}$

Сначала сократим дробь. НОД(39, 45) = 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{39}{45} = \frac{39 \div 3}{45 \div 3} = \frac{13}{15}$

Теперь приведем дробь $\frac{13}{15}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель равен $30 \div 15 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{13 \times 2}{15 \times 2} = \frac{26}{30}$

Ответ: $\frac{26}{30}$

$\frac{75}{125}$

Сначала сократим дробь. НОД(75, 125) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:

$\frac{75}{125} = \frac{75 \div 25}{125 \div 25} = \frac{3}{5}$

Теперь приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель равен $30 \div 5 = 6$. Умножим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$

Ответ: $\frac{18}{30}$

$\frac{21}{70}$

Сначала сократим дробь. НОД(21, 70) = 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{21}{70} = \frac{21 \div 7}{70 \div 7} = \frac{3}{10}$

Теперь приведем дробь $\frac{3}{10}$ к знаменателю 30. Дополнительный множитель равен $30 \div 10 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$

Ответ: $\frac{9}{30}$

5.389 Приведите к общему знаменателю дроби:

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Это число и будет их наименьшим общим знаменателем. Затем для каждой дроби находится дополнительный множитель, на который умножается и числитель, и знаменатель.

а) Даны дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{1}{4}$. Знаменатели 9 и 4 являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей, кроме 1). Наименьший общий знаменатель для них будет равен их произведению: $9 \times 4 = 36$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 9 = 4$.
$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{20}{36}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $36 \div 4 = 9$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 9}{4 \times 9} = \frac{9}{36}$.
Ответ: $\frac{20}{36}$ и $\frac{9}{36}$.

б) Даны дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{4}{15}$. Найдем НОК для знаменателей 10 и 15. Разложим их на простые множители: $10 = 2 \times 5$; $15 = 3 \times 5$. НОК(10, 15) = $2 \times 3 \times 5 = 30$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 10 = 3$.
$\frac{7}{10} = \frac{7 \times 3}{10 \times 3} = \frac{21}{30}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 15 = 2$.
$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 2}{15 \times 2} = \frac{8}{30}$.
Ответ: $\frac{21}{30}$ и $\frac{8}{30}$.

в) Даны дроби $\frac{3}{20}$ и $\frac{5}{24}$. Найдем НОК для знаменателей 20 и 24. Разложим их на простые множители: $20 = 2^2 \times 5$; $24 = 2^3 \times 3$. НОК(20, 24) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $120 \div 20 = 6$.
$\frac{3}{20} = \frac{3 \times 6}{20 \times 6} = \frac{18}{120}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $120 \div 24 = 5$.
$\frac{5}{24} = \frac{5 \times 5}{24 \times 5} = \frac{25}{120}$.
Ответ: $\frac{18}{120}$ и $\frac{25}{120}$.

г) Даны дроби $\frac{8}{11}$ и $\frac{35}{44}$. Знаменатель 44 является кратным знаменателю 11 ($44 = 11 \times 4$), поэтому наименьший общий знаменатель равен 44.
Вторую дробь $\frac{35}{44}$ оставляем без изменений.
Дополнительный множитель для первой дроби: $44 \div 11 = 4$.
$\frac{8}{11} = \frac{8 \times 4}{11 \times 4} = \frac{32}{44}$.
Ответ: $\frac{32}{44}$ и $\frac{35}{44}$.

д) Даны дроби $\frac{6}{17}$ и $\frac{2}{11}$. Знаменатели 17 и 11 являются простыми числами, поэтому они взаимно простые. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $17 \times 11 = 187$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $187 \div 17 = 11$.
$\frac{6}{17} = \frac{6 \times 11}{17 \times 11} = \frac{66}{187}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $187 \div 11 = 17$.
$\frac{2}{11} = \frac{2 \times 17}{11 \times 17} = \frac{34}{187}$.
Ответ: $\frac{66}{187}$ и $\frac{34}{187}$.

е) Даны дроби $\frac{17}{24}$ и $\frac{5}{8}$. Знаменатель 24 является кратным знаменателю 8 ($24 = 8 \times 3$), поэтому наименьший общий знаменатель равен 24.
Первую дробь $\frac{17}{24}$ оставляем без изменений.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 8 = 3$.
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}$.
Ответ: $\frac{17}{24}$ и $\frac{15}{24}$.

5.390 Жук и гусеница ползут по стволу дерева в противоположных направлениях. Жук находится на 22 см выше гусеницы (рис. 5.57) и ползёт со скоростью 4 см/с. С какой скоростью ползёт гусеница, если 50 см между ней и жуком будет через 4 с?

Это задача на движение в противоположных направлениях. Решим ее пошагово.

1. Найдем, на сколько увеличилось расстояние между жуком и гусеницей.

Изначально расстояние между ними составляло 22 см, а через 4 секунды стало 50 см. Чтобы найти, на какое расстояние они дополнительно удалились друг от друга, вычтем из конечного расстояния начальное:

$50 \text{ см} - 22 \text{ см} = 28$ см.

Таким образом, за 4 секунды общее расстояние, которое они проползли, удаляясь друг от друга, составило 28 см.

2. Найдем скорость удаления.

Скорость удаления – это общая скорость, с которой объекты отдаляются друг от друга. Она равна суммарному пройденному расстоянию, деленному на время. В нашем случае:

$v_{удаления} = \frac{28 \text{ см}}{4 \text{ с}} = 7$ см/с.

3. Найдем скорость гусеницы.

Поскольку жук и гусеница движутся в противоположных направлениях, их общая скорость удаления равна сумме их скоростей:

$v_{удаления} = v_{жука} + v_{гусеницы}$

Мы знаем скорость удаления (7 см/с) и скорость жука (4 см/с). Подставим эти значения в формулу, чтобы найти скорость гусеницы:

$7 \text{ см/с} = 4 \text{ см/с} + v_{гусеницы}$

Отсюда находим скорость гусеницы:

$v_{гусеницы} = 7 \text{ см/с} - 4 \text{ см/с} = 3$ см/с.

Ответ: скорость гусеницы 3 см/с.